1.2空间向量基本定理课时作业高二上学期数学人教A版选择性

课时作业3空间向量基本定理【原卷版】时间：45分钟一、选择题1．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设eq\o(AA1,\s\up16(→))＝a，eq\o(AB,\s\up16(→))＝b，eq\o(AD,\s\up16(→))＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，则eq\o(MP,\s\up16(→))＋eq\o(NC1,\s\up16(→))＝()A.eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)cB．a＋eq\f(1,2)cC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cD.eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c2．若p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．{a，b，c}为空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z的值分别为()A．0,0,1 B．0,0,0C．1,0,1 D．0,1,04．在空间四点O，A，B，C中，若{eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(OB,\s\up16(→))，eq\o(OC,\s\up16(→))}是空间的一个基底，则下列命题不正确的是()A．O，A，B，C四点不共线B．O，A，B，C四点共面，但不共线C．O，A，B，C四点不共面D．O，A，B，C四点中任意三点不共线5．已知空间四边形OABC，其对角线为AC，OB，M，N分别是OA，BC的中点，点G是MN的中点，则eq\o(OG,\s\up16(→))等于()A.eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up16(→)) B.eq\f(1,4)(eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→)))C.eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))) D.eq\f(1,6)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up16(→))6．正方体ABCD­A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{eq\o(AO1,\s\up16(→))，eq\o(AO2,\s\up16(→))，eq\o(AO3,\s\up16(→))}为基底，若eq\o(AC′,\s\up16(→))＝xeq\o(AO1,\s\up16(→))＋yeq\o(AO2,\s\up16(→))＋zeq\o(AO3,\s\up16(→))，则x，y，z的值是()A．x＝y＝z＝1 B．x＝y＝z＝eq\f(1,2)C．x＝y＝z＝eq\f(\r(2),2) D．x＝y＝z＝27．若向量eq\o(MA,\s\up16(→))，eq\o(MB,\s\up16(→))，eq\o(MC,\s\up16(→))，且点M，A，B，C中无三点共线，满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量eq\o(MA,\s\up16(→))，eq\o(MB,\s\up16(→))，eq\o(MC,\s\up16(→))成为空间一个基底的关系是()A.eq\o(OM,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up16(→))B.eq\o(MA,\s\up16(→))≠eq\o(MB,\s\up16(→))＋eq\o(MC,\s\up16(→))C.eq\o(OM,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))D.eq\o(MA,\s\up16(→))＝2eq\o(MB,\s\up16(→))－eq\o(MC,\s\up16(→))8．(多选题)已知A，B，C，D，E是空间五点，且任何三点不共线．若eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))，eq\o(AD,\s\up16(→))与eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))，eq\o(AE,\s\up16(→))均不能构成空间的一个基底，则下列结论正确的为()A.eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AD,\s\up16(→))，eq\o(AE,\s\up16(→))不能构成空间的一个基底B.eq\o(AC,\s\up16(→))，eq\o(AD,\s\up16(→))，eq\o(AE,\s\up16(→))不能构成空间的一个基底C.eq\o(BC,\s\up16(→))，eq\o(CD,\s\up16(→))，eq\o(DE,\s\up16(→))不能构成空间的一个基底D.eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(CD,\s\up16(→))，eq\o(EA,\s\up16(→))能构成空间的一个基底二、填空题9．在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，O为矩形ABCD外接圆的圆心．若eq\o(OP,\s\up16(→))＝xeq\o(AB,\s\up16(→))＋yeq\o(AD,\s\up16(→))＋zeq\o(AP,\s\up16(→))，则x＋y－z＝10．在四面体O­ABC中，eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，eq\o(OC,\s\up16(→))＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则eq\o(OE,\s\up16(→))＝用a，b，c表示)11．已知{e1，e2，e3}为空间的一个基底，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，且d＝αa＋βb＋γc，则α，β，γ分别为三、解答题12.如图所示，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(OB,\s\up16(→))，eq\o(OC,\s\up16(→))表示eq\o(OP,\s\up16(→))和eq\o(OQ,\s\up16(→)).13．如图，在三棱锥O­ABC中，G是△ABC的重心(三条中线的交点)，P是空间任意一点．(1)用向量eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(OB,\s\up16(→))，eq\o(OC,\s\up16(→))表示向量eq\o(OG,\s\up16(→))，并证明你的结论；(2)设eq\o(OP,\s\up16(→))＝xeq\o(OA,\s\up16(→))＋yeq\o(OB,\s\up16(→))＋zeq\o(OC,\s\up16(→))，x，y，z∈R，请写出点P在△ABC的内部(不包括边界)的充分必要条件(不必给出证明)．(2)若eq\o(OP,\s\up16(→))＝xeq\o(OA,\s\up16(→))＋yeq\o(OB,\s\up16(→))＋zeq\o(OC,\s\up16(→))，x，y，z∈R，则点P在△ABC的内部(不包括边界)的充分必要条件是：x＋y＋z＝1，且0<x<1,0<y<1,0<z<1.14．(多选题)下列四个命题中正确的是()A．若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可以作为空间的一个基底B．已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底C．A，B，M，N是空间四点，若eq\o(BA,\s\up16(→))，eq\o(BM,\s\up16(→))，eq\o(BN,\s\up16(→))不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面D．已知{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底15．已知四面体ABCD中，eq\o(AB,\s\up16(→))＝a－2c，eq\o(CD,\s\up16(→))＝5a＋6b－8c，AC，BD的中点分别为E，F，则eq\o(EF,\s\up16(→))＝16．已知{e1，e2，e3}为空间的一个基底，且eq\o(OP,\s\up16(→))＝2e1－e2＋3e3，eq\o(OA,\s\up16(→))＝e1＋2e2－e3，eq\o(OB,\s\up16(→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq\o(OC,\s\up16(→))＝e1＋e2－e3.(1)判断P，A，B，C四点是否共面；(2)能否以{eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(OB,\s\up16(→))，eq\o(OC,\s\up16(→))}作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一基底表示向量eq\o(OP,\s\up16(→)).课时作业3空间向量基本定理【解析版】时间：45分钟一、选择题1．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设eq\o(AA1,\s\up16(→))＝a，eq\o(AB,\s\up16(→))＝b，eq\o(AD,\s\up16(→))＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，则eq\o(MP,\s\up16(→))＋eq\o(NC1,\s\up16(→))＝(A)A.eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)cB．a＋eq\f(1,2)cC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cD.eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c解析：如图，连接MD1，因为eq\o(MP,\s\up16(→))＝eq\o(MD1,\s\up16(→))＋eq\o(D1P,\s\up16(→))＝eq\o(MA1,\s\up16(→))＋eq\o(A1D1,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)a＋c＋eq\f(1,2)b，eq\o(NC1,\s\up16(→))＝eq\o(NC,\s\up16(→))＋eq\o(CC1,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(AA1,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(AA1,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)c＋a，所以eq\o(MP,\s\up16(→))＋eq\o(NC1,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)a＋c＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c＋a＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c.故选A.2．若p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的(B)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：空间不共面的三个向量可以作为空间的一个基底，若a，b，c是三个共面的非零向量，则{a，b，c}不能作为空间的一个基底；但若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c不共面，所以a，b，c是三个非零向量，所以p是q的必要不充分条件，故选B.3．{a，b，c}为空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z的值分别为(B)A．0,0,1 B．0,0,0C．1,0,1 D．0,1,0解析：若x，y，z中存在一个不为0的数，不妨设x≠0，则a＝－eq\f(y,x)b－eq\f(z,x)c，∴a，b，c共面．这与{a，b，c}是基底矛盾，故x＝y＝z＝0，故选B.4．在空间四点O，A，B，C中，若{eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(OB,\s\up16(→))，eq\o(OC,\s\up16(→))}是空间的一个基底，则下列命题不正确的是(B)A．O，A，B，C四点不共线B．O，A，B，C四点共面，但不共线C．O，A，B，C四点不共面D．O，A，B，C四点中任意三点不共线解析：选项A对应的命题是正确的，若四点共线，则向量eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(OB,\s\up16(→))，eq\o(OC,\s\up16(→))共面，构不成基底；选项B对应的命题是错误的，若四点共面，则eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(OB,\s\up16(→))，eq\o(OC,\s\up16(→))共面，构不成基底；选项C对应的命题是正确的，若四点共面，则eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(OB,\s\up16(→))，eq\o(OC,\s\up16(→))构不成基底；选项D对应的命题是正确的，若有三点共线，则这四点共面，向量eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(OB,\s\up16(→))，eq\o(OC,\s\up16(→))构不成基底，故选B.5．已知空间四边形OABC，其对角线为AC，OB，M，N分别是OA，BC的中点，点G是MN的中点，则eq\o(OG,\s\up16(→))等于(B)A.eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up16(→)) B.eq\f(1,4)(eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→)))C.eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))) D.eq\f(1,6)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up16(→))解析：如图，eq\o(OG,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OM,\s\up16(→))＋eq\o(ON,\s\up16(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OM,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up16(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→)))，故选B.6．正方体ABCD­A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{eq\o(AO1,\s\up16(→))，eq\o(AO2,\s\up16(→))，eq\o(AO3,\s\up16(→))}为基底，若eq\o(AC′,\s\up16(→))＝xeq\o(AO1,\s\up16(→))＋yeq\o(AO2,\s\up16(→))＋zeq\o(AO3,\s\up16(→))，则x，y，z的值是(A)A．x＝y＝z＝1 B．x＝y＝z＝eq\f(1,2)C．x＝y＝z＝eq\f(\r(2),2) D．x＝y＝z＝2解析：由题意得eq\o(AC′,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC′,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BB′,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AA′,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AA′,\s\up16(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AA′,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB′,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD′,\s\up16(→))＝eq\o(AO1,\s\up16(→))＋eq\o(AO2,\s\up16(→))＋eq\o(AO3,\s\up16(→))，由eq\o(AC′,\s\up16(→))＝xeq\o(AO1,\s\up16(→))＋yeq\o(AO2,\s\up16(→))＋zeq\o(AO3,\s\up16(→))，可得x＝y＝z＝1，故选A.7．若向量eq\o(MA,\s\up16(→))，eq\o(MB,\s\up16(→))，eq\o(MC,\s\up16(→))，且点M，A，B，C中无三点共线，满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量eq\o(MA,\s\up16(→))，eq\o(MB,\s\up16(→))，eq\o(MC,\s\up16(→))成为空间一个基底的关系是(C)A.eq\o(OM,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up16(→))B.eq\o(MA,\s\up16(→))≠eq\o(MB,\s\up16(→))＋eq\o(MC,\s\up16(→))C.eq\o(OM,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))D.eq\o(MA,\s\up16(→))＝2eq\o(MB,\s\up16(→))－eq\o(MC,\s\up16(→))解析：若eq\o(MA,\s\up16(→))，eq\o(MB,\s\up16(→))，eq\o(MC,\s\up16(→))为空间一组基向量，则M，A，B，C四点不共面．选项A中，因为eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝1，所以点M，A，B，C共面；选项B中，eq\o(MA,\s\up16(→))≠eq\o(MB,\s\up16(→))＋eq\o(MC,\s\up16(→))，但可能存在实数λ，μ使得eq\o(MA,\s\up16(→))＝λeq\o(MB,\s\up16(→))＋μeq\o(MC,\s\up16(→))，所以点M，A，B，C可能共面；选项D中，四点M，A，B，C显然共面；选项C中，1＋1＋1≠1，所以M，A，B，C不共面，故选C.8．(多选题)已知A，B，C，D，E是空间五点，且任何三点不共线．若eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))，eq\o(AD,\s\up16(→))与eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))，eq\o(AE,\s\up16(→))均不能构成空间的一个基底，则下列结论正确的为(ABC)A.eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AD,\s\up16(→))，eq\o(AE,\s\up16(→))不能构成空间的一个基底B.eq\o(AC,\s\up16(→))，eq\o(AD,\s\up16(→))，eq\o(AE,\s\up16(→))不能构成空间的一个基底C.eq\o(BC,\s\up16(→))，eq\o(CD,\s\up16(→))，eq\o(DE,\s\up16(→))不能构成空间的一个基底D.eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(CD,\s\up16(→))，eq\o(EA,\s\up16(→))能构成空间的一个基底解析：由题意知空间五点A，B，C，D，E共面，故A、B、C正确，D错误，故选ABC.二、填空题9．在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，O为矩形ABCD外接圆的圆心．若eq\o(OP,\s\up16(→))＝xeq\o(AB,\s\up16(→))＋yeq\o(AD,\s\up16(→))＋zeq\o(AP,\s\up16(→))，则x＋y－z＝－2.解析：如图，由题意可得eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\o(AP,\s\up16(→))－eq\o(AO,\s\up16(→))＝eq\o(AP,\s\up16(→))－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(AP,\s\up16(→))＝xeq\o(AB,\s\up16(→))＋yeq\o(AD,\s\up16(→))＋zeq\o(AP,\s\up16(→))，则x＝－eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2)，z＝1，故x＋y－z＝－2.10．在四面体O­ABC中，eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，eq\o(OC,\s\up16(→))＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则eq\o(OE,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c.(用a，b，c表示)解析：eq\o(OE,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→)))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c.11．已知{e1，e2，e3}为空间的一个基底，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，且d＝αa＋βb＋γc，则α，β，γ分别为eq\f(5,2)，－1，－eq\f(1,2).解析：由题意得，a，b，c为三个不共面的向量，∴由空间向量基本定理可知必然存在唯一的有序实数组(α，β，γ)，使d＝αa＋βb＋γc.∴d＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3.又∵d＝e1＋2e2＋3e3，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＋β＋γ＝1，,α＋β－γ＝2，,α－β＋γ＝3))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(5,2)，,β＝－1，,γ＝－\f(1,2).))三、解答题12.如图所示，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(OB,\s\up16(→))，eq\o(OC,\s\up16(→))表示eq\o(OP,\s\up16(→))和eq\o(OQ,\s\up16(→)).解：eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\o(OM,\s\up16(→))＋eq\o(MP,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)eq\o(MN,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(ON,\s\up16(→))－eq\o(OM,\s\up16(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(ON,\s\up16(→))－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up16(→)))＝eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→)))＝eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up16(→))；eq\o(OQ,\s\up16(→))＝eq\o(OM,\s\up16(→))＋eq\o(MQ,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(MN,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(ON,\s\up16(→))－eq\o(OM,\s\up16(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(ON,\s\up16(→))－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up16(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OC,\s\up16(→)).13．如图，在三棱锥O­ABC中，G是△ABC的重心(三条中线的交点)，P是空间任意一点．(1)用向量eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(OB,\s\up16(→))，eq\o(OC,\s\up16(→))表示向量eq\o(OG,\s\up16(→))，并证明你的结论；(2)设eq\o(OP,\s\up16(→))＝xeq\o(OA,\s\up16(→))＋yeq\o(OB,\s\up16(→))＋zeq\o(OC,\s\up16(→))，x，y，z∈R，请写出点P在△ABC的内部(不包括边界)的充分必要条件(不必给出证明)．解：(1)eq\o(OG,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→)))．证明如下：eq\o(OG,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(AG,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→)))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)[(eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→)))＋(eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→)))]＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→)))．(2)若eq\o(OP,\s\up16(→))＝xeq\o(OA,\s\up16(→))＋yeq\o(OB,\s\up16(→))＋zeq\o(OC,\s\up16(→))，x，y，z∈R，则点P在△ABC的内部(不包括边界)的充分必要条件是：x＋y＋z＝1，且0<x<1,0<y<1,0<z<1.14．(多选题)下列四个命题中正确的是(ABCD)A．若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可以作为空间的一个基底B．已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底C．A，B，M，N是空间四点，若eq\o(BA,\s\up16(→))，eq\o(BM,\s\up16(→))，eq\o(BN,\s\up16(→))不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面D．已知{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底解析：根据基底的概念，知空间中任意三个不共面的向量才可作为空间的一个基底，所以B正确．C中由eq\o(BA,\s\up16(→))，eq\o(BM,\s\up16(→))，eq\o(BN,\s\up16(→))不能构成空间的一个基底，知eq\o(BA,\s\up16(→))，eq\o(BM,\s\up16(→))，eq\o(BN,\s\up16(→))共面．又eq\o(BA,\s\up16(→))，eq\o(BM,\s\up16(→))，eq\o(BN,\s\up16(→))过同一点B，知A，B，M，N四点共面，所以C正确．A中假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使得d＝kc.∵d≠0，∴k≠0，从而c＝eq\f(λ,k)a＋eq\f(μ,k)b，∴c与a，b共面，与条件矛盾，∴d与a，b不共面，即A正确．同理可证D也是正确的．故选ABCD.15．已知四面体ABCD中，eq\o(AB,\s\up1