高三数学单元知识点复习试题27

第1讲导数的概念及运算★知识梳理★1.用定义求函数的导数的步骤.（1）求函数的改变量Δy；（2）求平均变化率.（3）取极限，得导数（x0）=.2.导数的几何意义和物理意义几何意义：曲线f（x）在某一点（x0，y0）处的导数是过点（x0，y0）的切线的物理意义：若物体运动方程是s=s（t），在点P（i0，s（t0））处导数的意义是t=t0处的解析：斜率.；瞬时速度.3.几种常见函数的导数（为常数）；（）；；；；；；.解析：4.运算法则=1\*GB3①求导数的四则运算法则：；；.解析：；=2\*GB3②复合函数的求导法则：或★重难点突破★1.重点：理解导数的概念与运算法则，熟练掌握常见函数的计算和曲线的切线方程的求法2.难点：切线方程的求法及复合函数求导3.重难点：借助于计算公式先算平均增长率,再利用函数的性质解决有关的问题.（1）平均变化率的实际含义是改变量与自变量的改变量的比。问题1.比较函数与,当时,平均增长率的大小.点拨:解题规律技巧妙法总结:计算函数的平均增长率的基本步骤是(1)计算自变量的改变量(2)计算对应函数值的改变量(3)计算平均增长率:对于,又对于,故当时,的平均增长率大于的平均增长率.（2）求复合函数的导数要坚持“将求导进行到底”的原则,问题2.已知,则.点拨：复合函数求导数计算不熟练,其与系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:.设,,则.（3）求切线方程时已知点是否切点至关重要。问题3.求在点和处的切线方程。点拨：点在函数的曲线上，因此过点的切线的斜率就是在处的函数值；点不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．切忌直接将，看作曲线上的点用导数求解。即过点的切线的斜率为4，故切线为：．设过点的切线的切点为，则切线的斜率为，又，故，。即切线的斜率为4或12，从而过点的切线为：★热点考点题型探析★考点1:导数概念题型1.求函数在某一点的导函数值[例1]设函数在处可导，则等于A．B．C．D．【解题思路】由定义直接计算[解析].故选【名师指引】求解本题的关键是变换出定义式考点2.求曲线的切线方程[例2](高明一中2009届高三上学期第四次月考)如图，函数的图象在点P处的切线方程是 ，则=.【解题思路】区分过曲线处的切线与过点的切线的不同，后者的点不一定在曲线上.解析:观察图形,设,过P点的切线方程为即它与重合,比较系数知:故=2【名师指引】求切线方程时要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标．题型3.求计算连续函数在点处的瞬时变化率[例3]一球沿一斜面从停止开始自由滚下，10s内其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位：m，时间单位：s)，求小球在t=5时的加速度.【解题思路】计算连续函数在点处的瞬时变化率实际上就是在点处的导数.解析：加速度v=(10+Δt)=10m/s.∴加速度v=2t=2×5=10m/s.【名师指引】计算连续函数在点处的瞬时变化率的基本步骤是1.计算2.计算【新题导练】.1.曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是.解析：曲线和在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=－x+2和y=2x－1，它们与轴所围成的三角形的面积是.点拨::与切线有关的问题,应有运用导数的意识,求两曲线的交点坐标只要联立解方程组即可.2.某质点的运动方程是，则在t=1s时的瞬时速度为 （） A．－1 B．－3 C．7 D．13解:B点拨:计算即可3.已知曲线C1:y=x2与C2:y=－(x－2)2,直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程.解：设l与C1相切于点P(x1,x12),与C2相切于Q(x2,－(x2－2)2)对于C1：y′=2x,则与C1相切于点P的切线方程为y－x12=2x1(x－x1),即y=2x1x－x12 ①对于C2：y′=－2(x－2),与C2相切于点Q的切线方程为y+(x2－2)2=－2(x2－2)(x－x2),即y=－2(x2－2)x+x22－4 ②∵两切线重合，∴2x1=－2(x2－2)且－x12=x22－4,解得x1=0,x2=2或x1=2,x2=0∴直线l方程为y=0或y=4x－4点拨:利用解方程组求交点,利用直线间的位置和待定系数法求斜率.考点2导数的运算题型1:求导运算[例1]求下列函数的导数：（1）（2）（3）【解题思路】按运算法则进行[解析]（1）（2）（3）【名师指引】注意复合函数的求导方法（分解求导回代）；注意问题的变通：如的导数容易求错，但的导数不易求错.题型2:求导运算后求切线方程例2.(广州市2008届二月月考)已知函数（1）若，点P为曲线上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；（2）若函数上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a.【解题思路】先按运算法则求导,再按几何意义求切线方程.解析：（1）设切线的斜率为k，则 又，所以所求切线的方程为：即 【名师指引】求三次函数图象的切线在高考中经常出现.与曲线相切于P处的切线方程是（D）A．B．C．D．题型3:求导运算后的小应用题例3.某市在一次降雨过程中,降雨量与时间的函数关系可近似地表示为,则在时刻的降雨强度为()A.B.C.D.【解题思路】先对的求导,再代的数值.解析:选D【名师指引】求某一时刻的降雨量相当于求瞬时变化率,即那一时刻的导数值.【新题导练】.4.设函数，且，则A．0B．-1C．3D．-6思路分析:按导数乘积运算法则先求导,然后由已知条件构造关于的方程求解.解:+++故又,故5.设函数，（、、是两两不等的常数），则．解析:代入即得0..6.质量为的物体按的规律作直线运动,动能,则物体在运动后的动能是解析:先求瞬时速度后,再代入公式求解提3125J★抢分频道★基础巩固训练1.(广东省六校2009届高三第二次联考试卷)是的导函数，则的值是．解析:故=32.(广东省2008届六校第二次联考)在处的导数值是___________.解析：故填3.已知直线x+2y－4=0与抛物线y2=4x相交于A、B两点，O是坐标原点，P是抛物线的弧上求一点P，当△PAB面积最大时，P点坐标为.解析：|AB|为定值，△PAB面积最大，只要P到AB的距离最大，只要点P是抛物线的平行于AB的切线的切点，设P（x,y）.由图可知，点P在x轴下方的图象上∴y=－2,∴y′=－,∵kAB=－,∴－∴x=4,代入y2=4x(y<0)得y=－4.∴P(4,－4)4.(广东省深圳市2008年高三年级第一次调研考试)已知，（），直线与函数、的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1．求直线的方程及的值；解：依题意知：直线是函数在点处的切线，故其斜率，所以直线的方程为． 又因为直线与的图像相切，所以由，得（不合题意，舍去）；5.(湛江市实验中学2009届高三第四次月考)已知函数的图象都相切，且l与函数图象的切点的横坐标为1,求直线l的方程及a的值；解由，故直线l的斜率为1，切点为即（1，0）∴①又∵∴即②比较①和②的系数得综合拔高训练6.对于三次函数，定义：设是函数的导函数的导数，若有实数解，则称点为函数的“拐点”。现已知,请解答下列问题:（1）求函数的“拐点”A的坐标;（2）求证的图象关于“拐点”A对称;并写出对于任意的三次函数都成立的有关“拐点”的一个结论（此结论不要求证明）.[解析]（1），.令得，.EMBEDEquation.DSMT4拐点（2）设是图象上任意一点，则，因为关于的对称点为，把代入得左边,右边EMBEDEquation.DSMT4右边=右边在图象上EMBEDEquation.DSMT4关于A对称7.已知定义在正实数集上的函数，其中。设两曲线有公共点，且在公共点处的切线相同。（1）若，求的值；（2）用表示，并求的最大值。解：（1）设与在公共点处的切线相同 由题意知 ，∴由得，，或（舍去） 即有 （2）设与在公共点处的切线相同由题意知 ，∴由得，，或（舍去） 即有 令，则，于是当，即时，；当，即时， 故在的最大值为，故的最大值为 8.设三次函数在处取得极值，其图象在处的切线的斜率为。求证：；解：(Ⅰ)方法一、.由题设，得①②