（高二数学高分突破）7.2排列（十大题型）（原卷版）

（高二数学高分突破）7.2排列（十大题型）（原卷版）（高二数学高分突破）7.2排列（十大题型）（原卷版）/（高二数学高分突破）7.2排列（十大题型）（原卷版）7．2排列课程标准学习目标(1)能通过实例,用自己的语言解释排列的定义;能用定义判断是不是排列问题,发展数学抽象素养．(2)能从排列的定义出发推导排列数公式,并能用排列数公式解决有关计数问题．(3)能综合应用排列的概念和公式解决简单的实际问题．(1)理解并掌握排列的概念.(2)能应用排列知识解决简单的实际问题．(3)能用排列数公式进行化简与证明．知识点01排列的概念1、排列的定义：一般地,从n个不同的元素中取出m()个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．知识点诠释：(1)排列的定义中包括两个基本内容,一是"取出元素”,二是"按照一定的顺序排列”．(2)从定义知,只有当元素完全相同,并且元素排列的顺序也完全相同时,才是同一个排列．(3)如何判断一个具体问题是不是排列问题,就要看从n个不同元素中取出m个元素后,再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序,有顺序就是排列,无顺序就不是排列．【即学即练1】(2024·高二课时练习)下列问题是排列问题的是(

)A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛,共有多少种不同的选取方法?B．10个人互相通信一次,共写了多少封信?C．平面上有5个点,任意三点不共线,这5个点最多可确定多少条直线?D．从1,2,3,4四个数字中,任选两个相加,其结果共有多少种?知识点02排列数1、排列数的定义从个不同元素中,任取()个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数,用符号表示．知识点诠释："排列”和"排列数”是两个不同的概念,一个排列是指"从个不同的元素中,任取个元素,按照一定的顺序排成一列”,它不是一个数,而是具体的一个排列(也就是具体的一件事);2、排列数公式,其中,且．知识点诠释：公式特征：第一个因数是,后面每一个因数比它前面一个少1,最后一个因数是,共有个因数．【即学即练2】(2024·福建·高二校联考期末)可表示为()A． B．C． D．知识点03阶乘表示式1、阶乘的概念：把正整数1到的连乘积,叫做的阶乘．表示：,即!．规定：．2、排列数公式的阶乘式：所以．【即学即练3】(2024·高二课时练习)不等式的解集为．知识点04排列的常见类型与处理方法1、相邻元素捆绑法2、相离问题插空法3、元素分析法4、位置分析法【即学即练4】(2024·全国·高二随堂练习)2023年夏天贵州榕江的村超联赛火爆全国,吸引了国内众多业余球队参赛．现有六个参赛队伍代表站成一排照相,如果贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队必须相邻,同时南昌拌粉队与温江烤肉队不能相邻,那么不同的站法共有(

)种．A．144 B．72 C．36 D．24题型一：排列的概念【典例1-1】(2024·高二课时练习)从集合中任取两个元素,①相加可得多少个不同的和?②相除可得多少个不同的商?③作为椭圆中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程?④作为双曲线中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程?上面四个问题属于排列问题的是(

)A．①②③④ B．②④ C．②③ D．①④【典例1-2】(2024·高二课时练习)下列问题是排列问题的是(

)A．10个朋友聚会,每两人握手一次,一共握手多少次?B．平面上有2022个不同的点,且任意三点不共线,连接任意两点可以构成多少条线段?C．集合的含有三个元素的子集有多少个?D．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目,有多少种选法?【变式1-1】(2024·高二课时练习)已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组;②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动;③从a,b,c,d四个字母中取出2个字母;④从1,2,3,4四个数字中取出2个数字组成一个两位数.其中是排列问题的有(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-2】(多选题)(2024·江西新余·高二校考阶段练习)下列选项中,属于排列问题的是(

)A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛,共有多少种选法B．有十二名学生参加植树活动,要求三人一组,共有多少种分组方案C．从,,,中任选两个数做指数运算,可以得到多少个幂D．从,,,中任取两个数作为点的坐标,可以得到多少个不同的点【变式1-3】(2024·全国·高二专题练习)判断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同);(2)选2个小组分别去植树和种菜;(3)选2个小组去种菜;(4)选10人组成一个学习小组;(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员;(6)某班40名学生在假期相互打电话．【方法技巧与总结】判断一个具体问题是否为排列问题的思路题型二：画树形图写排列【典例2-1】(2024·高二课时练习)写出从a、b、c、d四个元素中任取两个不同元素的所有排列．【典例2-2】(2024·江苏·高二专题练习)写出下列问题的所有排列：(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数,共有多少个不同的两位数?(2)由1,2,3,4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数?试全部列出.【变式2-1】(2024·高二课时练习)(1)从四个数字中任取两个数字组成两位不同的数,一共可以组成多少个?(2)写出从4个元素中任取3个元素的所有排列．【变式2-2】(2024·全国·高二课堂例题)求从A,B,C这3个对象中取出3个对象的所有排列的个数,并写出所有的排列.【变式2-3】(2024·高二课时练习)从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人,每人一本,试将所有不同的分法列举出来．【方法技巧与总结】树形图的画法(1)确定首位,以哪个元素在首位为分类标准进行确定首位．(2)确定第二位,在每一个分支上再按余下的元素,在前面元素不变的情况下定第二位并按顺序分类．(3)重复以上步骤,直到写完一个排列为止．题型三：简单的排列问题【典例3-1】(2024·高二课时练习)写出从a、b、c、d、e这五个不同元素中任意取出两个元素的所有排列．【典例3-2】(2024·高二课时练习)将A、B、C、D四名同学按一定顺序排成一行,要求自左向右,且A不排在第一,B不排在第二,C不排在第三,D不排在第四．试写出他们四人所有不同的排法．【变式3-1】(2024·高二课时练习)(1)从1,2,3,4这4个数字中,每次取出3不同的数字排成一个三位数,写出得到的所有三位数,并求出排列数;(2)试写出由1,2,3,4四个数字组成的没有重复数字的四位数,并求出排列数.【变式3-2】(2024·高二课时练习)从、、、这个数字中选出个不同的数字组成个三位数,试写出所有满足条件的三位数．【变式3-3】(2024·高二课时练习)请列出下列排列：(1)从4个不同元素中任取3个元素的所有排列;(2)从7个不同元素中任取2个元素的所有排列．【变式3-4】(2024·高二课时练习)用红、黄、蓝3面小旗(3面小旗都要用)竖挂在绳上表示信号,不同的顺序表示不同的信号,试写出所有的信号．【变式3-5】(2024·全国·高二专题练习)解不等式：;【方法技巧与总结】对于简单的排列问题,其解题思路可借助分步乘法计数原理进行,即采用元素分析法或位置分析法求解．题型四：排列数公式的应用【典例4-1】(2024·高二课时练习)．【典例4-2】(2024·甘肃兰州·统考一模),则等于．【变式4-1】(2024·新疆巴音郭楞·高二校考期中)已知,则.【变式4-2】(2024·江苏盐城·高二盐城中学校考期中)已知,则．【变式4-3】(2024·高二课时练习)(1)已知,那么;(2)已知,那么;(3)已知,那么．【变式4-4】(2024·高二课前预习),则.【方法技巧与总结】排列数公式的选择(1)排列数公式的乘积形式适用于计算排列数．(2)排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题,具体应用时注意阶乘的性质,提取公因式,可以简化计算．题型五：阶乘的概念及性质【典例5-1】(2024·江苏·高二专题练习)求不等式的解集．【典例5-2】(2024·江苏·高二专题练习)解不等式：【变式5-1】(2024·高二课时练习)解关于正整数n的方程：．【变式5-2】(2024·江苏·高二专题练习)计算：(1);(2);(3)若,求x.【变式5-3】(2024·高二课时练习)解下列方程或不等式．(1)(2)【方法技巧与总结】排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题,具体应用时注意阶乘的性质,提取公因式,可以简化计算．题型六：与排列数公式有关的证明问题【典例6-1】(2024·全国·高二课堂例题)求证：．【典例6-2】(2024·江苏·高二专题练习)求证：【变式6-1】(2024·高二课时练习)证明,并利用这一结果化简：(1);(2)．【变式6-2】(2024·高二课时练习)求证：．【变式6-3】(2024·高二课时练习)证明,并用它来化简．【变式6-4】(2024·高二课时练习)求证：(1);(2)．【方法技巧与总结】对含有字母的排列数的式子进行变形式有关的论证时,一般用阶乘式．题型七：相邻问题【典例7-1】(2024·全国·高二假期作业)第19届亚运会于2023年9月28日至10月8日在杭州举行,本届亚运会的吉祥物是一组名为"江南忆”的机器人："琮琮”"莲莲”和"宸宸”,分别代表世界遗产良渚古城遗址、西湖和京杭大运河．某同学买了6个不同的吉祥物,其中"琮琮”"莲莲”和"宸宸”各2个,现将这6个吉祥物排成一排,且名称相同的两个吉祥物相邻,则排法种数共为(

)A．48 B．24 C．12 D．6【典例7-2】(2024·河南驻马店·高二校联考期末),,,,五人站成一排,如果,必须相邻,那么排法种数共有(

)A．24 B．120 C．48 D．60【变式7-1】(2024·全国·高二随堂练习)停车站划出一排12个停车位置,今有8辆不同的车需要停放,若要求剩余的4个空车位连在一起,则不同的停车方法有()A．种 B．种C．种 D．种【变式7-2】(2024·辽宁·高二校联考阶段练习)市内某公共汽车站有6个候车位(成一排),现有3名乘客随便坐在某个座位上候车,则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是(

)A．48 B．54 C．72 D．84【变式7-3】(2024·全国·高二专题练习)2023年5月21日,中国羽毛球队在2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛决赛中以总比分战胜韩国队,实现苏迪曼杯三连冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷赛后在现场合影留念,其中甲、乙均不能站左端,且甲、丙必须相邻,则不同的站法共有(

)A．18种 B．24种 C．30种 D．36种【方法技巧与总结】相邻问题捆绑法题型八：不相邻问题【典例8-1】(2024·福建漳州·高二统考期末)某班联欢会原定3个节目已排成节目单,开演前又增加了2个节目,现将这2个新节目插人节目单中,要求新节目不相邻,那么不同的插法种数为(

)A．6 B．12 C．20 D．72【典例8-2】(2024·辽宁抚顺·高二校联考期末)某5位同学排成一排准备照相时,又来了甲､乙､丙3位同学要加入,若保持原来5位同学的相对顺序不变,且甲､乙2位同学互不相邻,丙同学不站在两端,则不同的加入方法共有(

)A．360种 B．144种 C．180种 D．192种【变式8-1】(2024·全国·高二假期作业)亚运会火炬传递,假设某段线路由甲、乙等6人传递,每人传递一棒,且甲不从乙手中接棒,乙不从甲手中接棒,则不同的传递方案共有(

)A．288种 B．360种 C．480种 D．504种【变式8-2】(2024·全国·高二假期作业)五名同学彝族新年期间去邛海湿地公园采风观景,在观鸟岛湿地门口五名同学排成一排照相留念,若甲与乙相邻,丙与丁不相邻,则不同的排法共有(

)A．12种 B．24种 C．48种 D．96种【变式8-3】(2024·全国·高二假期作业)寒冬己至,大雪纷飞,峨眉山顶银装素裹.成实外教育集团的5位学生相约一起爬山观景.其中位女生,位男生,在到达零公里时,为了安全起见,他们排队前进,为了照顾大家安全,位男生不能相邻,且女生甲怕猴子,不能排在最后一个,则不同的排法种数共有(

)A． B． C． D．【变式8-4】(2024·山东德州·高二校考期末)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任意两人不相邻的坐法种数为(

)A．14 B．120 C．72 D．24【方法技巧与总结】不相邻问题插空法题型九：定序问题【典例9-1】(2024·上海市金山中学高二期末)某次演出有6个节目,若甲、乙、丙3个节目的先后顺序已确定,则不同的排法有____种．【典例9-2】(2024·天津市滨海新区塘沽第一中学高二期末)在8所高水平的高校代表队中,选择5所高校进行航模表演.如果、为必选的高校,并且在航模表演过程中必须按先后的次序(、两高校的次序可以不相邻),则可选择的不同航模表演顺序有_______.【变式9-1】(2024·全国·高二课时练习)期中安排考试科目9门,语文,数学,英语三门课的前后顺序已经确定,则期中考试不同的安排顺序有______种．【变式9-2】(2024·全国·高二课时练习)将A,B,C,D,E这5个字母排成一列,要求A,B,C在排列中的顺序为A,B,C或C,B,A(可以不相邻),这样的排列方法有______种.(用数字作答)【变式9-3】(2024·全国·高三专题练习)如图所示,某货场有三堆集装箱,每堆2个,现需要全部装运,每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱,则在装运的过程中不同取法的种数是____________(用数字作答).题型十：间接法【典例10-1】(2024·河南驻马店·高二统考期末)2022年2月4日,中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖,惊艳了全球观众.我市某中学为了弘扬我国二十四节气文化,特制作出"小雪”、"大雪”、"冬至”、"小寒”、"大寒”五张知识展板,分别放置在五个并排的文化橱窗里,要求"小雪”不能放在首位,"大雪”不能在末位,且"冬至”不在正中间位置,则不同的放置方式的种数有(

)A．66 B．64 C．48 D．30【典例10-2】(2024·广东茂名·高二统考期末)中国古代中的"礼、乐、射、御、书、数”,合称"六艺”."礼”主要指德育;"乐”主要指美育;"射”和"御”就是体育和劳动;"书”指各种历史文化知识;"数”指数学.某校国学社团开展"六艺”讲座活动,每次讲一艺.讲座次序要求"数”不在第一次也不在第六次,"礼”和"乐”不相邻,则"六艺”讲座不同的次序共有(

)A．480种 B．336种 C．144种 D．96种【变式10-1】(2024·北京海淀·高二期末)某班周一上午共有四节课,计划安排语文、数学、美术、体育各一节,要求体育不排在第一节,则该班周一上午不同的排课方案共有(

)A．24种 B．18种 C．12种 D．6种【变式10-2】(2024·全国·西北工业大学附属中学高二期末)某人根据自己爱好,希望从中选2个不同字母,从中选3个不同数字编拟车牌号,要求前3位是数字,后两位是字母,且数字2不能排在首位,字母和数字2不能相邻,那么满足要求的车牌号有(

)A．198个 B．180个 C．216个 D．234个【方法技巧与总结】正难则反一、单选题1．(2024·河南·高二校联考专题练习)四名护士和一名医生站成一排照相,则医生站在正中间的不同站法有(

)A．64种 B．12种 C．120种 D．24种2．(2024·辽宁大连·高二统考期末)用1,2,3,4,5,6写出没有重复数字的六位数中,满足相邻的数字奇偶性不同的数有(

)个A．18 B．36 C．72 D．863．(2024·北京石景山·高二统考期末)用可以组成无重复数字的两位数的个数为(

)A．25 B．20 C．16 D．154．(2024·江西上饶·高二婺源县天佑中学校考期末)"数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉,它的游戏规则很简单,将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里,每个空格填一个数,且9个空格的数字各不相同,若中间空格已填数字4,且只填第二行和第二列,并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从大到小排列的,则不同的填法种数为(

)4A．70 B．120 C．140 D．1445．(2024·吉林·高二长春市第二实验中学校联考期末)4个人排成一排,则甲不站两边的站法有()A．8 B．10C．12 D．246．(2024·福建·高二校联考期末)可表示为()A． B．C． D．7．(2024·江西·高二校联考期末)甲、乙、丙等6人站在一起,且甲不在两端,乙和丙之间恰有2人,则不同排法共有(

)A．108种 B．96种 C．84种 D．72种8．(2024·河南南阳·高二统考期末)南阳市博物院为国家二级博物馆,是豫西南最大的地方综合性博物馆、文化新地标,是展示南阳悠久历史和灿烂文化的重要窗口.南阳市博物院每周一闭馆(节假日除外).某学校计划于2024年3月4日(周一)——3月10日(周日)组织高一、高二、高三年级的同学去南阳市博物院参观研学,每天只能有一个年级参观,其中高一年级需要连续两天,高二、高三年级各需要一天,则不同的方案有(

)A．20种 B．50种 C．60种 D．100种二、多选题9．(2024·辽宁大连·高二校联考期末)象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏,具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营,将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子．现将3个红色的"将”"车”"马”棋子与2个黑色的"将”"车”棋子排成一列,则下列说法正确的是(

)A．共有种排列方式． B．若两个"将”相邻,则有种排列方式．C．若两个"将”不相邻,则有种排列方式． D．若同色棋子不相邻,则有种排列方式．10．(2024·河南·高二校联考阶段练习)下列等式正确的是(

)A． B．C． D．11．(2024·江苏常州·高二常州高级中学校考期末)2023年国外某智库发布《尖端技术研究国家竞争力排名》的报告,涵盖了超音速、水下无人潜航器、量子技术、人工智能、无人机等二十多个领域.报告显示,中国在其中19个领域处于领先.某学生是科技爱好者,打算从这19个领域中选取这5个领域给班级同学进行介绍,每天随机介绍其中一个领域,且每个领域只在其中一天介绍,则下列结论中正确的是(

)A．都在后3天介绍的方法种数为36B．相隔一天介绍的方法种数为36C．A不在第一天,不在最后一天介绍的方法种数为72D．A在,之前介绍