新高考数学一轮复习知识清单+巩固练习专题05 一元函数的导数及其应用（原卷版）

第第页专题05一元函数的导数及其应用一、知识速览二、考点速览知识点1导数的概念1、函数y＝f(x)在x＝x0处的导数一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)．2、导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．3、函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)为f(x)的导函数．知识点2导数的运算1、基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝ax(a>0且a≠1)f′(x)＝axln_af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnx(x>0)f′(x)＝eq\f(1,x)2、导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq\f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)．知识点3利用导数研究函数的单调性1、导数与函数的单调性的关系在某个区间SKIPIF1<0内，如果SKIPIF1<0，那么函数SKIPIF1<0在这个区间内单调递增；如果SKIPIF1<0，那么函数SKIPIF1<0在这个区间内单调递减．【注意】（1）在某区间内SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）是函数SKIPIF1<0在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件；（2）可导函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的任何子区间内都不恒为零．2、导数法求函数单调区间的步骤（1）确定函数的定义域；（2）求（通分合并、因式分解）；（3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；（4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．知识点4导数与函数的极值、最值1、函数的极值（1）函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．（2）函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．2、函数的最值（1）在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．（2）若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．一、求曲线“在”与“过”某点的切线1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率第二步（写方程）：用点斜式第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数；第三步：利用Q在曲线上和，解出及；第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为．【典例1】已知函数SKIPIF1<0，则曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】已知直线SKIPIF1<0是曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程，则SKIPIF1<0【典例3】曲线SKIPIF1<0过坐标原点的切线方程为.【典例4】若过点SKIPIF1<0可作曲线SKIPIF1<0的三条切线，则SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0二、含参函数单调性讨论依据（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；（3）导函数多个零点时大小的讨论。【典例1】已知函数SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0的单调区间．【典例2】讨论函数SKIPIF1<0的单调性．三、已知函数的单调性求参数（1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立；（2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立；（3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点（4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点【典例1】已知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，则a的最小值为（）．A．SKIPIF1<0B．eC．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上不单调，则SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例3】若函数SKIPIF1<0恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0四、构造函数法解决函数问题中的常见类型关系式为“加”型构造：构造（2）构造（3）构造（4）构造（注意的符号）（5）构造关系式为“减”型构造：（6）构造（7）构造（8）构造（9）构造（注意的符号）（10）构造【典例1】已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的解集为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】若定义域为SKIPIF1<0的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为.【典例3】已知SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的函数，导函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0对于SKIPIF1<0恒成立，则（）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0五、单变量不等式恒成立问题一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：1、，2、，3、，4、，【典例1】若对于SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，则参数a的取值范围为．【典例2】已知函数SKIPIF1<0，若对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围．六、双变量不等式与等式一般地，已知函数，1、不等关系（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有成立，故．2、相等关系记的值域为A,的值域为B,（1）若，，有成立，则有；（2）若，，有成立，则有；（3）若，，有成立，故；一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：1、，2、，3、，4、，【典例1】已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，对任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】已知函数SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0，若对任意的SKIPIF1<0，存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则实数m的取值范围为．易错点1复合函数求导错误点拨：复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即SKIPIF1<0。【典例1】求下列函数的导数．(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0(4)SKIPIF1<0；【典例2】求SKIPIF1<0的导函数.易错点2误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系点拨：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出现这种错误的原因就是对导数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为0只是这个函数在此点取到极值的必要条件，充要条件是SKIPIF1<0两侧异号。【典例1】已知定义域为SKIPIF1<0的函数SKIPIF1<0的导函数为SKIPIF1<0，且函数SKIPIF1<0的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A．SKIPIF1<0有极小值SKIPIF1<0，极大值SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0有极小值SKIPIF1<0，极大值SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0有极小值SKIPIF1<0，极大值SKIPIF1<0和SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0有极小值SKIPIF1<0，极大值SKIPIF1<0【典例2】设函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极大值点，以下四个结论中正确的命题序号是.①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极大值点；③SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极小值点；④SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极小值点【典例3】如果函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处有极值SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为．易错点3对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻点拨：一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函数在某区间上恒大（小）于0仅为该函数在此区间上单调增（减）的充分条件。【典例1】若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．S