高三数学课时复习基础过关训练题37

第七章推理与证明第3课时数学归纳法(理科专用)1.用数学归纳法证明1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)＜n(n∈N*，n＞1)时，第一步应验证不等式________．答案：1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＜2解析：∵n∈N*，n＞1，∴n取的第一个自然数为2，左端分母最大的项为eq\f(1,22－1)＝eq\f(1,3)，故填1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＜2.2.凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为________．答案：f(n)＋n－1解析：增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.3.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想an＝________．答案：eq\f(2,n（n＋1）)解析：由Sn＝n2an知Sn＋1＝(n＋1)2an＋1，∴Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an，∴an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an，∴an＋1＝eq\f(n,n＋2)an(n≥2)．当n＝2时，S2＝4a2.又S2＝a1＋a2，∴a2＝eq\f(a1,3)＝eq\f(1,3)，a3＝eq\f(2,4)a2＝eq\f(1,6)，a4＝eq\f(3,5)a3＝eq\f(1,10).由a1＝1，a2＝eq\f(1,3)，a3＝eq\f(1,6)，a4＝eq\f(1,10)，猜想an＝eq\f(2,n（n＋1）).4.用数学归纳法证明“1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)＜n(n∈N*，n＞1)”时，由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是________．答案：2k解析：增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2k.5.已知f(n)＝(2n＋7)3n＋9(n∈N*)，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为________．答案：36解析：∵f(1)＝36，f(2)＝36×3，f(3)＝36×10，∴f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除．6.观察下列式子：1＋eq\f(1,22)＜eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＜eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＜eq\f(7,4)，…，则可归纳出____．答案：1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,（n＋1）2)<eq\f(2n＋1,n＋1)(n∈N*)解析：1＋eq\f(1,22)<eq\f(3,2)，即1＋eq\f(1,（1＋1）2)<eq\f(2×1＋1,1＋1)；1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(5,3)，即1＋eq\f(1,（1＋1）2)＋eq\f(1,（2＋1）2)<eq\f(2×2＋1,2＋1)，归纳出1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,（n＋1）2)<eq\f(2n＋1,n＋1)(n∈N*)．7.设f(n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)＝________．答案：eq\f(1,2n＋1)－eq\f(1,2n＋2)解析：f(n＋1)－f(n)＝eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(\f(1,（n＋1）＋1)＋\f(1,（n＋1）＋2)＋…＋\f(1,2n)＋))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2n＋1)＋\f(1,2（n＋1）)))－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋1)＋\f(1,n＋2)＋…＋\f(1,2n)))＝eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2（n＋1）)－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(1,2n＋1)－eq\f(1,2n＋2).8.已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为____________．答案：a＝eq\f(1,2)，b＝c＝eq\f(1,4)解析：∵等式对一切n∈N*均成立，∴n＝1，2，3时等式成立，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝3（a－b）＋c，,1＋2×3＝32（2a－b）＋c，,1＋2×3＋3×32＝33（3a－b）＋c，))整理得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a－3b＋c＝1，,18a－9b＋c＝7，,81a－27b＋c＝34，))解得a＝eq\f(1,2)，b＝c＝eq\f(1,4).9.已知正项数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋eq\f(an,1＋an)(n∈N*)．用数学归纳法证明：an<an＋1(n∈N*)．证明：当n＝1时，a2＝1＋eq\f(a1,1＋a1)＝eq\f(3,2)，a1<a2，所以n＝1时，不等式成立；假设当n＝k(k∈N*)时，ak<ak＋1成立，显然ak>0.则当n＝k＋1时，ak＋2－ak＋1＝1＋eq\f(ak＋1,1＋ak＋1)－ak＋1＝1＋eq\f(ak＋1,1＋ak＋1)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(ak,1＋ak)))＝eq\f(ak＋1－ak,（1＋ak）（1＋ak＋1）)>0，所以n＝k＋1时，不等式成立．综上所述，不等式an<an＋1(n∈N*)成立．10.求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除(其中n∈N*)．证明：①当n＝1时，a2＋(a＋1)1＝a2＋a＋1能被a2＋a＋1整除，即当n＝1时原命题成立．②假设n＝k(k∈N*)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除．则当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝a·ak＋1＋a·(a＋1)2k－1＋(a2＋a＋1)·(a＋1)2k－1＝a·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ak＋1＋（a＋1）2k－1))＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.由归纳假设及a2＋a＋1能被a2＋a＋1整除可知，ak＋2＋(a＋1)2k＋1也能被a2＋a＋1整除，即n＝k＋1命题也成立．根据①和②可知，对于任意的n∈N*，原命题成立．11.设数列{an}的前n项和Sn＝2n－an，先计算数列的前4项，后猜想an并证明之．解：由a1＝2－a1，得a1＝1，由a1＋a2＝2×2－a2，得a2＝eq\f(3,2).由a1＋a2＋a3＝2×3－a3，得a3＝eq\f(7,4).由a1＋a2＋a3＋a4＝2×4－a4，得a4＝eq\f(15,8).猜想an＝eq\f(2n－1,2n－1).下面用数学归纳法证明猜想正确：①当n＝1时，左边a1＝1，右边＝eq\f(2n－1,2n－1)＝eq\f(21－1,21－1)＝1，猜想成立．②假设当n＝k时，猜想成立，就是ak＝eq\f(2k－1,2k－1)，此时Sk＝2k－ak＝2k－eq\f(2k－1,2k－1).则当n＝k＋1时，由Sk＋1＝2(k＋1)－ak＋1，得Sk＋1－ak＋1＝2(k＋1)－2ak＋1，∴ak＋1＝eq\f(1,2)[2(k＋1)－Sk]＝k＋1－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2k－\f(2k－1,2k－1)))＝eq\f(2k＋1－1,2（k＋1）－1).这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立．由①②可知，an＝eq\f(2n－1,2n－1)对n∈N*均成立．12.已知△ABC的三边长为有理数，求证：(1)cosA是有理数；(2)对任意正整数n，cosnA是有理数．证明：(1)由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知cosA＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)是有理数．(2)用数学归纳法证明cosnA和sinA·sinnA都是有理数．①当n＝1时，由(1)知cosA是有理数，从而有sinA·sinA＝1－cos2A也是有理数②假设当n＝k(k≥1)时，coskA和sinA·sinkA都是有理数．当n＝k＋1时，由cos(k＋1)A＝cosA·coskA－sinA·sinkA，sinA·sin(k＋1)A＝sinA·(sinA·coskA＋cosA·sinkA)＝(sinA·sinA)·coskA＋(sinA·sinkA)·cosA，由①及归纳假设，知cos(k＋1)A与sinA·sin(k＋1)A都是有理数．即当n＝k＋1时，结论成立．综合①②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数．

沁园春·雪<毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。望长城内外，惟余莽莽；大河上下，顿失滔滔