2024-2025学年新教材高中数学课时素养检测五十四第五章三角函数5.5.2简单的三角恒等变换一含解析新人教A版必修第一册

PAGE课时素养检测五十四简洁的三角恒等变换(一)(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.设α是其次象限角,tanα=-QUOTE,且sinQUOTE<cosQUOTE,则cosQUOTE= ()A.-QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选A.因为α是其次象限角,且sinQUOTE<cosQUOTE,所以QUOTE为第三象限角,所以cosQUOTE<0.因为tanα=-QUOTE,且α是其次象限角,所以cosα=-QUOTE,所以cosQUOTE=-QUOTE=-QUOTE.2.已知cosθ=-QUOTE,θ∈QUOTE,则sinQUOTE+cosQUOTE= ()A.-QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE【解析】选D.因为θ∈QUOTE,所以QUOTE∈QUOTE,所以sinQUOTE=QUOTE=QUOTE,cosQUOTE=-QUOTE=-QUOTE,所以sinQUOTE+cosQUOTE=QUOTE.3.已知θ∈QUOTE,则QUOTE= ()A.-1 B.QUOTE C.1 D.2【解析】选A.QUOTE=QUOTE=QUOTE.因为θ∈QUOTE,所以QUOTE∈QUOTE,所以cosQUOTE>sinQUOTE.所以原式=QUOTE=-1.4.化简QUOTE的结果是 ()A.-cos1 B.cos1C.QUOTEcos1 D.-QUOTEcos1【解析】选C.原式=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTEcos1.5.已知cosQUOTE=-QUOTE,0<α<QUOTE,则cosQUOTE= ()A.-QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选B.因为cosQUOTE=2cos2QUOTE-1=-QUOTE,所以cosQUOTE=±QUOTE,又因为0<α<QUOTE,所以cosQUOTE=QUOTE.【补偿训练】若θ∈QUOTE,cos2θ=-QUOTE,则sinθ= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.由cos2θ=1-2sin2θ,所以-QUOTE=1-2sin2θ,所以sinθ=QUOTE.6.m=2sin18°,若m2+n=4,则QUOTE= ()A.1 B.2 C.4 D.8【解析】选B.QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2.二、填空题(每小题5分,共10分)7.计算cos815°-sin815°=________.

【解析】由平方差公式,得cos815°-sin815°=(cos415°+sin415°)(cos415°-sin415°)=(cos415°+sin415°)(cos215°+sin215°)(cos215°-sin215°)=(cos415°+sin415°)cos30°=QUOTE×[(cos215°+sin215°)2-2cos215°sin215°]=QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE8.计算sinQUOTE·cosQUOTE=________.

【解析】方法一:sinQUOTE·cosQUOTEπ==QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTE=QUOTE.方法二:sinQUOTE·cosQUOTE=cosQUOTE·cosQUOTE=cosQUOTE·cosQUOTE=cos2QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知tanQUOTE=QUOTE,tanαtanβ=QUOTE,求cos(α-β)的值.【解析】因为tanαtanβ=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以cos(α-β)=-QUOTEcos(α+β).又tanQUOTE=QUOTE,所以cos(α+β)=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,从而cos(α-β)=-QUOTE×QUOTE=QUOTE.10.已知函数f(x)=2sin2QUOTE-QUOTEcos2x,x∈QUOTE.(1)求函数f(x)的值域.(2)若不等式|f(x)-m|<2恒成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)由题意知,f(x)=2sin2QUOTE-QUOTEcos2x=1-cosQUOTE-QUOTEcos2x=1+sin2x-QUOTEcos2x=1+2sinQUOTE,由x∈QUOTE,得2x-QUOTE∈QUOTE,由于函数g(t)=sint在QUOTE上递增,在QUOTE上递减,且gQUOTE=1,gQUOTE=QUOTE<gQUOTE=QUOTE,所以g(t)∈QUOTE,所以f(x)=1+2sinQUOTE∈[2,3],所以函数f(x)的值域为[2,3].(2)不等式|f(x)-m|<2恒成立,即f(x)-2<m<f(x)+2恒成立,所以[f(x)-2]max<m<[f(x)+2]min,所以1<m<4,即实数m的取值范围是(1,4).(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.已知cosα=QUOTE,α∈(π,2π),则cosQUOTE等于 ()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选B.由题意,可知α∈QUOTE,则QUOTE∈QUOTE又由半角公式可得cosQUOTE=-QUOTE=-QUOTE=-QUOTE.2.已知函数f(x)=cos2QUOTE·cos2QUOTE,则fQUOTE等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.f(x)=cos2QUOTE·cos2QUOTE=QUOTE·QUOTE,即f(x)=QUOTE·QUOTE=QUOTE·QUOTE=QUOTE,所以fQUOTE=QUOTE=QUOTE.3.设a=QUOTEcos7°+QUOTEsin7°,b=QUOTE,c=QUOTE,则有 ()A.b>a>c B.a>b>c C.a>c>b D.c>b>a【解析】选A.由于a=QUOTEcos7°+QUOTEsin7°=sin30°cos7°+cos30°sin7°=sin37°,b=QUOTE=tan38°,c=QUOTE=sin36°,依据三角函数的正弦线,余弦线和正切线,得tan38°>sin38°>sin37°>sin36°,所以b>a>c.4.(多选题)下列叙述正确的是 ()A.对于随意α,sinα=QUOTEB.当α在第一象限时,sinα=QUOTEC.当α在其次象限时,sinα=QUOTED.若sinα=QUOTE,则α在第一或其次象限【解析】选B、C.由cos2α=1-2sin2α,得sin2α=QUOTE,两边开平方,得|sinα|=QUOTE,所以sinα=±QUOTE,当α在第一象限、其次象限或α的终边在y轴非负半轴上时,sinα=QUOTE;当α在第三象限、第四象限或α的终边在y轴非正半轴上时,sinα=-QUOTE.二、填空题(每小题5分,共20分)5.等腰三角形顶角的余弦值为QUOTE,那么这个三角形的一个底角的余弦值为________.

【解析】设等腰三角形的底角为α,顶角为β,则α=QUOTE-QUOTE,cosβ=QUOTE,所以cosα=cosQUOTE=sinQUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE6.函数y=QUOTE的最小正周期为________.

【解析】y=QUOTE=QUOTE=QUOTE=tanQUOTE,最小正周期是T=QUOTE.答案:QUOTE7.若α是第三象限角,且sinQUOTEcosβ+sinβcosQUOTE=-QUOTE,则tanQUOTE=________.

【解析】由sinQUOTEcosβ+sinβcosQUOTE=-QUOTE,可得:sinα=-QUOTE,因为α是第三象限角,所以cosα=-QUOTE,所以tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=-5.答案:-58.已知sinα=QUOTE+cosα,且α∈QUOTE,则QUOTE=________.

【解析】由sinα=QUOTE+cosα,α∈QUOTE,得sinα-cosα=QUOTE.又因为(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2,所以(sinα+cosα)2=2-(sinα-cosα)2=QUOTE,所以sinα+cosα=QUOTE.所以QUOTE=QUOTE=-QUOTE(cosα+sinα)=-QUOTE.答案:-QUOTE三、解答题(每小题10分,共30分)9.已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(-3,QUOTE).(1)求QUOTE的值.(2)求tan2α+tanQUOTE的值.【解析】(1)由题意得sinα=QUOTE,cosα=-QUOTE,tanα=-QUOTE.原式=QUOTE=QUOTE=-QUOTE.(2)tan2α=QUOTE=-QUOTE,tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=2+QUOTE.tan2α+tanQUOTE=2.10.若角θ的终边在第三象限,且tan2θ=-2QUOTE,求sin2θ-sin(3π+θ)cos(π+θ)-QUOTEcos2θ.【解题指南】由条件利用二倍角的正切公式求得tanθ的值,再利用诱导公式、同角三角函数的基本关系求得要求式子的值.【解析】角θ的终边在第三象限,tan2θ=QUOTE=-2QUOTE,所以tanθ=QUOTE或tanθ=-QUOTE(舍去).则sin2θ-sin(3π+θ)cos(π+θ)-QUOTEcos2θ=sin2θ-sinθcosθ-QUOTEcos2θ=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.11.设函数f(x)=2sinφcos2QUOTE+cosφsinx-sinφ(0<φ<π)在x=π处取得最小值.(1)求φ的值.(2)已知函数g(x)和函数f(x)关于点QUOTE对称,求函数g(x)的单调增区间.【解析】(1)f(x)=2sinφcos2QUOTE+cosφsinx-sinφ=2sinφQUOTE+cosφsinx-sinφ=sinφ+sinφcosx+cosφsinx-sinφ=sinxcosφ+cosxsin