重难点08 解直角三角形及其应用（原卷版）

重难点08解直角三角形及其应用考点一：特殊角的三角函数值及其运算锐角三角函数的定义和运算是中考数学中的必考考点，单独考察时虽然难度不大，但是也需要熟记对应考点。其中特殊角的三角函数值是必须记住的。题型01锐角三角函数的定义易错点：解直角三角形相关：在Rt△ABC中，∠C=90°AB=c，BC=a，AC=b三边关系：两锐角关系：边与角关系：，，，锐角α是a、b的夹角面积：【中考真题练】1．（2023•攀枝花）△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．已知a＝6，b＝8，c＝10，则cos∠A的值为（）A． B． C． D．2．（2023•衢州）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆，AB＝b，AB的最大仰角为α．当∠C＝45°时，则点A到桌面的最大高度是（）A． B． C．a+bcosα D．a+bsinα3．（2023•益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，有三点A（0，1），B（4，1），C（5，6），则sin∠BAC＝（）A． B． C． D．4．（2023•宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则sin∠ABC＝．5．（2023•常州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在边AB上，连接CD．若BD＝CD，＝，则tanB＝．【中考模拟练】1．（2024•绥化模拟）在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（）A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB2．（2024•湖州一模）如图，小明想利用“∠A＝30°，AB＝6cm，BC＝4cm”这些条件作△ABC．他先作出了∠A和AB，在用圆规作BC时，发现点C出现C1和C2两个位置，那么C1C2的长是（）A．3cm B．4cm C．2cm D．2cm3．（2024•越秀区一模）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰△ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝40cm，则高AD为cm．（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）4．（2024•温州模拟）“圭表”是中国古代用来确定节气的仪器．某“圭表”示意图如图所示，AC⊥BC，AC＝3米，测得某地夏至正午时“表”的影长CD＝1米，冬至时的正午太阳高度角∠ABC＝α，则夏至到冬至，影长差BD的长为（）A．（3sinα﹣1）米 B．米 C．（3tanα﹣1）米 D．米5．（2024•西湖区一模）如图，在4×5的网格中，每个小正方形的边长均为1．若△ABC的顶点都在格点上，则sinC的值为．6．（2024•雨花台区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CD＝3，tanA＝，则AB＝．题型02含三角函数的实数的运算易错点：特殊角的三角函数值表αsinαcosαtanα30°45°60°特殊角的三角函数值，可以直接记数值，也可以记定义，然后现退对应函数值，但显然，直接熟记对应数值会便捷很多。【中考真题练】1．（2023•云南）计算：|﹣1|+（﹣2）2﹣（π﹣1）0+（）﹣1﹣tan45°．2．（2023•内蒙古）计算：|﹣2|+（π﹣2023）0+（﹣）﹣2﹣2cos60°．3．（2023•眉山）计算：（2）0﹣|1﹣|+3tan30°+（﹣）﹣2．4．（2023•泸州）计算：3﹣1+（﹣1）0+2sin30°﹣（﹣）．5．（2023•北京）计算：4sin60°+（）﹣1+|﹣2|﹣．6．（2023•湘西州）计算：（π+2023）0+2sin45°﹣（）﹣1+|﹣2|．【中考模拟练】1．（2024•历城区一模）计算：．2．（2024•雁塔区模拟）计算：．3．（2024•南山区二模）计算．4．（2024•南山区二模）计算：．5．（2024•文山州一模）计算：．考点二：解直角三角形及其应用解直角三角形的应用主要包含解答题中的仰角、俯角问题；坡角问题；方位角问题等。另外还经常会和圆、三角形、网格等几何图形结合，计算中需要更加仔细一点。题型01解直角三角形的计算解题大招01：解直角三角形口诀“直乘斜除，对正临余”——求直角三角形的直角边，多用乘法；求斜边，多用除法。求已知角的对边，多用正弦或正切值；求已知角的临边，多用余弦值。常见辅助线：做垂线解题大招02：此类计算更多的是注意审题，因为题目中可能会要求精确位数，或者保留几位有效数字，这时候要注意，一般计算到最后一步才带入参考数据计算，然后四舍五入。【中考真题练】1．（2023•广元）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），点B（0，﹣3），点C在x轴上，且点C在点A右方，连接AB，BC，若tan∠ABC＝，则点C的坐标为．2．（2023•牡丹江）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上；顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm，若按相同的方式将22.5°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为cm．3．（2023•丹东）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，已知点A（3，0），B（0，4），点C在x轴负半轴上，连接AB，BC，若tan∠ABC＝2，以BC为边作等边三角形BCD，则点C的坐标为；点D的坐标为．4．（2023•自贡）如图，分别经过原点O和点A（4，0）的动直线a，b夹角∠OBA＝30°，点M是OB中点，连接AM，则sin∠OAM的最大值是（）A． B． C． D．【中考模拟练】1．（2024•高青县一模）如图（1），在△ABC中，AB＝AC＝4，射线AN∥BC，D为AN上一点，过点D作DE∥AB，交射线BC于点E．研究发现线段CE的长y与线段AD的长x之间的关系可用图（2）的图象表示，已知点M（8，2），则∠B的正切值为（）A． B． C． D．2．（2024•雁塔区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝7，，将△ABC沿BC方向平移得到△A'B'C'，若AB'平分∠BAC，则B'C的长为（）A． B． C． D．3．（2024•松北区一模）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时，根据上述角的正对定义，则sad60°的值为（）A． B． C． D．14．（2024•南通模拟）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的格点上，那么sin∠BAC的值为（）A． B． C． D．5．（2024•凉州区一模）如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，则cosA的值是（）A． B． C． D．6．（2024•金牛区模拟）如图，已知点C为线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝AB＝8，连接AD，BE⊥AB，且交∠DAB的平分线AE于点E，AE与DC相交于点F，EH⊥DC于点G，交AD于点H，则AH的长为．7．（2024•张店区一模）如图，分别经过点A（﹣1，0）和点B（1，0）的动直线l1，l2交于点C，在线段AC上取点D，连接BD．若∠ACB＝30°，且，则当tan∠ABD的值最大时，点C的坐标为．题型02解直角三角形的应用解题大招01：解直角三角形应用常见辅助线在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合平面几何知识构造直角三角形，利用三角函数或相似三角形来解决问题，常见的构造的基本图形有如下几种：（1）不同地点看同一点，如图①（2）同一地点看不同点，如图②（3）利用反射构造相似，如图③（4）常用结论：【中考真题练】1．如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材约m（结果取整数）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）2．（2023•盐城）如图1，位于市区的“铁军”雕塑“大铜马”是盐城市标志性文化名片，如图2，线段AB表示“铁军”雕塑的高，点B，C，D在同一条直线上，且∠ACB＝60°，∠ADB＝30°，CD＝17.5m，则线段AB的长约为m．（计算结果保留整数，参考数据：≈1.7）3．（2023•枣庄）如图所示，桔槔是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆AB＝6米，AO：OB＝2：1，支架OM⊥EF，OM＝3米，AB可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时∠AOM＝45°，此时点B到水平地面EF的距离为米．（结果保留根号）4．（2023•湘潭）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当t＝0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM＝30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．问题解决：（1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；（2）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据≈1.414，≈1.732）5．（2023•贵州）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线夹角为45°，A、B两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A、E、F在同一水平线上）（1）求索道AB的长（结果精确到1m）；（2）求水平距离AF的长（结果精确到1m）．（参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.96，tan15°≈0.26，）6．（2023•金昌）如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下：课题检测新生物到皮肤的距离工具医疗仪器等示意图说明如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠DBN；再在皮肤上选择距离B处9cm的C处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠ECN．测量数据∠DBN＝35°，∠ECN＝22°，BC＝9cm请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．（结果精确到0.1cm）（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）7．（2023•山西）2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022﹣2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选，在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸（也叫护坡）．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算BC和AB的长度（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73，≈1.41）．课题母亲河驳岸的调研与计算调查方式资料查阅、水利部门走访、实地查看了解调查内容功能驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物材料所需材料为石料、混凝土等驳岸时剖面图相关数据及说明：图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，AE和CD均与地面平行，岸墙AB⊥AE于点A，∠BCD＝135°，∠EDC＝60°，ED＝6m，AE＝1.5m，CD＝3.5m．计算结果…交通展示…8．（2023•河南）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB＝30cm，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H．经测量，点A距地面1.8m，到树EG的距离AF＝11m，BH＝20cm．求树EG的高度（结果精确到0.1m）．9．（2023•济南）图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC＝123°，该车的高度AO＝1.7m．如图2，打开后备厢，车后盖ABC落在AB'C'处，AB'与水平面的夹角∠B'AD＝27°．（1）求打开后备厢后，车后盖最高点B'到地面l的距离；（2）若小琳爸爸的身高为1.8m，他从打开的车后盖C'处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．（结果精确到0.01m，参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，≈1.732）【中考模拟练】1．（2024•洛龙区一模）如图，某汽车车门的底边长为0.95m，车门侧开后的最大角度为72°，若将一扇车门侧开，则这扇车门底边上所有点中到车身的最大距离是（）m．A．0.95 B．0.95sin72° C．0.95cos72° D．0.95tan72°2．（2024•福田区二模）我校数学兴趣小组的同学要测量建筑物CD的高度，如图，建筑物CD前有一段坡度为i＝1：2的斜坡BE，小明同学站在山坡上的B点处，用测角仪测得建筑物屋顶C的仰角为37°，接着小明又向下走了米，刚好到达坡底E处，这是测到建筑物屋顶C的仰角为45°，A、B、C、D、E、F在同一平面内，若测角仪的高度AB＝EF＝1.5米，则建筑物CD的高度约为（）米．（精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．38.5米 B．39.0米 C．40.0米 D．41.5米3．（2024•光明区二模）如图，在坡比为的斜坡上有一电线杆AB．某时刻身高1.7米的小明在水平地面上的影长恰好与其身高相等，此时电线杆在斜坡上的影长BC为30米，则电线杆AB的高为（）米．A． B． C． D．4．（2024•安丘市一模）如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，点M，A，B在同一条直线上，经测量得到如下数据：AM＝5米，AB＝10米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为米．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.73）5．（2024•洪山区模拟）黄鹤楼位于湖北省武汉市，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑．身高1.4m的小伟今天在司门口黄鹤楼地铁站C出口（图中点A处）观察黄鹤楼的仰角α＝12.8°，前行120m来到民主路上（图中点B处）后，观察黄鹤楼的仰角β＝26.6°．那么据此可以估算出黄鹤楼的高度为m．（精确到0.1米，参考数据：，）6．（2024•兴庆区校级一模）如图，图1是一辆电动车，图2为其示意图，点A为座垫，AB⊥BC，AB高度可调节，其初始高度为35cm，CD为车前柱，CD＝122cm，∠C＝70°，根据该款车提供信息表明，当骑行者手臂DE与车前柱DC夹角为80°时，骑行者最舒适，若某人手臂长60cm，肩膀到座垫的高度AE＝42cm．若要想骑行最舒适，则座垫应调高的厘米数为．（结果按四舍五入法精确到1cm，参考数据sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）7．（2024•广安二模）如图1，某款台灯由底座、支撑臂AB、连杆BC、悬臂CD和安装在D处的光源组成．如图2是该款台灯放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂AB⊥l，AB＝22cm，BC＝35cm，CD＝40cm，固定∠ABC＝143°，可通过调试悬臂CD与连杆BC的夹角提高照明效果．（1）求悬臂端点C到桌面l的距离约为多少？（2）已知光源D到桌面l的距离为30cm时照明效果较好，那么此时悬臂CD与连杆BC的夹角∠BCD的度数约为多少？（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33）8．（2024•湖州一模）用某型号拖把去拖沙发底部地面的截面示意图如图所示，拖把头为矩形ABCD，AB＝16cm，DA＝2cm．该沙发与地面的空隙为矩形EFGH，EF＝55cm，HE＝12cm．拖把杆为线段OM，长为45cm，O为DC的中点，OM与DC所成角α的可变范围是14°≤α≤90°，当α大小固定时，若OM经过点G，或点A与点E重合，则此时AF的长即为沙发底部可拖最大深度．（1）如图1，当α＝30°时，求沙发底部可拖最大深度AF的长．（结果保留根号）（2）如图2，为了能将沙发底部地面拖干净，将α减小到14°，请通过计算，判断此时沙发底部可拖最大深度AF的长能否达到55cm？（sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）9．（2024•海口一模）木栏头灯塔是矗立在海南岛文昌市的一座航标灯塔（如图1），被称为”亚洲第一灯塔”，如图2，虎威岛A位于木栏头灯塔O的南偏西50°方向上．一艘轮船在B处测得灯塔O位于它的北偏西45°方向上，轮船沿着正北方向航行3km后，到达位于灯塔O正东方向上的C处，该船继续向北航行至直线AO上的点D处．（1）填空：∠BOC＝度，∠D＝度．（2）求点D到灯塔O的距离．（3）若轮船的航行速度为20km/h，求轮船在BD段航行了多少小时．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，≈1.73．结果精确到小数点后一位）10．（2024•辽宁模拟）如图1，在水平桌面上摆放着一个主体部分为圆柱体的透明容器．容器的截面示意图如图2所示，其中CE＝21cm，∠CEF＝90°．（1）如图3，点C固定不动，将容器倾斜至A1B1CD1位置，液面刚好位于M1E1处，点E1到直线l的距离E1K，记为hcm，测得∠E1CK＝60°，求h的值；（2）如图4，在（1）的条件下，再将容器缓慢倾斜倒出适量的液体，此时容器位于A2B2CD2位置，液面刚好位于M2E2处，E1F1，E2F2的延长线分别与直线l相交于点H，G，点C，G，H都在直线l上，测得∠E2CG＝37°，求GH的长．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，，结果精确到0.1cm）题型03解直角三角形与几何的综合【中考真题练】1．（2023•淄博）勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接EG，DG．若正方形ABCD与EFGH的边长之比为：1，则sin∠DGE等于（）A． B． C． D．2．（2023•内蒙古）如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为α，则cosα的值为（）A． B． C． D．3．（2023•杭州）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，tanα＝tan2β，则n＝（）A．5 B．4 C．3 D．24．（2023•黄石）“神舟”十四号载人飞行任务是中国空间站建造阶段的首次载人飞行任务，也是空间站在轨建造以来情况最复杂、技术难度最高、航天员乘组工作量最大的一次载人飞行任务．如图，当“神舟”十四号运行到地球表面P点的正上方的F点处时，从点F能直接看到的地球表面最远的点记为Q点，已知PF＝km，∠FOQ＝20°，cos20°≈0.9，则圆心角∠POQ所对的弧长约为km（结果保留π）．5．（2023•绥化）如图，直线MN和EF为河的两岸，且MN∥EF，为了测量河两岸之间的距离，某同学在河岸FE的B点测得∠CB