北师大版七下数学期末备考-第02讲-平行线和全等三角形 -教案

第02讲平行线和全等三角形考点梳理一、几何图形知识回顾（可引导学生从点线面出发，进行游戏）疯狂开火车啦!老师以一排学生为开始,每位学生说出已经学过的几何图形知识点，当一名同学回答完毕后，紧挨着的同学必须马上说出另外不同的知识点，依次进行下去。二、几何图形考点概要重点剖析重点一、构造全等三角形的方法①倍长中线法：延长中线，构造一条与中线长度相等的线段。例1、如图，AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，已知AC=BF，∠DAC=35°，∠EBC=40°，求∠C度数【解析】如图，延长AD到M，使得DM=AD，连接BM．在△BDM和△CDA中，，∴△BDM≌△CDA，∴BM=AC=BF，∠M=∠CAD=35°，∠C=∠DBM，∵BF=AC，∴BF=BM，∴∠M=∠BFM=35°，∴∠MBF=180°﹣∠M﹣∠BFM=110°，∵∠EBC=40°，∴∠DBM=∠MBF﹣∠EBC=70°，∴∠C=∠DBM=70°【举一反三】在△ABC中，AB=AC，M为BC的中点，

过C作直线CE,分别交AM、AB于点D、E，

且AD=AE，AE=6，AC=8，

求AM的长【解析】如图，延长AM，使得AM=MN，连接CM在ABM△和△NCM中，∴△ABM≌△NCM（SAS）∴AB=CN=AC=8,∴AB∥CN∴∵AE=DE=6∴∵∴∵（已证）∴∴DN=CN=8∴AN=DN+AD=8+6=14∴AM=7②截长补短法：在一条较长线段上，截取一条与已知线段相等的线段，通常还有角平分线这一条件。一般用于证明线段的和差关系。例2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：AB+BD=AC【解析】证明：在AC上截取AE=AB，连接DE，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD和△AED中，∴△ABD≌△AED（SAS）∴∠B=∠AED，BD=DE，又∠B=2∠C∴∠AED=2∠C而∠AED=∠C+∠EDC=2∠C∴∠C=∠EDC∴DE=CE∴AB+BD=AE+CE=AC【举一反三】已知△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并说明理由．【解析】证明：在BC上取点G使得CG=CD，∵∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣60°）=120°∴∠BOE=∠COD=60°∵在△COD和△COG中，，∴△CODF≌△COG（SAS）∴∠COG=∠COD=60°∴∠BOG=120°﹣60°=60°=∠BOE∵在△BOE和△BOG中，∴△BOE≌△BOG（ASA）∴BE=BG，∴BE+CD=BG+CG=BC．③运用角平分线法：根据角平分线性质，可以得到垂线段相等，运用这个来解题。例3、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．证明：BE=CF【解析】证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）∴BE=CF【举一反三】已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，且DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠DAB．（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？并证明你的结论．【解析】（1）证明：过M作ME⊥AD于E，∵DM平分∠ADC，∠C=90°，ME⊥AD，∴MC=ME，∵M为BC的中点，∴BM=MC=ME，在Rt△AEM与Rt△ABM中 ∴Rt△AEM≌Rt△ABM（HL）∴∠EAM=∠BAM∴AM平分∠DAB（2）AM⊥DM，证明：∵AB∥DC，∴∠BAD+∠ADC=180°，∵AM平分∠DAB，DM平分∠ADC，∴∠MAD=∠BAD，∠MDA=∠ADC，∴∠MAD+∠MDA=90°，∴∠AMD=90°，∴AM⊥DM．抢答环节：构造抢答环节：构造全等三角形的方法有哪几种？辅助线的大致做法？重点二、平行线问题中的构造方法①平行线中有一个拐点或者多个拐点的情况，常见的辅助线就是过这个拐点或几个拐点做已知直线的平行线或者延长平行线之间的第三条直线。常见辅助线如下:例1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．（1）试证明：∠O=∠BEO+∠DFO．（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论．【解析】（1）证明：作OM∥AB，如图，∴∠1=∠BEO∵AB∥CD∴OM∥CD∴∠2=∠DFO∴∠1+∠2=∠BEO+∠DFO即：∠O=∠BEO+∠DFO（2）解：∠O+∠PFC=∠BEO+∠P．理由如下：作OM∥AB，PN∥CD，如图∵AB∥CD，∴OM∥PN∥AB∥CD，∴∠1=∠BEO，∠2=∠3，∠4=∠PFC，∴∠1+∠2+∠PFC=∠BEO+∠3+∠4，∴∠O+∠PFC=∠BEO+∠P．【举一反三】如图，已知直线a∥b，直线m和直线a、b交于点C和D，点A在直线a上，点B在直线b上，点P在直线m上，且点A、B的位置不变，记∠PAC=α，∠APB=β，∠PBD=γ．（1）当点P在C、D之间运动时，问α、β、γ之间有什么数量关系？请说明理由．（2）当点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索α、β、γ之间的数量关系是（直接写出答案）．【解析】（1）β=α+γ如图1，过点P作PQ∥a∴∠APQ=∠PAC=α又∵a∥b∴PQ∥b∴∠BPQ=∠PBD=γ∵∠APB=∠APQ+∠BPQ∴β=α+γ（2）如图2，当点P在C点外侧运动时，过P点做PQ∥a．∵a∥b，∴PQ∥a∥b，∴∠APQ=∠PAC，∠QPB=∠PBD，∴∠QPB﹣∠QPA=∠PBD﹣∠PAC，∵∠QPB﹣∠QPA=∠APB，∴∠APB=∠PBD﹣∠PAC，即β=γ﹣α；如图3，当点P在D点外侧运动时，过P点做PM∥a，∵a∥b，∴PM∥a∥b，∴∠APM=∠PAC，∠MPB=∠PBD，∴∠MPA﹣∠MPB=∠PAC﹣∠PBD，∵∠MPA﹣∠MPB=∠APB，∴∠APB=∠PAC﹣∠PBD，即β=α﹣γ，故答案为：β=γ﹣α或β=α﹣γ．期末热点题型1、如图，在长方形ABCD中，AB=CD=6cm，BC=10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒：（1）PC=cm．（用t的代数式表示）（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？（3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，点P的运动时间为t秒时，BP=2t，则PC=10﹣2t（2）当t=2.5时，△ABP≌△DCP∵当t=2.5时，BP=2.5×2=5∴PC=10﹣5=5∵在△ABP和△DCP中，∴△ABP≌△DCP（SAS）（3）①当BP=CQ，AB=PC时，△ABP≌△PCQ∵AB=6∴PC=6∴BP=10﹣6=4，2t=4，解得：t=2，CQ=BP=4，v×2=4，解得：v=2；②当BA=CQ，PB=PC时，△ABP≌△QCP，∵PB=PC∴BP=PC=BC=5，2t=5，解得：t=2.5，CQ=BP=6，v×2.5=6，解得：v=2.4．综上所述：当v=2.4或2时△ABP与△PQC全等．【举一反三】如图1，已知正方形ABCD的边长为6，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，点P为正方形ABCD边上的动点，动点P从点A出发，沿着A→B→C→D运动到D点时停止，设点P经过的路程为x，△APD的面积为y（1）如图2，当x=2时，y=；（2）如图3，当点P在边BC上运动时，y=；（3）当y=12时，求x的值；（4）当点P在边BC上运动时，是否存在点P，使得△APD的周长最小？若存在，求出此时x的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）如图2，∵AP=x=2，AD=6，∠A=90°，∴y=S△APD=AP•AD=6；（2）如图3，y=S△APD=AD•AB=×6×6=18；（3）解：由已知得只有当点P在边AB或边CD上运动时，y=12，当点P在边AB上运动时，∵S△PAD=AD•PA，∴×6×PA=12，解得PA=4，即x=4；当点P在边CD上运动时，∵S△PAD=AD×PD，∴×