小学奥数三年级教材

第一部分数字与计算第一讲速算与巧算【专题知识点概述】本讲知识点属于计算板块的部分，难度并不大。要求学生熟记加减法运算规则和运算律，并在计算中运用凑整的技巧。巧算的几种方法：分组凑整法：就是将算式中的数分成若干组，使每组的运算结果都是整十、整百、整千......的数，再将各组的结果求和（差）加补凑整法1、移位凑整法：先把加在一起为整十、整百、整千……的数相加，然后再与其它的数相加。2、借数凑整法：有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整。其他类型的巧算二、基本运算律及公式：两个运算律：一、加法加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，他们的和不变。即：a＋b＝b＋a其中a，b各表示任意一数．例如，7＋8＝8＋7＝15.总结：多个数相加，任意交换相加的次序，其和不变．加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再与第一个数相加，他们的和不变。即：a＋b＋c＝（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）其中a，b，c各表示任意一数．例如，5＋6＋8＝（5＋6）＋8＝5＋(6＋8).总结：多个数相加，也可以把其中的任意两个数或者多个数相加，其和不变。二、减法在连减或者加减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时要带数字前面的运算符号“搬家”．例如：a－b－c＝a－c－b，a－b＋c＝a＋c－b，其中a，b，c各表示一个数．在加减法混合运算中，去括号时：如果括号前面是“＋”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号不变；如果括号前面是“－”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”．如：a＋（b－c）＝a＋b－ca－（b＋c）＝a－b－ca－（b－c）＝a－b＋c在加、减法混合运算中，添括号时：如果添加的括号前面是“＋”，那么括号内的数的原运算符号不变；如果添加的括号前面是“－”，那么括号内的数的原运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”。如：a＋b－c＝a＋（b－c）a－b＋c＝a－（b－c）a－b－c＝a－（b＋c）【重点难点解析】找出题目中可以进行“凑整”的数。利用运算律或者公式调整运算顺序。【竞赛考点挖掘】做复杂、多个数的连加计算时，利用运算律或者公式，尽量避免进位。适当调整运算顺序。【习题精讲】【例1】（难度等级※）计算：（1）117＋229＋333＋471＋528＋622（2）（1350＋249＋468）＋（251＋332＋1650）（3）756－248－352（4）894－89－111－95－105－94【分析与解】在这个例题中，主要让学生掌握加、减法分组凑整的方法。几个数相加，可以先把可以凑整的几个数分成一组；一个数连续减去两个数，可以先把后两个数相加凑整，再用这个数减去后两个数的和．具体分析如下：（1）式＝（117＋333）＋（229＋471）＋（528＋622）＝450＋700＋1150＝（450＋1150）＋700＝1600＋700＝2300（2）式＝1350＋249＋468＋251＋332＋1650＝（1350＋1650）＋（249＋251）＋（468＋332）＝3000＋500＋800＝4300（3）式＝756－（248＋352）＝756－600＝156（4）式＝（894－94）－（89＋111）－（95＋105）＝800－200－200＝400【例2】（难度等级※）计算：（1）1348－234－76＋2234－48－24（2）1847－1936＋536－154－46（3）1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+13+……+2006（4）2003+2002-2001-2000+1999+1998-1997-1996+3+2-1【分析与解】在这个例题中，主要让学生掌握加减法混合运算分组凑整的方法，在凑整的过程中，要注意运算符号的变化或者带着符号搬家．具体分析如下：（1）式＝（1348－48）＋（2234－234）－（76＋24）＝1300＋2000－100＝3200（2）式＝1847－（1936－536）－（154＋46）＝1847－1400－200＝247（3）式＝1+（2-3-4+5）+（6-7-8+9）+（10-11-12+13）+……+（2002-2003-2004+2005）+2006＝2007（4）式＝（2003+2002-2001-2000）+（1999+1998-1997-1996）+……+（3+2-1-0）＝4×（2004÷4）＝2004【例3】（难度等级※）计算6472－(4476－2480)＋5319－(3323－1327)＋9354－(7358－5362)＋6839－(4843－2847)【分析与解】原式＝（6472＋5318＋1）＋（9354＋6836＋3）－（4480－2480－4）－(3327－1327－4)－(7362－5362－4)－(4847－2847－4)＝11790＋16190－2000－2000－2000－2000＋20＝27980－8000＋20＝20000【例4】（难度等级※）乒乓球训练所为了方便乒乓球的管理与取放，将乒乓球放在如右图所示的容器中，已知这个容器可以放20层乒乓球，最下面一层可以放12个，每层都比上一层多1个，问这个容器可以盛放多少个乒乓球？【分析与解】因为这些乒乓球从下向上看，从第2层起，每层比下一层多1根，共有20层，所以这个容器中的乒乓球总数为：12+13+14+…+29+30+31=（12+31）+（13+30）+（14+29）+…+（21+22）=43×10=430【例5】（难度等级※※）有一个挂钟，一点钟敲1下，两点钟敲2下，三点钟敲3下，…十二点钟敲12下，每逢分针指向6时敲1下。问：这个挂钟一昼夜共敲多少下？【分析与解】一昼夜有24个小时，把整点的与分针指向6时的分开算，整点一共敲：1+2+3+…+10+11+12+1+2+3+…+10+11+12=（1+2+3+…+10+11+12）×21+2+3+…+10+11+12=（1+12）+（2+11）+（3+10）+…+（6+7）=13×6=7878×2=156指向6时一共敲24下，所以，一昼夜一共敲156+24=180（下）【例6】（难度等级※※）计算（1）298＋396＋495＋691＋799＋21（2）195＋196＋197＋198＋199＋15（3）98－96－97－105＋102＋101（4）399＋403＋297－501【分析与解】在这个例题中，主要让学生掌握加法运算加补凑整的方法．具体分析如下：（1）（法1）原式＝298＋396＋495＋691＋799＋2＋4＋5＋9＋1＝（298＋2）＋（396＋4）＋（495＋5）＋（691＋9）＋（799＋1）＝300＋400＋500＋700＋800＝2700（法2）原式＝（300－3）＋（400－4）＋（500－5）＋（700－9）＋（800－1）＋21＝300＋400＋500＋700＋800－3－4－5－9－1＋21＝2700（2）（法1）原式＝（195＋5）＋（196＋4）＋（197＋3）＋（198＋2）＋（199＋1）＝200＋200＋200＋200＋200＝1000（法2）原式＝（200－5）＋（200－4）＋（200－3）＋（200－2）＋（200－1）＋15＝200＋200＋200＋200＋200＝1000（3）原式＝（100－2）－（100－4）－（100－3）－（100＋5）＋（100＋2）＋（100＋1）＝100－100－100－100＋100＋100－2＋4＋3－5＋2＋1＝3（4）原式＝（400－1）＋（400＋3）＋（300－3）－（500＋1）＝400－1＋400＋3＋300－3－500－1＝598注：在（1）中，在加100时多加了1，所以要减去，这样保证结果不变，所以“多加的要减去”；（2）中，少加了2，在后面要加上，所以“少加的要加上”；（3）中，多减了2，所以要加上，所以“多减的要加上”；（4）中，少减了3，后面要再减去3，所以“少减的要再减”．【例7】（难度等级※※）计算：（1）19+199+1999+……+199……91999个9（2）2002+2001-2000-1999+…+6+5-4-3+2+1【分析与解】原式＝2222……0-1999×11999个2＝22……202211996个2（2）原式＝2002-2000+2001-1999+…+6-4+5-3+2-1＝2×1001+1=2003＝2002+1＝2003【例8】（难度等级※※※）计算9+99+999+……+9999999999个9【分析与解】本题可以把所有的加数均看成整十、整百、整千……的数，最后再进行补数原式＝10+100+1000+……+10000000000-99个0＝1111111110-9＝1111111101【例9】（难度等级※※※）计算（1）19971997＋9971997＋971997＋71997＋1997＋997＋97＋7（2）83＋86＋95－85＋86－94＋95＋94＋86＋92＋87＋80＋93＋100－89＋83＋96＋98【分析与解】（1）（法1）原式＝（19972000－3）＋（9972000－3）＋（972000－3）＋（72000－3）＋（2000－3）＋（1000－3）＋（100－3）＋（10－3）＝19972000＋9972000＋972000＋72000＋2000＋1000＋100＋10－8×3＝30991110－24＝30991086（法2）原式＝10000000+9000000×2+900000×3+70000×4+1000×5+900×6+90×7+7×8＝10000000+18000000+2700000+280000+5000+5400+630+56＝30991086（2）原式＝83＋86＋95－83-2＋86－94＋95＋94＋86＋92＋87＋80＋93＋100－87-2＋83＋96＋98＝90×12-4+5-2-4+5-4+2-10+3+10-2-7+6+8＝1080+6＝1086总结:找“基准数”法：当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”（要注意把多加的数减去，把少加的数加上）【例10】（难度等级※※※）加法金字塔，计算右面数的和【分析与解】这一列数的前九行是从上到下、从小到大排，后九行是从下到上、从大到小排，所以从中间对折，上、下对应的两个数字之和是10，由此推知，个位的18个数之和是（1+9）+（3+7）+（4+6）+…+（1+9）=10×9=90，同理，十位的16个数之和是80，百位的14个数之和是70……亿位的两个数之和是10，按照加法进位的法则，上面的金字塔的结果是1234567890。【例11】（难度等级※※※）计算（1）100－101＋102－103＋104－105＋106－107＋108（2）123＋234＋345－456＋567－678＋789【分析与解】（1）原式＝100＋（102－101）＋（104－103）＋（106－105）＋（108－107）＝100＋1＋1＋1＋1＝104（2）（法1）原式＝123＋234＋345＋（567－456）＋（789－678）＝123＋234＋345＋111＋111＝234＋（123＋567）＝234＋690＝924（法2）原式＝123+（123+111）+（123+222）-（123+333）+（123+444）-（123+555）+（123+666）＝123×3+（111+222-333+444-555+666）＝369+555＝924【例12】（难度等级※※※）计算：1234＋3142＋4321＋2413【分析与解】原式＝（1000＋200＋30＋4）＋（3000＋100＋40＋2）＋（4000＋300＋20＋1）＋（2000＋400＋10＋3）＝（1000＋2000＋3000＋4000）＋（100＋200＋300＋400）＋（10＋20＋30＋40）＋（1＋2＋3＋4）＝10000＋1000＋100＋10＝11110【例13】（难度等级※※※）在右图的36个格子中各有一个数，最上面一横行和最左面一竖列中的数已经填好，其余每个格子中的数等于每个格子同一横行最左面数与同一竖列最上面数之和（例如：a＝14＋17＝31），问这36个数的总和是多少？【分析与解】（法1）第二横行的空格应该填的数字分别是11＋12，13＋12，15＋12，17＋12，19＋12，同理，下面每一横行都是用竖列的一个数与横行的每一个数相加．我们最后要求这36个格子中的所有数字之和，第一横行的和为：10＋11＋13＋15＋17＋19＝（10＋15）＋（11＋19）＋（13＋17）＝85，第二横行的和为：12＋11＋12＋13＋12＋15＋12＋17＋12＋19＋12＝12×6＋（11＋13＋15＋17＋19）＝147，同理，第三横行的和为：14＋11＋14＋13＋14＋15＋14＋17＋14＋19＋14＝14×6＋（11＋13＋15＋17＋19）＝159，第四横行的和为16×6＋75＝171，第五横行的和为：18×6＋75＝183，第六横行的和为：20×6＋75＝195.所以36个格子的和为85＋147＋159＋171＋183＋195＝940.（法2）法1比较笨拙，没有体现该题解法的精髓，在我们解这道题之前，我们看看下面的例子：2345468上表空格处的数等于每个格子同一横行最左面数与同一竖列最上面数之和，求这16个数之和。每列第一个数为a,所填每列和＝3a+4+6+8，所填写各列总和＝3×(3+4+5)+(4+6+8)×3，所以除角上2以外的所有数之和为4×(4+6+8+3+4+5)，所以16格总和为4×(4+6+8+3+4+5)+2＝122.再类推到原题，则有：所有数之和＝（11+13+15+17+19+12+14+16+18+20）×6+10＝940.【例14】（难度等级※※※）在134＋7，134＋14，134＋21，……，134＋210这30个算式中，每个算式的计算结果都是三位数，求这些三位数的百位数字之和．【分析与解】我们只要求百位数字之和，仔细观察这些计算结果，发现百位数字最小是1，最大是3，当134＋7×9＝134＋63时，前面的和的百位数都是1，这一共有9个数；从134＋7×10＝134＋70开始，到134＋7×23＝134＋161，这些和的百位数是2，一共有14个数；从134＋7×24＝134＋168到134＋7×30，这些和的百位数都是3，一共有7和数．所以这些算式的和的百位数字之和为：1×9＋2×14＋3×7＝58.【例15】（难度等级※※※）魔术师有6粒骰子，每粒骰子的6个面上写的数字如下：256，850，157，553，454，652；814，616，319，715，418，913；585，387，882，189，684，783；437，635，129，833，536，734；168，663，267，564，762，861；671，374，572，473，176，275这36个数没有一个相同的，魔术师将6粒骰子随意洒在桌面上，请观众将6粒骰子顶面上的6个数相加，每次魔术师都比观众加的快，你知道为什么吗？你能做到吗？【分析与解】仔细观察可以发现，在每粒骰子的6个数中，十位数都相同，个位数与百位数之和也相同，6粒骰子的十位数依次为：5，1，8，3，6，7，个位数与百位数之和依次为：8，12，10，11，9，7。当6粒骰子掷在桌面上，顶面的6个数相加，十位数之和是：5+1+8+3+6+7=30，个位数与百位数之和是：8+12+10+11+9+7=57。将十位向百位进3加进去，得：57+3=60。所以你只需计算这6个数的个位数之和，如果个位数之和为n，那么百位数之和为60-n，则这六个三位数之和的前两位是（60-n），后两位是n例如6粒骰子顶面的6个数分别是：850，715，783，437，762，275，它们的个位数之和为：0+5+3+4+3+7+2+5=22，60-22=38，所以这6个数之和是3822【作业】1、计算：195＋196＋197＋198＋199【答案】9852、计算：89+899+8999+89999+899999【答案】9999853、11+192+1993+19994+199995所得和数的数字之和是多少？【答案】20。4、请从3，7，9，11，21，33，63，77，99，231，693，985这12个数中选出5个数，使它们的和等于1995。【答案】9，77，231，693，9855、计算：1997+1-2-3+4+5-6-7+8+9-10-11+……+1993-1994-1995+1996【答案】1997挑战自己（难度等级※※※）从1999这个数里减去253以后，再加上244，然后在减去253，再加上244，……，这样一直减下去，减到第多少次，得数恰好等于0？【答案】253-244=9，1999-253=1746，1746/9=194，194+1=195，所以减到第195次，得数恰好等于0。第二讲等差数列的认识与计算【专题知识点概述】本讲知识点属于计算板块的部分，难度并不大。要求学生熟记等差数列各个公式，并在公式中找出对应的各个量进行计算。一、等差数列的定义：若干个数排成一列，称为数列。数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中数的个数称为项数。从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。例如：等差数列：3、6、9……96，这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的数列。【授课批注】一般情况下，等差数列是按照从小到大进行排列的，有时会出现从大到小排列顺序，此时可以改变数列顺序，从而让数列变为从小到大，并避免出现公差小于零的情况。二、等差数列的相关公式：通项公式：末项＝首项＋（项数－1）×公差项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2=平均数×项数平均数公式：平均数＝（首项＋末项）÷2【授课批注】第一个公式中，有时会遇到求中间项、而非末项，此时可以截取一个新的数列，把该项作为“新的末项”，即可继续用此公式。【重点难点解析】1．找出题目中首项、末项、公差、项数。2．必要时调整数列顺序。【竞赛考点挖掘】1．找到数列规律。2．适当调整数列顺序。【习题精讲】【例1】（难度等级※）2，5，8，11，14……是按照规律排列的一串数，第21项是多少？【分析与解】此数列为一个等差数列，将第21项看做末项。末项=2+（21-1）×3=62【例2】（难度等级※）计算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12【分析与解】原式=（1+12）×12÷2=78【例3】（难度等级※）计算11+12+13+14+15+16+17+18+19【分析与解】原式=（11+19）×9÷2=135【例4】（难度等级※）计算100+99+98+97+96+95+94+93+92+91+90【分析与解】原式=（100+90）×11÷2=1045【例5】（难度等级※※）把比100大的奇数从小到大排成一列，其中第21个是多少？【分析与解】该数列为等差数列，首项为101，公差为2，第21个数的项数为21.101+（21-1）×2=141【例6】（难度等级※※）已知一个等差数列第9项等于131，第10项等于137，这个数列的第1项是多少？第19项是多少？【分析与解】公差=137-131=6131=首项+（9-1）×6所以，首项=83末项（第19项）=83+（19-1）×6=191【例7】（难度等级※※）体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？【分析与解】首项=17，末项=150，公差=7项数=（150-17）÷7+1=20【例8】（难度等级※※※）已知一个等差数列第8项等于50，第15项等于71.请问这个数列的第1项是多少？【分析与解】71-50=2121÷（15-8）=3（公差）50=首项+（8-1）×3所以首项=29【例9】（难度等级※※※）一个数列共有13项，每一项都比它的前一项小7，并且末项为125，求首项是多少？【分析与解】将数列顺序进行调整：首项为125，公差为7，项数为13.所以末项（所求的“首项”）=125+（13-1）×7=209【例10】（难度等级※※※）已知等差数列15，19，23，27……443，求这个数列的奇数项之和与偶数项之和的差是多少？【分析与解】公差=19-15=4项数=（443-15）÷4+1=108倒数第二项=443-4=439奇数项组成的数列为：15，23，31……439，公差为8，和为（15+439）×54÷2=12258偶数项组成的数列为：19，27，35……443，公差为8，和为（19+443）×54÷2=12474差为12474-12258=216【例11】（难度等级※※※）建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？【分析与解】项数=（2106-2）÷4+1=527因此，层数为奇数，中间项为（2+2106）÷2=1054数列和=中间项×项数=1054×527=555458所以中间一层有1054块砖，这堆砖共有555458块。【例12】（难度等级※※※）把248分成8个连续偶数的和，其中最大的那个数是多少？【分析与解】平均数：248÷8=31第4个数：31-1=30第1个数：30-6=24末项：24+（8-1）×2=38即：最大的数为38。【例13】（难度等级※※※）求99，89，88，79，77，69，……11这个数列的和【分析与解】将该数列分解为两个等差数列：99，88，77……11；89，79，69……19改变两个数列顺序并相加：（11+99）×9÷2=495（19+89）×8÷2=432495+432=928【例14】（难度等级※※※）在289和715之间插入5个数，使这个数列成为等差数列，求这5个数的和是多少？【分析与解】数列和=（289+715）×7÷2=35143515-289-715=2510【例15】（难度等级※※※）小王和小高同时开始工作。小王第一个月得到1000元工资，以后每月多得60元；小高第一个月得到500元工资，以后每月多得45元。两人工作一年后，所得的工资总数相差多少元？【分析与解】小王：1000+60×（12-1）=1660 （1000+1660）×12÷2=15960小高：500+45×（12-1）=995（500+995）×12÷2=897015960-8970=6990即一年后两人所得工资总数相差6990元。【例16】（难度等级※※※※）把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？【分析与解】由题可知：由210拆成的7个数必构成等差数列，则中间一个数为210÷7=30，所以，这7个数分别是15、20、25、30、35、40、45.即第1个数是15，第6个数是40。【例17】（难度等级※※※※）100个连续自然数（按从小到大的顺序排列）的和是8450，取出其中第1个，第3个…第99个，再把剩下的50个数相加，结果是多少？【分析与解】我们考虑这100个自然数分成的两个数列，这两个数列有相同的公差，相同的项数，且剩下的数组成的数列比取走的数组成的数列的相应项总大1，因此，剩下的数的总和比取走的数的总和大50，又因为它们相加的和为8450.所以，剩下的数的总和为（8450+50）÷2=4250。【例18】（难度等级※※※※）求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。【分析与解】解法1：可以看出，2，4，6，…，2000是一个公差为2的等差数列，1，3，5，…，1999也是一个公差为2的等差数列，且项数均为1000，所以：原式=（2+2000)×1000÷2-（1+1999）×1000÷2=1000解法2：注意到这两个等差数列的项数相等，公差相等，且对应项差1，所以1000项就差了1000个1，即原式=1000×1=1000【例19】（难度等级※※※※）在一次数学竞赛中，获得一等奖的八名同学的分数恰好构成等差数列，总分为656，且第一名的分数超过了90分（满分为100分）。已知同学们的分数都是整数，那么第三名的分数是多少？【分析与解】他们的平均分为656÷8=8282+1、82+2、82+3……都有可能成为第四名，相对应的，公差分别为1×2=2、2×2=4、3×2=6……若第四名为82+1=83分，则第一名为83+（4-1）×2=89分，不符合题意，舍；若第四名为82+2=84分，则第一名为84+（4-1）×4=96分，不符合题意；若第四名为82+3=85分，则第一名为85+（4-1）×6=103分，不符合题意。因此，第四名为84分，公差为4，所以第三名为84+4=88分【例20】（难度等级※※※※※）把所有奇数排列成下面的数表，根据规律，请指出：197排在第几行的第几个数？1357911131517192123252729313335373943454749……【分析与解】197是奇数中的第99个数.数表中，第1行有1个数.第2行有3个数.第3行有5个数…第几行有2×行数-l个数因此，前n行中共有奇数的个数为：1+3+5+7+…+（2×行数-1）=［1+（2×行数-1）〕×行数÷2=行数×行数因为9×9＜99＜10×10.所以，第99个数位于数表的第10行的倒数第2个数，即第18个数，即197位于第10行第18个数。【作业】1、求值：（1）6+11+16+…+501（2）101+102+103+104+…+999【答案】253504944502、下面的算式是按一定规律排列的，那么，第100个算式的得数是多少？4+2，5+8，6+14，7+20，…【答案】699。3、11至18这8个连续自然数的和再加上1992后所得的值恰好等于另外8个连续数的和，这另外8个连续自然数中的最小数是多少？【答案】260。4、把100根小棒分成10堆，每堆小棒根数都是单数且一堆比一堆少两根，应如何分？【答案】分为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19。5、把一堆苹果分给8个小朋友，要使每个人都能拿到苹果，而且每个人拿到苹果个数都不同的话，这堆苹果至少应该有几个？【答案】36个。挑战自己（难度等级※※※※※）下表是一个数字方阵，求表中所有数之和.1，2，3，4，5，6…98，99，1002，3，4，5，6，7…99，100，1013，4，5，6，7，8…100，101，102…………100，101，102，103，104，105…197，198，199【答案】第一行平均数为（1+100）÷2=50.5，第二行为51.5，第三行为52.5……每行平均数的公差为1。第一行总和为50.5×100，第二行总和为51.5×100，第三行总和为52.5×100……最后一行为[50.5+（100-1）×1]×100=149.5×100。因此所有数的总和为（50.5+149.5）×100÷2×100=1000000第三讲数字找规律【专题知识点概述】在今天这节课中，我们将来研究数列问题．正确认识数列，并且掌握研究数列、发现数列规律的方法，以及获得利用规律解决问题的能力.日常生活中，我们经常接触到许多按一定顺序排列的数，如：自然数：1，2，3，4，5，6，7，…（1）年份：1990，1991，1992，1993，1994，1995，1996（2）某年级各班的学生人数（按班级顺序一、二、三、四、五班排列）45，45，44，46，45（3）像上面的这些例子，按一定次序排列的一列数就叫做数列.数列中的每一个数都叫做这个数列的项，其中第1个数称为这个数列的第1项，第2个数称为第2项，…，第n个数就称为第n项.如数列（3）中，第1项是45，第2项也是45，第3项是44，第4项是46，第5项45。根据数列中项的个数分类，我们把项数有限的数列（即有有穷多个项的数列）称为有穷数列，把项数无限的数列（即有无穷多个项的数列）称为无穷数列，上面的几个例子中，（2）（3）是有穷数列，（1）是无穷数列。研究数列的目的是为了发现其中的内在规律性，以作为解决问题的依据，本讲将从简单数列出发，来找出数列的规律。【授课批注】从日常生活中找出例子来举例说明，数列在生活中处处相关，例如日期，时间，年龄等等【重点难点解析】1、掌握一些常见的数列的规律.2、掌握一些特殊数列的规律，并熟练应用规律解决问题.3、理解掌握运用数列规律解决数阵问题.【竞赛考点挖掘】数列规律的发现综合数列的区分和解答【习题精讲】【例1】（难度等级※※）观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数.①2，5，8，11，（），17，20②19，17，15，13，（），9，7③1，3，9，27，（），243④64，32，16，8，（），2【分析与解】①不难发现，从第2项开始，每一项减去它前面一项所得的差都等于3.因此，括号中应填的数是14，即：11＋3=14。②同①考虑，可以看出，每相邻两项的差是一定值2.所以，括号中应填11，即：13—2=11。③此数列中，从相邻两项的差是看不出规律的，但是，从第2项开始，每一项都是其前面一项的3倍.即：3=1×3，9=3×3，27=9×3.因此，括号中应填81，即81=27×3，代入后，243也符合规律，即243＝81×3。④与③类似，本题中，从第1项开始，每一项是其后面一项的2倍，即：因此，括号中填4，代入后符合规律。【例2】（难度等级※※）（1）1，1，2，3，5，8，（），21，34…（2）1，3，4，7，11，18，（），47…（3）1，3，6，10，（），21，28，36，（）.（4）1，2，6，24，120，（），5040。【分析与解】（1）首先可以看出，这个数列既不是等差数列，也不是等比数列.现在我们不妨看看相邻项之间是否还有别的关系，可以发现，从第3项开始，每一项等于它前面两项的和.即2=1+1，3=2+1，5=2+3，8=3＋5.因此，括号中应填的数是13，即13=5+8，21=8+13，34=13+21。（2）从第3项开始，每一项都等于其前两项的和.因此，括号中应填的是29，即29=11＋18。（3）这一列数有如下的规律：第1项：1=1第2项：3=1＋2第3项：6=1+2+3第4项：10=1+2+3+4第5项：（）第6项：21=1+2+3+4+5+6第7项：28=1+2+3+4+5+6+7第8项；36=1+2+3+4+5+6+7+8第9项：（）即这个数列的规律是：每一项都等于从1开始，以其项数为最大数的n个连续自然数的和.因此，第五项为15，即：15=1+2+3+4+5；第九项为45，即：45=1+2+3+4+5+6+7+8+9。（4）显然：第1项1=1第2项2=1×2第3项6=1×2×3第4项24=1×2×3×4第5项120=1×2×3×4×5第6项（）第7项5040=1×2×3×4×5×6×7所以，第6项应为1×2×3×4×5×6=720【例3】（难度级别※※）（1）4＋2，5＋8，6＋14，7＋20，（），……（2）（1，2，100），（2，4，90），（3，8，80），（4，16，70），（）（3）1×3，2×2，1×1，2×3，1×2，2×1，1×3，（）【分析与解】（1）4＋2，5＋8，6＋14，7＋20，（），……这排加法算式，前面一个数构成数列：4，5，6，7，……；后一个数构成数列：2，8，14，20，……．对于数列4，5，6，7，……，由观察得知，第2项等于第1项加上1，第3项等于第1项加上2，第4项等于第1项加上3，……，所以第5项等于第1项加上4，即4＋4＝8．同理，数列：2，8，14，20，……，第2项等于第1项加上1×6，第3项等于第1项加上2×6，第4项等于第1项加上3×6，……，所以第5项等于第1项加上4×6，即2＋4×6＝26．所以，括号里应填8+26．（2）（1，2，100），（2，4，90），（3，8，80），（4，16，70），（）观察这个数列中每一组中对应位置上的数字，可以得到如下规律：每组第一个是1、2、3、4、......这是一个自然数列，第二个是2、4、8、16、......，这是一个等比数列，第三个100、90、80、70......，这是一个递减的等差数列；所以，第5组中的数应该是：5，16×2，70-10，即第五组的括号中应填（5，32，60）．（3）1×3，2×2，1×1，2×3，1×2，2×1，1×3，（）这是一排乘法算式，观察可以发现，前面一个数的规律是：1，2，1，2，1，2，1……；后一个数的规律是：3，2，1，3，2，1，3，……，对于第一个数列，是由1、2两个数字循环组成的，所以第八项应为2；对于第二个数列，是由3、2、1循环组成的，所以第八项的第二个数字应为2．所以，括号里应填2×2．【例4】（难度级别※※）1，2，2，3，3，4，4，5，5，6，……是一串按照某规律排列的自然数，请问其中第51个数至第55个数的和是多少？【分析与解】观察可以发现，数列的规律是两个一组，即1，2；2，3；3，4；…，每一组的第一个数为从1开始的自然数列，而且是这一组的组数，每组的两个数为连续自然数，因为51÷2=25…1，说明第51个数是第26组的第一个数，应该是26，从第51个数到第55个数一共有5个数，分别为：26，27，27，28，28，所以它们的和为：26+27+27+28+28=136.【例5】（难度级别※※）1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，…．上面是一串按某种规律排列的自然数，问其中第101个数至第110个数之和是多少？【分析与解】观察发现，数列的规律为三个一组、三个一组，即1、2、3；2、3、4；3、4、5；4、5、6；……每一组的第一个数为从1开始的自然数列，每一组中的三个数为连续自然数，每组的第一个数都是这个组的组数；因为101÷3=33......2，说明第101个是第33+1=34组中的第二个数，那么应该是34+1=35；从101到110共有110-101+1=10个数，那么这10个数分别是：35、36，35、36、37，36、37、38，37、38；所以，他们的和为35+36+35+36+37+36+37+38+37+38=365．【例6】（难度级别※※）一串数按下面规律排列：1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6……，问从左面第一个数起，数100个数，这100个数的和是多少？【分析与解】观察题中这一串数，容易想到把它们三个三个的分组：（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），……可以发现这串数的排列有这样的规律：第1、2、3、……组中第一个数依次为1，2，3，……每一组数都是由3个连续自然数组成，它们的和等于中间一个数的3倍．100÷3=33……1，也就是说，第100个数在第34组中，并且是34．求前100个数的和，就是求前33组数的和与34的和是多少．2×3＋3×3＋4×3＋……＋34×3＋34=1816，或者（6+102）×33÷2+34=1816【例7】（难度级别※※※）小王和小李玩数字游戏，小王说：“我先报数，你得按规律往下报，不许瞎报.”于是小王先报：“172.”小李说：“没看到规律，我报不出，你再报两个.”小王又报：“84，40.”小李说：“行了，我报18，7.”你知道小王下一个该报几吗？【分析与解】小王接着无法报了，因为观察小王和小李报出的所有数：172，84，40，118，7，可以发现，报数的规律是按前一数的一半减2后往下报的，但是7再往下报的话就不是整数了，所以小王接着无法再往下报了.【例8】（难度级别※※※）先观察下面各算式，再按规律填数．（1）12345679×9=111111111（2）21×918=222222222321×9=288912345679×27=3333333334321×9=3888912345679×____=44444444454321×9=（）12345679×_____=666666666654321×9=（）【分析与解】（1）在这一组算式中，被乘数不变，乘数和积都在变化．和第一个算式比，乘数扩大多少倍，积也就扩大多少倍．根据这一规律可知，空格中的数分别为9×4=36，9×6=54．（2）通过观察可以看出这是一组排列有序的数字“梯田”，一层一层有规律的向下延伸．乘号前面是21、321、4321，乘号后面都是9，相乘的答案的最高位分别是1、2、3，而位数分别是三位数、四位数、五位数．由此可得：54321×9的最高位是4，位数是5+1＝6，个位上都是9，其余各位都是8；654321×9的最高位是5，个位是9，其余各位都是8，位数是6+1＝7．所以，54321×9=488889，654321×9=5888889．【例9】（难度级别※※※）在下面各题的五个数中，选出与其他四个数规律不同的数，并把它划掉，再从括号中选一个合适的数替换。①42，20，18，48，24（21，54，45，10）②15，75，60，45，27（50，70，30，9）③42，126，168，63，882（27，210，33，25）【分析与解】①中，42、18、48、24都是6的倍数，只有20不是，所以，划掉20，用54代替。②15、75、60、45都是15的整数倍数，而27不是，用30来替换27。③同上分析，发现这些数中，42、126、128、882都是42的整数倍，而63却不是.因此，用210来代替63。【例10】（难度级别※※※）1+2+1=1+2+3+2+1=1+2+3+4+3+2+1=1+2+3+4+5+4+3+2+1=根据上面四式的计算规律求：1+2+3+…+9+10+9+…+3+2+1=【分析与解】这道题可以利用简便方法计算出上面四个算式的结果，从中找出答案规律.1+2+1=2+(1+1)=2×2=4,1+2+3+2+1=3+(2+1)+（2+1）=3×3=9，1+2+3+4+3+2+1=4+（1+3）+（2+2）+（1+3）=4×4=16，1+2+3+4+5+4+3+2+1=5+（1+4）+（1+4）+（3+2）+（3+2）=5×5=25，可以发现：算式的答案等于加法算式中间一个加数（最大的数）乘以自己.所以，1+2+3+…+9+10+9+…+3+2+1=10×10=100.【例11】（难度级别※※※）先找规律，再填数3×4=1233×34=1122333×334=1112223333×3334=1111222233333×33334=()333333333×333333334=()【分析与解】通过观察可以看出这是一组排列有序的数字“梯田”，一层一层有规律的向下延伸．乘号前面是3、33、333、3333、33333、333333333，乘号后面分别是4、34、334、3334、33334、333333334，乘数与被乘数位数相同，相乘的答案的位数分别是乘数与被乘数的位数和，而且积是有规律的，它所含有的1的个数和2的个数相等，都是乘数或被乘数的位数．所以括号中分别填1111122222和111111111222222222．【例12】（难度级别※※※）自然数1，2，3，4……排成如下数阵：第一列第二列第三列第四列第五列第六列……1357911……24681012……35791113……468101214……问这个数阵中的第15列上起第3个数是（）【分析与解】观察这个数阵中的数的排列规律，可以发现：每列的第二个数都是双数，并且是每列序数的2倍：每列的四个数是4个连续自然数按从小到大的顺序排列；除2以外，其它双数均出现2次．因此，第15列上起第2个数是：2×15=30，第三个数就是31.【例13】（难度级别※※※※）有一列由三个数组成的数组，它们依次是(1，5，10)；(2，10，20)；(3，15，30)；……．问第99个数组内三个数的和是多少？【分析与解】观察每一组中对应位置上的数字，每组第一个是1、2、3、......的自然数列，第二个是5、10、15、......，分别是它们各组中第一个数的5倍，第三个10、20、30、......，分别是它们各组中第一个数的10倍；所以，第99组中的数应该是：99、99×5、99×10，三个数的和=99+99×5+99×10=1584．【例14】（难度级别※※※※）1＋1，2＋3，3＋5，4＋7，1＋9，2＋11，3＋13，4＋15，1＋17，……，那么其中第多少个算式的结果是2008？【分析与解】先找出规律：每个式子由2个数相加，第一个数是1、2、3、4的循环，第二个数是从1开始的连续奇数．因为2008是偶数，2个加数中第二个一定是奇数，所以第一个必为奇数，所以是1或3，如果是1：那么第二个数为2008－1=2007，2007是第（2007+1）÷2=1004项，而数字1始终是奇数项，两者不符，所以这个算式是3+2005=2008，是（2005＋1）÷2=1003个算式．【例15】（难度级别※※※※）下面是一组数列，每3个相邻数字之和都是17，你知道“？”表示的数字是几吗？8（）（）（）？（）（）（）（）（）6【分析与解】根据每三个相邻数之和为17，可知倒数第二个数与倒数第三个数之和为17－6=11推出倒数第四个数为6，倒数5、6之和为11，则问号为17－11=6【作业】1.按一定的规律在括号中填上适当的数：（1）1，1，3，7，13，（），31。（2）1，3，7，15，31，（），127，255。(3)1，4，9，16，25，（），49，64。(4)0，3，8，15，24，（），48，63。（5)1，2，2，4，3，8，4，16，5，（）.(6)2，1，4，3，6，9，8，27，10，（）.【答案】21，63，36，35，32，812.按一定的规律在括号中填上适当的数：（1）1，2，3，4，5，（），7…（2）100，95，90，85，80，（），70（3）1，2，4，8，16，（），64【答案】6，75，323.按一定的规律在括号中填上适当的数：（1）.2，1，3，4，7，（），18，29，47（2）.1，2，5，10，17，（），37，50（3）.1，8，27，64，125，（），343（4）.1，9，2，8，3，（），4，6，5，5【答案】11，26，216，74.观察下面的算式：4×2，5×4，6×6，4×8，5×10，6×12，4×14，5×16，……其中第多少个算式的结果是2008？【答案】2515.下图是按一定的规律排列的数学三角形，请你按规律填上空缺的数字.12436948121651015（）2561218（）3036【答案】20，24挑战自己（难度等级※※※※※）将自然数中的偶数2，4，6，8，10…按下表排成5列，问2000出现在哪一列？【答案】A列第四讲等量代换【专题知识点概述】等量代换。用一种量（或一种量的一部分）来代替和它相等的另一种量（或另一种量的一部分）。“等量代换”是指一个量用与它相等的量去代替，它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础.数学思想方法不仅有着广泛的应用，而且是今后进一步学习数学的基础。【授课批注】本讲通过图形和文字形式锻炼学生的代数思想，在授课过程中，尽量用图形文字来表示数字，对高水平的学生可以尝试使用字母。【重点难点解析】寻找等量关系【竞赛考点挖掘】较难等量代换和代数方法的综合【习题精讲】【例1】（难度等级※）如右图，一个▽=（）个○？【分析与解】方法一：3个□和3个▽一样重，可以知道1个□和一个▽也一样重；也就是2个▽和6个○一样重，可知1个▽就等于3个○。方法二：把天平图改写成算式：因为，○+○+○+○+○+○=□+□所以，□=○+○+○又因为，▽+▽+▽=□+□+□所以，▽=□得到：▽=○+○+○方法三：我是用替换的方法：把□→▽，因此，□→▽，□→▽，□→▽因为，所以，从中得出：▽=○+○+○【例2】（难度等级※）最大的球的重量是（）克。30克30克图2图1图2图1图3图3【分析与解】方法一：发现图（1）中，左边比右边多一个花皮球，所以一个花皮球就是30克。那么2个花皮球就是60克，3个白皮球与2个花皮球一样重，可知一个白皮球为20克。根据图（3），最大的球就是80克。方法二：用算式来解：由图（1）得：++=++30所以=30（克）由图（2）得：++=60（克）所以，=20（克）由图（3）得：最大的球=4×20=80(克)【例3】（难度等级※※）△+□=9△+△+□+□+□=25△=();□=()【分析与解】方法一：因为△+□=9，我们就可把△+△+□+□+□=25中的△+□换成9，变成9+△+□+□=25；再替换一次，变成9+9+□=25，可以得出□=7；再根据△+□=9和求出的□=7，可以求出△=2。方法二：1个△加1个□等于9，那么2个△加2个□的和就是18。因为2个△加3个□等于25，所以18+□=25。由此得出1个□是7，那么一个△就是2了。解：2×9=18□：25-18=7△：9-7=2答：△=2；□=7。【例4】（难度等级※※）已知△+○=24○=○+△。那么△和○各代表多少？【分析与解】将两个等式编号：（1）△+○=24（2）○=△+△将（1）式中的○用（2）式中的2个△代替得△+△+△=24所以△=24÷3=8○=8+8=16【例5】（难度等级※※）1个苹果和几个草莓一样重？【分析与解】由第二幅图知道，1个苹果和2个梨一样重，1个梨和2个草莓一样重，那么2个梨和4个草莓一样重。所以1个苹果=2个梨=4个草莓。【例6】（难度等级※※）根据图，想一想，一只猫相当于几只小甲壳虫的重量？【分析与解】由第三幅图知道，1条鱼和4只小甲壳虫一样重，那么3条鱼和12只小甲壳虫一样重，我们这样想：1只鸡=3条鱼=12只小甲壳虫，那么，2只鸡=6条鱼=24只小甲壳虫。又因为1只猫=2只鸡，所以1只猫=2只鸡=6条鱼=24只小甲壳虫【例7】（难度等级※※※）根据图，想一想，一颗五角星等于几个圆？？？【分析与解】由图知道，1个三角=2个圆，1颗五角星=3个三角，那么3个三角=6个圆，所以，1颗五角星=3个三角=6个圆，即1颗五角星=6个圆。【例8】（难度等级※※※）已知13个李子的重量等于2个苹果和1个桃子的重量，而4个李子和1个苹果的重量等于1个桃子的重量，问多少个李子的重量等于1个桃子的重量？【分析与解】由题意列等式：13桃=2苹+1桃（1）4李+1苹=1桃（2）把（2）式代入（1）式得：13李=2苹+4李+1苹即9李=3苹即3李=1苹（3）把（3）式代入（2）式得4李+3李=1桃即7李=1桃即7个李子重量等于1个桃子的重量。【例9】（难度等级※※）如果鱼尾重4公斤，鱼头重量等于鱼尾加上鱼身一半的重量，而鱼身重量等于鱼头加鱼尾的重量，问这条鱼有多少公斤重？【分析与解】依题意列出下列等式：尾=4（1）头=尾+身÷2（2）身=头+尾（3）由于等式左右两边同乘以一个数，结果仍相等所以把（2）式两边同乘以2得：2头=2尾+身（4）把（3）式代入（4）式得：2头=2尾+头+尾即：头=3尾=3×4=12公斤身=头+尾=12+4=16公斤所以，全鱼=头+身+尾=12+16+4=32公斤【例10】（难度等级※※）张老师买了3个足球，2个篮球，李老师买了2个足球，4个篮球，他们每人均花了80元。问1个足球多少钱，1个篮球多少钱。【分析与解】由题意列等式：3足+2篮=80元2足+4篮=80元张老师比李老师多买1个足球，但是比李老师少买2个篮球，他们两个人花的钱又是一样多，所以1个足球和2个篮球的价钱一样。3足+2篮=80元就可以变成3足+1足=80元即4足=80元即1个足球的价钱80÷4=20元1个篮球的价钱20÷2=10元【例11】（难度等级※※※）一支钢笔的价钱是一支活动铅笔价钱的5倍，问买30支活动铅笔的钱能买几支钢笔？【分析与解】方法1：列出下列等式：1支钢笔=5支铅笔（1）改写成30支铅笔=6×5支铅笔（2）把（1）式代入（2）式得：30支铅笔=6×1支钢笔=6支钢笔方法2：用字母x代表1支钢笔的价钱，用字母

y代表1支铅笔的价钱，依题意可列出等式：x=5y因为30y=6×5y用x代替5y得30y=6x【作业】1、□□=

□=▲▲▲▲

=（）个▲【答案】82.看图回答，（）杯水可以注满一壶。【答案】83.☆+☆+☆+○=22；☆+☆+☆+○+○+○=30○=（）；☆=（）【答案】4，64.假若20只兔子可换2只羊，9只羊可换3只猪，8头猪可换2头牛，那么用5头牛可换多少只兔子？【答案】6005.小明去文具店买了6支铅笔和5个笔记本，共花去了1元3角5分钱，已知3支铅笔的价钱与2个笔记本的价钱相等，求1支铅笔和1个笔记本各要多少钱？【答案】铅笔10分，笔记本15分成功的智慧在于专注与单纯英国某家报纸曾举办一项高额奖金的有奖征答活动。题目是：在一个充气不足的热气球上，载着3位关系人类兴亡的科学家。第一位是环保专家，他的研究可拯救无数人免于因环境污染而面临死亡的噩运。第二位是原子专家，他有能力防止全球性的原子战争，使地球免于遭受灭亡的绝境。第三位是粮食专家，他能在不毛之地运用专业知识成功地种植谷物，使几千万人脱离因饥荒而亡的命运。此刻热气球即将坠毁，必须丢出一个人以减轻载重，使其余2人得以生存。请问，该丢下哪一位科学家？问题刊出后，因为奖金的数额相当庞大，各地答复的信件如雪片飞来。在这些答复的信中，每个人皆竭尽所能，甚至天马行空地阐述他们认为必须丢下哪位科学家的见解。最后结果揭晓，巨额奖金得主是一个小男孩。他的答案是——将最胖的那位科学家丢出去。小男孩睿智而幽默的答案，是否给我们以足够的提醒：单纯的思考方式，往往比钻牛角尖更能获得良好的成功。任何疑难问题的最好的解决方法，只有一种，就是能真正切合该问题所需求的，而非惑于问题本身的盲目探讨。一位农场主巡视谷仓时，不慎将—只名贵的手表遗失在谷仓里。他遍寻不获，便定下赏价，承诺谁能找到手表，就给他50美元。人们在重赏之下，都卖力地四处翻找，可是谷仓内到处都是成堆的谷粒，要在这当中找寻—只小小的手表，谈何容易。许多人一直忙到太阳下山，仍一无所获，只好放弃了50美元的诱惑而回家了。仓库里只剩下一个贫困的小孩，仍不死心，希望能在天完全黑下来之前找到它，以换得赏金。谷仓中慢慢变得漆黑，小孩虽然害怕，仍不愿放弃，不停地摸索着，突然他发现在人声安静下来之后，有一个奇特的声音。那声音滴答、滴答不停地响着，小孩顿时停下所有的动作，谷仓内更安静了，滴答声也变得十分清晰，是手表的声音。终于，小孩循着声音，在漆黑的大谷仓中找到了那只名贵的手表。这个小孩成功的法则其实很简单：专注地对待一件事，你总会打开成功的门栓。在喧闹的尘世中生活久了，我们会忘记曾经有过的简单的日子。心灵不再像从前一样纯净，而是充斥了很多自寻烦恼的细胞。有人把这种变化解释为成熟，然而就是这种自以为是的成熟，使我们在生活的道路上人为地设置了很多不必要的路障。把2个孩子的故事结合起来，也就是等于告诉我们一个成功的法则，那就是专注与单纯。其实，它原本就存在于每个人的心中，重要的是你要循着你内心正面的引导，真正地去寻找它，并且不要被复杂的能力所带来的困惑，而要专注、单纯地思考，那么，你将会听到清晰的滴答声，你也终将获得人生的智慧。第二部分典型应用题第一讲归一问题【专题知识点概述】归一问题是一类典型应用题，这类问题是用等分除法求出一个单位的数值(单一量)之后，再求出题目所要求解的问题，解答归一问题的方法叫做归一法。归一问题可以分为两种：一种是求总量的，叫做正归一问题（也称直进归一），另一种是求份数的，叫做反归一问题（也称返回归一）。归一问题在日常生活和生产中经常遇到。【授课批注】归一问题的教学关键是要让学生熟练掌握乘除法的数量关系，理解正反归一的相同点和不同点，并灵活应用。正反归一问题的相同点是：一般情况下第一步先求出单一量；不同点在于第二步，正归一问题是求几个单一量是多少，反归一是求包含多少个单一量。一、归一问题复合应用题中的某些问题，解题时需先根据已知条件，求出一个单位量的数值，如单位面积的产量、单位时间的工作量、单位物品的价格、单位时间所行的距离等等，然后，再根据题中的条件和问题求出结果。这样的应用题就叫做归一问题，这种解题方法叫做“归一法”。有些归一问题可以采取同类数量之间进行倍数比较的方法进行解答，这种方法叫做倍比法。解答归一问题的关键是求出单位量的数值，再根据题中“照这样计算”、“用同样的速度”等句子的含义，抓准题中数量的对应关系，列出算式，求得问题的解决。有的问题一次归一不能解决，需要两次归一或与倍比相结合才能解决。【授课批注】在整数范围内，归一问题的常用解法有两种，一种是归一法，另一种是倍比法，而且这两种解法还可以灵活运用。在整数范围内，用倍比法解除不尽时，只能用归一法解．在整数范围内，用归一法解除不尽时，只能用倍比法解，也有的两种方法都可以用。【重点难点解析】1．对归一问题概念的理解。2．归一法以及倍比法的区别和内在联系。3．归一问题的特点以及常见题型的解法。【竞赛考点挖掘】1．归一法和倍比法在实际问题中的灵活应用。2．需要多次归一的问题以及正反归一的综合应用。【习题精讲】【例1】（难度级别※）某人步行，3小时行15千米，7小时行多少千米？【分析与解】15÷3×7＝35（千米）。答：7小时行35千米。【例2】（难度级别※）小红骑车3分钟行600米，照这样的速度她从家到学校行了10分钟，小红家到学校有多少米？【分析与解】600÷3×10=200×10=2000（米）。答：小红家到学校有2000米。【例3】（难度级别※※）一个打字员15分钟打了1800个字，照这样的速度，1小时能打多少个字？【分析与解】先求1分钟能打多少个字，再求1小时能打多少个字。1分钟能打多少个字：1800÷15=120（个）1小时能打多少个字：120×60=7200（个）综合算式：1800÷15×60=120×60=7200（个）。【例4】（难度级别※※）一艘轮船4小时航行108千米，照这样的速度，继续航行270千米，共需多少小时？【分析与解】先求每小时航行多少千米，再求航行270千米需要几小时，最后求出共需多少小时。每小时航行多少千米：108÷4=27（千米）270千米需航行多少小时：270÷27=10（小时）共需多少小时：10+4=14（小时）综合算式：270÷（108÷4）+4=270÷27+4=10+4=14（小时）。【例5】（难度级别※※）某运输公司用6辆汽车运水泥，每天可运96吨。根据运输情况，现在增加4辆同样的汽车，每天一共运水泥多少吨？【分析与解】“增加4辆同样的汽车”，每天一共运水泥多少吨，应是增加的汽车运输量与增加前的运输量的和，即10辆汽车的运输量。96÷6×（6+4）=16×10=160（吨）。答：每天可运水泥160吨。【例6】（难度级别※※※）5个人2小时植树20棵，6个人3小时植树多少棵？【分析与解】要求6个人3小时植树多少棵，必须先求出5个人1小时植的棵数，再求出1个人1小时所植的棵数。20÷5÷2×6×3＝2×6×3＝36（棵）答：6个人3小时植树36棵。【例7】（难度级别※※）一辆卡车3次运货20吨。照这样算，9次可运货多少吨？【分析与解】9次是3次的3倍，每次运货量不变，运的货一定是20吨的3倍。这类解法叫“倍比法”。20×（9÷3）＝60（吨）答：9次可运货60吨。【例8】（难度级别※※※）某厂运来一批煤，计划每天用5吨，40天用完，如果改进锅炉，每天节约1吨，这批煤可以用多少天？【分析与解】从“计划每天用5吨，40天用完”中，可求出煤的总吨数，把总吨数除以改进锅炉后每天用煤量，可得用煤天数。5×40÷（5—1）＝200÷4＝50（天）答：这批煤可以用50天。【例9】（难度级别※※※）8个人10天修路840米,照这样算,20人修4200米,要_____天.【分析与解】先进行两次归一，求出每人每天修多少米，然后再求出20人每天修多少米。综合算式：4200÷(840÷10÷8×20)=20(天).【例10】（难度级别※※※※）某工厂一个车间，原计划20人4天做1280个零件，刚要开始生产，又增加了新任务，在工作效率相同的情况下，需要15个人7天才能全部完成，问增加了多少个零件？【分析与解】要求增加了多少个零件，只需先求出每人每天生产多少个零件，然后求出15个人7天生产的零件数，最后用它减去1280个零件就可得出所要求的问题。（1）每人每天生产的零件数1280÷20÷4=16（个）（2）15人7天生产的零件数16×15×7=1680（个）（3）增加的零件数1680-1280=400（个）综合算式（1280÷20÷4）×15×7-1280=16×15×7-1280=1680-1280=400（个）答：增加了400个零件．【例11】（难度级别※※※※）某车间用4台车床5小时生产零件600个，照这样算，增加3台同样的车床后，（1）8小时可以生产多少个零件？（2）如果要生产6300个零件几小时可完成？【分析与解】此题要求的两个问题都需知1台1小时生产的零件数，因条件中有小时和台数两个量，需用“两次归一”，即先求出4台1小时生产多少，再求1台1小时生产多少。600÷5＋4÷（4＋3）×8＝30×7×8＝1680（个）6300÷［600÷5÷4×（4＋3）］＝6300÷［30×7］＝30（小时）答：（1）8小时可以生产1680个零件。（2）如果要生产6300个零件30小时可以完成。【例12】（难度级别※※※）8个工人3小时制作机器零件360个，如果人数缩小了2倍，时间增加了5小时，可制作机器零件多少个？【分析与解】此题中人数缩小了2倍指现在的人数是8÷2=4（人）；时间增加了5小时指现在的时间是3＋5=8（小时）。36O÷8÷3×（8÷2）×（3+5）＝15×4×8=480（个）答：可制作机器零件480个。【例13】（难度级别※※※）某工地的一项工程，原计划由30人工作，每天工作8小时，45天完工。为了提前完工，实际由54人工作，每天工作10小时，可以提前几天完工？【分析与解】此题的关键是要先求出工程的总工时数8×30×45=10800（小时）及实际每天做工时数10×54=540（小时）。45-8×30×45÷（10×54）＝45-10800÷540＝45-20＝25（天）答：可以提前25天完工。【例14】（难度级别※※※）一根木料，锯成2段要3分钟，如果锯成6段要多少分钟?【分析与解】先求出锯一下用的时间:3÷(2-1)=1.5(分钟)；再求出锯6段用的次数:6-1=5(次)。最后求出共用的时间:1.5×5=7.5(分钟)。【例15】（难度级别※※※）光华机械厂一个车间，原计划15人3天做900个零件。生产开始后，又增加一批任务，在工作效率相同下，要10个人8天完成。问增加了几个零件?【分析与解】先求出每个人每天做的个数:900÷15÷3=20(个).再求出共做的个数:20×10×8=1600(个).最后求出增加的个数:1600-900=700(个).【例16】（难度级别※※※）一列火车从甲地开往乙地，开出2.5小时，行了150千米。照这样的速度，再行驶3小时到达乙地。甲、乙两地相距多少千米？【分析与解】先求火车每小时行多少千米，再求共行了几小时，最后求出共行了多少千米（即甲、乙两地距离）。火车每小时行多少千米：150÷2.5=60（千米）火车共行了多少小时：2.5+3=5.5（小时）甲乙两地相距多少千米：60×5.5=330（千米）综合算式：150÷2.5×（2.5+3）=150÷2.5×5.5=60×5.5=330（千米）。【例17】（难度级别※※※※）甲、乙两个打字员4小时共打字3600个。现在二人同时工作，在相同时间内，甲打字2450个，乙打字2050个。求甲、乙二个每小时各打字多少个？【分析与解】已知条件告诉我们：“在相同时间内甲打字2450个，乙打字2050个。”既然知道了“时间相同”，问题就容易解决了。题目里还告诉我们：“甲、乙二人4小时共打字3600个。”这样可以先求出“甲乙二人每小时打字个数之和”，就可求出所用时间了。①甲、乙二人每小时共打字多少个：3600÷4＝900(个)②“相同时间”是几小时：(2450＋2050)÷900＝5(小时)③甲打字员每小时打字的个数：2450÷5＝490(个)④乙打字员每小时打字的个数：2050÷5＝410(个)答：甲打字员每小时打字490个，乙打字员每小时打字410个。【例18】（难度级别※※※※）光明小学有50个学生帮学校搬砖，要搬2000块，4次搬了一半。照这样算，再增加50个学生，还要几次运完？【分析与解】先求出每个学生每次运的砖数:2000×÷4÷50=5(块).再求出现在的学生一次过运的砖数:(50+50)×5=500(块).最后求出还要运的次数:2000×÷500=2(次).简便方法:4÷[(50+50)÷50]=2(次)。【作业】1.一只小蜗牛6分钟爬行12分米，照这样速度1小时爬行多少米？【答案】12米。2.某食堂存有16人可吃15天的米,16人吃了5天后,走了6人,余下的可吃_____天.【答案】16天。3.加工一批39600件的大衣,30个人10天完成了13200件,其余的要求在15天内完成,要增加_____人.【答案】1