2015年05月10日paul的初中数学组卷一次函数解析

2015年05月10日paul的初中数学组卷一次函数精选

一.解答题(共30小题)

1.(2012•吉林)在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a,b

情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校;

情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进.

(1)情境a,b所对应的函数图象分别是、(填写序号)；

(2)请你为剩下的函数图象写出一个适合的情境.

2.(2012•徐州)如图1,A、B、C、D为矩形的四个顶点，AD=4cm,AB=dcm.动点E、

F分别从点D、B出发，点E以lcm/s的速度沿边DA向点A移动，点F以lcm/s的速度沿

边BC向点C移动，点F移动到点C时，两点同时停止移动.以EF为边作正方形EFGH,

点F出发xs时，正方形EFGH的面积为yen?.已知y与x的函数图象是抛物线的一部分，

如图2所示.请根据图中信息，解答下列问题：

(1)自变量x的取值范围是；

(2)d=,m=,n=；

(3)F出发多少秒时，正方形EFGH的面积为16cm2?

3.(2015•峰城区校级模拟)甲船从A港出发顺流匀速驶向B港，行至某处，发现船上一救

生圈不知何时落入水中，立刻原路返回，找到救生圈后，继续顺流驶向B港.乙船从B港

出发逆流匀速驶向A港.已知救生圈漂流的速度和水流速度相同；甲、乙两船在静水中的

速度相同.甲、乙两船到A港的距离yi、y2(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象如图

所示.

(1)写出乙船在逆流中行驶的速度；

(2)求甲船在逆流中行驶的路程；

(3)求甲船到A港的距离yi与行驶时间x之间的函数关系式;

(4)求救生圈落入水中时，甲船到A港的距离.

4.(2015•大连模拟)一条笔直的公路上依次有A、B、C三地，甲、乙两车同时从B地出

发，匀速驶往C地.乙车直接驶往C地，甲车先到A地取一物件后立即调转方向追赶乙车

(甲车取物件的时间忽略不计).已知两车间距离y(km)与甲车行驶时间x(h)的关系图

象如图1所示.

(1)求两车的速度分别是多少？

(2)填空：A、C两地的距离是：,图中的t=

(3)在图2中，画出两车离B地距离y(km)与各自行驶时间x(h)的关系图象，并求两

车与B地距离相等时行驶的时间.

图1图2

5.(2015•温州模拟)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标

分别为(12,0)、(12,6),直线y=-卫x+b与y轴交于点P,与边OA交于点D,与边BC

交于点E.

(1)若直线y=-居+b平分矩形OABC的面积，求b的值；

2

(2)在(1)的条件下，当直线y=-*+b绕点P顺时针旋转时，与直线BC和x轴分别交

于点N、M,问：是否存在ON平分/CNM的情况？若存在，求线段DM的长；若不存在，

请说明理由；

(3)在(1)的条件下，将矩形OABC沿DE折叠，若点O落在边BC上，求出该点坐标；

若不在边BC上，求将(1)中的直线沿y轴怎样平移，使矩形OABC沿平移后的直线折叠，

点O恰好落在边BC上.

6.(2014•天津)在平面直角坐标系中，O为原点，直线1：x=l,点A(2,0),点E,点E

点M都在直线1上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P.

(I)若点M的坐标为(1,-1),

①当点F的坐标为(1,1)时，如图，求点P的坐标：

②当点F为直线1上的动点时;记点P(x,y),求y关于x的函数解析式.

(H)若点M(l,m),点F(l,t),其中txO,过点P作PQ_L1于点Q,当OQ=PQII寸，

试用含t的式子表示m.

7.(2014•黑龙江)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上,

顶点B在x轴正半轴上，OA、OB的长分别是一元二次方程x2-7x+12=0的两个根(OA>

OB).

(1)求点D的坐标.

(2)求直线BC的解析式.

(3)在直线BC上是否存在点P,使4PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐

标；若不存在，说明理由.

y

D

8.(2014•新疆)如图，直线y=->|x+8与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点

出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每

秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止

运动，连接PQ，设运动时间为t(s)(0〈区3).

(1)写出A,B两点的坐标；

(2)设aAQP的面积为S,试求出S与t之间的函数关系式；并求H1当t为何值时，^AQP

的面积最大？

(3)当t为何值时，以点A,P,Q为顶点的三角形与△ABO相似，并直接写出此时点Q

的坐标.

9.(2014•聊城)如图，在平面直角坐标系中，AAOB的三个顶点的坐标分别是A(4,3),

O(0,0),B(6,0).点M是OB边上异于O,B的一动点，过点M作MN〃AB,点P

是AB边上的任意点，连接AM,PM,PN,BN.设点M(x,0),Z\PMN的面积为S.

(1)求出OA所在直线的解析式，并求出点M的坐标为(1,0)时，点N的坐标；

(2)求出S关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求出S的最大值；

(3)若S：SAANB=2：3时，求出此时N点的坐标.

10.(2014•虎丘区校级一模)甲、乙两车分别从A地将一批物品运往B地，再返回A地，

图6表示两车离A地的距离s(千米)随时间t(小时)变化的图象，己知乙车到达B地后

以30千米/小时的速度返回.请根据图象中的数据回答：

(1)甲车出发多长时间后被乙车追上？

(2)甲车与乙车在距离A地多远处迎面相遇？

(3)甲车从B地返回的速度多大时，才能比乙车先回到A地？

11.(2014•江阴市二模)如图，A、B两点分别在x轴和y轴上，且OA=OB=&,动点P、

Q分别在AB、OB上运动，运动时，始终保持/OPQ=45。不变，设PA=x,OQ=y.

(备用图)

(1)求y与x的函数关系式.

(2)已知点M在坐标平面内，是否存在以P、Q、0、M为顶点的四边形是菱形？若存在,

求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

(3)已知点D在AB上，且ADW,试探究：当点P从点A出发第一次运动到点D时，

2

点Q运动的路径长为多少？

12.(2014•武义县模拟)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长是4,点A,C

分别在y轴、x轴的正半轴上，动点P从点A开始，以每秒2个单位长度的速度在线段AB

上来回运动.动点Q从点B开始沿B玲C玲O的方向，以每秒1个单位长度的速度向点O运

动.P,Q两点同时出发，当点Q到达点O时，两点同时停止运动.设运动时间为t秒.

(I)当t=l时，求PQ所在直线的解析式.

(2)当点Q在BC上运动时，若以P,B,Q为顶点的三角形与AOAP相似，求t的值.

(3)在P,Q两点运动的过程中，若aOP、的面积为6,请直接写出所有符合条件的P点

坐标.

13.（2014•惠山区校级模拟）如图①，将ABCD置于直角坐标系中，其中BC边在x轴上

（B在C的左边），点D坐标为（0,4）,直线MN：y=1x-6沿着x轴的负方向以每秒1

个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被DABCD截得的线段长度为m,平移时间为t,

m与t的函数图象如图②.

（1）填空：点C的坐标为；在平移过程中，该直线先经过B、D中的哪一

点？；（填"B"或"D"）

（2）点B的坐标为,n=,a=；

（3）求图②中线段EF的解析式；

（4）t为何值时，该直线平分ABCD的面积？

14.（2014•新余模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴、y轴相交于A,

B两点，OA、OB的长分别是方程X?-14x+48=0的两根，且OAVOB.

（1）求点A,B的坐标.

（2）过点A作直线AC交y轴于点C,/I是直线AC与x轴相交所成的锐角，sin/1=看

求直线AC的解析式.

（3）若点M（m,m-5）在aAOC的内部，求m的取值范围.

15.（2014春•思明区校级期末）模型建立：如图1,等腰直角三角形ABC中，NACB=90。,

CB=CA,直线ED经过点C,过A作ADJ_ED于D,过B作BEJ_ED于E.

求证：ABEC^ACDA.

模型应用：

（1）已知直线h:y/x+4与y轴交与A点，将直线1,绕着A点顺时针旋转45。至12,如图

3

2,求12的函数解析式.

（2）如图3,矩形ABCO,O为坐标原点，B的坐标为（8,6）,A、C分别在坐标轴上，P

是线段BC上动点，设PC=m,已知点D在第一象限，且是直线y=2x-6上的一点，若4APD

是不以A为直角顶点的等腰RtA,请直接写出点D的坐标.

16.（2013秋•武侯区校级期末）如图：直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，圆’,

0A2

点C（x,y）是直线y=kx+3上与A、B不重合的动点.

（1）求直线y=kx+3的解析式；

（2）当点C运动到什么位置时aAOC的面积是6；

（3）过点C的另一直线CD与y轴相交于D点，是否存在点C使4BCD与aAOB全等？

若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.

17.（2013秋•金溪县校级期末）如图，一次函数安一«xZ丐的函数图象与x轴、y轴分

别交于点A、B,以线段AB为直角边在第一象限内作RtaABC,且使NABC=30。；

（1）如果点P（m,登）在第二象限内，试用含m的代数式表示四边形AOPB的面积，并

2

求当4APB与4ABC面积相等时m的值；

（2）如果AQAB是等腰三角形并且点Q在坐标轴上，请求出点Q所有可能的坐标；

（3）是否存在实数a,b使一次函数产一近x+V5»y=ax+b的图象关于直线y=x对称？

若存在，求出白殳的值；若不存在，请说明理由.

a+b

18.（2013秋•金溪县校级期末）一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A（8,0）和点B

（0,6）.

（1）确定此一次函数的解析式.

（2）求坐标原点O到直线AB的距离.

（3）点P是线段AB上的个动点，过点P作PM垂直于x轴于M,作PN垂直于y轴于

N,记L=PM+PN,问L是否存在最大值和最小值？若存在，求出此时P点到原点O的距离,

若不存在请说明理山.

19.（2013秋•江都市期末）已知直线y=->|x+4与x轴和y轴分别交与B、A两点，另一直

线经过点B和点D（11,6）.

（1）求AB、BD的长度，并证明4ABD是直角三角形；

（2）在x轴上找点C,使4ACD是以AD为底边的等腰三角形，求出C点坐标；

（3）一动点P速度为1个单位/秒，沿A--B--D运动到D点停止，另有一动点Q从D

点出发，以相同的速度沿D--B--A运动到A点停止，两点同时出发，PQ的长度为y

（单位长），运动时间为t（秒），求y关于t的函数关系式.

20.（2014春•海口期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的AB边在x轴上,

AB=3,AD=2,经过点C的直线y=x-2与x轴、y轴分别交于点E、F.

（1）求：①点D的坐标；

②经过点D,且与直线FC平行的直线的函数表达式；

（2）直线y=x-2上是否存在点P,使得APDC为等腰直角三角形？若存在，求出点P的

坐标；若不存在，请说明理由.

（3）在平面直角坐标系内确定点M,使得以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形,

请直接写出点M的坐标.

21.（2013・绥化）2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震.某市接

到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾

区.乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）.图

中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程y甲（千米）、yz（千米）与时间x（小时）

之间的函数关系对应的图象.请根据图象所提供的信息，解决下列问题：

（1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了小时；

（2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区.请问甲组的汽车在排除故障时，距出发

点的路程是多少千米？

（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第诙相遇时约定此后两车之间的路程不超过25

千米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定？

22.（2013•黔东南州）某校校园超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，乙品牌

的进货单价是甲品牌进货单价的2倍，考虑各种因素，预计购进乙品牌文具盒的数量y（个）

与甲品牌文具盒的数量x（个）之间的函数关系如图所示.当购进的甲、乙品牌的文具盒中，

甲有120个时，购进甲、乙品牌文具盒共需7200元.

（1）根据图象，求y与x之间的函数关系式；

（2）求甲、乙两种品牌的文具盒进货单价；

（3）若该超市每销售1个甲种品牌的文具盒可获利4元，每销售1个乙种品牌的文具盒可

获利9元，根据学生需求，超市一老板决定，准备用不超过6300元购进甲、乙两种品牌的文

具盒，且这两种品牌的文具盒全部售出后获利不低于1795元，问该超市有几种进货方案？

哪种方案能使获利最大？最大获利为多少元？

23.(2013•南宁)在一条笔直的公路上有A、B两地，甲骑自行车从A地到B地；乙骑自

行车从B地到A地，到达A地后立即按原路返回，如图是甲、乙两人离B地的距离y(km)

与行驶时x(h)之间的函数图象，根据图象解答以卜问题：

(1)写出A、B两地之间的距离；

(2)求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；

(3)若两人之间保持的距离不超过3km时，能够用无线对讲机保持联系，请直接写出甲、

乙两人能够用无线对讲机保持联系时x的取值范围.

J(km)

24.(2013・绥化)为了迎接"十•一"小长假的购物高峰.某运动品牌专卖店准备购进甲、乙

两种运动鞋.其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：

运动鞋甲乙

价格

进价(元/双)mm-20

售价(元/双)2_4_0____________160

己知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同.

(1)求m的值；

(2)要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润(利润=售价-进价)不少于21700

元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？

(3)在(2)的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每

双优惠a(50<a<70)元出售，乙种运动鞋价格不变.那么该专卖店要获得最大利润应如

何进货？

25.（2013•徐州）为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自1月1日起对市区

民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如表所示：

每月用气量（T£/H?）~

不超出75m3的部分2.5

超出75m3不超出125m3的部分a

里省」25m3的部分a+0.25

（1）若甲用户3月份的用气量为60m3,则应缴费元；

（2）若调价后每月支出的燃气费为丫（元），每月的用气量为x（n?）,y与x之间的关系如

图所示，求a的值及y与x之间的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，若乙用户2、3月份共用气175m3（3月份用气量低于2月份用气

量），共缴费455元，乙用户2、3月份的用气量各是多少？

26.（2013•常州）某饮料厂以300千克的A种果汁和240千克的B种果汁为原料，配制生

产甲、乙两种新型饮料，已知每千克甲种饮料含0.6千克A种果汁，含0.3千克B种果汁；

每千克乙种饮料含0.2千克A种果汁，含0.4千克B种果汁.饮料厂计划生产甲、乙两种新

型饮料共650千克，设该厂生产甲种饮料x（千克）.

（1）列出满足题意的关于x的不等式组，并求出x的取值范围；

（2）已知该饮料厂的甲种饮料销售价是每1千克3元，乙种饮料销售价是福1千克4元，

那么该饮料厂生产甲、乙两种饮料各多少千克，才能使得这批饮料销售总金额最大？

27.（2013•维扬区校级二模）如图，已知直线y=1x+4与x轴、y轴分别相交于点A、B,

点C从O点出发沿射线OA以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时点D从A点出发沿

AB以每秒1个单位长度的速度向B点匀速运动，当点D到达B点时C、D都停止运动.点

E是CD的中点，直线EFJ_CD交y轴于点F,点E'与E点关于y轴对称.点C、D的运

动时间为t（秒）.

（1）当t=l时，AC=，点D的坐标为；

（2）设四边形BDCO的面积为S,当0<t<3时，求S与t的函数关系式；

（3）当直线EF与AAOB的一边垂直时，求t的值；

（4）当aEFE'为等腰直角三角形时，直接写出t的值.

28.（2012•路南区一模）一列快车从甲地驶往乙地，•列慢车从乙地驶往甲地，两车同时H1

发.设慢车行驶的时间为x（h）,两车之间的距离为y（km）,图中的折线表示y与x之间

的函数关系.根据题中所给信息解答以下问题：

（1）甲、乙两地之间的距离为km；图中点C的实际意义为：

:慢车的速度为，快车的速度为:

（2）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，以及自变量x的取值范围；

（3）若在第一列快车与慢车相遇时，第二列快车从乙地出发驶往甲地，速度与第一列快车

相同.请直接写出第二列快车出发多长时间，与慢车相距200km.

（4）若第三列快车也从乙地出发驶往甲地，速度与第一列快车相同.如果第三列快车不能

比慢车晚到，求第三列快车比慢车最多晚出发多少小时？

29.（2012♦金东区一模）已知：如图，直线y=kx+b与x轴交于点A（8,0）,与y轴交于

点B（0,16）,与直线y=x相交于点C.P（0,t）是y轴上的一个动点，过点P作直线1

垂直y轴，与直线y=x相交于点D,与直线y=kx+b相交于点E,在直线1下方作一个等腰

直角三角形DEF,使DF=DE,ZEDF=90".

（1）求直线AB的解析式和C点的坐标；

（2）当点F落在x轴上时，求t的值；

（3）当t为何值时，以A,E,P,F为顶点的四边形是梯形？

30.(2012秋•深圳期末)如图①，以四边形AOCD的顶点O为原点建立直角坐标系，点A、

C、D的坐标分别为(0,2)、(2,0)、(2,2),点P(m,0)是x轴上一动点，m是大于0

的常数，以AP为•边作正方形APQR(QR落在第一象限)，连接CQ.

(1)请判断四边形AOCD的形状，并说明理由：

(2)连接RD,请判断4ARD的形状，并说明理由：

(3)如图②，随着点P(m,0)的运动，正方形APQR的大小会发生改变，若设CQ所在

直线的表达式为y=kx+b(kxO),求k的值.

2015年05月10日paul的初中数学组卷一次函数精选

参考答案与试题解析

解答题（共30小题）

1.（2012•吉林）在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a,b

两个情境：①②③

情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校;

情境b：小芳从家出发，走了•段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进.

（1）情境a,b所对应的函数图象分别是③、①（填写序号）；

（2）请你为剩下的函数图象写出•个适合的情境.

考点：函数的图象.

专题：推理填空题；开放型.

分析：（1）根据图象，一段一段的分析，再一个一个的排除，即可得出答案；

（2）把图象分为三部分，再根据离家的距离进行叙述，即可得出答案.

解答：解：（1）•.•情境a：小芳离开家不久，即离家一段路程，此时①②③都符合，

发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本，即又返回家，离家的距离是

0,此时②③都符合，

又去学校，即离家越来越远，此时只有③返回，

.••只有③符合情境a；

•••情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进，即离

家越来越远，且没有停留，

只有①符合，

故答案为：③，①.

（2）情境是小芳离开家不久，休息了一会儿，又走回了家.

点评：主要考查学生的观察图象的能力，同时也考查了学生的叙述能力，用了数形结合思想,

题型比较好，但是一道比较容易出错的题目.

2.（2012•徐州）如图1,A、B、C、D为矩形的四个顶点，AD=4cm,AB=dcm.动点E、

F分别从点D、B出发，点E以lcm/s的速度沿边DA向点A移动，点F以lcm/s的速度沿

边BC向点C移动，点F移动到点C时，两点同时停止移动.以EF为边作正方形EFGH,

点FHI发xs时，正方形EFGH的面积为yen?.已知y与x的函数图象是抛物线的一部分，

如图2所示.请根据图中信息，解答下列问题：

（1）自变量x的取值范围是04x44；

（2）d=3,m=2,n=25；

(3)F出发多少秒时，正方形EFGH的面积为16cm2?

图1图2

考点：动点问题的函数图象.

专题：压轴题；动点型.

分析：(1)根据矩形的对边相等求出BC的长，然后利用路程、速度、时间的关系求解即

可；

(2)根据点的运动可知，当点E、F分别运动到AD、BC的中点时，正方形的面积

最小，求出d、m的值，再根据开始于结束时正方形的面积最大，利用勾股定理求出

BD的平方，即为最大值n；

(3)过点E作EILBC垂足为点I,则四边形DEIC为矩形，然后表示出EI、IF,再

利用勾股定理表示出EF2,根据正方形的面积得到y与x的函数关系式，然后把y=16

代入求出x的值，即可得到时间.

解答：解：(1)：BC=AD=4,4+1=4,

:.0<x<4；

故答案为：0<x<4；

(2)根据题意，当点E、F分别运动到AD、BC的中点时，

EF=AB最小，所以正方形EFGH的面积最小，

止匕时，d2=9,m=4+2=2,

所以，d=3,

根据勾股定理，n=BD2=AD2+AB2=42+32=25,

故答案为：3,2,25；

(3)如图，过点E作EILBC垂足为点I.则四边形DEIC为矩形，

；.EI=DC=3,CI=DE=x,

：BF=x,

；.IF=4-2x,

在RtZXEFI中，EF2=EI2+IF2=32+(4-2x)2,

是以EF为边长的正方形EFGH的面积，

/.y=32+(4-2x)2,

当y=16时，32+(4-2x)2=16,

整理得，4x2-16x+9=0,

解得，X2上近

22

•.•点F的速度是lcm/s,

AF出发生7或上亚秒时，正方形EFGH的面积为16cm2.

22

点评：本题考查了动点问题的函数图象,（2）根据点的移动，结合二次函数图象找出当EF=AB

时正方形的面积为最小值是解题的关键，（3）求出正方形EFGH的面积的表达式是解

题的关键.

3.（2015•峰城区校级模拟）甲船从A港出发顺流匀速驶向B港，行至某处，发现船上一救

生圈不知何时落入水中，立刻原路返回，找到救生圈后，继续顺流驶向B港.乙船从B港

出发逆流匀速驶向A港.已知救生圈漂流的速度和水流速度相同；甲、乙两船在静水中的

速度相同.甲、乙两船到A港的距离yi、y2（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象如图

所示.

（1）写出乙船在逆流中行驶的速度；

（2）求甲船在逆流中行驶的路程；

（3）求甲船到A港的距离力与行驶时间x之间的函数关系式；

（4）求救生圈落入水中时，甲船到A港的距离.

考点：一次函数的应用.

专题：压轴题.

分析：（1）由速度=路程+时间列式求解；

（2）因为甲船、乙船在逆流中行驶的速度相同，只需由图示得出甲船在逆流中行驶

的时间.

（3）观察图形，要分成3段讨论，每一段中已知两点，可用待定系数法确定一次函

数的解析式.

（4）根据等量关系：救生圈落入水中后，船顺流行驶的路程=船逆流行驶的路程+救

生圈漂流的路程，据此即可解答.

解答：解：(1)乙船在逆流中行驶的速度为6km/h.(2分)

(2)甲船在逆流中行驶的路程为6x(2.5-2)=3(km).(4分)

(3)方法一：

设甲船顺流的速度为akm/h,

由图象得2a-3+(3.5-2.5)a=24,

解得a=9.(5分)

当04x42时，yi=9x.

当2<x<2.5时>设yi=-6x+b|,

把x=2,yi=18代入，得b]=30,

yi=-6x+30,

当2.5<x<3.5时，设yi=9x+b2，

把x=3.5,yi=24代入，得b2=-7.5,

.\yi=9x-7.5.(8分)

方法二：

设甲船顺流的速度为akm/h,

由图象得2a-3+(3.5-2.5)a=24,

解得a=9,(5分)

当04x42时，yi=9x,

令x=2,则yi=18,

当24x42.5时，yi=18-6(x-2),

即yi=-6x+30,

令x=2.5,则yi=15,

当2.54x43.5时,yi=l5+9(x-2.5),

yi=9x-7.5.(8分)

(4)水流速度为(9-6)+2=1.5(km/h),

设甲船从A港航行x小时救生圈掉落水中.

根据题意，得9(2-x)=1.5(2.5-x)+3,

解得x=1.5,

1.5x9=13.5,

即救生圈落水时甲船到A港的距离为13.5km.(10分)

参考公式：

船顺流航行的速度=船在静水中航行的速度+水流速度，船逆流航行的速度=船在静水

中航行的速度-水流速度.

点评：此题为一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，要求学生要提高阅读理解水平，

从中挖掘有用信息.

4.(2015•大连模拟)•■条笔直的公路上依次有A、B、C三地，甲、乙两车同时从B地出

发，匀速驶往C地.乙车直接驶往C地，甲车先到A地取一物件后立即调转方向追赶乙车

(甲车取物件的时间忽略不计).已知两车间距离y(km)与甲车行驶时间x(h)的关系图

象如图1所示.

(1)求两车的速度分别是多少？

(2)填空：A、C两地的距离是：300km,图中的t=工金

-3―

(3)在图2中，画出两车离B地距离y(km)与各自行驶时间x(h)的关系图象，并求两

车与B地距离相等时行驶的时间.

图1图2

考点：一次函数的应用.

专题：压轴题；数形结合.

分析：(1)由第一条直线可得出v甲+v乙的值，由第二条直线可得出v甲-v乙的值，继

而联立可得出两车的速度；

(2)根据图象可判断出经过3.5小时候乙到达了C地，从而根据乙的速度可求出A、

C两地的距离，根据A、C的距离及甲的速度可求出t的值；

(3)结合(1)(2)可画出图象，然后分两种情况求解两车与B地距离相等时行驶的

时间.

解答：解：(1)由直线I可得，出v单+v乙=150①；由直线2得，v甲-V乙=30@,

结合①②可得：v甲=90km/小时，v乙=60km/小时；

(2)由直线1、2得，乙运用3.5小时候到达C地，

故B、C之间的距离为：vz.t=3.5x6O210km.

由图也可得：甲用1小时从B到达A,故A、B之间的距离为v甲t=90*l=90km,

综上可得A、C之间的距离为：AB+BC=300km；

甲需要先花1小时从B到达A,然后再花300」。小时从A到达C,

903

从而可得1=@+1」至；

33

(3)甲：当0«区1时，y=90x；

②当1VK2时，y=180-90x；

③当2<xW,y=90x-180：

3

乙：y乙二60x.

由题意可得，当甲从A到B行驶的过程中会出现题意所述情况，

故可得：90-90（t-1）=60t,

解得：小时.

5

答：两车与B地距离相等时行驶的时间为1.2小时.

点评：此题考查了函数的图象及一次函数的应用，难度较大，解答本题的关键是根据图象的

三条线段得出每个拐点的实际意义.

5.（2015•温州模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标

分别为（12,0）、（12,6）,直线y=£x+b与y轴交于点P,与边OA交于点D,与边BC

交于点E.

（1）若直线y=-鸟+b平分矩形OABC的面积，求b的值；

2

（2）在（1）的条件下，当直线y=-'x+b绕点P顺时针旋转时，与直线BC和x轴分别交

2

于点N、M,问：是否存在ON平分NCNM的情况？若存在，求线段DM的长；若不存在，

请说明理由；

（3）在（1）的条件下，将矩形OABC沿DE折叠，若点O落在边BC上，求出该点坐标；

若不在边BC上，求将（1）中的直线沿y轴怎样平移，使矩形OABC沿平移后的直线折叠，

点O恰好落在边BC

上.备用图备用图

考点：一次函数综合题.

专题：综合题；压轴题.

分析：（1）根据直线y=-^x+b平分矩形OABC的面积，知道其必过矩形的中心，然后求

2

得矩形的中心坐标为（6,3）,代入解析式即可求得b值；

（2）假设存在ON平分NCNM的情况，分当直线PM与边BC和边OA相交和当直

线PM与直线BC和x轴相交这两种情况求得DM的值就存在，否则就不存在；

（3）假设沿DE将矩形OABC折叠，点O落在边BC上O'处，连接PO'、00',

得到△OPO'为等边三角形，从而得到NOPD=30。，然后根据（2）知/OPD>30。，

得到沿DE将矩形OABC折叠，点O不可能落在边BC上；若设沿直线y=-2x+a将

2

矩形OABC折叠，点O恰好落在边BC上O'处，连接P'0'、00',则有

P，O'=0P'=a,在RtZiOPD和RtZXOAO'中，利用正切的定义求得a值即可得到

将矩形OABC沿直线折叠，点。恰好落在边BC上；

解答：解：⑴•.•直线y=->|x+b平分矩形OABC的面积，

其必过矩形的中心

由题意得矩形的中心坐标为（6,3）,

.•.3=-&6+b

2

解得b=12；

（2）如图1假设存在ON平分NCNM的情况

①当直线PM与边BC和边0A相交时，过0作OH_LPM于H

：ON平分NCNM,0C1BC,

；.0H=0C=6

由⑴知0P=12,

Z.ZOPM=30°

.,.OM=OP»tan300=4V3

当y=0时，由--^x+12=0解得x=8,

/.0D=8

，DM=8-4愿：

②当直线PM与直线BC和x轴相交时

同上可得DM=8+4«（或由0M=MN解得）：

（3）如图2假设沿DE将矩形OABC折叠，点0落在边BC上O'处连接P0'、

00',则有PO'=0P

由（1）得BC垂直平分OP,...PO'=00'

.•.△0P0z为等边三角形，AZOPD=30°

而由（2）知NOPD>30。

所以沿DE将矩形OABC折叠，点0不可能落在边BC上；

如图3设沿直线丫=-2<+2将矩形OABC折叠，点O恰好落在边BC上O'处

2

连接P'0'、00',则有P'O'=0P'=a

由题意得：CP'=a-6,Z0PD=ZC0r0

在RtaOPD中，tanZOPD^P

OP

4RtAOAO7中，tanZAO1O--也

AO'

...0D-OA,即1§,AO,=9

OPA0’12A0’

在RtZXAP'O'中，由勾股定理得：(a-6)2+92=a2

解得a=H设一丝色

444

所以将直线y=-Wx+12沿y轴向下平移个单位得直线y=-居+空，将矩形OABC

2424

都进行了分类讨论，题目综合性强，难度较大.

6.(2014•天津)在平面直角坐标系中，O为原点，直线1：x=l,点A(2,0),点E,点E

点M都在直线I上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P.

(I)若点M的坐标为(1,-1),

①当点F的坐标为(1,1)时，如图，求点P的坐标；

②当点F为直线1上的动点时，记点P(x,y),求y关于x的函数解析式.

(II)若点M(1,m),点F(l,t),其中50,过点P作PQL于点Q,当OQ=PQ时，

试用含t的式子表示m.

考点：一次函数综合题.

专题：代数综合题；压轴题.

分析:

(I)①利用待定系数法求得直线OF与EA的直线方程，然后联立方程组J，

y=3x-6

求得该方程组的解即为点P的坐标；

②由已知可设点F的坐标是(1,t).求得直线OF、EA的解析式分别是y=tx、直线

EA的解析式为：y=(2+t)x-2(2+t).则tx=(2+t)x-2(2+t),整理后即可得到

y关于x的函数关系式y=x2-2x；

22

(II)同(I),易求P(2-1,2t-2_).则由PQJJ于点Q,得点Q(1,2t-L-),

irinm

2222

则OQ2=l+t2(2-1),PQ=(1-1),所以32(2-上)2=(1-1),化简得

ITITITIT

至U：t(t-2m)(t2-2mt-1)=0,通过解该方程可以求得m与t的关系式.

解答：解：(I)①；点O(0,0),F(1,1),

直线OF的解析式为y=x.

设直线EA的解析式为：y=kx+b(kxO)、

•点E和点F关于点M(1,-1)对称，

AE(1,-3).

又A(2,0),点E在直线EA上，

.(0=2k+b

-3=k+b'

解得(k=3,

[b=-6

二直线EA的解析式为：y=3x-6.

/

•点P是直线OF与直线EA的交点，则|，

Ly=3x-6

解得(x=3,

1y=3

.,.点P的坐标是(3,3).

②由已知可设点F的坐标是(1,t).

，直线OF的解析式为y=tx.

设直线EA的解析式为y=cx+d(c、d是常数，且c#0).

由点E和点F关于点M(1,-1)对称，得点E(l,-2-t)

又点A、E在直线EA上，

.(0=2c+d

I-2-t=c+d'

c=2+t

解得

d=-2(2+t)

直线EA的解析式为:y=(2+t)x-2(2+t).

•点P为直线OF与直线EA的交点，

tx=(2+t)x-2(2+t),即t=x-2.

则有y=tx=(x-2)x=x2-2x；

(II)由(I)可得，直线OF的解析式为y=tx.

直线EA的解析式为y=(t-2m)x-2(t-2m).

•・•点P为直线OF与直线EA的交点，

/.tx=(t-2m)x-2(t-2m),

化简，得x=2-工

IT

十2

Yjy=tx=2t"-.

ID

十+2

，点P的坐标为(2-1,2t-J

ITID

十2

・・・PQJ_1于点Q,得点Q(1,2t-A_),

ID

r.OQ2=l+t2(2-1)2,PQ2=(1-1)2,

ITIT

VOQ=PQ,

A1+t2(2-1)2=(1-1)2,

ITIT

化简，得t(t-2m)(t--2mt-1)=0.

又•.•"()，

二t-2m=0或t2-2mt-1=0,

十、t2-1

解得m匚或m=----.

22t

、2-1、

则m"+■或m=-t---即为所求.

22t

点评：本题考查了一次函数的综合题型.涉及到了待定系数法求•次函数解析式，•次函数

与直线的交点问题.此题难度不大，掌握好两直线间的交点的求法和待定系数法求一

次函数解析式就能解答本题.

7.（2014•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上,

顶点B在x轴正半轴上，OA、OB的长分别是一元二次方程x2-7x+12=0的两个根（OA>

OB）.

（1）求点D的坐标.

（2）求直线BC的解析式.

（3）在直线BC上是否存在点P,使4PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐

标；