【暑假预习】新初一暑假讲义14讲

新初一暑假讲义14讲

第1讲有理数的概念和分类.....................................................................1

第2讲数轴和相反数...........................................................................6

第3讲绝对值及其应用........................................................................12

第4讲有理数的加减运算......................................................................18

第5讲有理数的乘除、乘方运算...............................................................23

第6讲有理数的应用..........................................................................29

第7讲单项式与多项式........................................................................34

第8讲代数式求值............................................................................39

第9讲合并同类项............................................................................41

第10讲整式的加减...........................................................................47

第11讲整式加减的应用.......................................................................52

第13讲一元一次方程的解法...................................................................56

第14讲一元一次方程的实际应用..............................................................66

第1讲有理数的概念和分类

1.正数和负数

正数：比—大的数；负数：在正数前面加上的数，既不是正数，也不是负数.

2.相反意义的量

♦在同一个问题中，用“+”和表示具有相反意义的量；

♦若没有规定哪个量为正或负，习惯把“前进、上升、收入、零上温度''等记

为_，把“后退、下降、支出、零下温度”等记为;相反意义的量一是意义二是要有数

量.

3.有理数的分类

正整数

负整数

正分数

分数K

负分数

和统称为非负数；和统称为非正数.

正数和负数

例］给出下列各数：-3,0,+5,-3、+3.1,-1，2004,+2008.其中是负数的有（）

A.2个B.3个D.5个

F列结论中正确的是（

A.0既是正数，又是负数0是最小的正数

C.0是最大的负数0既不是正数，也不是负数

变式1下列四个数中，是负数的是（

有式,以下各数：一兀,0.6,-100,20n0,-25,368中，正数有；

义式22UT27--------------------------------------------

负数有,既不是正数也不是负数的是.

题型二］具有相反意义的量

例1我国是最早使用负数的国家，在我国著名的数学书《九章算术》中，明确提出了“正负术”.如果盈

利20元记作“+20元”，那么亏损30元记作（）

A.-30元B.30元C.50元D.-50元

变式12020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品安全着陆地球.月球表面白天温度约为零

上180℃,可记作+180℃,则夜间温度约为零下150℃,可记作℃.

例2某品牌的大米包装袋上的质量标识为：“50±0.5kg”.质检人员随机抽测了四袋该品牌大米的质量，

依次记录为：50.4kg,50.1kg,49.7kg,49.4kg,则所抽测的四袋大米中，符合该品牌大米包装袋上的质量

标识要求的有（)

A.4袋B.3袋C.2袋D.1袋

变式2足球是全球最具影响力的单项体育运动，它能增强人们的体质，培养团队意识和拼搏精神.足球

的质量有严格标准，如果将超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，从轻重的角度看，以下四个

足球质量最接近标准的是（）

例3如图，是图纸上一个零件的标注，即土go?表示这个零件直径的标准尺寸是30〃?〃?，实际产品的

直径最大可以是30.03相〃2,最小可以是（）

030土黑

A.3O〃2〃2B.30.03"?"?C.30.02〃zmD.29.98相机

变式3某公交车上原有10个人，经过三个站点时乘客上下车情况如下（上车为正，下车为负）：（+2,

-3）,（+8,-5）,（+1,-6）,则此时车上的人数为（）

A.5B.6C.7D.8

题型三］有理数的概念和分类

例1下列说法正确的是（）

A.正数和负数统称有理数B.0是整数但不是正数

C.0是最小的数D.0是最小的正数

例2下列说法不正确的是（）

A.有理数可分为正整数、正分数、0、负整数、负分数

B.一个有理数不是分数就是整数

C.一个有理数不是正数就是负数

D.若一个数是整数，则这个数一定是有理数

变式1下列说法正确的是（）

A.整数、分数和负数统称为有理数B.有理数包括正数和负数

C.正整数都是整数，整数都是正整数D.0是整数，也是自然数

变式2下面说法中，不正确的是（）

A.有最小的正整数B.没有最小的正有理数

C.没有最大的负整数D.没有最大的非负数

变式3下列说法错误的是（）

A.零既不是正数也不是负数B.一定是负数

C.有理数不是整数就是分数D.正整数、零和负整数统称为整数

2020»22一

在数匹，-0.4,0.2i.3.14,0.1010010001...（每两个之间多一个0）,120%,----,100,一这

例3

320217

9个数中，有理数有个.

把下列各数填入相应的大括号内上：-1（）.618,-3.14,260,-20096-0.0i0010001...,-M,b1.

例437

有理数集合：｛｝；

整数集合：｛）；

非正数集合：｛}.

122

变式4在一_，一，0,-1,0.4,71,2,-3,-6这些数中，有理数有机个，自然数有〃个，分数有攵个,

37

则m-n-k的值为（）

A.3B.2C.1D.4

321

变式把下列各数填入相应的大括号内（将各数用逗号分开）：6,-3,2.4,-10,-3.14,+2,_3_,

箕再5492

2式

-1.414,-17,,-.

3T

正数：｛）;

非负整数：｛）；

整数：｛）;

负分数：｛）.

作业一具有相反意义的量

I.如果升降机下降10米记作-10米，那么上升15米记作（）米.

A.-15B.+15C.+10D.-10

2.如果+20%表示增加20%,那么-6%表示（）

A.增加6%B.减少6%C.减少-6%D.亏损6%

3.某超市出售的一种品牌大米袋上，标有质量为（20±0.4）kg的字样，从超市中任意拿出该品牌大米两袋,

它们的质量最多相差（）

A.0.4kgB.0.55kgC.0.6kgD.0.8kg

作业二有理数的分类

1.下列说法不正确的是（）

A.314既是负数、分数，也是有理数B.0既不是正数，也不是负数，但是整数

C.-2019是负整数，但不是有理数D.0是正数和负数的分界

2.下列说法错误的是（）

A.有理数是指整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类数

B.一个有理数不是整数就是分数

C.0既不是正数，也不是负数

D.负整数、负分数统称为负有理数

3.下列说法正确的是（）

A.零是正数B.零是最小的有理数

C.零是最小的自然数D.零是最大的负数

4.填空：最小的正整数；最大的负整数；分数（是/不是）有理数；兀（是/不是）

有理数.

1o?

5.把下列各数填在相应的集合中：15,-0.81,-3,-3.1,-4,171,0,3.14,n,1.6.

27

正数集合：｛｝;

负分数集合：｛）：

非负整数集合：｛):

有理数集合：］

第2讲数轴和相反数

1.数轴的三要素是指，,.

2.只有不同的两个数，我们称它们互为相反数。

3.正数的相反数是,负数的相反数是,零的相反数是

4.互为相反数的两个数分别在原点的,并且到原点的相等.

【注意】：相反数等于它本身的数是.

题型一］数轴的认识

例1下列说法正确的是（）

A.有原点、正方向的直线是数轴

B,数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数

C.有些有理数不能在数轴上表示出来

D.任何一个有理数都可以用数轴上的点表示

例2数轴上原点及原点右边的点表示的数是（）

A.正数B.负数C.非负数D.非正数

变式1数轴上原点及原点左边的点表示的数是（）

A.正数B.负数C.非负数D.非正数

数轴上A,B两点对应的有理数分别是-3二和1二3，则A,B之间的整数有（

例3

23

A.4个B.5个C.6个D.7个

例4有理数〃、匕在数轴上的位置如图所示，则〃、〃大小是：a—b.

ab6k

变式2有理数a,4c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）

-4-3-2-101234

A.。>-3B.a>bC.ab>0D.-a>c

题型二1数轴的应用

例1在数轴上表示-3的点与表示2的点之间的距离是（）

A.-5B.5C.0D.-1

：【方法总结】数轴上计算两点之间的距离的方法是：

I,____________________________________________________________________I.

变式1数轴上表示5和-1的点之间的距离是.

例2数轴上点M到原点的距离是5,则点M表示的数是（）

A.5B.-5C.5或-5D.不能确定

例3数轴上与+2的点距离3个单位长度的点有个，它们分别是.

变式2数轴上与原点距离是5的点有个，表示的数是.

变式3在数轴上与表示数4的点距离2个单位长度的点表示的数是（）

A.-2B.2C.6D.2或6

变式4在数轴上，到表示-5的点的距离等于5个单位的点所表示的数是（）

A.10B.-10C.0或-10D.-10或10

例4数轴上点A和点B表示的数分别是-1和3,点P到A、B两点的距离之和为6,则点P表示的数是

（）

-I[I]I!I!，>

-5-4-3-2-1012345

A.-3B.-3或5C.-2D.-2或4

变式5数轴上点M与点N表示的数分别是5和-2,点P到点M、N两点的距离之和为10,则点P所在

的点表示的数是.

例5数轴上点A表示的数是小点B表示的数是6,则A、B两点的距离是,A、B两点的

中点是.若“=2,b=-4,那么A、B两点的中点是.

A

bOa

,【方法总结】数轴上计算两点中点的方法是.!

I_________________________________________________________________________________________________________________________________________________

例6数轴上有A、B、C三点，A、B两点所表示的数如图所示，若BC=2,则C点表示的数是,

AC的中点所表示的数是.

AB

--------：--------1--------1--------1--------i--------1--------!--------1---A

01234567

变式6如下图所示，A、B两点的距离是,A、B的中点所表示的数是.

II।

-8-6-4-2024681012

题型三］数轴上的动点问题

例1一只蚂蚁沿数轴从点A向右爬5个单位长度到达点B,点B表示的数是-2,则点A所表示的数是

（）

A.5B.3C.-3D.-7

i【方法总结】右+左；

।________________________________________________________________________________________________!

例2如图，在数轴上，点A表示的数是-2,将点A沿数轴正方向向右移动4个单位长度得到点P,则点

P表示的数是（）

----------1-----------------1------------------------------

A0

A.4B.3C.2D.-2

变式1在数轴上，点A表示-2,从A点出发，沿数轴向右移动3个单位长度到达B点，则点B表示的

数是.

变式2数轴上一动点A向左移动3个单位长度到达点B,再向右移动6个单位长度到达点C,若C表示

的数为3,则点A表示的数为（）

A.6B.0C.-6D.-2

题型四［相反数的定义

例1下列说法正确的是（）

A.符号相反的两个数互为相反数

B.一个数的相反数一定是正数

C.一个数的相反数一定比这个数本身小

D.一个数的相反数的相反数等于原数

例2+5的相反数是；的相反数是-2.3；-1：与互为相反数.

变式1如果一个数与-2021互为相反数，那么这个数是.

变式2下列各数中，3的相反数的倒数是()

A.3B.-3C.1D.-1

33

题型五］相反数的应用

例1若〃、6互为相反数，则a+b-2的值为.

例2有理数〃向左移动4个单位得到a的相反数，则a的值是.

变式1若a,6互为相反数，则a(a+6)的值为.

例3如图所示，已知A,B,C,D四个点在一条没有标明原点的数轴上.

~RCD*

(1)若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为；

(2)若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为；

(3)若点A和点D表示的数互为相反数，则在数轴上表示出原点O的位置.

变式2如图，图中数轴的单位长度为1.请回答下列问题：

】©■I▲1，，I1।，1।一

DEAC.B

(1)如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？

(2)如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C、D表示的数是多少？

作业一数轴的认识及应用

I.下列说法中错误的是（）

A.规定了原点、正方向和长度的直线叫数轴

B.数轴上的原点表示数零

C.在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大

D.所有的有理数都可以用数轴上的点表示

2.如图，数轴上被墨水遮盖的数可能是（）

-3^-10P

A.-3.2B.-3C.-2D.-0.5

3.如图，数轴上蚂蚁所在点表示的数可能为（)

________1K.

0

A.3B.0C.-1D.-2

4.如图，在数轴上，注明了四段的范围，若某段上有两个整数，则这段是（)

①②③④

此、止亡

-2.3-1.10.11.32.5

A.段①B.段②C.段③D.段④

5.数轴上表示-6和4的点分别是A和B,则线段AB的长度是（）

A.-2B.2C.-10D.10

6.如图所示，A,B两点在数轴上，点A对应的数为2.若线段AB的长为3,则点B对应的数为（）

BA

-——i------------►

0?

A.-1B.-2C.-3D.-4

7.在数轴上距离原点6个单位长度的点所表示的数是（）

A.6B.-6C.6或-6D.3或-3

8.在数轴上与表示-3的点的距离等于5的点所表示的数是.

9.在数轴上，到表示-5的点的距离等于5个单位的点所表示的数是.

10.数轴上有A、B、C三点,A、B两点所表示的数分别为0和6,若BC=4,则AC的中点所表示的数是.

11.己知A,B是数轴上两点，点A在原点左侧且距原点20个单位，点B在原点右侧且距原点100个单位.

—।------------------------------1-►

.4B

（1）点A表示的数是：；点B表示的数是：.

（2）A,B两点间的距离是个单位，线段AB中点表示的数是.

作业二数轴的动点问题

1..若一个点在数轴上从原点处向左移动3个单位长度，再向右移动5个单位长度，此时终点所表示的数是

2.数轴上点A表示的数是-3,将点A在数轴上平移7个单位长度得到点B,则平移后点B表示的数是.

3.点A在数轴上距离原点3个单位长度，将A向右移动4个单位长度，再向左移动7个单位长度，此时点

A表示的数是.

作业三相反数的定义

1.下面说法正确的是（)

A.0没有相反数B.符号相反的数互为相反数

C.一个数和它的相反数可能相等D.正数与负数互为相反数

2.的相反数为（)

2021

C.]D.1

A.2021B.-2021

20212021

3.-（-6）的相反数是（)

B.1

A.-1C.-6D.6

66

4.下列各组数中，互为相反数的是（)

A.-5与-(+5)B.-8与-(-8)C.+(-8)与-(+8)D.8与-(-8)

5.相反数等于它本身的数是,

作业四相反数的应用

1.若4、〃互为相反数，则—________•

2.若a、。互为相反数，则2(〃+b)-3的值为（)

A.-1B.-3C.1D.2

3.有理数小6在数轴上的位置如图所示.

••・>

h0a

（1）在数轴上分别用A、B两点表示-a,-6.

（2）若数匕与-6表示的点相距20个单位长度，则匕与功表示的数分别是什么？

（3）在（2）的条件下，若数。表示的点与数6的相反数表示的点相距5个单位长度，则〃与-a表示的

数是多少？

第3讲绝对值及其应用

I.一般地，数轴上表示数a的点与的距离叫做数a的绝对值，记作.

2.正数的绝对值是,负数的绝对值是,0的绝对值是.

即当a>0时，同=口口;当a<0时，a=『；|当a=0时，a=

【注意】：绝对值等于它本身的数是.所以若时=a,那么a就是非负数；若|a|=-a,那么。就是

非正数.

一|绝对值的定义

例1下列说法：

①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于本身的数只有正数；③不相等的两个数绝对值不相等;

④绝对值相等的两数一定相等；⑤只有负数的绝对值是它的相反数；⑥任何一个有理数的绝对值都不是负

数.

其中正确的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

例2下列说法中正确的是（）

A.若|a|=|b|,则a-b

B,若同=依，则a,6互为相反数

C.-I例的绝对值一定是负数

D.若一个数小于它的绝对值，则这个数一定是负数

变式1在数轴上，下面说法中不正确的是（)

A.两个有理数，绝对值小的离原点近

B.大数对应的数在右边

C.两个负数，较大的数对应的点离原点近

D.两个有理数，大数离原点近

变式2下列说法中，正确的有（）

①负数没有绝对值；②绝对值最小的有理数是0；③任何数的绝对值都是非负数；④互为相反数的两个

数的绝对值相等.

个B.2个C.3个D.4个

题型二］绝对值的计算

例1计算：+|-3.7|=卫；0=41--3.3包；|一+（1.75=口一+p.75也.

52

亦式1写出下列各数的绝对值：6,-3.5,0,_,二，41.2,兀

211

例2若冲=5,|y|=2且xVO,y>0,贝（Jx+y=（）

A.7B.-7C.3D.-3

例3如果同=4,依=2,S.\a+b\=a+b,则的值是.

变式2若凶二3,|y|=l,则x+y包.

变式3若凶=4,y是5的相反数，则x+y=_H

变式4若〃?满足何+2|=3,则根的取值是.

例4如果|3〃|=-3〃，则〃一定是（）

A.非正数B.负数C.非负数D.正数

变式5若|a|=-a,则a的值不可以是（）

A.2B.-5C.0D.-0.5

题型三］比较大小

例在有理数-1,-1,0,2中，最小的数是（

1)

2

0B,-1c.

A.-1D.2

2

例2下列比较有理数的大小，正确的是（）

A.-105>0B.-0.0001<-J_C.1120192020

____>-____----<-----

102019202020182019

变式1下列各数中，比-2021小的是（）

A.-2022B.2021C.0D.-0.1

例3已知。>0,Z?<0,且同〈依，则下列关系正确的是（）

A.b<-a<a<-bB.-a<b<a<-bC.-a<b<-b<aD.b<a<-b<-a

i【方法总结】比较大小我们可以使用代值的方法.

I______________________________________________

变式2有理数a,6在数轴上的对应点的位置如图所示，把“、b、-a、-b、0按照从小到大的顺序排列,

正确的是（）

a0b-

A.-a<a<0<-b<bB.a<-a<0<-b<bC.-b<a<0<-a<bD.a<0<-a<b<-b

1

变式3若0V〃2V1,m、m?、的大小关系是（)

e

191

A.m<m2<一B.nr<m<一C.L：m<nvD.-<m2<m

mmmm

题型四］绝对值的化简

例1已知-1SE2,则化简代数式3层2小+1］的结果是（）

A.-4x+5B.4x+5C.4x-5D.-4x-5

【方法总结】绝对值的化简主要是看绝对值内的亚鱼拄，若为正则直接去绝对值，若为负则加上负号.

变式1当1<XV5时，化简区1|+七6|=.

例2如图，化简代数式族-川-匠1|+|6+2|的结果是.

-2-1012

【方法总结】在数轴上，左-右＜0,右-左＞0.

例3有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示：

b・•a•c••A

01

化简：|〃+例・族・1|-|6F-C|-|1-C|=.

变式2已知人方、c的大致位置如图所示：化筒|。+讣|小w结果是.

baoc

变式3数轴上，有理数a、b、-a、c的位置如图，则化简m+c|+m+b|+|c出的结果为（）

------1---------------1------,--------1-------.----------►

a00-ac

A.2a+2cB.2a+2bC.2c-2bD.0

变式4已知a、b、c的位置如图所示，化简|a+6Hc-a|+|b+2c|=.

~ca0b

|绝对值的应用

例1代数式|x+2|+H|的最小值等于.

例2若“为有理数，贝l」|a-3|+|a+4|的最小值是,|a+2H小1|的最大值是.

【方法总结】l.|x-a|+|x也有最小值，可以看做是数轴上的点到。、b的距离之和，那么当介于a、b之间i

时，就有最小值同+|例.；

2口同心出有最大值，可以看做是数轴上的点到a、b的距离之差，那么当位于a,b之外时，就有最小i

大值|a-例.i

变式1|x-6|+|x-l|的最小值是.

变式2求卬2|+岳7|的最小值是；区2卜层7|的最大值是.

变式3求Ml|+|x+4|的最小值是.

例3若H和，那么H+性的取值不可能是（

)

ab

A.-2B.0C.1D.2

制A已知mb,c为有理数且9?存0,则］_］++口=.

例4"a~c_____

变式4已知小b为非零有理数，则13+日的值为（）

ah

A.±2B.0C.±2或0D.2

变式5已知囱1=1，那么曰+国+乜=」

abcabc-

题型六］绝对值非负性的应用

例5己知（x-l）2+|y+2|=0,则*=卫，y=JJ.

【方法总结】非负数+非负数=0,那么它们应该都等于0.

例6已制（x—3）2可2x_3y_3=0,则工=卫，＞=口

例7己知与（x-2）2互为相反数，则山^二卫.

变式6已知|（2x-2）f+x+y-3=0,则x包，＞=_.

变式7已知（y-l）2与［x+y-4|互为相反数，则3x-y=3.

作业一绝对值的定义

I.下列说法正确的是（

A.最小的正整数是1B.一个数的相反数一定比它本身小

C.绝对值等于它本身的数一定是正数D.一个数的绝对值一定比0大

2.下列说法不正确的是（)

A.0既不是正数，也不是负数B.0的绝对值是0

C.一个有理数不是整数就是分数D.1是绝对值最小的正数

3.一个负数在增大时，它的绝对值在.（填"增大”或"减小”）；一个正数在增大时，它的绝对值在

（填“增大”或“减小”）.

作业二绝对值的计算

1.-5的绝对值是（）

C.1D.-J

A.—5B.5

55

2.k2|等于（）

D.1

A.2B.—2C.±2

2

_1

3.的相反数等于（)

2

B.-1D.1

A.-2C.2

22

4.若|x|二l,|y|=5,且x>0,y<0,则工+尸______.

5.若|x|=1,|v|=5,则x+y=_--------

6.若|%|=2,|vl=3,且xv>0,则尤+尸

7.如果网=-左，则x一定是（）

A.非正数B.负数c.非负数D.正数

8.如果|〃+l|=a+l,贝I〃+1一定是()

A.非正数B.负数c.非负数D.正数

作业三比较大小

1.下列四个数中，最小的数是（）

A.-3B.0C.-1D.7

2.下列各数，依照从大到小顺序排列的是（）

A.20,-6,-2.13B.13,-2.6,-20C.-2.6,-13,20D.20,-13.6

3.如果°、匕都是实数，且a<b,那么下列结论中，正确的是（）

Aaic.”

A._<1B.-a+l>-hD

~b«~b-IVPI

4.如图，数。在原点的左边，则“、-“、0的大小关系正确的是（）

----11-------->

a--0

A.-a<O<aB.-a<a<0C.a<O<-aD.a<-a<0

5.67,人在数轴上位置如图所示，则a,'z,的大小顺序是（)

b0a

A.-a<b<a<-bB.b<-a<-b<aC.-a<-b<b<aD.b<-a<a<-b

作业四绝对值的化简

1,数a的位置如图，化简同+|。+4|=.

a

_______।11t.i।।।.

-2-1012

2.实数〃，〃在数轴上的位置如图所示，则化简代数式|〃+外。的结果是.

-------♦•----------•----->

a0--------------h

3.已知〃、b、c的大致位置如图所示：化简出结果是___.

baoc

作业五绝对值的应用

1.代数式卜+1|+卬2|的最小值等于.

2.代数式|a+2|+|a-3|的最小值是,|〃+2困-3|的最大值是.

3.已知a,b,c为非零有理数，则fl+11+1的值为

a万|c|-------

作业六绝对值非负性的应用

1.已知(。+1)2+归一2|=0,则。=卫，h=U.

2.已知(x-l)2与|x+y-7|互为相反数，则户口y=c.

3.已知(x_l)2+|y_3|=0,则2x—y包.