2024-2025学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式单元测试卷一课一练含解析新人教A版必修第一册

PAGEPAGE1其次章单元测试卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2024·成都诊断)若a<1,b>1,则下列命题中正确的是()。A.1a>1b B.C.a2<b2 D.ab<a+b-1答案：D解析:由a<1,b>1,得a-1<0,b-1>0,所以(a-1)(b-1)<0,即ab<a+b-1。故选D。2.(2024·重庆第七中学高一期末)已知不等式x2+x-c<0的解集为(-2,1),则c的值为()。A.-2 B.1 C.2 D.4答案：C解析:∵x2+x-c<0的解集为(-2,1),∴-2和1是方程x2+x-c=0的两个根,∴-c=-2×1,∴c=2。3.设集合M={x|x2+x-6<0},N={x|1≤x≤3},则M∩N=()。A.[1,2) B.[1,2] C.(2,3] D.[2,3]答案：A解析:集合M=(-3,2),M∩N=(-3,2)∩[1,3]=[1,2)。4.(2024·湖北八校联考)已知x>0,y>0,a+b=x+y,,cd=xy,则(a+b)2A.0 B.1 C.2 D.4答案：D解析:由题意知a+b=x+y,cd=xy,x>0,y>0,则(a+b)2cd=(x+y)2xy≥(5.(2024·西安调考)当x∈R时,不等式kx2-kx+1>0恒成立,则k的取值范围是()。A.(0,+∞) B.[0,+∞)C.[0,4) D.(0,4)答案：C解析:当k=0时,不等式变为1>0,成立;当k≠0时,不等式kx2-kx+1>0恒成立,则k>0,Δ=(-k)2-6.(2024·长沙调考)若不等式ax2+bx+2>0的解集是x-12<x<13,则A.-10 B.-14 C.10 D.14答案：A解析:易知a<0,-12,13为方程ax2+bx+2=0的两根,∴-12×13=2a,∴a=-12,-12+13=-ba,∴a=6b7.(2024·合肥模拟)已知-1<x<0,则-x(3+3x)取得最大值时x的值为()。A.-13 B.-12 C.-34 答案：B解析:∵-1<x<0,-x>0,∴3+3x>0,-x(3+3x)=3(-x)·(1+x)≤3-x+1+x22=38.(2024·南昌调考)设x,y为正数,则(x+y)1x+4y的最小值为A.6 B.9 C.12 D.15答案：B解析:(x+y)1x+4y=1+yx+4xy+4=5+y9.(2024·长春调研)已知a,b,c∈R,a+b+c=0,abc>0,T=1a+1b+1c,则(A.T>0 B.T<0 C.T=0 D.T≥0答案：B解析:由a+b+c=0,abc>0,知三数中一正两负。不妨设a>0,b<0,c<0,则T=1a+1b+1c=ab+bc+caabc=ab+c(b+a10.(2024·济南调考)设x>0,则y=3-3x-1x的最大值是()A.3 B.3-32C.3-23 D.-1答案：C解析:∵x>0,∴y=3-3x-1x=3-3x+1x≤3-23x·1x=3-23。当且仅当3x=1x,11.(2024·广东中山一中高二第一次段考)对一切实数x,不等式x4+ax2+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是()。A.[-2,2] B.[0,2]C.[-2,+∞) D.[-4,+∞)答案：C解析:由x4+ax2+1≥0,知:①当x=0时,1≥0,此时a∈R。②当x≠0时,可得a≥-x2-1x2=-x2+1x2∴a≥-2。12.(2024·浙江绍兴高三二模)若不等式x2+2x<ab+16ba对随意a,b∈(0,+∞)恒成立,则实数x的取值范围是(A.(-2,0) B.(-∞,-2)∪(0,+∞)C.(-4,2) D.(-∞,-4)∪(2,+∞)答案：C解析:对随意a,b∈(0,+∞),ab+16ba≥2a所以只需x2+2x<8,即(x-2)(x+4)<0,解得x∈(-4,2)。二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。将答案填在题中的横线上)13.(2024·武汉调考)若方程x2+(m-2)x+(5-m)=0的两根都比2大,则m的取值范围是。

答案：-5<m≤-4解析:设f(x)=x2+(m-2)x+(5-m)。由方程的两个根都大于2可知函数f(x)的大致图像如图。因此有Δ≥0,f(2)>014.(2024·浙江六市六校联考)已知正数x,y满意x+y+1x+9y=10,则x+y的最大值为答案：8解析:∵1x+9y=10-(x+∴(x+y)1x+9y=10(x+y)-(x+∵(x+y)1x+9y=10+9∴10(x+y)-(x+y)2≥16,即(x+y)2-10(x+y)+16≤0,∴2≤x+y≤8。∴x+y的最大值为8。15.(2024·南京模拟)对于满意|a|≤2的全部实数a,使不等式x2+ax+1>a+2x恒成立的x的取值范围是。

答案：(-∞,-1)∪(3,+∞) 解析:原不等式恒成立问题转化为(x-1)a+x2-2x+1>0在|a|≤2时恒成立。设f(a)=(x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在[-2,2]内恒大于0,故有f(-2)>0,f(2)>0,即x2-16.(2024·黑龙江哈师大附中高三开学测试)若函数y=kx+2016kx2+4kx+3答案：0解析:∵函数y=kx+2016kx2+4kx+3的定义域为R,∴对随意实数x,kx2+4kx+3≠0。当k=0时,kx2+4kx+3=3≠0满意题意;当k≠0时,需Δ=16k2-12k<0,即0<k<3三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2024·上海调研)已知a≤34x2-3x+4≤b的解集为{x|a≤x≤b}。求a,b答案：解:二次函数f(x)=34x2-3x+4的对称轴方程为x(1)当a≥2时,则满意a,b是方程34x2-3x+4=x的两根,解得a=43,b=4(舍去(2)若b≤2,则34a2-3a+4=b,3(3)若a<2<b,y=34x2-3x+4=34(x-2)2+1,由题意得a≤1,且f(a)=f(b)=b,a<b,由f(b)=b可解得b=43(舍去)或b=4,由对称性得a=0,故a的值为0,b18.(12分)(2024·苏州中学单元检测)完成下列题目。(1)若bc-ad≥0,bd>0,求证:a+bb答案：∵bc-ad≥0,bd>0,∴bc≥ad,1bd>0∴cd≥ab。∴cd+1≥ab+1,即c+dd≥(2)已知a>b>c,求证:a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2。答案：a2b+b2c+c2a-(ab2+bc2+ca2)=(a2b-bc2)+(b2c-ab2)+(c2a-ca2)=b(a2-c2)+b2(c-a)+ca(c-a)=(c-a)(b2+ca-ba-bc)=(c-a)(c-b)(a-b)。∵a>b>c,∴c-a<0,c-b<0,a-b>0。∴(c-a)(c-b)(a-b)>0,即a2b+b2c+c2a-(ab2+bc2+ca2)>0。∴a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2。19.(12分)(2024·西北工大附中单元检测)已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求:(1)xy的最小值;答案：由2x+8y-xy=0,得8x+2y∵x>0,y>0,∴1=8x+2y≥28x·2y=8当且仅当8x+2y=1此时(xy)min=64。(2)x+y的最小值。答案：由2x+8y-xy=0,得8x+2yx+y=8x+2y·(x+y)=10+2xy+当且仅当8x+2y=1此时(x+y)min=18。20.(12分)(2024·东北师大附中单元测评)已知不等式ax2-3x+2<0的解集为A={x|1<x<b}。(1)求a,b;答案：∵不等式ax2-3x+2<0的解集为A={x|1<x<b},∴1和b为方程ax2-3x+2=0的两根,∴a-3+2=0(2)求函数y=(2a+b)x-1(a-b)(x答案：由(1)得y=4x+1x-1=4(x-1)+1x-当且仅当4(x-1)=1x-1,即x=32∈A时函数21.(12分)(2024·山东新泰一中高二期中)经过长期视察得到:在交通繁忙的时段内,某马路汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间的函数关系为y=710vv2+3(1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时,车流量最大,最大车流量为多少(精确到0.1千辆/时)?答案：由题意有y=710vv2+3v+900=710v+3+900v≤7103+2900=71063,当且仅当v=900v,即v=30故当v=30千米/时时车流量最大,且最大车流量约为11.3千辆/时。(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时,则汽车的平均速度应在什么范围内?答案：由条件得710vv2+3v+900>10,整理得v2-68v+900<0,即(v若要求在该时段内车流量超过10千辆/时,则汽车的平均速度应在(18,50)范围内。22.(12分)(2024·合肥二中单元检测)已知二次函数y的二次项系数为a,且不等式y>-2x的解集为(1,3)。(1)若方程y+6a=0有两个相等的实根,求y的表达式;答案：∵y+2x>0的解集为{x|1<x<3},∴y+2x=a(x-1)(x-3),且a<0,∴y=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a。 ①由y+6