高中数学圆锥曲线十大题型 06以椭圆为情景的定值问题 （学生版+解析版）

06以椭圆为情景的定值问题

碧刎合所

1、已知椭圆!•+1=13＞。＞0）经过点（1,血），离心率为乎，过原点。作两条直线/”4,直线4交

椭圆于AC,直线右交椭圆于民。，且|蜴2+忸。2+|。|2+|网2=24.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线4,4的斜率分别为4，修，求证：卜。2为定值•

2.已知动直线1与焦点坐标为（-3,0）,离心率为（的曲线C相交于M,N两点（0为曲线C的坐标原点），

目.SAOMN=10-

（1）求曲线C的标准方程；（2）证明：xa+x,和亦+及都为定值.

3.已知椭圆（7：1+1=1（4＞6＞0）过点T6，-半，且半焦距c=6.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）如图，已知。（|,o],42,1）,过点8（3,0）的直线/与椭圆相交于P,。两点，直线AP,AQ与x轴分别相

交于M,N两点，试问是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由.

4、【2020年新高考全国I卷】已知椭圆C：5+，=1（。＞。＞0）的离心率为无，且过点A（2,1）.

（1）求C的方程：

（2）点M,N在C上，且AD±MN,。为垂足.证明：存在定点。，使得|。。|为定值.

方任点破

定值是证明求解的一个量与参数无关，解这类试题时要会合理选择参数（参数可能是直线的斜率、截距,

也可能是动点的坐标等）,使用参数表达其中变化的量，再使用这些变化的量表达需要求解的解题目标.当使用

直线的斜率和截距表达直线方程时，在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系,把双参数问题化为单

参数问题解决.求定值问题常用的方法有两种：

（1）从特殊值入手，求出定值，再证明这个值与变量无关。

（2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定值。其求解步骤•般为：

一选：选择变量，一般为点的坐标、直线的斜率等；

二化：把要求解的定值表示成含上述变量的式子，并利用其他辅助条件来减少变量的个数，使其只含有

一个变量13或者有多个变量，但是能整体约分也可以团；

三定值：由题目的结论可知要证明为定值的量必与变量的值无关，故求出的式子必能化为一个常数，所

以只需对上述式子进行必要的化简即可得到定值.

应国珠习

1.已知过原点的动直线/与椭圆工+工=1交于A，B两点,。为椭圆C的上顶点，若直线A。，BO的

32

斜率存在且分别为占，攵2,则2#2=（）

2233

A.---B.一C.一D.——

3322

22

2.”过原点的直线/交双曲线0-号=1（"＞0力＞0）于A,8两点，点P为双曲线上异于A,8的动点，若

2

直线以，依的斜率均存在，则它们之积是定值h勺".类比双曲线的性质，可得出椭圆的一个正确结论:

a

22

过原点的直线/交椭圆鼻+斗=1（。＞6＞0）于A,5两点，点尸为椭圆上异于A,B的动点，若直线R4,PB

ab~

的斜率均存在，则它们之积是定值（）

222

ab_bca2

AA.下BD.一/c-7D-F

3.黄金分割比0=叵1=0.618被誉为"人间最巧的比例".离心率e=遮匚的椭圆被称为"优美椭圆"，在平

22

22

面直角坐标系中的"优美椭圆"C：・+』=1（。＞人＞0）的左右顶点分别为A,B,"优美椭圆"C上动点P

（异于椭圆的左右顶点），设直线PA,PB的斜率分别为勺，k2,则《心为（）

A1-＞/5a1+石r＞/5-1n后+1

2222

r22

4.设P为椭圆C：5+卷=1（4＞人＞0）上的动点，F]f尸2分别为椭圆C的左、右焦点，/为片片的

crb~

内心，则直线/耳与直线/鸟的斜率积（）

b2b2

A.非定值，但存在最大值且为B.是定值且为-厂公

C.非定值，且不存在定值D.是定值且为一尸J

（C+"）-

5.已知椭圆或+《=1,圆O:f+y2=4,过椭圆上任一与顶点不重合的点G引圆的两条切线，切点分别

124

31

为P,。，直线PQ与X轴，y轴分别交于点M,N,则而甲+阿二（）

5443

A.-B.-C.-D.—

4534

6.（多选题）已知椭圆：5+/=1（〃>/>>0）的离心率为¥，AABC的三个顶点都在椭圆上，。为坐标原点，

设它的三条边AB,BC,AC的中点分别为。，E,F,且三条边所在直线的斜率分别匕，k2,%,且勺，

右，%均不为0，贝U（）

A.a2:b2=2:l

B.直线A8与直线。。的斜率之积为-2

C.直线BC与直线OE的斜率之积为

D.若直线。。，OE,QF的斜率之和为1,则;+；+；的值为-2

kxk2攵3

7.（多选题）已知K，尸2是椭圆C：E+炉=1的左、右焦点，且K，尸2分别在椭圆c的内接AABC的A8

43

与AC边上，圆/是AA8C的内切圆，则下列说法正确的是（）

A.△ABC的周长为定值8

B.当点A与上顶点重合时，圆/的方程为/+

114

c-阳+同为定值§

D.当轴时，线段BC交x轴于点。，则|0可・|0q=4

22

8.已知椭圆C：三+方=1（°>〃>0）的长轴长为4,若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线/与椭圆

交于M,N两点，记直线PM,PN的斜率为"KPN,若%/=-；，则椭圆的方程为.

9.已知椭圆C：孑+1=1（於方>0）,过动点M（m,0）（0〈欣Z?）的直线交y轴于点N,交。于点4〃（户在第一象

限），且"是线段四的中点。若过点尸作y轴的垂线交C于另一点0,设直线门4QV的斜率分别为3的

则或是一个定值，这个定值为_____________。

K2

10.椭圆C:《+$=l的左、右焦点分别为大，尸2，P是椭圆上不与顶点重合的点，椭圆在点尸处切线斜

43

11

率为k，则k.k-+k・k—―..........，

KK

KpF\KPF2

11.已知A8是椭圆三+二=1的左右顶点，点M,N分别在矩形A8C£>的边8C,C。上，|4。|=4,且同加

94

与BN的交点户在椭圆上(第一象限内)，则黑^=_______.

ILN|

12、已知椭圆下方=l(a>0>0)的焦距为2近,且经过点(―©1).过点£>((),—2)的斜率为Z的直

线/与椭圆交于AB两点，与x轴交于尸点，点A关于x轴的对称点C,直线8C交x轴于点Q.

(1)求上的取值范围；

(2)试问：是否为定值？若是，求出定值；否则，说明理由.

13、已知椭圆C：'+《=l(a>b>0)的左右顶点为A、B,右焦点为F,一条准线方程是x=-4,短轴一

端点与两焦点构成等边三角形，点P、Q为椭圆C上异于A、B的两点，点R

为PQ的中点

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)直线PB交直线x=-2于点M,记直线PA的斜率为kpA，直线FM的斜率为

kpM，求证：kpMekpA为定值;

V

14、已知椭圆才+/=1,耳，心分别是其左、右焦点。

(1)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接尸4$弱.设NF/6的角平分线PM交C的长

轴于点M(根,0),求机的取值范围;

（2）在（1）的条件下，过点P作斜率为左的直线/,使得/与椭圆。有且只有一个公共点.设直线

P耳,PF,的斜率分别为勺,匕，若&H0,试证明+-为定值，并求出这个定值.

kk[kk2

r2

15、设椭圆。：彳+>2=1的右焦点为尸，过点厂且不与X轴垂直的直线/与C交于两点，点”的

坐标为（2,0）.设O为坐标原点，求证用〃+4班为定值.

16、己知椭圆吟+5=l（a>b>0）经过点M（0,-l）,长轴长是短轴长的2倍.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线1经过点N（2,l）且与椭圆C相交于A,B两点（异于点M）,记直线MA的斜率为七,直线MB的斜率

为k2,证明：ki+k2为定值.

22

17、已知椭圆七：三r+*=1（“〉。〉0）的离心率e满足2e2-30e+2=O，右顶点为A，上顶点为8,

点C（0,-2）,过点C作一条与y轴不重合的直线/,直线/交椭圆£于P,Q两点，直线BP,BQ分别交尤

轴于点M,N；当直线/经过点A时，/的斜率为0.

（1）求椭圆E的方程；（2）证明：80M•&BCW为定值.

丫2

18、如图，已知椭圆C:\-+y2=l,/为其右焦点，直线/:丁="+加（&加<0）与椭圆交于

P（x,,y,）,Q（Z，必）两点，点A8在/上，且满足照=|PF\,\QB\=\QF\,\OA\=\OB\.（点A,P,Q,B从上

到下依次排列）

77

Ji

⑺试用的表示|PF|：(①证明：原点。到直线/的距离为定值.

x22^2

19、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Ci：J+y2=l,椭圆C2：^+b2=l(a>b>0),C2与Ci的长

轴长之比为小:1,离心率相同.

(1)求椭圆C2的标准方程；

(2)设点P为椭圆C2上的一点.

PA

①射线P0与椭圆Cl依次交于点A,B,求证：而为定值；

②过点P作两条斜率分别为k”k2的直线h,12,且直线h,12与椭圆Ci均有且只有一个公共点，求证

k.・k2为定值.

x2Y2亚亚

20、已知椭圆E：Q+b2=l(a>b>0)的离心率为2，焦点到相应准线的距离为3.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)己知P(t,0)为椭圆E外一动点，过点P分别作直线h和12,直线11和b分别交椭圆E于点A,B

PA•PB

和点C,D,且h和b的斜率分别为定值匕和k2,求证：PC•PD为定值.

06以椭圆为情景的定值问题

兵例今所

1、已知椭圆，+*=1（。＞。＞0）经过点（1,3）,离心率为与，过原点o作两条直线4,4,直线4交

椭圆于AC，直线，2交椭圆于民0，l.|AB|2+\BCf+\CDf+|DA|2-24.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线/1，4的斜率分别为勺,右，求证：七心为定值.

2%2

【答案】（1）^V-+—=1（2）见解析

42

【分析（2）］看问题：求证：向心为定值（属于定值问题）

想方法：（1）由特殊到一般：从特殊值入手，求出定值，再证明这个值与变量无关。

（2）选参消参：合理选择参数（参数可能是直线的斜率、截距,也可能是动点的坐标等）,

使用参数表达其中变化的量，再使用这些变化的量表达需要求解的解题目标，然

后消去参数得到定值.其基本步骤如下：

一选：选择变量，一般为点的坐标、直线的斜率等；

二化：把要求解的定值表示成含上述变量的式子，并利用其他辅助条件来减少

变量的个数，使其只含有一个变量或者有多个变量，但是能整体约分

也可以；

三定值：由题目的结论可知要证明为定值的量必与变量的值无关，故求出的式

子必能化为一个常数，所以只需对上述式子进行必要的化简即可得到

定值.

22

看条件：过原点。且斜率分别为自心的直线4，/,与椭圆工+±=1分别交于A,c昆。两

42、

点，由此可得A与C、B与D关于原点对称，且A、C、B、D四点的坐标满足椭圆的

方程，|时+忸4+|可+|例=24。

定措施：设A（x，y）,8（与%）,则。（-石,一乂），D（-x2,-y2）,由斜率公式求出

k」是用占,必表小的，然后消去知y，占,内，即可得到定值。

【解析】（1）由题意知，2+3=1且9=也，解得〃=4,〃=2,椭圆的方程为金+三=1；

a2b2a242

（2）由对称性可知，四边形A8CD是平行四边形，设A（%,y）,

则C（一%,—y）,。（一与,一%），由_^_+'^_=1，得y2=4—2x）,

\ABf+\BCf+\CDf+\DAf=2[^ABf+\DAf）=2^x,-x2）\^-y2）\（Xt+x2）\^+y2f

=4（x：+X；+y：+y；）=4（x；+%；+4_2x；+4_q）=4（8-x：一引=24,所以x：+x；=2,

勺“H色=符=新妻画=尸手量=2,故人可为定值2.

2.已知动直线1与焦点坐标为（-3,0）,离心率为:的曲线C相交于M,N两点（0为曲线C的坐标原点），

且%OMN=

（1）求曲线C的标准方程；（2）证明：xa+x外口资+於都为定值.

【答案】（1）[+[=1（2）详见解析

2516

[分析（2）】看问题：求证：*a+*；和增+逃都为定值.（属于定值问题）

想方法：（1）由特殊到一般：从特殊值入手，求出定值，再证明这个值与变量无关。

（2）选参消参：合理选择参数（参数可能是直线的斜率、截距,也可能是动点的坐标等）,

使用参数表达其中变化的量，再使用这些变化的量表达需要求解的解题目标，然

后消去参数得到定值。.

看条件：动直线1与椭圆房+套=1交于M,N两点，且%OMN=10-

2

*+一=（%1+%2）-2%1x2>一+羽=16（1--+16（1一抄,

定措施：设直线1的方程为丫=丘+111,代入捻+1=1，由根与系数关系求出与+%%62,

2516

代入以+%2=（%1+%2）2-2-，Y1+72=16（1一装）+16（1-第，然后消去

k,m,即可得到定值。

【解析】（1）・・•曲线C的离心率为£・,•该曲线为椭圆，,・•曲线C的焦点坐标为（・3,0）,e=f=1,

c=3,a=5,b2=a2-c2=52-32=16/.曲线C的标准方程为三+—=1

2516

（2）①当立线1的斜率不存在时，当M,N关于x轴对称，设M（Xi，yJN（X2，y2）,得x1=X2,yx=-y2,

在椭圆上,得星+造得

M=1,XVSA0MN=10,Xi%=10

2516

联立费+言=1与xji=10,可得X：=x叁=卷=25,同理可得：Yi+Y2=16

②当直线1的斜率k存在时，设直线1的方程为丫=1«+01,代入"+(=1，得

(16+25k2)x2+50mkx+25(m2-16)=0,V164-25k2>0,且直线与曲线C有两个交点,

25(m216)

：)XX

，由根与系数关系的Xi+X2=16黑2,12=16+25k2

40,25k2+16-m2

/.MN=V14-k2•J(X1+X2)2・4X]X2=V14-k2•

25k2+16

20ml25k2+16-m2|

因为。到IL线11向距E,jd=S^OMN=1。，1・SAOMN=5MN,d==10

25k2+16

令25k2+16=t,即有吧誓=点可推出t2-4m2t+4m4=0,得t=2D?

25(16+25k2-m2)

即25k2+16=2m2,此时x：+x；=(x+x)2-2xx==25

t212m2

yf+yi=16(14)+16(晦)=16-16(g+1)+16=16,

综上所述，Xi+X2=25,yi+y2=16

22(

3.已知椭圆C言+2=13〉力〉0)过点，且半焦距。=石.

(1)求椭圆c的标准方程；

(2)如图，已知呜4A(2,1),过点8(3,0)的直线/与椭圆相交于P,。两点，直线AP,4Q与x轴分别相

交于"，N两点，试问是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由.

［答案】⑴±+!=1;⑵|。叫|则为定值，且|必州网=」.

634

【分析(2)］看问题：探索是否为定值(属于定值问题)

想方法：(1)由特殊到一般：从特殊值入手，求出定值，再证明这个值与变量无关。

(2)选参消参：合理选择参数(参数可能是直线的斜率、截距,也可能是动点的坐标等),

使用参数表达其中变化的量，再使用这些变化的量表达需要求解的解题H标，然

后消去参数得到定值。.

看条件：过点B(3,0)的直线/与椭圆(+!=1相交于P,。两，直线AP,AQ与x轴分别相交

63

于M,N两点，

定措施：设直线/的方程为工=殁+3,尸(4州),0和为)，求出直线AP的方程再求点M的坐标,

同理再求点N的坐标，然后求出|。”|步时，是用表示的，结合韦达定理,+丫2=-*=，乂”=不当，

消去参数，可得⑷叫为定值.

【详解】(D设椭圆c的左、右焦点分别为乐鸟，则月(-6,0),玛(6,0)，

由椭圆的定义可得2a=J(G+病2解得4=>/6>

所以椭圆C的标准方程为m+《=1.

所以62=a2_02=6_3=3,

(2)设直线I的方程为彳=冲+3,?(*2|),。(和％)，

当直线叱的斜率不存在时，易知直线与椭圆C相切，不符合题意，同理可得直线AQ的斜率存在,

"(x-2),则知生1,0,即加卜2-一)X3,o],同理N](2-加为-3,0

故直线AP的方程为y-1

IyT

x=my+3

由<fy2得(2+〃/)y2+6my+3=0,由△=36^2-12(2+/??2)>o得力[2>],又y+为二一^---70^2=----f

---—12+m~2+m

163

⑼乃(1+2附2%%+(1+2〃?)(y+y2)+1

所以口叫抄例=5_-3_IP5_(2--3

.2一-»-1M__%_].4由2-3+%)+1]

2

"+2""大版+"+2"。卜彳蕨)+1_3+12机+12济-6瓶-12疗+2+田_m+6/H+5_1

J3।6〃z।14(3+6m+2+m?)4(n?+6m+5)4，

12+相？2+/w2J

故卬陷护时为定值，且|。叫|0可|=；.

【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

⑴注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

⑵强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三

角形的面积等问题.

4、【2020年新高考全国1卷】已知椭圆C：5+[=13>6>0)的离心率为它，且过点A(2,1).

(I)求c的方程：

(2)点M,N在C上,且AMLAMADVMN,。为垂足.证明：存在定点。，使得|。。|为定值.

【解析】(1)由题设得二+4=1,匚C=L解得片=6，b2=3.所以C的方程为三+上=1.

a2b~a2263

(2)设"(菁方)，Na，%)-

若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为丁=履+加，

2

IA—+—=1得(1+2左2)42+4knvc+2m-6=0.于是％+x9=——钠"，犬、,_2m——6.①

631+2A:21+2k2

由AM±AN知AM-AN=0*故(％-2)(x2-2)+(yi-l)(y2-1)=0,

22

可得(k+l)x,x2+(km-k-2)(x)4-x2)4-(AH-1)+4=0.

将①代入上式可得(k2+1/疗-?一(m-k-2)也«+(加一I)?+4=0.

\+2k~1+2《

整理得(2Z+3m+\)(2k+加-1)=0.

因为A(2,l)不在直线MN上，所以以:+〃2-1工0,故2左+3加+1=0,k^\.

于是MN的方.程为y=k(x—21丰1).所以直线MN过点P(2j,--1).

若直线MN与x轴垂直，可得N(X|,—y).由奇.丽=0得(百一2)(占一2)+(y-1)(-y-1)=0.

又看+,=1，可得知一包+4=0.解得%=2(舍去)，玉=|.此时直线MN过点P(|,-g).

41

令。为AP的中点，即。(§，?•

若。与P不重合，则由题设知AP是RtzMDP的斜边，故|£>Q|=；|AP|=乎.

若。与P重合，则|DQI=g|AP|.

综上，存在点。弓£),使得为定值.

方彼支弑

定值是证明求解的一个量与参数无关，解这类试题时要会合理选择参数(参数可能是直线的斜率、截距，

也可能是动点的坐标等),使用参数表达其中变化的量，再使用这些变化的量表达需要求解的解题目标.当使用

直线的斜率和截距表达直线方程时，在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系,把双参数问题化为单

参数问题解决.求定值问题常用的方法有两种：

(1)从特殊值入手，求出定值，再证明这个值与变量无关。

（2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定值。其求解步骤一般为：

一选：选择变量，一般为点的坐标、直线的斜率等；

二化：把要求解的定值表示成含上述变量的式子，并利用其他辅助条件来减少变量的个数，使其只含有

一个变量或者有多个变量，但是能整体约分也可以；

三定值：由题目的结论可知要证明为定值的量必与变量的值无关，故求出的式子必能化为一个常数，所

以只需对上述式子进行必要的化简即可得到定值.

双（S秣习

22

1.己知过原点的动直线/与椭圆三+匕=1交于A，3两点，。为椭圆。的上顶点，若直线A。，3D的

斜率存在且分别为乙，k2,则攵的=

3

2

【答案】A

行一）1夜_犬2

【解析】由题知D（0,、©,可设A（%,y）,5（-石,-坨，则秘2

22CG。

又A在椭圆上，故五+3~=1,即"=2—§玉2,所以上他=一§.故答案为：

22

2.”过原点的直线/交双曲线£-£=1（。＞0力＞0）于A,B两点，点P为双曲线上异于A,B的动点，若

直线以，依的斜率均存在，则它们之积是定值耳类比双曲线的性质，可得出椭圆的一个正确结论：

矿

22

过原点的直线/交椭圆与+当=1（“＞匕＞0）于A,8两点，点P为椭圆上异于A,8的动点，若直线P4,PB

的斜率均存在，则它们之积是定值（）

.a2_b2_b1,a2

A.一庐B.一/CF口•3

【答案】B

【分析】利用椭圆与双曲线方程形式上的类似，结合椭圆方程化简即可得到心,法网的值.

【详解】"过原点的直线/交双曲线鸟―]=1（。＞0/＞0）干A，8两点，点P为双曲线上异于4,E的动点,

若直线E4,的斜率均存在，则它们之积是定值与"，类比双曲线的性质，可得出椭圆的一个正确结论:

丫2储▲一A2

过原点的直线［交椭圆：与=1（。＞b＞0）于A，8两点，若直线PA,PB的斜率均存在，则％•如=-勺,

a'b'a

证明如下：设A（肛〃），则8（-机,f）,且卫+吗=1,设尸（x,y）,则发僧="2,号*=*,

a"b~x-mx+m

y+n

所以k-kpB=———

PAx-mx+m

22

22层

代入可得：底脸y—itAq-Tcrb2故选：B

x2-m2x2-nr

【点睛】类比推理的一般步骤是:⑴找出两类事物之间的相似性或一致性;（2）用一类事物的性质去推测另一

类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）.

3.黄金分割比。=更二1^0.618被誉为“人间最巧的比例”.离心率e=叵」的椭圆被称为"优美椭圆"，在平

22

面直角坐标系中的"优美椭圆"C：5+3=1（。＞匕＞0）的左右顶点分别为A,B,"优美椭圆"C上动点P

a~b~

（异于椭圆的左右顶点），设直线R4,即的斜率分别为占，k2,则女也为（）

A.二75-1布+1

D.

222

【答案】A

【分析】设尸点坐标，代入桶圆方程，根据直线的斜率公式，即可求得。，。关系，根据椭圆的离心率公式,

即可求得椭圆的离心率.

【详解】设P（孙力代入椭圆方程，则：4+m=1，离心率e=心二!■,可得£=避二二4=避二1

a-b22a2a22

222b2石-11-V5

整理得：n=~(m-a),又e=--，所以3=^^

am+am-am~-aa222

4.设P为椭圆C：4+4=1（。＞人＞0）上的动点，K，F?分别为椭圆C的左、右焦点，/为△尸耳片的

a~h-

内心，则直线邛与直线低的斜率积（）

22

A.非定值，但存在最大值且为-广二b不B.是定值且为一二三b不

（c+ay（c+b）

C.非定值，且不存在定值D.是定值且为-尸―

（c+ay

【答案】D

【分析】根据三角形内角平分线的性质，结合斜率的公式、比例的性质、椭圆的定义进行求解即可.

PF.PIPF,PI

【详解】如图所示，连接P/并延长交x轴于G,由三角形内角平分线定理可知：W=左，言=左，所

r,GIGF2G1G

PIPF.PF.PIPF\+PF,2a1,、

以二===会，因此可得：二=尸二'小Q=丁=_（*）•设尸（%，%），/（%，%）G（%，°），因此有：

/OF]Or0CrIUF|CJ4-2c€

2222_

乌+”=1,可得：=由（*）可得：A=-=>y,=—,£的坐标为：（-c,o）,

a2b2。%a+ca+c

222222

=1=）『=b"l—y），PF1=J（%+c）2+城=Jx0+2Aoe4-c+/?（1-=^x0+2xoea+a=a+exQy

由椭圆的定义可知：PF2=a-ex°,再由三角形内角平分线定理可知:

PF、_F{Gc+xG_a+ex（}、,Pl1CJIex,-xre

%=60，由记

PF?F2Gc-xGa-exQ%=记=*===汇=a=%,

2

C2._L

（a+c）2b2

因此有：k-k二M,故选:D

FiIF2l2（

X]+cxl—ce2.（〃+C）~XQ~-Cl~a+c>

~^xo~c

a

【点睛】本题考查了椭圆的定义应用，考查了三角形内角平分线定理的应用，考查了斜率公式的应用，考

查了比例的性质，考查了数学运算能力.

22

5.已知椭圆上+土=1,圆。:/+/2=4,过椭圆上任一与顶点不重合的点G引圆的两条切线，切点分别

124

31

为P，。，直线夕。与1轴,y轴分别交于点M,N，则而+鬲=(）

5443

A.一B.C.一D.

4I34

【答案】D

【分析】设尸(%,3)，。(%,%)0(如力)，则可得切线GP,GQ的方程,即可得到直线尸Q的方程，进而可求出

31

点点M，N的坐标，再结椭圆方程可求出血开讦的值

【详解】设“为,凹),。。2，%)，6(如为)，则切线6/1的方程为中：+)^=4,切线G。的方程为马x+y2y=4,

因为点G在切线GP,GQ上，所以XR+%%=4,々%+%%=4,所以直线PQ的方程为Fx+%y=4,

44•））

所以M（一,0）,N（0,一）,因为点G（w，%）在椭圆工+土=1上，所以3x；+y3?=12,

七%124

31_3x；1（3-+V2）」2_3

所1TN以而所一行而一记8+%）-

【点睛】此题考查椭圆的标准方程，以及简单性质有应用，解题的关键是设点G（$,%），再由已知条件得到

直线PQ的方程为鼻》+%>=4,从而可得M,N的坐标，进而可得答案，考查计算能力和转化能力，属于中

档题

6.（多选题）已知椭圆:，■+£=l（a>b>0）的离心率为丰，AABC的三个顶点都在椭圆上，。为坐标原

点，设它的三条边A3,BC,AC的中点分别为O,E,F,且三条边所在直线的斜率分别尢，七,%,

且尢，k2,%均不为0，则（）

A./：/=2：1

B.直线A8与直线OD的斜率之积为-2

C.直线8c与直线OE的斜率之积为

D.若直线O。，OE,。F的斜率之和为1,则;+/+/的值为—2

k]k2k3

【答案】ACD

【分析】由离心率e=?以及户=/一02即可判断A：设8（七,月），。（不，%），则X+工2=2%,

%+以=2%,利用点差法可判断B；同理利用点差法可判断C；由

%+向E+%=1，k-k=k-k=k.-k=~=--即可判断D,进而可得正确选项.

xOD2OE0Fa2

【详解】对于A：因为椭圆的离心率e?=4=（乌]=L所以02=[“2,因为从=/一02=:",

4（2）222

所以〃2：从=2:1,故选项A正确；

对于B：设人（苔,）1）,5（马,为）,。（々）,）7）），则玉+X2=2%0,y+%=2%，所以+=-^-4--^-=1,

a~b~a~b~

两式相减可得：—1+支？£=（）,即汕口」+皿工1=0,所以2gl=一型口，

crh-a~b-ab-

%%=江&・%=上=二，故选项B不正确；

-x2xQ2

对于C:由选项B同理可得k,-k故选项C正确；

0Ea2

对于D：由选项B同理可知用=N.自磐=&3。&0尸=一（=一上，可得“8二一9一，限=一丁,k0F=-^T-

a~22/ci"2/小

111

由已知可得上0/）+脸+勉=1,即-彳1+丁+丁=1，所以7+1+厂=-2,故选项D正确；故选：ACD.

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7.（多选题）已知"，