第一章 勾股定理 易错剖析+重难点突破 2024-2025-北师大版数学八年级上册

第页第一章勾股定理易错点剖析易错点一勾股定理的实际运用中不会建立数学模型【例1】长方形零件尺寸（单位：mm）如图，则两孔中心A和B的距离为mm.1.根据图形中的数据确定AC，BC的长是解决本题的关键，学生很容易出现数据错误；2.需要求的是线段AB的长度，故我们要将AB放在直角三角形ABC中利用勾股定理求解.跟踪练习1.如图，客船以24海里/时的速度从港口A向东北方向航行，货船以18海里/时的速度同时从港口A向东南方向航行，则1小时后两船相距海里.易错点二古代问题中的勾股定理问题审题不清【例2】在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面尺.1.善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键;2.要将题中的信息转化成图形中的相关数据，再利用勾股定理列方程求解.跟踪练习2.我国古代数学著作《九章算术》中有一个问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.（丈、尺是长度单位，1丈=10易错点三勾股定理与折叠中的等量关系找不到【例3】如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，若AB=6，BC1.折叠本身就隐藏着全等图形,再根据全等图形的性质得到对应的线段相等；2.本题中利用∠BEF=∠DEF=∠EFB（1）求∠BFC（2）求BF的长．跟踪练习3.如图，直角三角形纸片的两直角边BC，AC的长分别为6，8，现将△ABC如下图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则CE的长为第3题图4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=8，BC=6，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边第4题图易错点四平面展开的最值问题图形错误【例4】如图，长方体的长、宽、高分别为3cm,1cm,6cm.如果一只小虫从点A开始爬行，经过两个侧面爬行到另一条侧棱的中点BA.5cm B.5.5cm C.6cm1.这种类型的题目,要根据题意把图形展开，连接AB，得出AB的长就是从A处爬到B处的最短路程，分为三种情况展开，根据勾股定理求出AB的长，再比较即可.2.解题关键是画出图形知道求出哪一条线段的长，题目具有一定的代表性，一定要注意进行分类讨论.跟踪练习5.如图，已知长方体的长、宽、高分别为4cm，2cm，8cm，一只蚂蚁沿着长方体表面从点A爬到点BA.2cm B.4cm C.10cm6.如图，圆柱底面半径为2πcm，高为9cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一条竖直直线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为重难点突破重难点一勾股定理中的分类讨论利用勾股定理计算直角三角形中的边长时,如果题目中没有说明哪一条边是斜边,则需根据题意分类讨论,若涉及三角形的高,则需分为高在三角形内和高在三角形外两种情况讨论.1.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=8，BC=16，点D是AC上的一点，CD=3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位长度的速度向右运动.设点P的运动时间为t.过点D作DE重难点二垂美四边形垂美四边形是勾股定理的拓展与延伸,利用勾股定理可以找到对角线互相垂直的四边形的四条边之间的关系,解题的关键就是利用垂直得到勾股定理.2.【图形定义】我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.（1）【性质探究】如图1，四边形ABCD是垂美四边形，试探究两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并证明你的结论；（2）【拓展应用】如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90∘，分别以AC和AB为直角边向外作等腰Rt△ACD和等腰3.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AB=3，CD=2重难点三勾股定理的证明证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，需在题目中找寻它们之间的面积关系,再进行计算得到勾股定理,解题时注意数形结合思想的运用.4.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.（1）①请叙述勾股定理;②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从利用下列图1，图2，图3中的一个来证明该定理，图1与图2都是由四个全等的直角三角形构成的，图3是由两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形构成的（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）；（2）如图4，以直角三角形的三边为直径向外部作半圆，请写出S1，S2和S35.计算图1的面积，把图1看成一个大正方形，它的面积是a+b2，如果把图1看成是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为a（1）如图2，正方形ABCD是由四个长和宽分别是a，b的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图2的面积进行计算，你发现的等式是（用含a，b的式子表示）.（2）已知两数x，y满足x+y=14，（3）如图3，正方形ABCD的边长是c，它是由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和中间一个小正方形组成的，对图3的面积进行计算，你发现的等式是.（用含a，b，c的式子表示，结果化到最简）重难点四勾股定理在网格中的应用这是近几年流行起来的新题型,要求学生能熟练理解与运用勾股定理,它需要根据题意进行灵巧的构图,要在网格中画出所需要的图形,解题的关键就是要注意理解题意，灵活运用所学知识.6.图1、图2均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，线段AB的端点和点（1）在图1中画一个△ABC，使BM（2）在图2中画一个△ABD，使AM第一章勾股定理思维导图易错点剖析易错点一勾股定理的实际运用中不会建立数学模型跟踪练习1．301.根据图形中的数据确定AC，BC的长是解决本题的关键，学生很容易出现数据错误；2.需要求的是线段AB的长度，故我们要将AB放在直角三角形ABC中利用勾股定理求解.【例1】150易错点二古代问题中的勾股定理问题审题不清跟踪练习2．解：设水深x尺，则芦苇长x+1尺，1丈=10尺.由勾股定理得x2+1.善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键;2.要将题中的信息转化成图形中的相关数据，再利用勾股定理列方程求解.【例2】4.55易错点三勾股定理与折叠中的等量关系找不到跟踪练习3．744．31.折叠本身就隐藏着全等图形,再根据全等图形的性质得到对应的线段相等；2.本题中利用∠BEF=∠DEF【例3】（1）解：由折叠的性质可得∠CFC∴∠BFC（2）∵将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′∴BC′=1在Rt△BC′F中，C′F2=易错点四平面展开的最值问题图形错误跟踪练习5．C6．151.这种类型的题目,要根据题意把图形展开，连接AB，得出AB的长就是从A处爬到B处的最短路程，分为三种情况展开，根据勾股定理求出AB的长，再比较即可.2.解题关键是画出图形知道求出哪一条线段的长，题目具有一定的代表性，一定要注意进行分类讨论.【例4】A【解析】①如图1，将正面与右面展开在同一平面内，连接AB，由勾股定理得AB2=1+32+32=25,②如图2，将下底面与后面展开在同一平面内，连接AB，由勾股定理得AB2=32+3+12重难点突破重难点一勾股定理中的分类讨论1．5或11【解析】如图1所示，①点P在线段BC上时，则∠AED=∠PED=90∘.∴∠PED=∠ACB=90∘.∵DE=CD=3，∴PD平分∠APC，∴∠EPD=∠CPD.又∵PD=PD，∴△PDE≌△PDCAAS，∴PE=PC=16−2t.∵AD=AC−CD=8−3=5，∴AE=4，∴AP=AE+PE=4+16−2t=20−2t.重难点二垂美四边形2．（1）解：结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等（或AD2+BC2=AB2+CD2）．证明：设（2）证明：如图，连接CE，BD相交于点N，AC交BD于点M．∵∠CAD=∠BAE=90∘，∴∠∴△DAB≌△CAE，∴∠ADB=∠ACE.又∠ADB∴四边形CDEB是垂美四边形．3．13重难点三勾股定理的证明4．（1）①勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.②解：如选择图1，四个相同的直角三角形的面积和再加上中间小正方形的面积等于大正方形的面积，即12ab×4+b−a2=c（2）S1【解析】如图，S1=12×π×12a2=5．（1）a+解：如题