高三数学基础突破复习检测38

第2讲导数的运算（学生版）【知识梳理】1．函数y＝f(x)的导函数 如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数．记作f′(x)或y′.2．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a>0，a≠1)f′(x)＝axln_af(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)f(x)＝logax(a>0，a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)3．导数的运算法则若，存在，则有（1）；（2）；（3）．4．复合函数的导数复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．【基础考点突破】考点1．导数的运算【例1】分别求下列函数的导数：(1)y＝exlnx；(2)y＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x)＋\f(1,x3)))；(3)y＝x－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)；(4)y＝lneq\r(1＋2x)；(5)y＝eq\f(lnx,x2＋1)．【归纳总结】（1）熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错.（2）①如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导.②复合函数求导，应先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理.变式训练1．（2016年天津高考）已知函数为的导函数，则的值为_____.变式训练2．求下列函数的导数：(1)y＝x2sinx；(2)y＝eq\f(1,1＋\r(x))＋eq\f(1,1－\r(x))；(3)y＝eq\f(ln（2x＋1）,x).【基础练习巩固】1．f(x)＝x(2016＋lnx)，若f′(x0)＝2017，则x0等于()A．e2B．1C．ln2 D2．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于()A．－1B．－2C．2 D3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)等于()A．－eB．－1C．14．有一机器人的运动方程为s＝t2＋eq\f(3,t)(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为()A.eq\f(19,4)B.eq\f(17,4)C.eq\f(15,4)D.eq\f(13,4)5．(教材改编)f′(x)是函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为()A．0B．3C．4D．－eq\f(7,3)6．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.7．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′(eq\f(π,2))sinx＋cosx，则f′(eq\f(π,4))＝________.

2017年高考数学基础突破——导数与积分第2讲导数的运算（教师版）【知识梳理】1．函数y＝f(x)的导函数 如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数．记作f′(x)或y′.2．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a>0，a≠1)f′(x)＝axln_af(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)f(x)＝logax(a>0，a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)3．导数的运算法则若，存在，则有（1）；（2）；（3）．4．复合函数的导数复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．【基础考点突破】考点1．导数的运算【例1】分别求下列函数的导数：(1)y＝exlnx；(2)y＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x)＋\f(1,x3)))；(3)y＝x－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)；(4)y＝lneq\r(1＋2x)；(5)y＝eq\f(lnx,x2＋1)．解析：(1)y′＝(ex)′lnx＋ex(lnx)′＝exlnx＋ex·eq\f(1,x)＝exeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnx＋\f(1,x))).(2)∵y＝x3＋1＋eq\f(1,x2)，∴y′＝3x2－eq\f(2,x3).(3)∵y＝x－eq\f(1,2)sinx，∴y′＝1－eq\f(1,2)cosx.(4)∵y＝lneq\r(1＋2x)＝eq\f(1,2)ln(1＋2x)，∴y′＝eq\f(1,2)·eq\f(1,1＋2x)·(1＋2x)′＝eq\f(1,1＋2x).(5)y′＝eq\f(lnx′x2＋1－lnxx2＋1′,x2＋12)＝eq\f(\f(1,x)x2＋1－2xlnx,x2＋12)＝eq\f(x2＋1－2x2lnx,xx2＋12).【归纳总结】（1）熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错.（2）①如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导.②复合函数求导，应先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理.变式训练1．（2016年天津高考）已知函数为的导函数，则的值为_____.【答案】3变式训练2．求下列函数的导数：(1)y＝x2sinx；(2)y＝eq\f(1,1＋\r(x))＋eq\f(1,1－\r(x))；(3)y＝eq\f(ln（2x＋1）,x).解析：(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)∵y＝eq\f(1,1＋\r(x))＋eq\f(1,1－\r(x))＝eq\f(2,1－x)，∴y′＝eq\f(0－2（1－x）′,（1－x）2)＝eq\f(2,（1－x）2).(3)y′＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(ln（2x＋1）,x)))′＝eq\f([ln（2x＋1）]′x－x′ln（2x＋1）,x2)＝eq\f(\f(（2x＋1）′,2x＋1)·x－ln（2x＋1）,x2)＝eq\f(\f(2x,2x＋1)－ln（2x＋1）,x2)＝eq\f(2x－（2x＋1）ln（2x＋1）,（2x＋1）x2).【基础练习巩固】1．f(x)＝x(2016＋lnx)，若f′(x0)＝2017，则x0等于()A．e2B．1C．ln2 D答案B解析f′(x)＝2016＋lnx＋x×eq\f(1,x)＝2017＋lnx，故由f′(x0)＝2017得2017＋lnx0＝2017，则lnx0＝0，解得x0＝1.2．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于()A．－1B．－2C．2 D答案B解析(2)f′(x)＝4ax3＋2bx，∵f′(x)为奇函数，且f′(1)＝2，∴f′(－1)＝－2.3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)等于()A．－eB．－1C．1答案B解析由f(x)＝2xf′(1)＋lnx，得f′(x)＝2f′(1)＋eq\f(1,x).∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.4．有一机器人的运动方程为s＝t2＋eq\f(3,t)(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为()A.eq\f(19,4)B.eq\f(17,4)C.eq\f(15,4)D.eq\f(13,4)答案D5．(教材改编)f′(x)是函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为()A．0B．3C．4D．－eq\f(7,3)答案B解析∵f(x)＝eq\f(1,3)x3＋2x＋1，∴f′(x)＝x2＋2.∴f′(－1)＝3.6．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.答案2解析设ex＝t，则x＝lnt(t＞0)，∴f(t)＝lnt＋t，∴f′(t)＝eq\f(1,t)＋1，∴f′(1)＝2.7．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′(eq\f(π,2))sinx＋cosx，则f′(eq\f(π,4))＝________.答案－eq\r(2)解析因为f(x)＝f′(eq\f(π,2))sinx＋cosx，所以f′(x)＝f′(eq\f(π,2))cosx－sinx，所以f′(eq\f(π,2))＝f′(eq\f(π,2))coseq\f(π,2)－sineq\f(π,2)，即f′(eq\f(π,2))＝－1，所以f(x)＝－sinx＋cosx.f′(x)＝－cosx－sinx，故f′(eq\f(π,4))＝－coseq\f(π,4)－sineq\f(π,4)＝－eq\r(2).沁园春·雪<毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。望长城内外，惟余莽莽；大河上下，顿失滔滔。山舞银蛇，原驰蜡象，欲与