【中考压轴】2024年甘肃省定西市中考数学模拟试题（附答案）

2024年甘肃省定西市中考数学模拟试题

学校:姓名：班级:考号：

一、单选题

1.在实数-3.5,-2,0,2中，最小的数是（）

A.-3.5B.-2C.0D.2

2.下列计算正确的是（）

A.a2+a2=a4B.小/=2/

C.ab^a,=a3D.（-2«2）3=-6a6

3.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看做是轴对称图

形的是（）

A.感B.动C.中D.国

x=2ax+by=5

，是方程组{八，的解，则”6的值是（）

{y=1bx+ay=\

A.-1B.2C.3D.4

5.下列命题正确的是（）

A.矩形对角线互相垂直

B.方程x?=14x的解为x=14

C.六边形内角和为540。

D.一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等

6.如图，在43c中，点。在边力3上，BD=2AD,。上〃8c交AC于点E,若线段

DE=4,则8C=()

；后二,中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为

7.把不等式组

-2x-6>-4

B

A.-SoiF

c.

o1D，-2-101

NBOD=53。，过点A作。的切线，则NC=()

A.27°B.37°C.43°D.53°

9.如图，这是一农村民居侧面截图，屋坡AG分别架在墙体的点3,C处，且48=AC,

侧面四边形BDEC为矩形.若测得/产3。=55。，则NA=()

A

Z)'-------------------*E

A.70°B.110°C.125°D.135°

10.如图，正方形ABC。的边长为2cm,动点P,Q同时从点A出发，在正方形的边上,

分别按AfC,A—3—C的方向，都以1c机/$的速度运动，到达点C运动终止,

连接PQ,设运动时间为xs,A4PQ的面积为yc/,则下列图象中能大致表示y与x的

l^cnr)

C.2

二、填空题

试卷第2页，共6页

11.计算庐7的结果是.

12.分解因式：a3—a=

13.如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当/2=40。时，Zl=

14.某公司10名职工的3月份工资统计如下，该公司10名职工3月份工资的中位数是

元.

工资/元5000520054005600

人数/人1342

15.若关于x的一元二次方程丁+工_机=0有两个实数根，则加的取值范围是.

2

16.已知点(-2/),(-1,%),(1,%)都在反比例函数)，=-巴-(机为常数，且相片0)

X

的图像上，则M，必的大小关系是

17.如图是某风景区的一个圆拱形门，路面A8宽为2m,净高CD=5m,则圆形拱门

所在圆的半径为

C

ADB

3

此如图，在菱形A88中，对角线AC、Q相交于点。，9=8,tanNA加二，

则线段A3的长为

三、解答题

19.解方程：x(2x-5)=2x-5.

x2-4x+4

20.化简:

x+1

21.如图，在，ABC中，AB=AC.

(1)尺规作图：在BC边上求一点P,使得PA=PC.(保留作图痕迹，不写作法)

(2)求证：-ABCsapAC.

22.如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在其南

偏西22。方向上，航行2小时后到达N处，观测到灯塔P在其南偏西44。方向上，若该

船继续向南航行至离灯塔最近的位置(由科学计算器得到sin68°x0.9272,

sin46°a0.7193,sin44°®0.6947,sin22°»0.3746).

23.为了响应国家开展“中小学生课后服务”的政策，某学校在课后服务活动中开设了

A.书法，B.剪纸，C.足球，D.乒乓球，共四门课程供学生选修，每门课程被选

到的机会均等.

(1)小军选修的课程是篮球这一事件是.(填序号)

①不可能事件②必然事件③随机事件

(2)若小军和小彬两位同学各计划选修一门课程，请用列表或画树状图的方法求两人恰好

同时选修球类课程的概率.

24.为了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查

结果统计表:

组别分组(单位：元)人数

A0<x<304

B30<x<6016

试卷第4页，共6页

C60<x<90a

D90<x<120h

Ex>1202

调查结果扇形统计图

请根据以上图表,解答下列问题:

(1)这次被调查的同学共有人，a+b=,m%=%；

(2)求扇形统计图中扇形C的圆心角的度数;

(3)若该校共有学生1000人，请估计每月零花钱的数额x在304x<90范围的人数.

25.如图，一次函数的图象尸版+6与反比例函数产2的图象在第一象限交于点A(4,3),

且。4=08.

(1)求一次函数>=履+方与反比例函数y=q的表达式；

X

(2)请直接写出不等式0<辰+力<@的解集.

X

26.如图，在△ABC中，AB=AC.以AB为直径的。O分别与2C、AC相交于点。、E,

连接40.过点。作。尸，AC,垂足为点F,

(1)求证：。尸是。。的切线；

(2)若。。的半径为4,NCDF=22.5。,求图中阴影部分的面积.

A

27.如图，在YABCD中，ZACB=45°,过点C作b工A8于点凡交AE于点M,且

AM=CN,连接。N,使DG=NC,连接CG.

(1)求证：AB=CM；

(2)试判断ACG的形状，并说明理由.

(3)若AO=3&，AM=6,则。N=

28.如图，过点的抛物线丫=0?+法的对称轴是直线乂=2,点B是抛物线与x

轴的一个交点，点C在y轴上，点。是抛物线的顶点，设点P在直线0A下方且在抛物

线丫=以2+法上，过点P作y轴的平行线交。4于点Q.

⑴求a、h的值；

(2)求产。的最大值;

(3)当△BC。是直角三角形时，求△O3C的面积.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.A

【分析】根据实数大小比较的法则即可解答.

【详解】解：•门一3.5|>[-2|,

—3.5<—2,

♦.•正数大于零，零大于负数，

—3.5<—2<0<2>

二最小的数是-3.5,

故选：A.

【点睛】本题考查实数比较大小的法则，熟记实数比较大小的法则是解题的关键.

2.C

【分析】根据同底数嘉的乘法法则，同底数塞的除法法则，整式的加减运算法则，积的乘方

的运算法则对每项判断即可得到正确选项.

【详解】解：A,Va2+a2=2a2,二/+/=/错误，故A项不符合题意；

8、：a3/=户3=*,.../.43=2/错误，故B项不符合题意；

C.-：a6^a3=a6-3=a3,.•./+/=/正确，故C项符合题意；

D、；(-2/y=_8凡.•.(-2叫'Yd错误，故D项不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查了同底数基的乘法法则，同底数幕的除法法则，整式的加减运算法则，积

的乘方的运算法则，掌握同底数累的乘运算法则和同底数基的除法运算法则是解题的关键.

3.C

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做

轴对称图形，判断即可.

【详解】解：选项C的美术字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁

的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，

选项A、B、D的美术字均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的

部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，

故选：C.

【点睛】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键.

4.D

答案第1页，共18页

[x=2

【分析】根据方程组解的定义将，代入方程组，得到关于a,b的方程组.两方程相减

即可得出答案.

x-2ax+by=5

，是方程组｛八•，的解，

fy=1bx+ay=i

.2a+6=5

',2b+a=1，

两个方程相减，得a-6=4.

故选：D.

5.D

【分析】由矩形的对角线互相平分且相等得出选项A不正确；

由方程x2=14x的解为x=14或x=0得出选项B不正确；

由六边形内角和为（6-2）xl80。=720。得出选项C不正确；

由直角三角形全等的判定方法得出选项D正确；即可得出结论.

【详解】A.矩形对角线互相垂直，不正确；

B.方程x2=14x的解为x=14,不正确；

C.六边形内角和为540。，不正确；

D.一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，正确；

故选D.

【点睛】本题考查了命题与定理、矩形的性质、一元二次方程的解、六边形的内角和、直角

三角形全等的判定；要熟练掌握.

6.C

【分析】由可证得然后由相似三角形的对应边成比例求得答

案.

【详解】解：

.ADDE

,•=,

ABBC

BD=2AD,

AD1

:.——=-,

AB3

VDE=4,

答案第2页，共18页

.41

,,=一,

BC3

:.BC=\2.

故选：C.

【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质.此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应

用.

7.B

【详解】分析：先求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定不等式组的解集.

详解：解不等式x+G3,得：x>2,

解不等式-2x-6>-4,得：x<-1,

将两不等式解集表示在数轴上如下：

0iP

故选B.

点睛：本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集时要注意解集的确定

原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了.

8.B

【分析】由。。于。，OA=OB,可得NAOC=NBOD=53。，结合AC是。的切线，

可得NOAC=90。，从而可得答案.

【详解】解：连接。4,

：Q£>_LAB于。，OA=OB,

：.ZAOC=ZBOD=53°,

•；AC是。的切线，

ZOAC=90°,

答案第3页，共18页

・・・ZC=90°-53°=37°,

故选：B.

【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，切线的性质，证明NAOC=N88=53。是解本

题的关键.

9.B

【分析】先根据平角的定义求出NA5c的度数，再用三角形内角和定理可求得；

【详解】解：四边形友）EC为矩形，

/.ZCBD=90°,

ZABC=180°-ZFBD-/CBD

=180°-55°-90°

=35°,

AB=AC,

:.ZABC=ZACB=35°,

:.ZA=l800-2ZABC

=180o-3x35°=110°.

故选：B.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质，掌握这些定理和性质是解题的

关键.

10.A

【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：①04x42时，根据S^e=gAQ-AP,列出函

数关系式，从而得到函数图象；②2WxW4时，根据SMPQ=^XE/J^ABCD~^ACP'Q'-^AABQ,~~^MP'D

列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解.

【详解】①当0<x<2时，

;正方形的边长为2cm,

,y=SAAPQ=^AQ-AP=^x2i

②当24x44时，

y=SgpQ

=S正方形Ms-SACP'Q一S^BQ.一Sw口

答案第4页，共18页

=2x2—^-(4-x)2x2x(x-2)-^x2x(x-2)

=--x2+2x,

2

所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象

符合，

故选A.

A.___.D

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是

解题的关键.

11.2

【分析】根据二次根式的性质进行化简即可.

【详解】解：@=

故答案为：2.

a(a>0)

【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，注意：V7=|d|=-o(«=o).

-a((z<0)

12.a(a-l)(a+1)

【详解】解:a3-a

=a(a2-l)

=iZ(<2-1)(«+1)

故答案为：1)3+1)

13.500/50度

【分析】根据平行线的性质，可以得到N2和N3的关系，从而可以得到N3的度数，然后根

据21+/3=90。，即可得到N1的度数.

【详解】解：如图，

答案第5页，共18页

AB〃C£）,N2=40。，

,N2=N3=40°,

,//1+N3=9O。，

/I=50。，

故答案为：50°.

【点睛】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答.

14.5400

【分析】根据中位数的概念求解.

【详解】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为:5000,5200,5200,5200,5400,5400,

5400,5400,5600,5600,

故答案为：5400.

【点睛】本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，

如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数

是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.

15.m>

4

【分析】根据根的判别式大于或等于零求解即可.

【详解】解：由题意得

l+4m>0»

解得

m>--.

4

故答案为：m.

4

【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（存0）的根的判别式△=〃-4℃与根的关系，

熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当△>（）时，一元二次方程有两个不相等

答案第6页，共18页

的实数根；当△=（）时，一元二次方程有两个相等的实数根；当△<（）时，一元二次方程没有实

数根.

16.%<乂<必

【分析】根据比例函数y=-巨（机为常数，且〃?#0）中，k=-m2<0,图像在第二、四

X

象限，根据图像所在象限的特点即可求解.

【详解】解：•••比例函数>=-殆（〃?为常数，且加H0）中，k=-m2<0,

X

图像在第二、四象限，

当x<0时，图像在第二象限，函数值大于零，函数值随自变量的增大而增大，

在点（一2,乂），（T,丫2）中,。<%<%,

当x>0时，图像在第四象限，函数值小于零，函数值随自变量的增大而增大，

22

，在点（T,%），（1，%）中，y2=m>0,y3=-m<0,

综上所述，为<。<y<>2，

%</<当，

故答案为：〉3<%<y2.

【点睛】本题主要考查反比例函数图像,掌握反比例函数图像的位置，增减性是解题的关键.

17.2.6

【分析妆口图所示,连接。4,设。0的半径为r,则OA=OC=rm,利用垂径定理得到AD=1m，

再利用勾股定理建立方程/=I2+（5-r）,解方程即可得到答案.

【详解】解：如图所示，连接Q4,设。。的半径为r,则。4=OC=nn,

,：CDLAB,

：.AD=-AB=\m,

2

由勾股定理，得:OA1=AD2+OD2,即：产=产+（5—「）,

解得r=2.6,

.•.圆拱形门所在圆的半径为2.6m,

故答案为：2.6.

答案第7页，共18页

【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关

键.

18.5

【分析】根据菱形的性质得出AO=CO,OB=OD,求出。3,解直角三角形求

出A0,根据勾股定理求出48即可.

【详解】解：•・•四边形A8CD是菱形，

AACLBD,AO=CO,OB=ODf

：.ZAOB=90°f

・；BD=8,

/.0B=4,

…八3AO

tanZABD=—=---,

4OB

：.AO=39

在RtZXAOB中，由勾股定理得：AB=yjAO2+OB2=^32+42=5-

故答案为：5.

【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的

关键.

19.Xl=—,X2=1

2

【分析】利用因式分解法解方程即可.

【详解】解：(2%—5)(x-l)=0

5,

X/=—,X2=l

2

【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，解题的关键是移项后利用提公因式进行因式

分解.

20.%-2

【分析】根据分式的混合运算进行化简即可.

答案第8页，共18页

【详解】解：原式=区攵+土土2=仁江.立1=》一2.

X+lX+\X4-1x-2

【点睛】本题考查分式的化简，解题的关键是注意运算顺序和约分.

21.(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)作线段AC的垂直平分线交边BC即可；

(2)先证NB=NC,NC=NPAC,得如C=4,利用两角分别相等的两个三角形全等

即可得证.

【详解】(1)解：如图.点P为所求作的点，

(2)证明：VAB^AC,

：.NB=NC,

PA=PC,

：.NC=NPAC,

：.APAC=AB.

又,:NC=NC,

，△PACsABC.

【点睛】本题考查了尺规作线段的垂直平分线以及相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形

的判定是解题的关键.

22.41.682海里

【分析】如图所示，过点尸作于点A,即该船继续向南航行至离灯塔最近的位置

为点A处，根据题意可算出MN的距离，是等腰三角形，在RtAPN中根据三角函数

的计算即可求解.

【详解】解：如图，过点P作于点A,即该船继续向南航行至离灯塔最近的位置

为点A处，W=30x2=60(海里)，

答案第9页，共18页

ZPM4=22。，NPN4=44°,APNA=ZPMA+AMPN,

:.ZMPN=ZPNA-ZPMA=44°-22°=22°,

:.^PMN=^MPN,

.•.△MPN是等腰三角形，即MN=PN=60海里，

ZPW4=44°,

PA=PA^sinZPNA=60x0.6947»41,682（海里）.

答：此时轮船离灯塔的距离41.682海里.

【点睛】本题主要考查三角函数的应用，掌握方位角的知识，三角函数的计算方法是解题的

关键.

23.⑴①

【分析】（1）直接根据随机事件的概念：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件进行

解答即可；

（2）画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出小明和小刚两人恰好选球类的结果数,

然后根据概率公式求解.

【详解】（1）解：小军选修的课程是篮球这一事件是不可能事件，

故答案为：①；

（2）解：

解：画树状图如图：

答案第10页，共18页

开始

AB、CD

,4BCDBACDABDCABc0

共有16个等可能的结果数，其中两人恰好同时选修球类的有4种，

则两人恰好同时选修球类的概率是747=41.

164

【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率.利用列表法或树状图法展示所有等可能的结

果，7,再从中选出符合事件A或8的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件8的

概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.也考查了随机事件.

24.(1)50；28；8

(2)144°

(3)720人

【分析】(1)根据B组频数及其所占百分比可得总人数，总人数减去其他三个组人数即可求

得a+b的值，再用A组人数除以总人数可得，”的值；

(2)用360。乘以C组人数所占比例即可求出圆心角；

(3)总人数乘以样本中8、C组人数之和所占比例即可求解.

【详解】(D解：调查的总人数是16+32%=50(人)，

贝IJ4+6=50-4—16-2=28(人)，

4

%=—xl00%=8%,

w50

则加=8,

故答案为：50；28；8.

(2)解：。组的人数有50xl6%=8(人)，

则C组的人数有28-8=20(人)，

20

扇形统计图中扇形C的圆心角度数是360隈而=144。；

(3)解：每月零花钱的数额x在3(Kx<90范围的人数是1000乂3萨=720(人).

【点睛】本题主要考查了频数统计表和扇形统计图的综合运用，解题关键是读懂统计图，从

不同的统计图中得到必要的信息.扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

答案第II页，共18页

12

25.⑴y=—；y=2x—5；

x

(2)|<x<4.

【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征求出。值，从而得出反比例函数的解析式,

再利用勾股定理得到B的坐标，最后利用待定系数法得到直线AB的解析式;

（2）观察第一象限的双曲线在直线下方的部分即可得到自变量的范围.

L

【详解】⑴解:•.•点A（4,3）在反比例函数y=）

Z=8x3=12,

反比例函数解析式为了=上12

x

•OA=5/32+4,=5»OA=OB,

，点8(0,-5).

把点A（4,3）,B（0,—5）代入y="+b中,

4k+b=3

得

h=-5

k=2

解得:

b=-5'

.,•一次函数的解析式为y=2x-5；

（2）解：令y=2元一5中y二。，

解得：X=|

12

由图象可知，不等式0〈依+〃<—,

x

解得：|<x<4.

答案第12页，共18页

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征,

待定系数法求函数解析式，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键.

26.(1)见解析；(2)411-8

【分析】⑴连接A。、0D,则AOLBC,。为BC中点.。。为中位线，则0£>〃AC,根据

_LAC可得OO_L。尸得证；

(2)连接0E,利用(1)的结论得/4BC=/ACB=67.5。，易得N8AC=45。，得出/4OE=90。，

利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论.

【详解】(1)证明：连接AQ,

是。。的直径，

/.ZADB=90°,

：.AD±BC,

又AB=AC,

.•.£>是BC的中点，

连接0D,

由中位线定理，知。O〃AC,

又DFLAC,

：.DF±OD,

二力尸是。0的切线；

答案第13页，共18页

A

(2)连接OE,

VDF±AC,ZCDF=22.5°,

：.ZABC=ZACB=67.5°9

.•・NBAC=45。，

u

：OA=OEf

：.ZAOE=90°,

・・・。0的半径为4,

*•-S檄彩A0E=47r,S0E=8,

:・S阴航二S感影AOE-S&4OE=4兀-8,

【点睛】本题考考查了圆的综合知识，圆的切线的证明，等腰三角形的性质和面积计算，扇

形的面积计算，平行的性质应用，掌握圆的知识概念是解题的关键.

27.(1)见解析

(2)等腰直角三角形，见解析

(3)4

【分析】(1)利用ASA证明/45EgCME,即可推导出A8=CM；

(2)根据平行四边形、平行线的性质先证NMC£>=NCFB=90。，再利用SAS证明

答案第14页，共18页

ACM^GCDf推出AC=GC,ZACM=ZGCD,进而得出

ZACG=ZACD+NGCD=ZACD+ZACM=ZMCD=90°,可知，ACG是等腰直角三角形；

(3)先用勾股定理解等腰RtAAGC求出GC=4,再证四边形CGOV是平行四边形，推出

DN=GC=4.

【详解】(1)证明：VCF1AB,

・•・ZAEB=/CEM=NCFB=90。,

・・・ZBAE=ZMCE=90°-ZB,

VZAEC=90°,ZACB=45°,

・•・ZE4C=ZEC4=45°,

:.AE=CE,

在,河£和△CME中，

/AEB=/CEM

<AE=CE,

ZBAE=/MCE

；・_ABE名dCME(ASA),

：.AB=CM.

(2)解：ACG是等腰直角三角形，理由如下：

・・・四边形ABCO是平行四边形，

：.AB=CD,AD//BCf

：.NMCD=NCFB=90。,

■:ABE会CME,

：.AB=CM,ZB=/CME,

:・CM=CD,ZCME=ZADCf

・.・ZAMC+ACME=180°,ZGDC+ZADC=180°,

:.ZAMC=NGDC,

,:AM=CN,GD=CN,

:・AM=GD,

在△AOW和.GCD中，

答案第15页，共18页

AM=GD

<ZAMC=ZGDC,

CM=CD

：.ACM^GCD(SAS),

/.AC=GC,ZACM=4GCD,

：.ZACG=ZACD+ZGCD=ZACD+ZACM=ZMCD=90°,

・・..ACG是等腰直角三角形.

(3