4.1任意角弧度制及任意角的三角函数答案

4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数课标要求精细考点素养达成1.了解任意角和弧度制的概念,体会弧度制引入的必要性2.能熟练进行弧度制与角度制的互化3.借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义象限角及终边相同的角通过了解任意角和弧度制的概念,培养数学抽象素养弧度制及其应用通过弧度制和角度制的互化,培养数学运算素养任意角的三角函数——由定义求参数、由三角函数值符号判断角所在的象限通过任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义的学习,培养数学运算、逻辑推理素养1.(概念辨析)给出下列四个命题:①3π4是第二象限角;②4π3是第三象限角;③A.1 B.2 C.3 D.4答案C2.(对接教材)(多选)下列表示正确的是().A.终边在x轴上的角的集合是{α|α=kπ,k∈Z}B.终边在第二象限的角的集合为απ2+2kπ<α<π+2kπ,k∈ZC.终边在坐标轴上的角的集合是αα=kπ2,k∈ZD.终边在直线y=x上的角的集合是αα=π4+2kπ,k∈Z答案ABC3.(对接教材)已知角α的终边经过点P(x,6)且cosα=513A.52 B.52 C.±52 答案B解析由cosα=513得-xx2+364.(易错自纠)(多选)已知角2α的终边在x轴的上方,那么角α可能是().A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角答案AC解析因为角2α的终边在x轴的上方,所以k·360°<2α<k·360°+180°,k∈Z,则有k·180°<α<k·180°+90°,k∈Z.故当k=2n,n∈Z时,n·360°<α<n·360°+90°,n∈Z,α为第一象限角;当k=2n+1,n∈Z时,n·360°+180°<α<n·360°+270°,n∈Z,α为第三象限角.5.(真题演练)(模拟预测改编)已知扇形的圆心角为30°,其弧长为2π,则此扇形的面积为.

答案12π解析设扇形的圆心角为α,半径为r,弧长为l,因为α=30°=π6,l=αr,所以r=2ππ6=12,所以扇形的面积S=1象限角及终边相同的角典例1(1)已知下列四组角的表达式(各式中k∈Z):①2kπ±π3与kπ±π3;②kπ±π2与2kπ+π2;③kπ其中表示具有相同终边的角的组数是().A.0 B.1 C.2 D.3(2)若α是第二象限角,则().A.α是第一象限角 B.α2C.3π2+α是第二象限角 答案(1)B(2)D解析(1)对于①,当k=1时,kπ+π3=4π3,不存在2kπ±对于②,kπ±π2表示终边在y轴上的角,2kπ+π对于③,kππ2,kπ+π对于④,2kπ±π表示终边在x轴负半轴上的角,kπ表示终边在x轴上的角,不正确.故选B.(2)因为α是第二象限角,所以可得π2对于A,可得π2kπ<α<π22kπ,k∈Z,此时对于B,可得π4+kπ<α2<当k为偶数时,α2是第一象限角,当k为奇数时,α对于C,可得2π+2kπ<3π2+α<5π即2(k+1)π<3π2+α<π2+2(k+1)π,k∈Z,所以对于D,可得π+4kπ<2α<2π+4kπ,k∈Z,所以2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上的角,所以D正确.1.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.2.确定nα,αn(n∈N*)的终边位置的方法:先用终边相同角的形式表示出角α的范围,再写出nα或αn的范围,然后根据n的可能取值讨论确定nα或训练1已知角α的终边与5π3的终边重合,则αA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案A解析因为角α的终边与5π3所以α=5π3+2kπ(k∈Z),所以α3=5π9令k=3n(n∈Z),则α3=5π9+2nπ(n∈Z),此时令k=3n+1(n∈Z),则α3=11π9+2nπ(n∈Z),此时令k=3n+2(n∈Z),则α3=17π9+2nπ(n∈Z),此时所以α3弧度制及其应用典例2(1)下列结论错误的是().A.150°化成弧度是7π6rad B.10π3C.67°30'化成弧度是3π8rad D.π12rad化成度是15°(2)《九章算术》是中国古代第一部数学专著,成于公元一世纪左右,系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田(弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形)的面积所用的经验公式:弧田面积=12(弦×矢+矢×矢),公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为2π3,弦长为403m的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为().(其中π≈3,A.15m2 B.16m2 C.17m2 D.18m2答案(1)A(2)B解析(1)对于A,150°=150×π180=5π对于B,10π3=-10π3×对于C,67°30'=67.5×π180=3π对于D,π12=π12×(2)因为圆心角为2π3,弦长为403因此根据经验公式计算出弧田的面积为12(403×20+20×20)=(4003+200)(m2实际面积等于扇形面积减去三角形面积,为12×2π3×40212×20×403=1600π因此两者之差为1600π34003(4003+200)≈16(m2扇形的弧长和面积的求解策略(1)记公式:弧度制下扇形的面积公式是S=12lR=12αR(2)找关键:涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题,关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.训练2(1)(多选)下列角度与弧度进行互化正确的是().A.37°30'=5π24 B.216°=C.7π12=115° D.11π5(2)(多选)中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴,一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成的,如图,设扇形的面积为S1,其圆心角为θ,圆面中剩余部分的面积为S2,当S1与S2的比值为5-12时,扇面为“美观扇面”,下列结论正确的是(参考数据:A.S1SB.若S1S2=1C.若扇面为“美观扇面”,则θ≈138°D.若扇面为“美观扇面”,扇形的半径R=20,则此时的扇形面积为200(35)答案(1)ABD(2)AC解析对于A,37°30'=37.5°=752°=752×π180对于B,216°=216×π180=6π对于C,7π12=7π12×对于D,11π5=-11π(2)对于A,设扇形的半径为R,因为S1与S2所在扇形的圆心角分别为θ,2πθ,所以S1S2=1对于B,因为S1S2=θ2π-θ=12,所以θ=2π3,所以S1=对于C,因为S1S2=θ2π-θ对于D,S1=12·θ·R2=12×(35)π×400=200(3任意角的三角函数典例3(1)(多选)已知角θ的终边经过点(2,3),且角θ与角α的终边关于x轴对称,则下列选项正确的是().A.sinθ=21B.α为钝角C.cosα=2D.点(tanθ,sinα)在第一象限(2)下列判断正确的是().A.tan120°sin269°<0 B.cos4tan-23πC.sin3·cos5·tan4<0 D.sin2·tan53π12答案(1)ACD(2)D解析(1)因为角θ的终边经过点(2,3),所以sinθ=217因为角θ与角α的终边关于x轴对称,所以角α的终边经过点(2,3),α为第二象限角,不一定为钝角,cosα=27因为tanθ=32>0,sinα=21(2)对于A,因为120°角是第二象限角,所以tan120°<0,因为269°角是第三象限角,所以sin269°<0,所以tan120°sin269°>0,故A错误;对于B,因为π<4<3π2,所以4弧度角是第三象限角,所以cos4<0,因为23π4=6π+π4,所以23π4是第一象限角,所以tan对于C,因为π2<3<π,π<4<3π2,对于D,tan53π12=tan4π+5π12=tan5π12,5π12∈0,1.在解决有关角的终边在直线上的问题时,应注意到角的终边为射线,所以应分两种情况处理,取射线上异于原点的任意一点的坐标(a,b),则对应角α的三角函数值分别为sinα=ba2+b22.三角函数值符号的判断问题(1)由三角函数的定义可知sinα=yr,cosα=xr,tanα=(2)由三角函数值的符号确定角α的终边所在象限问题,应首先依据题目中所有三角函数值的符号来确定角α的终边所在的象限,则它们的公共象限即为所求.训练3(1)(多选)下列选项中,符号为负的是().A.sin(100°) B.cos(220°) C.tan10 D.cosπ(2)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,角α的终边与单位圆交于点A,点A的纵坐标为23,则tanα=答案(1)ABD(2)2解析(1)角100°是第三象限角,故sin(100°)<0;角220°是第二象限角,故cos(220°)<0;10∈3π,7π(2)设点A的横坐标为x,则由x2+49=1,解得x=±53,因为角α为第二象限角,所以x=5比较大小典例下面四个选项中,大小关系正确的是().A.sinπ5<sin4π5 B.sinπC.cosπ5<cos4π5 D.tanπ答案B解析如图,在单位圆中作出角π5的正弦线DP、余弦线OD、正切线AT,角4π由于π5=π4π5,因此π5由图可得sinπ5=sin4π5>0,cosπ5tanπ5>0>tan4π所以sinπ5>0>cos4π(1)三角函数线的意义是可以表示三角函数的值,其长度等于三角函数值的绝对值,方向表示三函数值的正负.(2)因为三角函数线是与单位圆有关的有向线段,所以作角的三角函数线时,一定要先作单位圆.(3)有向线段的书写:有向线段的起点字母写在前面,终点字母写在后面.训练依据三角函数线,作出如下四个判断:①sinπ6=sin7π6;②cos-π4=cosπ4;③tanπ8>tanA.1个 B.2个C.3个 D.4个答案B解析根据下列四个图形,容易判断正确的结论是②④,有2个.一、单选题1.角25π12A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案A2.若一个扇形的半径变为原来的2倍,而弧长也变为原来的2倍,则().A.扇形的面积不变B.扇形的圆心角不变C.扇形的面积增大到原来的2倍D.扇形的圆心角增大到原来的2倍答案B解析设扇形的圆心角为α,半径为R,弧长为l,因为α=lR而S=12αR23.(2023·湖南质检)若角α是第三象限角,则点P(2,sinα)所在的象限为().A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案D解析由α是第三象限角知,sinα<0,因此点P(2,sinα)在第四象限.4.(2023·河北月考)掷铁饼是一项体育竞技活动.如图,这是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间,张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”.经测量,此时两手掌心之间的弧长是7π10,“弓”所在圆的半径为1.05米,则这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离约为(参考数据:2≈1.414,3A.1.819米 B.1.485米C.1.649米 D.1.945米答案A解析根据题意作图如下,由题意知,ADB的长为7π10,D为ADB的中点,所以∠AOC=7π201.05所以AB=2AC=2×1.05sinπ3=2.1×3二、多选题5.(2023·广东中山月考)已知△ABC的三个内角分别为A,B,C,则下列各组数中有意义且均为正值的是().A.tanA与cosB B.cosB与sinCC.tanB2与cosC2 D.tan答案CD6.下列三角函数值的符号判断正确的是().A.cos(280°)<0 B.sin500°>0C.tan-7π8>0 D.tan答案BCD三、填空题7.(2023·福建厦门调研)在面积为4的扇形中,其周长最小时半径的值为.

答案2解析设扇形的半径为R(R>0),圆心角为α,则12αR2=4,所以α=8则扇形的周长为2R+αR=2R+8R≥22R·88.已知α,β都是锐角,且α+β的终边与280°角的终边相同,αβ的终边与670°角的终边相同,则α=,β=.

答案15°65°解析由题意可知α+β=280°+k·360°,k∈Z.因为α,β都是锐角,所以0°<α+β<180°.取k=1,得α+β=80°,①αβ=670°+k·360°,k∈Z.因为α,β都是锐角,所以90°<αβ<90°,取k=2,得αβ=50°,②由①②得α=15°,β=65°.四、解答题9.如图,在平面直角坐标系xOy中,角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于点A,它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B,始边不动,终边在运动.(1)若点B的横坐标为45(2)若△AOB为等边三角形,写出与角α终边相同的角β的集合.解析(1)由题意可得B-45,35(2)因为△AOB为等边三角形,且点B在x轴上方,则∠AOB=π3,故与角α终边相同的角β的集合为β|β=10.已知θ是第二象限角.(1)试判断sin(cosθ)(2)若角θ的终边上一点P(x,3)(x≠0),且cosθ=1010解析(1)因为2kπ+π2所以1<cosθ<0,4kπ+π<2θ<4kπ+2π(k∈Z),所以1≤sin2θ<0,所以sin(cosθ)<0,cos(sin2θ)>0.所以sin(cosθ)所以sin(cosθ)(2)由题意,得r=|OP|=x2+9,则cosθ=xr因为cosθ=1010x,所以xx2因为x≠0,所以x=1或x=1.当x=1时,点P的坐标为(1,3),角θ为第一象限角,此时,sinθ=310=31010当x=1时,点P的坐标为(1,3),角θ为第二象限角,此时,sinθ=31010,cosθ=11.(多选)某教师从“丢手绢”游戏中抽象出以下数学问题,质点P和Q在以坐标原点O为圆心,半径为1的圆O上逆时针做匀速