专题05 平面向量的坐标表示（解析版）

专题05平面向量的坐标表示知识总结：一、平面向量的坐标表示及坐标运算（1）平面向量的坐标表示在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作．（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有向量向量点．（3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．（4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．二、平面向量的直角坐标运算①已知点，，则，②已知，，则，，【常用结论】①减法公式：，常用于向量式的化简．②、、三点共线，这是直线的向量式方程．③=4\*GB3④牛刀小试：【题型1平面向量的坐标运算】【题型2平面向量的共线表示】【题型3平面向量的垂直表示】【题型一】平面向量的坐标运算平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．【典例1】如图，平面上，，三点的坐标分别为,,.(1)写出向量，，的坐标；(2)如果四边形是平行四边形，求的坐标.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量的坐标运算即可求解；（2）根据向量相等，即可利用坐标相等求解.【详解】（1）（2）设，由可得，所以，故【题型二】向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”．(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．【典例1】已知，，．(1)若，求的值；(2)若，且，，三点共线，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先求出的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；（2）首先求出，的坐标，依题意，根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；【详解】（1）因为，，所以，因为，所以，解得.（2）因为，，因为，，三点共线，所以，所以，解得，故的值为．【题型三】两个向量的垂直问题1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．【典例1】（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知向量，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量的坐标运算，即可计算出答案.【详解】，又，知，即.故选：A同步测试：一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的平面直角坐标系中，向量的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据图形得坐标，即可得到答案【详解】解：由图象可得，所以，故选：D．2．（2023·全国·高三专题练习）已知的顶点，，，则顶点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由平行四边形可得进而即得．【详解】因为，，，由平行四边形可得，设，则，所以，即的坐标为.故选：B.3．（2023·全国·高三专题练习）已知，若，则点的坐标为（

）A．(－2，3) B．(2，－3)C．(－2，1) D．(2，－1)【答案】D【分析】设，根据平面向量的坐标运算得出，再根据，列出方程组可求出，从而得出点的坐标.【详解】解：设，则，，根据，得，即，解得：，所以点的坐标为.故选：D.4．（2023·浙江·二模）若，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平面向量的坐标运算即可求得答案.【详解】由题意知，，故,故选：B5．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知向量，，，若，则（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】由向量的坐标运算计算即可.【详解】由题意，得，所以，解得，所以.故选：C.6．（2023春·云南昆明·高三校考阶段练习）已知点，，则与方向相反的单位向量是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出，即得解.【详解】解：由题意有，所以，所以与方向相反的单位向量是.故选：C7．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知向量，若，则实数（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】利用平面向量线性运算的坐标表示和向量共线的坐标表示求参数.【详解】，因为，所以，解得.故选：B8．（2023·广东佛山·校考模拟预测）梯形中，，已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可知，代入求解即可.【详解】在梯形中，，所以，所以.故选：C9．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知向量，若与共线，则（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】先根据向量的坐标运算规则求出，再根据向量共线的运算规则求解.【详解】，；故选：D.10．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知向量，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】若，由得出，若，由平行向量的坐标公式得出，从而得出答案.【详解】若，则，所以；若，则，解得，得不出．所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A．11．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，若，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．【详解】因为，所以，，由可得，，即，整理得：．故选：D．12．（2023·山西吕梁·统考三模）已知向量满足，且，则实数（

）A．1或 B．-1或 C．1或 D．-1或【答案】D【分析】根据向量的线性计算和垂直的坐标表示即可求解.【详解】所以，因为，所以，解得或，故选：D.二、填空题13．（2023·全国·模拟预测）向量，且，则实数_________．【答案】【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求.【详解】因为向量，所以，又，所以，得，解得．故答案为：.14．（2023·全国·模拟预测）已知向量，．若，则______．【答案】【分析】利用向量加法、减法和数量积的坐标表示求解即可【详解】因为向量，，所以，，又，所以所以，故答案为：.15．（2023春·安徽合肥·高三校考开学考试）已知向量，，．若，且，则______．【答案】【分析】根据向量垂直、平行列方程，从而求得的值.【详解】，由于、，所以，解得.故答案为：16．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知向量，，若与方向相反，则______．【答案】【分析】根据向量共线的坐标表示，列方程即可求得答案.【详解】由，共线，则，得，即，又与方向相反，故，故答案为：17．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知，若与平行，则实数______________．【答案】【分析】根据平面向量平行的坐标表示列式可得结果.【详解】因为，所以，，因为与平行，所以，得.故答案为：.18．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知向量，若