初中数学经典几何模型专项训练

初中数学经典几何模型

几何问题

初中几何常见模型解析

A模型一：手拉手模型-全等

»条件：均为等边三角形

A结论：①AO4C*AOBD:②"IEB-60\③OE『分乙4£。.

a条件：A°/8，A"C£)均为等腰有角二角形

A结论：！AO4C•AOBD:②LAEB=90°；tOE、|，分乙血).

(3)任意等展三角形

yOE十分心1E0.

（2）全等型-120°

a条件：①乙4。8=2乙DCE=12O°；②OC平分乙408；

a结论：①8-C£,②。D+6£-（K\③%m"Sg，+$侬一

a证明提示：①可参考“午等甲-90。”证法­）

②如图:在。」上取点”,使01=0（.，证明AOCF为等边二角形,

»当〃）CE的一边交A。的延长战丁心。时（如上图石）；

原结论变成，①____________________________________:

②，

③________________________________1

可参考上述第②种方法进行证明.

a结论，①℃平分乙408]+OE=2OC•cosa,③§瓯£=+S&OCE=Tina.cosa

a*ROCE的一边交力。的延长线丁点。时（如右上图）；

原结论变成：①_____________________________________；

③___________________

O请思考初始条件的变化对模型的影响.

...结论③得证

A对角互扑模型总结，

①常见初始条件：四边形对向互补I

注意两点：四点共囱及宜用二角形斜边中线：

②初始条件“用T,分线”。“两边相等”的区别：

③两种常见的辅助线作法；

卜图中OC平分L.4OB时，LCDE-LCED-LCOA-LCO相等是如何指导的？

Ajl型四：角含半角模型90。

（1）角含半角模型90*-1

»条件：①正方形W8CO：②4E/F=45°：

»结论：i，EF・D尸+8£：之ACE5的皮长为k方形48C。周长的一半:

也可以这样：

a条件,八川：方心4BCD：.力EF・DF+BE

»结论，4£.4F-45°

(2)角含半角模型9<r-2

>条件：七讦方彬X8S：②乙£""-45,

a结论：EF-DF-BE

»辅助线如下图所示，

<3)角含半角模型90*-3

条件，①RT&4BC*②乙D.4E=4S\

结论，心+C6血'

若LDAE旋找到MBC外部时，结论BIT+CE'-DE:仍然成

（2）倍长中线类模型-2

a条件：0平行四边形XBCC；；,BC-2AB.AM-DM,4,CE1AD.

》结论8人EMD-3ZJW£4

辅助线：布平忏.西〃CP,有中点

建长EA/•构造・连接CM构

遣等腰^EAfC.&UCF

通过构造8字£孑葩段敦世及但工夫系•痢的大

小样化

a模型六：相似三角形360°旋转模型

（1）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型-倍长中线法

辅助班:些长D尸到点G,«FG-DF.连

MCG,BG、BD证明WX,为等楼面南

突At点；&W9MBG

^点：法明NZUD-4CG

a条件：।MDE、&4伙’均为等腰内角二角形；？/『・（'"

》结论：i0产-B/7：②/）尸J.8尸

（1）相似三角形（等展宜用）360-旋转模型斗卜全法

a条件：Q2DE、&4BC均为安腰山用二角形；£EF=CF；

a结论：1加7-8尸；②。“,BF

辅助线：构造等犊直商AJEG、&IHC

辅助线思路：将。尸与8F转化到CG与EH

(2)任意相似宜角三角形360°旋转模型-补全法

A条件：！^AB^ODC\23AB=LODC=90".@/?E=CE.

a结论：i-DE；⑵乙〃0-2Z.ABO

辅财线■:坦长艮d到点G・使.出三妗,延长

CD好点.H便DH=CD,林全ACXiB•

OCH均造就转根筌.转化AE曷DE妈CG

5RH.艰点在势化NJEO

(2)任意相似宜角三角形360,旋转模型■倍长法

a条件：।bOABsRODC:②L.OAB=L.ODC=90°,aBE=CE.

a结论：i.4E=/)Ei②乙=2乙480

辅助线：廷长DE至M，使ME-Z2£.将纣

论的两个条件纣，匕为证明此

为冷点,将AJJ仆A.4BC推精朴化再证明

A，利gAA()a使阳两边应比H夫同等

此处端点在证明/JR"=Nja)

A模型七：最短路程模型

flfl：A?S/'+g/Pit饯

Ha:点/'握阿蛇，Kp.XL.^*K

为屈作々〃.收点〃作

JA健论：。4力川点件4优,45V.itAP停

ry，，，.*R.FV--；JP.iiAl?nM'PQ±AC,帽化小・；力P・过/B作/C

冷叁蛾与＜产的要点为所求（叁我W如）“鑫及A4r的史也为秋衣

PB^—PA

a问题，"为何值时,5最小

oc、sinL.OAC———

a求解方法,①X轴」JRC(2,0),使5.②过8作8CJ.4C,交J'轴J-点£,即为所求:

tanLEBO-tanLOAC--_...

③2.mE(OA.l).

"仲；OJ-4,<oc“熠)*绅：(I：aiaat-4.<«r-2

¥»:①和MMJznw-.^b

⑵OB电总OIt早南向360：M②以&tJOH,<X'与f3你・

®OC-2；0；Q4-1i④▲「bBC上3A

③七产・四园*忸+国“内哪(金边M)-A

R4:的羹大值.it小值分M力多少？（可与呜丸/分"⑤VJZW授点"残收

M注2以点。力・心.。3今本僮仲■.加由M<：去/H的**值为iu.时or-6

结论：〃4■t（ioa4+o&=i+?4

去AM种改卜值由l,tlOC-3

第京.若样H4♦化由"三il号眄迪士勺夫于子三

P4*小0*，朋4。/。61|

出.科康之*•小于第三城”«PA约最小值为2.«A/的飘色忍阳W

0<R'S2

ata：at^(28：改小值；m-(wX/图一■的•小K仔#f）HHtAAHk

(6)殿短路程模型三(动点在HI上)

国海T

某件：①正方办ABCD也边长为』：

②G»6的半径为2:③尸为08上动点

RM:求尸D+(/Y'2)最小值

辅助投：这点£作EM//IK1.取BE中启N

身,：以或.O为国心三个图,OA,OD«<

转化思访：将PC2转化ME.将ME转化为

OP统点O茂H

间卷：点。在什么低JL时，EP+.UB最小MV.因此MD+MN的最小值为DN长度

住助性：造我3•QC.40.D.「三总结：产C2的比值不看随京如出的.而灵圈

点具%时.AP+A必=/K+pC=1>C最小的半径4BC

A模型八：二倍角模型

8CBC

条性：X4BC4*.&-

触动线,：以8（的垂直牛分隙为纣体触.作.支

.＜的叶钵层r.连mr•BAI.c.r

射BH为ZABC的丽多分级.

〃么ZM.4/■B（/1这个小疙）

牝件精财城的下法是二”南三角■常七的发财

ry”A之一，但舁不乏f一出人

（2）相似三角形模型-斜交型

4月R0

BPBBc

科文型Dn幻文型（新交型t

条件：如左面两个围Z1出）。/北8二90

然论：AExAB・dCxAD

.当伴：如右面两个国NJ1£-NJ2R'

结论：AC^.AEKAB

第旧个03还存在ABxEC・BCx.M

BC：=RExBA,CE'=BE乂AE

（3）相似三角形模型•一线三角型

条件：左用：乙mC=乙4（1=£CDE=9CT

中国：NJ次・乙限7：・47）”・60

右围：乙出（=乙ICE=CCDE=45"

体论：所有四彩都存在的结论

①&4BC\CDE:②ABxDE-^x（7）

一我三哥南蛾鱼也经常用表建立方穆立晶依美

系

【应用上面模型解决如下问题】

一、第一次月考

1.（中）如图，在正方形48CD中.£为中点.八”18£千点”,连接CH并延长交AZ）F

点八CP，CF交AO的延长战r点P.芥EFT.则。P的改为.

【答案】—

3

【提示】八不相似+射影定理

2.（二中）如图.正方形.\BCD的边长为3,延长C8至小M,使BM-L连接M.过止B作BN±AM.

垂足为M。足时角线AC、8。的交点,连接OM则ON的长为.

【碎窠】三6

【提示】旋Mr拉「模到建系

3.（八中）如图,正方形八BCf）的边K为6,£足8cl点,CE-1BE.将AABE沿AE折曾得到

△4FE,连接OF.则线段OF的长为.

【答窠】yV5

【揭示】折Q特殊结论（13闹i槌构成345）/髭系

4.（一外）如图.在边长为4的正方杉A8c。中.点E.F分别为AB、8c边的中点.连结GC.

/）flDH1GC.垂足为〃,则DH-.

【容臬】y

【提示】It转空■澳京（ffRI）M

5.（育才）如图.正方形A8CO的边长为6,点£在边A8上,HAE-2BE.过点八作CE的延长线

的垂线AF交CB的延长线i-.6.H,连接8F.则BF的长为.

【答案】-4s

5

【提小】旋转手拉丁模型，建系

6.（西大）如图，在边长为的正方形A8CD中.E是八8边I•点，G是A0延长线上点，

8E-DG.连接EG,CF_LEG交EG「点，.交A£>丁点F.连接CE、BH,若BH-S.则FG.

【答案】50

【提示】旋转I'拉丁模型+八字相似/建系

7.(-t')如图.等腰R"\A8C中.。为斜边AC的中点,NCA8的平分线分别交8。BCTHE,

F.BP1AFT'H.PCLBC.AE-l.PG-.

【答案】0-1

【提示】旋转空翻模型

S(£■|>)如图.矩形ABCD中.BE平分NABC交AD「点E.F为BE上一点.连接DF.过F

作R3XDF交BC干点G.连接BD交FG点H.FD-FG.BF=2.BG-3,则FH的长.

【答案】京

【提小】等面枳法+八字相似/建系

11(一外)如图.在△ABC中，ZABC-90°.AB-1.XC-3.以心、AC为边向形外作正方形

八8OE和正方形ACFG.连接EG.则EG=.

【答案】2#

1提示】卜箝手拉判

12.(有才)如图.在正方比八8c。外取•点E,HitA£.BE.CE.过点8作8E的垂线交A£J

*F.连接CF.1\BE=BF=l,CF=遥.则正方形ABCD的面枳为.

【芥案】5+24

【提示】艇M!

13.（两大）如图.正方彬ABCD的边长为3.iiKCB至点M.WJBMT.连接AM.过点B作

BNLAM.埠足为N,。足时用纹AC.BD的交点.itRON.则ON的长为.

【答窠】沙

【提示】1fcMf拉f模型/建系

几何常见辅助线口诀

•三角形。

图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可格图对折看，对称以后关系斑

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看.

线段垂直平分线，常向两端把线连。

线段和差及倍半，延长缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角去。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，倍长中线得全等。

•四边形・

平行四边形出现，对称中心等分点.

梯形问题巧转换，变为三角或平四.

平移腰，移对角，两腰延长作出高。

如果出现腰中点，细心连上中位线.

上述方法不奏效，过腰中点全等造。

证相似，比线段，添线平行成习惜.

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦.

斜边上面作高线，比例中项一大片.

•国形•

半径与弦长计算，弦心距来中间站。

国上若有一切线，切点国心半径联。

切线长度的计算，勾股定理最方便.

要想证明是切线，半径垂线仔细辨,

是直径，成半国,想成直角径连弦.

弧有中点国心连，垂径定理要记全。

图周角边两条弦，直径和弦端点连。

弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

要想作个外接国，各边作出中垂线。

还要作个内接圆，内角平分线梦圆。

如果遇到相交图，不要忘作公共弦。

内外相切