8.6.2直线与平面垂直-高一数学下学期课件检测卷(人教A版2019必修第二册)

8.6.2直线与平面垂直

在日常生活中，我们对直线与平面有很多感性认识。比如，旗杆与地面的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系，相邻墙面交线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象。接下来我们就以这些日常经验为基础展开“直线与平面垂直”的研究

问题1

类比直线、平面平行的研究，对于直线与平面垂直，你认为要研究哪些内容？按怎样的线索展开研究？研究方法是什么？

研究内容：直线与平面垂直的定义、判定、性质等.

研究线索：先给出定义，再利用定义、基本事实，借助实物、模型等进行直观，归纳、猜想判定定理、性质定理，再用适当的方法进行证明.

研究方法：“空间问题平面化”是基本的研究方法。这里是将直线与平面的垂直关系转化为直线与平面内的直线的垂直关系进行研究.

追问

回顾直线与直线垂直的定义，我们发现，它是在定义两条直线所成角的基础上，把所成角为90

度时的两条直线称为垂直。如果按照这个思路，我们要先定义直线与平面所成的角，你认为该如何定义？

分析：（如图）转换为直线与平面内的直线所成的角，可以发现用直线与直线在平面内的正投影所成的角最合理（具有唯一性和存在性，且是直线与平面内所有直线所成的角中最小的）。

要得到平面的斜线在平面内的正投影，需要先定义直线与平面垂直

问题2在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC．随着时间的变化,影子BC的位置不断地变化，旗杆所在直线与其影子所在直线是否保持垂直？BAC直线AB与平面α内过B的所有直线垂直.对于平面内不经过点B的直线呢?AB⊥B′C′.∴AB与平面α内的所有直线垂直.直线与平面垂直的定义是什么?

问题3

旗杆与旗杆在地面上的影子之间的关系给我们定义直线与平面垂直以启发，阅读《必修二》第149页的相关内容，并回答下列问题：（1）直线与平面垂直的定义是什么？（2）如何用符号表示直线与平面垂直？（3）如何画图表示直线与平面垂直？

如果直线l

与平面a

内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l

与平面a

互相垂直,记作l⊥a,直线l

叫做平面a

的垂线,平面

a

叫做直线l

的垂面.

线面垂直是线面相交的一种特殊情况,线面垂直,有且只有一个公共点,即交点,这个交点叫做线面垂直的垂足.

（1）（2）直线与平面垂直的定义:

（3）画直线和水平平面垂直,

要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直.

画直线和竖直平面垂直,

要把直线画成和表示平面的平行四边形的竖直边垂直.all⊥abmm⊥b追问2：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？追问1：依据定义，当直线l与平面a互相垂直时，若直线c

a,那么直线l与c有怎样的位置关系？l⊥ac

a⇒l⊥c

条件:

P是空间任意一点,

直线a过点P，

且a

垂直于a结论:a是唯一存在的

结论:

过空间任意一点,有且只有一条直线和已知平面垂直.假设过点

P有两条直线a、

b,且a⊥a,b⊥a,设直线a、

b确定的平面b，且a

∩b=c,所以c

a由线面垂直的定义

a⊥c,b⊥c则在平面b内过一点有两条直线和已知直线垂直,根据平面几何知识,这显然不对.

追问3：在平面几何中，得出了平面内过一点有且只有一条直线于与已知直线垂直后，我们定义了点到直线的距离。类似的，有了过一点有且只有一条直线与已知平面垂直后，我们可以定义什么？点到平面距离的定义：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离。问题4如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：

过△

AB

C

的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC于桌面接触）．

（1）折痕AD与桌面垂直吗？

（2）如何翻折才能使折痕

AD与桌面所在平面a

垂直．

当且仅当折痕

AD是

BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面a

垂直．追问1:图中平面a

内与折痕AD垂直，你能给出解释吗？追问2:你能得到一个直线与平面垂直的判定方法吗？联系关于确定一个平面的条件，你能给自己得出的判定方法一个合理的解释吗？过点D的直线与不过点D的直线都与AD垂直.两条相交直线确定一个平面，与两条相交直线垂直，就与这个平面内的所有直线垂直.

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.符号表示:labal⊥a,l⊥b,a

a,b

a,a∩b,⇒l⊥a.直线与平面垂直的判定定理:由线线垂直得线面垂直.关键：线不在多，相交则行.追问3:两条相交直线可以确定一个平面，两条平行线也可以确定一个平面，那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗？你能从向量的角度解释原因吗？如果改为“无数条直线”呢？

不可以改为“两条平行直线”，也不可以改为无数条直线.

从向量的角度看，两条平行直线的方向向量平行，因为两条直线互相垂直本质上是两个方向互相垂直，所以在垂直关系上，两条平行线垂直于一条直线等价于一条直线垂直于另一条直线.另外，由平面向量基本定理，两个不共线的向量可以表示这两个向量所在平面上的任意一个向量，所以一条直线的方向向量与这两个向量互相垂直时，就与这个面内的任意一个向量都垂直。a例1.如图,已知a∥b,

a⊥a.

求证:

b⊥a.am证明:在

a

内任作两相交直线

m、n,∵a⊥a,m

a,⇒a⊥m,a⊥n,∵b∥a,⇒

b⊥m,b⊥n,又

m

与

n相交,⇒

b⊥a.

结论:

两平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.bnn

a,直线和平面所成角1)斜线:

2)斜足:

3)斜线在平面内的射影:和平面相交，但不垂直的直线叫做平面的斜线斜线和平面相交的交点过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线称为斜线在平面内的射影.☆平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，

叫做直线和平面所成的角.规定:①若直线垂直平面，则直线和平面所成的角为90°☆直线和平面所成角的取值范围为[0°,90°]②若直线与平面平行或在平面内，则直线和平面所成的角为0°laAl1PO

问题6.

已知直线l1、l2和平面a

所成的角相等,能否判断l1∥l2?反之,如果l1∥l2,l1,l2

与平面a

所成的角是否相等?如图,aABCDOAB⊥a,CD⊥a,∠AOB=∠COD.而AO

与CO

不平行.aABCDO1O2如图,AB∥CD,AO1⊥a,CO2⊥a,则AO1∥CO2,于是得∠BAO1=∠DCO2,则在直角三角形中得∠ABO1=∠CDO2.结论:

和同一平面所成的角相等的两条斜线不一定平行.两条平行线和同一个平面所成的角一定相等.

例2.

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求直线A1B

和平面A1B1CD

所成的角.ABCA1B1C1D1D分析:需在平面A1B1CD上找到直线A1B的射影.即需找过A1B上的点垂直平面A1B1CD的直线.O而BB1,BC不可能垂直平面A1C,易看出对角线BC1有可能.因为BC1⊥B1C,还容易看出BC1⊥A1B1,于是可连结BC1,交B1C于O,即A1O就是要找的射影.∠BA1O就是所要求的线面角,则可在Rt△BA1O中求.

例2.

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求直线A1B

和平面A1B1CD

所成的角.ABCA1B1C1D1D解:连结BC1,交B1C于O,则在正方形BCC1B1中,BC1⊥B1C.又∵A1B1⊥平面BCC1B1,∴得A1B1⊥BC1.O则BC1⊥平面A1B1CD,O为垂足.得A1O为A1B在平面A1B1C1D上的射影.∠BA1O就是直线A1B和平面A1B1CD所成的角,在Rt△BA1O中,A1B=BC1=2BO,得∠BA1O=30.∴直线A1B

和平面A1B1CD

所成的角是30.ABCA1B1C1D1D求线面角的要点:(1)找斜线在平面上的射影,确定线面角.(2)构造含线面角的三角形,O通常构造直角三角形.(3)在三角形中求角的大小.

例2.

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求直线A1B

和平面A1B1CD

所成的角.

例3.

一旗杆高8m,在它的顶端系两条长10m的绳子,拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点(与旗杆脚不在同一直线上).如果这两点与旗杆脚相距6m,那么旗杆就与地面垂直,为什么?ABCD如图,AB=8,AC=AD=10,BC=BD=6,△ABC和△ABD的三边满足勾股定理,∴AB⊥BC,AB⊥BD,而BC、BD在地面内,C、B、D不在同一直线上,即BC,BD相交,由线面垂直的判定定理知旗杆垂直于地面.

练习(补充).

已知PQ是平面a

的垂线段,PA

是平面a

的斜线段,直线l

a.求证:(1)

若l⊥PA,则l⊥QA;(2)

若l⊥QA,则

l⊥PA.alPQA证明:(1)∵PQ⊥a,l

a.∴PQ⊥l.若l⊥PA,

l⊥平面PQA.QA

平面PQA,

l⊥QA.

练习(补充).

已知PQ是平面a

的垂线段,PA

是平面a

的斜线段,直线l

a.求证:(1)

若l⊥PA,则l⊥QA;(2)

若l⊥QA,则

l⊥PA.alPQA证明:(2)∵PQ⊥a,l

a.∴PQ⊥l.若l⊥QA,

l⊥平面PQA.PA

平面PQA,

l⊥PA.

练习(补充).

已知PQ是平面a

的垂线段,PA

是平面a

的斜线段,直线l

a.求证:(1)

若l⊥PA,则l⊥QA;(2)

若l⊥QA,则

l⊥PA.alPQAQ

为垂线段PQ

的垂足.A

为斜线段PA

的斜足.QA

为斜线PA

在平面a

上的射影.有三条线:①平面的斜线,②斜线在平面上的射影,③平面内的一条直线l.结论:如果l⊥斜线,则l⊥射影;如果l⊥射影,则l⊥斜线.(三垂线定理)问题7.

长方体的侧棱是否都与底面垂直?这些侧棱是怎样的位置关系?请同时竖两支垂直于桌面的铅笔,这两支铅笔又有怎样的位置关系?a如图,l1⊥a，l2⊥a，垂足分别为A、B.如果l1∦

l2,过A与l2可以确定一平面，在该面内过A可另作一直线m∥l2,于是m⊥a.过l1与m

作平面b∩a=c,则l1⊥c,m⊥c.那么在平面b

内过一点A就有两直线与c

垂直,显然不可能,即l1∦

l2不能成立,只有l1//l2.bl1l2ABmc垂直于同一个平面的两条直线平行.由线面垂直得线线平行.线面垂直的性质定理:al1l2AB符号表示:l1⊥a,l2⊥a,

l1//l2.

例4.已知一条直线l和一个平面a

平行,求证:直线l上各点到平面a

的距离(到a

的垂线段长)相等.alA

B

b证明:过l上任意两点A、B作AA

⊥a,BB⊥a,垂足为A

、B

,则AA

∥BB

,由AA

、BB

确定平面,设为b,得b∩a=A

B

,∵l∥a,l

b,⇒l∥A

B

,∴AA

=BB

(两平行线间的平行线段相等),即l

上任意两点到平面a

的距离相等.AB一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离。由例题可得，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离。例5.推导棱台的体积公式其中分别是棱台的上、下底面面积，是高。解：如图，延长棱台各侧棱交于点P，得到截得棱台的棱锥。过点P作棱台的下底面的垂线，分别与棱台的上、下交于点，则PO垂直于棱台的上底面。从而。设截得棱台的棱锥的体积为V，去掉的棱锥的体积为，高为，则所以棱台的体积由棱台的上下底面平行，可以证明棱台的上、下底面相似，并且所以代入①，得

①

问题8.

设直线a,b

分别在正方体ABCD-A

B

C

D

中两个不同的平面内,欲使a//b,a,b

应满足什么条件?分别满足下面的条件都可以:(1)a,b

同垂直于一个面.(2)a,b

同平行一条棱.(3)用一个平面截相对的两个面所得的交线即为a,b.bbABCDA

C

D

B

aaba如图,1.

若一直线与平面所成的角为则此直线与该平面内任一直线所成的角的取值范围是

.aABCDP解:如图,直线AB是直线PC在平面a内的射影,直线PC与平面a

内的直线所成的角中,∠PCA最小,直角最大.则PC与平面内任一直线所成的角的范围是同步检测2.

如图,直四棱柱A

B

C

D

-ABCD(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中,底面四边形ABCD

满足什么条件时,A

C⊥B

D

?ABCDA

B

C

D

分析:由题中定义知,侧棱A

A⊥平面A

B

C

D

,从而A

A⊥B

D

.又要使A

C⊥B

D

,则需B

D

⊥平面A

AC.所以需在平面A

AC内另找一条直线容易考虑的是AC是否满足?要使AC⊥B

D

,四边形ABCD需满足:BA=BC,且DA=DC.与B

D

垂直且与A

A相交.(改为如下的证明题,请同学们给出证明)

2.如图,直四棱柱A

B

C

D

-ABCD(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中,已知A

B

=B

C

,A

D

=D

C

,求证:B

D

⊥A

C.ABCDA

B

C

D

证明:连结A

C

,∵A

B

=B

C

,

B

D

⊥A

C

,AA

⊥平面A

B

C

D

AA

⊥B

D

,

B

D

⊥平面AA

C

C,

B

D

⊥A

C.(定义)(判定)(定义)A

D

=D

C

,AA

∩A

C

=A

,A

C

平面AA

C

C,

3.

如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VC,AB=BC,求证:VB⊥AC.ABCV练习:(课本67页)证明:·D取AC边的中点D,连接VD,BD.∵VA=VC,

VD⊥AC,VB=BC,

BD⊥AC,

AC⊥平面VDB,而VB

平面VDB,∴AC⊥VB.4.

过△ABC所在平面a

外一点P,作PO⊥a,垂足为O,连接PA,PB,PC.

(1)

若PA=PB=PC,∠C=90,则O

是AB

边的

.(2)

若PA=PB=PC,则O

是△ABC

的

心.(3)

若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则O

是△ABC的

心.ABCPOa解:(1)如图,PO⊥a,则∠POA=∠POB=∠POC=90

,又

PA=PB=PC,∴△POA≌△POB≌△POC,得OA=OB=OC,又∠C=90,直角三角形到三顶点的距离相等的点是斜边的中点.中点

4.

过△ABC所在平面a

外一点P,作PO⊥a,垂足为O,连接PA,PB,PC.

(1)

若PA=PB=PC,∠C=90,则O

是AB

边的

.(2)

若PA=PB=PC,则O

是△ABC

的

心.(3)

若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则O

是△ABC的

心.Oa解:(2)由(1)得OA=OB=OC,中点到三角形三顶点的距离相等外ABCP的点是三角形的外心.4.

过△ABC所在平面a

外一点P,作PO⊥a,垂足为O,连接PA,PB,PC.

(1)

若PA=PB=PC,∠C=90,则O

是AB

边的

.(2)

若PA=PB=PC,则O

是△ABC

的

心.(3)

若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则O

是△ABC的

心.Oa解:(3)中点外由

PA⊥PB,PA⊥PC,得PA⊥平面PBC,

PA⊥BC.又由PO⊥a

得PO⊥BC,于是得BC⊥平面POA,

BC⊥AO.同理可得AB⊥CO,∴O为△ABC的垂心.垂ABCP

5.如图,正方形SG1G2G3中,E,F

分别是G1G2,G2G3

的中点,D

是EF的中点,现在沿SE,SF

及EF

把这个正方形折成一个四面体,使G1,G2,G3

三点重合,重合后的点记为G,则在四面体S-EFG

中必有()(A)SG⊥△EFG所在平面

(B)SD⊥△EFG所在平面

(C)GF⊥△SEF所在平面

(D)GD⊥△SEF所在平面SEFDG1G2G3GEFDSA

6.

如图,棱锥V-ABC中,VO⊥平面ABC,O

CD,VA=VB,AD=BD,你们能判定CD⊥AB以及AC=BC

吗?VABCDO答:能判定.由VA=VB,AD=BD得,VD⊥AB.又由VO⊥平面ABC得,VO⊥AB.于是得AB⊥平面VOD,∵O

CD,

AB⊥OD.∴AB⊥CD,而

AD=BD,从而得AC=BC.

7.

如图,AB

是⊙O的直径,点C

是⊙O

上的动点,过动点C

的直线VC垂直于⊙O

所在平面,D,E

分别是VA,VC

的中点.试判断直线DE

与平面VBC

的位置关系,并说明理由.·VABCDEO解:DE⊥平面VBC.由直径所对的圆周角是直角得AC⊥BC.又由

VC垂直于⊙O

所在平面得AC⊥VC.而

D,E

分别是VA,VC

的中点得DE//AC,∴DE⊥平面VBC.∴AC⊥平面VBC.

7.

已知三棱锥的三条侧棱长都等于2,底面是等边三角形,侧棱与底面所成的角为60º,求三棱锥的体积.OABCP解:作PO⊥底面ABC,垂足为O,如图,∴

O为底面正三角形的中心,则∠PAO=∠PBO=∠PCO=60º,PA=PB=PC=2.得Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC,于是得OA=OB=OC.得AO=1,