北师大高中数学选择性必修第一册2.4.2直线与圆锥曲线的综合问题【课件】

第二章圆锥曲线4直线与圆锥曲线的位置关系自主预习互动学习达标小练

4.2直线与圆锥曲线的综合问题基础训练自主预习

提示：圆锥曲线的几何性质或判别式，

参数的范围，不等关系建立不等式或构造函数求值域，配方法等.提示：反证法.基础训练互动学习

的斜率为2，∴直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.

解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由解法一知直线l的方程为2x－y－

解法三：由解法一知直线l的方程为2x－y－2＝0，

解析：(1)由椭圆的性质，过椭圆焦点的最短弦即为通径，由椭圆方程：a＝5，b＝4，∴c＝3.故右焦点坐标为(3，0)，令x＝3，代入解得y＝

设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6，

又∵直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点，

(2)由题意可设直线的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，

消去y，并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，

又由Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)＞0，得0＜m2＜2，显然m2≠1(否则x1x2＝0，x1，x2中至少有一个为0，直线OM，ON中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾).设原点O到直线的距离为d，

故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为(0，1).

(2)由题意可知直线l与y轴不垂直，故可设l：x＝ty＋m，t∈R，A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵l与圆O：x2＋y2＝1相切，

消去x，并整理得(t2＋4)y2＋2mty＋m2－4＝0，其中Δ＝4m2t2－4(t2＋4)(m2－4)＝48＞0，

将①②代入公式得|AB|＝

[解]

存在符合题意的点，理由如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将y＝kx＋a代入C的方程得x2－4kx－4a＝0.故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.

当b＝－a时，有k1＋k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－a)符合题意.

由题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m(km≠0)，

得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，所以Δ＝16k2－8m2＋8＞0.(*)

所以C，D是线段MN的两个三等分点，得线段MN的中点与线段CD的中点重合.

由C，D是线段MN的两个三等分点，得|MN|＝3|CD|.

基础训练达标小练A解析：设P到抛物线准线的距离为d，抛物线的焦点为F，圆心为C，

A解析：A(－1，0)关于直线l：y＝x＋3的对称点为A'(－3，2)，连接A'B交直线l于点P，有|A'B|≤|A'P|＋|PB|，则椭圆C的长轴长的最小值为|A'B|＝

B解析：由题可知，|PM|2－|PN|2＝(|PC1|2－4)－(|PC2|2－1)，因此|PM|2－|PN|2＝|PC1|2－|PC2|2－3＝2(|PC1|＋|PC2|)－3≥2|C1C2|－3＝13.故选B.

解析：∵点P取短轴的一个端点时，使得∠F1PF2是最大角.已知椭圆上不存

有两个不同的交点A，B，