空间向量与立体几何同步检测2

第三章3.13.1.2一、选择题1．如图，ABCD－A1B1C1D1是平行六面体，则下列错误的一个命题是导学号64150650A．存在唯一的实数对x，y，使得eq\o(AC1,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))B．存在唯一的实数对x，y，使得eq\o(AC,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))C．存在唯一的有序实数组x，y，z，使得eq\o(AC1,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AA1,\s\up6(→))D．存在唯一的有序实数组x，y，z，使得eq\o(AC,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AA1,\s\up6(→))[答案]A[解析]若选项A中命题为真，则可得到eq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))共面．而由图可知eq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))不共面．2．已知不共线向量a，b，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是导学号64150651()A．A、B、D B．A、B、CC．B、C、D D．A、C、D[答案]A[解析]eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝(7a－2b)＋(a＋2b)＋(－5a＋6b)＝3a＋6b＝3eq\o(AB,\s\up6(→)).∴A、B、D三点共线，同理B、C、D三项错误．故选A.3．已知A、B、C三点共线，O为空间任意一点，如果eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OB,\s\up6(→))，则x的值为导学号64150652()A.eq\f(1,6) B.eq\f(5,6)C．－eq\f(5,6) D．－eq\f(1,6)[答案]B[解析]由直线向量参数方程知x＋eq\f(1,6)＝1，∴x＝eq\f(5,6).4．设a，b是不共线的两个向量，λ，μ∈R且λa＋μb＝0，则导学号64150653()A．a＝b＝0 B．λ＝μ＝0C．λ＝0，b＝0 D．μ＝0，a＝0[答案]B[解析]由共面向量定理知，选B.5．对于空间中任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是导学号64150654A．共面向量 B．共线向量C．不共面向量 D．既不共线也不共面向量[答案]A[解析]2a－b由a与b线性表出，所以三向量共面6．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\o(PB1,\s\up6(→))＋7eq\o(BA,\s\up6(→))＋6eq\o(AA1,\s\up6(→))－4eq\o(A1D1,\s\up6(→))，那么M必导学号64150655()A．在平面BAD1内 B．在平面BA1D内C．在平面BA1D1内 D．在平面AB1C1[答案]C[解析]本题主要考查四点共面的判断方法．由于eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\o(PB1,\s\up6(→))＋7eq\o(BA,\s\up6(→))＋6eq\o(AA1,\s\up6(→))－4eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝eq\o(PB1,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋6eq\o(BA1,\s\up6(→))－4eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝eq\o(PB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1A1,\s\up6(→))＋6eq\o(BA1,\s\up6(→))－4eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝eq\o(PA1,\s\up6(→))＋6(eq\o(PA1,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→)))－4(eq\o(PD1,\s\up6(→))－eq\o(PA1,\s\up6(→)))＝11eq\o(PA1,\s\up6(→))－6eq\o(PB,\s\up6(→))－4eq\o(PD1,\s\up6(→))，于是M，B，A1，D1四点共面，故选C.二、填空题7．已知空间四边形OABC如图所示，M是AB的中点，N是CM的中点，用基底{a，b，c}表示eq\o(ON,\s\up6(→))，则eq\o(ON,\s\up6(→))＝________.导学号64150656[答案]eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,2)c[解析]eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(a＋b)＋eq\f(1,4)(c－a＋c－b)＝eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,2)c.8．已知a，b，c不共面，且m＝3a＋2b＋c，n＝x(a－b)＋y(b－c)－2(c－a)，若m∥n，则x＋y＝__________________.导学号64150[答案]－4[解析]∵n＝(x＋2)a＋(y－x)b－(y＋2)c，∴eq\f(x＋2,3)＝eq\f(y－x,2)＝－(y＋2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x－3y＋4＝0,x－3y－4＝0))，解得x＝－2，y＝－2，∴x＋y＝－4.三、解答题9．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1和A1D1的中点．证明：向量eq\o(A1B,\s\up6(→))、eq\o(B1C,\s\up6(→))、eq\o(EF,\s\up6(→))是共面向量．导学号64150658[解析]证法一：如图所示：eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(B1B,\s\up6(→))－eq\o(A1B,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(B1B,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))－eq\o(A1B,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(B1C,\s\up6(→))－eq\o(A1B,\s\up6(→)).由向量共面的充要条件知，eq\o(A1B,\s\up6(→))、eq\o(B1C,\s\up6(→))、eq\o(EF,\s\up6(→))是共面向量．证法二：如右图，连结A1D、BD，取A1D中点G，连结FG、BG，则有FG綊eq\f(1,2)DD1，BE綊eq\f(1,2)DD1，∴FG綊BE.∴四边形BEFG为平行四边形．∴EF∥BG.∴EF∥平面A1BD.同理，B1C∥A1D，∴B1C∥平面A1∴eq\o(A1B,\s\up6(→))、eq\o(B1C,\s\up6(→))、eq\o(EF,\s\up6(→))都与平面A1BD平行．∴eq\o(A1B,\s\up6(→))、eq\o(B1C,\s\up6(→))、eq\o(EF,\s\up6(→))共面.一、选择题1．若e1，e2是同一个平面α内的两个向量，则导学号64150659()A．平面α内任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)B．若存在实数λ1，λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0C．若e1，e2不共线，则空间任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)D．若e1，e2不共线，则平面α内任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)[答案]D[解析]由共面向量定理知选D.2．给出下列两个命题：①如果向量a，b与任何向量不能构成空间的一个基底，那么a，b的关系是不共线；②O，A，B，C为空间四点，且向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面．其中正确的命题是导学号64150660()A．仅① B．仅②C．①② D．都不正确[答案]B[解析]可判定①不正确，②正确．故选B.3．如图所示，已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC内一定点，O为平面ABC外任一点，则下列能表示向量eq\o(OP,\s\up6(→))的为导学号64150661()A.eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\o(OA,\s\up6(→))－3eq\o(AB,\s\up6(→))－2eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(OA,\s\up6(→))＋3eq\o(AB,\s\up6(→))－2eq\o(AC,\s\up6(→)) D.eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))－3eq\o(AC,\s\up6(→))[答案]C[解析]根据A，B，C，P四点共面的条件可知eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→)).由图知x＝3，y＝－2，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋3eq\o(AB,\s\up6(→))－2eq\o(AC,\s\up6(→))，故选C.4．若a＝e1＋e2＋3e3，b＝e1＋e2－2e3，c＝e1－3e2＋2e3，d＝4e1＋6e2＋8e3，d＝αa＋βb＋γc，则α，β，γ的值分别为导学号64150662()A.eq\f(18,5)，eq\f(9,10)，－eq\f(1,2) B．－eq\f(18,5)，eq\f(9,10)，－eq\f(1,2)C.eq\f(18,5)，－eq\f(9,10)，－eq\f(1,2) D．－eq\f(18,5)，－eq\f(9,10)，eq\f(1,2)[答案]A[解析]由题意，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＋β＋γ＝4,α＋β－3γ＝6,3α－2β＋2γ＝8))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(18,5),β＝\f(9,10),γ＝－\f(1,2))).故选A.二、填空题5．给出下列几个命题： 导学号64150663①a＝“从上海往正北平移9km”，b＝“从北京往正北平移3km”，那么a②(a＋b)＋λc＋λ(a＋d)＝b＋(1＋λ)a＋λ(c＋d)；③有直线l，且l∥a，在l上有点B，若eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝2a，则C∈l.其中正确的命题是________．[答案]①②③[解析]①正确．因为向量相等与始点无关；②正确，因为向量运算满足分配律和结合律；③正确，因为eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＝2a，所以eq\o(CB,\s\up6(→))与l平行，又B在l上，所以C∈l.6．已知O是空间任一点，A，B，C，D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝2xeq\o(BO,\s\up6(→))＋3yeq\o(CO,\s\up6(→))＋4zeq\o(DO,\s\up6(→))，则2x＋3y＋4z＝________.导学号64150664[答案]－1[解析]eq\o(OA,\s\up6(→))＝－2xeq\o(OB,\s\up6(→))－3yeq\o(OC,\s\up6(→))－4zeq\o(OD,\s\up6(→))，由A，B，C，D四点共面，则有－2x－3y－4z＝1，∴2x＋3y＋4z＝－1.7．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，若eq\o(AC1,\s\up6(→))＝x·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2y·eq\o(BC,\s\up6(→))＋3z·eq\o(C1C,\s\up6(→))，则x＋y＋z等于________．导学号64150665[答案]eq\f(7,6)[解析]如右图，eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋(－1)·eq\o(C1C,\s\up6(→))，又已知AC1＝x·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2y·eq\o(BC,\s\up6(→))＋3z·eq\o(C1C,\s\up6(→))，∴x·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2y·eq\o(BC,\s\up6(→))＋3z·eq\o(C1C,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋(－1)·eq\o(C1C,\s\up6(→))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,2y＝1,3z＝－1))⇒x＝1，y＝eq\f(1,2)，z＝－eq\f(1,3).∴x＋y＋z＝1＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(7,6).三、解答题8．已知非零向量e1，e2不共线，如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(AC,\s\up6(→))＝2e1＋8e2，eq\o(AD,\s\up6(→))＝3e1－3e2，求证：A、B、C、D四点共面．导学号64150666[证明]令λ(e1＋e2)＋μ(2e1＋8e2)＋υ(3e1－3e2)＝0，则(λ＋2μ＋3υ)e1＋(λ＋8μ－3υ)e2＝0.∵e1、e2不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋2μ＋3υ＝0，,λ＋8μ－3υ＝0.))易知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－5，,μ＝1，,υ＝1.))是其中一组解，则－5eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝0.∴A、B、C、D共面．另证：观察易得eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝(2e1＋8e2)＋(3e1－3e2)＝5e1＋5e2＝5(e1＋e2)＝5eq\o(AB,\s\up6(→)).∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AC,\s