圆的方程5题型分类（原卷版）

2.4圆的方程5题型分类一、圆的标准方程1．圆的标准方程(1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r.(2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2.2．点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法位置关系利用距离判断利用方程判断点M在圆上|CM|＝r(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点M在圆外|CM|>r(x0－a)2＋(y0－b)2>r2点M在圆内|CM|<r(x0－a)2＋(y0－b)2<r2二、圆的一般方程1．圆的一般方程当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形条件图形D2＋E2－4F<0不表示任何图形D2＋E2－4F＝0表示一个点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))D2＋E2－4F>0表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))为圆心,以eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)为半径的圆（一）求圆的标准方程1．待定系数法求圆的标准方程的一般步骤：2．几何法即是利用平面几何知识，求出圆心和半径，然后写出圆的标准方程．3．求圆的标准方程的策略:确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．题型1：求圆的标准方程11．（2023秋·四川雅安·高二校考阶段练习）已知圆的方程是，其圆心和半径分别是（

）A．，2 B．，4 C．，2 D．，412．（江西省部分高中学校20232024学年高二上学期10月联考数学试题）圆心为，且经过坐标原点的圆的标准方程为（

）A． B．C． D．13．（2023秋·山东·高二校联考阶段练习）已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（

）A． B．C． D．14．（2023秋·河南郑州·高二校考阶段练习）过点，，圆心在直线上的圆的标准方程为15．（2023秋·黑龙江鹤岗·高二鹤岗市第三中学校考阶段练习）圆：关于直线对称的圆的方程为（

）A． B．C． D．16．（2023秋·江西抚州·高二金溪一中校联考阶段练习）已知的三个顶点为，，.(1)求过点A且平行于的直线方程；(2)求的外接圆的标准方程.（二）点与圆的位置关系判断点与圆的位置关系：1．代数法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小．假设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：d＜r点在圆内；d=r点在圆上；d＞r点在圆外.几何法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断．点P（x1,y1)与圆(xa)²+(yb)²=r²的位置关系：（1）当(x1a)²+(y1b)²＞r²时，则点P在圆外.（2）当(x1a)²+(y1b)²=r²时，则点P在圆上.（3）当(x1a)²+(y1b)²＜r²时，则点P在圆内.题型2：判断点与圆的位置关系21．【多选】（2023秋·吉林长春·高二校考阶段练习）已知圆的方程为，则圆上的点有（）A． B． C． D．22．（2023·全国·高二随堂练习）已知点和，求以线段AB为直径的圆的方程，并判断点，是否在这个圆上．23．（2023秋·江苏常州·高二常州高级中学校考阶段练习）在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出了一个结论，甲：该圆经过点；乙：该圆的圆心为；丙：该圆的半径为5；丁：该圆经过点．如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁24．（2023秋·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）已知圆心为的圆经过点，.(1)求圆的标准方程；(2)已知在圆C外，求的取值范围.25．（2023秋·四川雅安·高二校考阶段练习）若点在圆C：外，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．26．（2023秋·安徽淮南·高二校考阶段练习）若点在圆的内部，则a的取值范围是（）.A． B． C． D．（三）圆的一般方程的辨析圆的一般方程：当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．圆的一般方程的辨析:(1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不是圆．(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．题型3：圆的一般方程的辨析31．（2023·全国·高二随堂练习）判断下列方程分别表示什么图形，如果是圆，求出它的圆心坐标和半径．(1)；(2)；(3)；(4)．32．（2023秋·浙江舟山·高二舟山中学校考阶段练习）若，则方程表示的圆的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．433．（2023秋·辽宁沈阳·高二沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）方程表示一个圆，则m的取值范围是（

）A． B．C． D．34．（2023·全国·高三专题练习）已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数t的取值范围为．（四）求圆的一般方程求圆的方程的策略(1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程；(2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组解出系数得到方程．题型4：求圆的一般方程41．（2023秋·江苏常州·高二校联考阶段练习）已知圆C的方程为，则圆C的半径为（

）A． B．2 C． D．842．（2023·河南·校联考模拟预测）圆心在射线上，半径为5，且经过坐标原点的圆的方程为（

）.A．B．C．D．43．（2023·全国·高二随堂练习）试判断，，，四点是否共圆，并说明理由．44．（2023秋·河南郑州·高二校考阶段练习）已知三角形ABC的三个顶点分别为，，，求(1)边上的高所在直线的方程；(2)三角形外接圆的方程45．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知的三个顶点为，则下列关于的外接圆圆M的说法正确的是（

）A．圆M的圆心坐标为B．圆M的半径为C．圆M关于直线x＋y＝0对称D．点在圆M内（五）求动点的轨迹方程1、求动点的轨迹方程常用方法“四步一回头”：四步：（1）建立适当坐标系，设出动点M的坐标(x,y).（2）写出适合条件的点M的集合P=P{M|P(M)}.（3）将P(M)“翻译”成代数方程f(x,y)=0.（4）化简代数方程f(x,y)=0为最简形式.一回头：回头看化简方程的过程是否为同解变形，验证求得的方程是否为所要求的方程.2、求与圆有关的轨迹问题的方程(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．题型5：求动点的轨迹方程51．（2023·全国·高二随堂练习）从定点向圆任意引一割线交圆于P，Q两点，求弦PQ的中点M的轨迹方程.52．（2023·全国·高一随堂练习）已知一曲线是与两个定点，的距离之比为的点的轨迹，求这个曲线的方程，并画出该曲线.53．（2023·江苏·高二专题练习）已知、两定点．若动点满足，求动点的轨迹方程．54．（2023·江苏·高二专题练习）已知定点，动点在圆上，点在线段上，且，求点的轨迹方程．55．（2023·江苏·高二专题练习）设平面上有一条长度为4的线段，试建立适当的平面直角坐标系，求：(1)到线段两端点的距离的平方差为16的点的轨迹方程；(2)到线段两端点的距离的平方和为16的点的轨迹方程．一、单选题1．（2023秋·江苏淮安·高二校考阶段练习）圆心是，且过点的圆的方程为（

）A． B．C． D．江西省部分高中学校20232024学年高二上学期10月联考数学试题）若点在圆：的外部，则的取值范围为（

）A． B． C． D．3．（2023秋·陕西西安·高二校联考阶段练习）若直线是圆的一条对称轴，则（

）A．0 B．1 C．2 D．44．（2023秋·湖南·高二校联考阶段练习）若方程表示的曲线为一个圆，则（

）A． B．或C． D．或5．（2023秋·江西·高二南昌市第十七中学校联考阶段练习）若圆的半径为2，则实数的值为（

）A．9 B．8 C．9 D．86．（2023秋·高二课时练习）以，为直径两端点的圆的方程为（

）A． B．C． D．7．（2023秋·辽宁铁岭·高二铁岭市清河高级中学校考阶段练习）点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．二、多选题8．（2023秋·辽宁铁岭·高二铁岭市清河高级中学校考阶段练习）已知方程，则下列说法正确的是（

）A．当时，表示圆心为的圆 B．当时，表示圆心为的圆C．当时，表示的圆的半径为 D．当时，表示的圆与轴相切9．（2023秋·湖南·高二校联考阶段练习）若为圆：上任意一点，点，则的取值可以为（

） B．2 10．（2023秋·高二课时练习）已知方程，下列叙述正确的是（

）A．方程表示的是圆B．方程表示的圆的圆心在x轴上C．方程表示的圆的圆心在y轴上D．当时，方程表示以为圆心，半径为1的圆11．（2023·全国·高二专题练习）已知圆的标准方程为，则下列说法正确的是（

）A．圆的圆心为 B．点在圆内C．圆的半径为5 D．点在圆内12．（2023秋·辽宁·高二校联考阶段练习）（多选）已知某圆圆心C在x轴上，半径为5，且在y轴上截得线段AB的长为8，则圆的标准方程为（）A． B．C． D．三、填空题13．（2023秋·高二课时练习）由曲线围成的图形的面积为.14．（2023秋·河南三门峡·高二校考阶段练习）圆心坐标为，并经过点，则圆的标准方程为．15．（2023·全国·高二专题练习）已知，，，则过A，B，C三点圆的一般方程．16．（2023秋·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）若方程表示圆，则实数的取值范围是.四、解答题17．（2023·全国·高二随堂练习）写出下列各圆的方程：(1)圆心在原点的单位圆；(2)圆心为，半径是5；(3)圆心为，经过点；(4)圆心在x轴上，经过与两点．18．（2023秋·江苏淮安·高二校考阶段练习）分