高中数学导数及其应用

中学数学导数及其应用

一、学问网络

二、高考考点

1、导数定义的认知与应用；

2、求导公式与运算法则的运用；

3、导数的几何意义；

4、导数在探讨函数单调性上的应用；

5、导数在寻求函数的极值或最值的应用;

6、导数在解决实际问题中的应用。

三、学问要点

(-)导数

1、导数的概念

(1)导数的定义

I)设函数在点”及其旁边有定义，当自变量x在“处有增量△x(4x可正可负)，

则函数y相应地有增量少=+Ax）-，这两个增量的比后"&，叫

a

做函数y=f（x）在点“到％+2这间的平均改变率。假如Ax—O时，正有极限，则说函数

y=/（x）在点“处可导，并把这个极限叫做/（"）在点X。处的导数（或改变率），记作

f（r”11m曳=Hm"土瓜"J①，

（II）假如函数/（X）在开区间⑼b）内每一点都可导，则说/（力在开区间（a,b）内可导,

此时，对于开区间S，b）内每一个确定的值”,都对应着一个确定的导数/'（"）,这样在开区间

（4b）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做了（力在开区间（a,b）内的导函数（简称导

”、,y-rw-tan曳4Hm小但-/⑴

数），记作了，“）或>，即«-»<>Ax。

认知：

（1）函数/（力的导数/、X）是以x为自变量的函数，而函数/（为在点X。处的导数/'（"）是

一个数值；/（X）在点益处的导数/是/（乃的导函数/"）当x=%时的函数值。

（II）求函数/（X）在点”处的导数的三部曲：

①求函数的增量每=汽%+帖）-/（“）；

②求平均改变率zAx；

如色.r（4）

③求极限Nr

上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。

（2）导数的几何意义：

函数/（X）在点％处的导数/'（"）,是曲线y=f（X）在点P（%J（X。））处的切线的斜率。

（3）函数的可导与连续的关系

函数的可导与连续既有联系又有区分:

（1）若函数/（X）在点r。处可导，则/（X）在点。处连续；

若函数f（x）在开区间）内可导，则/（x）在开区间（a,b）内连续（可导肯定连续）。

/（%+闻・/（＞）

・八4）

事实上，若函数/（方在点X。处可导，则有=7z此时,

hm/(XQ+dx)='叫(/(而+^x)-/(^))+/(Xo)]

/(Xo+Az)-/(Xo)

©+/(%)]

/(x+zlx)-/(x)

00limdx+lim/(%)

Ax4D，…Jr

-/'(r0)xO+/(Xo)

-Ax.）

记“+Ax-x,则有圾f（x"八"）即/（用在点与处连续。

（U）若函数f（x）在点飞处连续，但/（力在点。处不肯定可导（连续不肯定可导）。

反例：/（x）TH在点x-0处连续，但在点x=0处无导数。

丫+/（0）=|A^I.—=

事实上，了（N在点4处的增量AxZ

包7fan—•1

当Ztt＞0时，Ax,zo*Ax

曳一tan---1

当值＜0时,△x,AX

由此可知，不存在,故/在点x・0处不行导。

2、求导公式与求导运算法则

（1）基本函数的导数（求导公式）

公式1常数的导数：c'-0（c为常数），即常数的导数等于0。

公式2幕函数的导数：，）'=力产伽6Q）。

公式3正弦函数的导数：（smr）'=co$x。

公式4余弦函数的导数：（co$x）r=-$inx

公式5对数函数的导数：

（taxY-l

（］）X；

,“、（iogaxy-liog.

公式6指数函数的导数：

（1）㈠"；

（11）。

（2）可导函数四则运算的求导法则

设4V为可导函数，则有

法则1（u±v）'=u'士匕

法则23）'=〃3+"'；

,“、，u'v-uv',小

",（一）=-----（VW°）

法则3VV」2。

3、复合函数的导数

（1）复合函数的求导法则

设y=/3）,”=*x）复合成以x为自变量的函数了=/1〃初，则复合函数对

自变量x的导数夕；，等于已知函数对中间变量“二网乃的导数y：，乘以中间变量u对自变量x的

导数以，

即小。

引申：设y=/Q),«=^,v=g(x)复合成函数y=/I侬")1,则有咒-J；%咚

(2)认知

(I)认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的依次，即从外向内分析：首先由最外层的主体

函数结构设出y=/w),由第一层中间变量U=%(D的函数结构设出u=%e),由其次层中间变

量u=%(n的函数结构设出口=叫(幻，由此一层一层分析，始终到最里层的中间变量z为自变量

x的简洁函数才=8(*)为止。于是所给函数便“分解”为若干相互联系的简洁函数的链条：

y=/(«),«=^(v).v=.…，4=g(x)；

(11)运用上述法则求复合函数导数的解题思路

①分解：分析所给函数的复合关系，适当选定中间变量，将所给函数“分解”为相互联系的若干简

洁函数；

②求导：明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后，运用上述求导法则和基本公式求；

③还原：将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函数，并作以适当化简或整理。

二、导数的应用

1、函数的单调性

(1)导数的符号与函数的单调性：

一般地，设函数〃力在某个区间内可导，则若/'口”珊口)为增函数;若/'6)＜吸切00

为减函数；若在某个区间内恒有/'(D=°,则在这一区间上为常函数。

(2)利用导数求函数单调性的步骤

(I)确定函数/")的定义域；

(11)求导数/口);

(III)令,解出相应的x的范围

当/时，/(X)在相应区间上为增函数；当时/(X)在相应区间上为减函数。

(3)强调与认知

(I)利用导数探讨函数的单调区间，首先要确定函数的定义域D,并且解决问题的过程中始终立

足于定义域D。若由不等式°确定的x的取值集合为A,由/'(力＜°确定的x的取值范围为

B,则应用；

（II）在某一区间内°（或广（力＜°）是函数/（X）在这一区间上为增（或减）函数的

充分（不必要）条件。因此方程/'（二）=°的根不肯定是增、减区间的分界点，并且在对函数划分单调

区间时，除去确定/'（0=°的根之外，还要留意在定义域内的不连续点和不行导点，它们也可能是增、

减区间的分界点。

举例：

（1）/（力="是R上的可导函数，也是R上的单调函数，但是当x=0时，/W-0o

（2）F（K）TX|在点x=0处连续，点x=0处不行导，但在（-8,0）内递减，在（0,+8）

内递增。

2、函数的极值

（1）函数的极值的定义

设函数/（X）在点与旁边有定义，假如对”旁边的全部点，都有了“）〈式”），则说/（“）是

函数的一个极大值，记作）”入0=4%）；

假如对”旁边的全部点，都有/«）＞/（"）,则说/（“）是函数/（劝的一个微小值，记作

极大值与微小值统称极值

认知：由函数的极值定义可知：

（I）函数的极值点。是区间内部的点，并且函数的极值只有在区间内的连续点处取得；

（U）极值是一个局部性概念；一个函数在其定义域内可以有多个极大值和微小值，并且在某一点

的微小值有可能大于另一点处的极大值；

（III）当函数f（x）在区间［③可上连续且有有限个极值点时，函数/（X）在【a切内的极大值

点，微小值点交替出现。

（2）函数的极值的判定

设函数/（X）可导，且在点4处连续，判定/（%）是极大（小）值的方法是

（I）假如在点”旁边的左侧八0>°,右侧/8<0,则/（%）为极大值;

（II）假如在点与旁边的左侧厂（力<°,右侧r“）>°,则/（%）为微小值；

留意：导数为0的不肯定是极值点，我们不难从函数f（方=/的导数探讨中悟出这一点。

（3）探求函数极值的步骤：

（I）求导数/口）；

（H）求方程/'（*）■°的实根及/I1）不存在的点；

考察/W在上述方程的根以及不存在的点左右两侧的符号：若左正右负，则,（X）在这

一点取得极大值，若左负右正，则/（X）在这一点取得微小值。

3、函数的最大值与最小值

（1）定理

若函数/（X）在闭区间上连续，则/（力在［&句上必有最大值和最小值；在开区间（°，6）内连

续的函数/（入）不肯定有最大值与最小值。

认知：

（1）函数的最值（最大值与最小值）是函数的整体性概念：最大值是函数在整个定义区间上全部

函数值中的最大值：最小值是函数在整个定义区间上全部函数值中的最小值。

（11）函数的极大值与微小值是比较极值点旁边的函数值得出的（具有相对性），极值只能在区间

内点取得；函数的最大值与最小值是比较整个定义区间上的函数值得出的（具有肯定性），最大（小）

值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值。

（III）若/（X）在开区间9，份内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最

大（小）值。

（2）探求步骤：

设函数/（X）在〔2句上连续，在（a6）内可导，则探求函数/（X）在U,句上的最大值与最小

值的步骤如下：

（I）求/（方在9，）内的极值；

(II)求/(X)在定义区间端点处的函数值/(a),/©)；

(in)将力的各极值与79),/©)比较，其中最大者为所求最大值，最小者为所求最

小值。

引申：若函数/(X)在〔③切上连续，则/(X)的极值或最值也可能在不行导的点处取得。对此,

假如仅仅是求函数的最值，则可将上述步骤简化：

(I)求出/(力的导数为0的点及导数不存在的点(这两种点称为可疑点)；

(II)计算并比较/(X)在上述可疑点处的函数值与区间端点处的函数值，从中获得所求最大值

与最小值。

(3)最值理论的应用

解决有关函数最值的实际问题，导数的理论是有力的工具，基本解题思路为：

(I)认知、立式：分析、认知实际问题中各个变量之间的联系，引入变量，建立适当的函数关

系；

(II)探求最值：立足函数的定义域，探求函数的最值；

(ITI)检验、作答：利用实际意义检查(2)的结果，并回答所提出的问题，特殊地，假如所得

函数在区间内只有一个点。满意,并且/(力在点。处有极大(小)值，而所给实际问

题乂必有最大(小)值，那么上述极大(小)值便是最大(小)值。

四、经典例题

例1、设函数/(力在点与处可导，且广(与)=人，试求

/(Xe-Ax)-/(x0)

uni-------------------------------------------

(1)X;

/(^+Ax)-/(Xo-Ax)

um--------------------------

(2)Ax；

UJI)........

⑶fx-x0.

/(Xo+oAx)-/(Xo-iAx)

hm

(4)33Ax（a，b为常数）。

/Qdx+/)-/(%)

八4）=Hm

解:留意到Ax

/XQfan〃1一八二)

当XJT

O»-»».x-x0"+A=)

bm=至

=_km/k+(Vx).〃而)=_/u)=y

(1)Ax

hm♦…)M…)=hmU8+/)-/g)】+U(4)-/(“-”x)】

(2)30』XAO

+4x)-/(%)[.

=hm।।।।+hm।

『AxA。-Ax

=A+A=2A

(3)令r-0=',则当x—“时力f0,

/(2X-AO)-/(2^-X)/(x0+㈤-/(/)+〃、)-/(%1)

hm=hm,

,fx.&rh

_10n/(%+2A)-/5)_1m〃[-(一他)

JOh*-»oh

2/(%+2用-/(%)八4T)-/(x)

・zu11mm-..........+MI—0—

-2h4-»o-h

=2/跖)+八%)=3八%=34

/(%+血-他-Mx)

Inn

(4)Ax

八/♦oAx)-/(x)-[/%-2>Ax)-/(x)]

ufn-------------------------0------------------------------0---

“t。Ax

况竺如巫

aInn1mf-g

AI-»Oa2M-»O-fcAx

ahmK%+®>/(砧+6fanZ—g

MT。aM->o-»o-iAx

=/'(%)+次%)=(a+*心=(a+DM

点评：留意—却产♦与仙）的本质，在这肯定义中，自变量,在％处的增量

Ax的形式是多种多样的，但是，不论Ar选择哪一种形式，相应的却也必需选择相应的形式，这

种步调的一样是求值胜利的保障。

若自变量X在。处的增量为-mAx,则相应的a-/XO-MAX）-/（XO）,

/(玉-M4X)一/(X())

hm

于是有T&

若令…3,则又有小"发笔詈

例2、

2X-3/W

⑴已知依="。)=-2,求小x-3

hmf(ss?-2

已知了⑴・.八・求FC0S

(2)21)3,x

解：

（1）令x-3,Ax,则x・Ax+3,且当XT3时，AXTO。

〃33)-〃3)

留意到这里了（》=“々nm，n_/

&TOAX

勒2-3/(刘一如6+2Ax-3/(3+M

・・.z3X-3AOAx

,3/(3+4x)-6_/(3+4x)-/(3)

=J-liimm--------------------=4-5hm-------------------------

J-。Axg-°Ax

-2-3/X3)-8

⑵・・・/。)=2

,/(sinx)-2./(«nx)-/(l)

hm--------j------=ltim-----------------------------

I：cosx-(sinx-IXsinx+1)

lim[/(s«nx)-/(l)-1'

-uxn-------------------------------

smx-11+smx

sinx-1,_£l+$inx

①

x——Osmx-»l

留意到2

/(sinx)-/0)/(sinx)-/O)

hm-----------------=hm=/f(l)=3

,,，)anx-1siw—ianx-1

・••由已知得2②

fanW-八])(iTi)"4r(1)*，4

.•・由①、②得FCOi1

例3、求下列函数的导数

3

(Dy-e*+xcosx-7x.⑵y=。+4力。+2/);

y-(l-7x)(1+-]=r)2#-3x+石T

Jx；(4)-------x--jrx—；

11

y■-------♦

(5)i-4i+4；(6)"取

解：

(i)y'=(<*+^cosx-7x)'

=(er)f+(?C-O)，

■a*♦2xCOST-x3anx-7

(2)厂(1+4-)(1+2/)・1+2/+4/♦8/

.・.y'・Q+2/+49+8/)'・4彳+12/+40#

・

y=233g、-l_2XL3X-5+产x

(4)xjx

3】J1_3-5

八(2/■3户+—・x5)、储+士户■一+三户

[1(1+向+(1.石)2

5)1~y/x1+>/x(1—V^f)(l+Vx)1-X,

J_。Q-K)-2Q-Q._2_

i-x(i-x)Ja-x)a

,Ilx.xiO;

(6)y,甲ITl-X,—O

.•.当x^o时，y-(x3y-2x.

.•.当x<0时，y=(-/)'=-2x

2x.x之Q;

y

-2x.x<0

即八21H。

点评：为避开干脆运用求导法则带来的不必要的繁杂运算，首先对函数式进行化简或化整为零，而

后再实施求导运算，特殊是积、商的形式可以变为代数和的形式，或根式可转化为方幕的形式时，“先

变后求”的手法明显更为灵活。

例4、在曲线c：＞=》-6,-*+6上，求斜率最小的切线所对应的切点，并证明曲线c关于

该点对称。

解：

(1)了=3/・12钎1・3。・2)2-13

.•.当x-2时，y'取得最小值-13

又当x-2时，y«2J-62a-2+6--12

...斜率最小的切线对应的切点为A(2,-12)；

(2)证明：设为曲线C上随意一点，则点P关于点A的对称点Q的坐标为

(4-r0-24-70)

且有先-^o-6^-x<)+6①

.•.将X=4-%代入y=#-6-->+6的解析式得

(4-%)"6(4-硝二(4・%)+6

=Y+4+q-30

--(胃-6年-x0+6)-24

=-24-/0,

.♦.点54-%,-乂-月)坐标为方程y・丁-6--X+6的解

.•0C

留意到P,Q的随意性，由此断定曲线C关于点A成中心对称。

例5、已知曲线了・/a卉7-7(0血水。・°),其中,且均为可导函数,

求证：两曲线在公共点处相切。

证明：留意到两曲线在公共点处相切当且仅当它们在公共点处的切线重合，

设上述两曲线的公共点为J。)，则有

〃=/(4),几=/(Q血/,

...河丹=1,

ax0-2Jt<+y(Jt€Z)

-1(2kft+—)(Jt€Z)

:.a2

于是，对于/i=7(D有/=/■口)；①

对于八./(x)Mnar,有其=」'(x)$mox+如(x)co$ax②

二由①得琳一-八4),

由②得阂i—r5)sin*+叫

-7'(%)$6(及斤+§+叭%)cos(2M+y)

44

-r(r0)

.乃1f=乃|aa^

,即两曲线在公共点处的切线斜率相等,

.•.两曲线在公共点处的切线重合

...两曲线在公共点处相切。

例6、

/(x)-^2x*--x3-AJ?♦2x+—

(1)是否存在这样的k值，使函数32在区间(1,2)上递减,

在(2,+8)上递增，若存在，求出这样的k值；

(2)若/(x)=a?+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求出这三个单调区间。

解：

(I)f(S)・422/一2--2kx+2

由题意,当xeQZ时八x)〈0,当xe(2,+8)时/,

由函数广⑴的连续性可知/'Q)=°,

即321-8-伙+2-。

整理得-2t-3-0

,_1.3

工—一尢=——

解得2或8

验证：

,1

(I)当5时，八幻=丁-2/-升2=(升】)。-1)(・2)

.♦.若1<K<2,则/'(x)<0.若x>2,则/'(x”0,符合题意;

Jt----xJ-2X2+—x+2

(II)当8时，164

9,7-闹、,»7+洞、

=而——^―)^-2)(x-—^―)

明显不合题意。

于是综上可知，存在.5使/（力在（1,2）上递减，在（2,+8）上递增。

⑵广（力・3,+1

若"0,则/3>0（X€以，此时/区只有一个增区间S2）,与题设冲突;

若,则/'5）=1,此时/（力只有一个增区间（F2）,与题设冲突；

/'*）=3a（?+l）=3a（x+-jJ=）（x-1）

若4<0,则父，-3。

X<或X>^1—

并且当-J-3a时，/（r）<0；

-11

—<X.

当J-勿J-%时，/'"）》。

综合可知，当4<0时，/（X）恰有三个单调区间：

(-eq'I),(—J—,♦«>)

减区间yP3a三'：增区间

点评：对于（1）,由已知条件得了'（2）・°,并由此获得k的可能取值，进而再利用已知条件对

所得k值逐一验证，这是开放性问题中寻求待定系数之值的基本策略。

例7、已知函数/（x）=工」+ad+6x+l,当且仅当时，/（X）取得极值，并且极

大值比微小值大4.

（1）求常数a,b的值；

（2）求/（力的极值。

解；

（1）f（力=5x'+勿N+b,

令/'（x）-0得方程5x4.Sox?

・.・/（方在处取得极值

AI--I或为上述方程的根，

故有卜⑴〜辿产+…

513afb-0,即力--3一5①

.../*(x)»5/+3aN-3a-5

-5(x4-1).%(N-l)

=(x+l)(x-1)(5x2+%♦5)

又仅当X=±l时取得极值，

...方程/'(x)・°的根只有-x=-l或X=l,

...方程5d+3a+5・0无实根，

2

AA-0-4x5x(3a+5)<0即3a+5>0

5

ini"।3时，5xa+3a+5>0恒成立，

.../S)的正负状况只取决于5+D(x-i)的取值状况

当x改变时，/〈X)与/(力的改变状况如下表：

XST)-1(-1.1)1(1,+°°)

Ar)+0—0+

极大值、微小值/

f(x)在x--l处取得极大值f(T),在X=1处取得微小值/⑴。

由题意得了(T)-0=4

整理得q+>--3②

于是将①，②联立，解得a--L6=-2

■由⑴知，/a”/-2工+1

/(X)*大u=A~0=3,/(力&卜0=/(I)=~1

点评：循着求函数极值的步骤，利用题设条件与的关系，立足探讨了'")=°的根的状况,

乃是解决此类含参问题的一般方法，这一解法体现了方程思想和分类探讨的数学方法，突出了“导数

/'(%)=0”与“f(x)在4处取得极值”的必要关系。

例8、

32

(1)已知/(彳)=。彳-&彳+/>(-1£2)的最大值为3,最小值为-29,求的值；

<1/(x)-x3--JWX2

(2)设3,函数2的最大值为1,最小值为2,

求常数用，见的值。

解：

(1)这里。*0,不然与题设冲突

/*(力=勿--1加彳=3飙彳-4)

/(x)。，解得x=0或x=4(舍去)

(1)若a>0,则当xw(TO)时，八x)>0,/(x)在(7。)内递增；

当xw(Q2)时，/.(力<0,/(力在(Q2)内递减

又/(x)连续，故当x=0时，/(X)取得最大值/(0)

由已知得/⑼=3勺6=3

而/(-I)=-7a+3J(2)=-16a+3</(-I)

此时f(x)的最小值为了Q)

由/⑶=-2"得-16。+3--29oa=2

(II)若,则运用类似的方法可得当x=0时/(X)有最小值，故有

/(0)=-29-9.

又/(-1)=-7”29,〃2)=-16叱29>/(-I)

.•.当x=2时，/(力有最大值，

由已知得-16a-29-3。a=-2

广是综合(I)<II>得所求-S或

2

(2)f(x)•'ix-3x(x-m)

令广(x)=0得式x-源)=0

2

Xi=0.&=M—<w<1)

解得3

当X在上改变时，/Xi)与/(X)的改变状况如下表:

X-1(-1,0)0(0,«)(Ml)1

/V)+0—0+

微小值

/«/(-I)极大值nmq/(I)

、一+%

2

_用2+力

.♦.当x=0时，/(x)取得极大值"；当x=m时，/W取得微小值V"

由上述表格中展示的/(方的单调性知/(O)>/(T)J(O)>>/(㈤J(D>/(«)

.•・/(X)最大值在八°)与/①之中，/(力的最小值在/(T)和/>)之中，

<1Ao)-/O)>o

考察差式23,

即/(0)>/(D,

故f(x)的最大值为/(O)

由此得

/(-1)-/(»»)=^(*«3-3w-2)=-J(w-2)(w+l)2

考察差式22

2

V3<W../X-1)-/(*)<0,即•⑺，

.•・/（”的最小值为了（T）

3而任

—一用―—―m»—

由此得22,解得3

瓜,

m=—,”=I

于是综合以上所述得到所求3

五、高考真题

（-）选择题

1、设■而不,-CO•/M,/»（6=工'（X），…，XM（Q-Z；（X）,MN,则

/joos（x）"（）。

A、smxB、-smxc、cosxD、-COSX

分析：由题意得/】（D=cosr,

4（r）=-smr,

4（r）=-cosr,

4（x）-mxf

_4（x）=sinx=%（x）

.•.4（rX"€N）具有周期性，且周期为七

/.Zj005（r）=/l（X）=COSX,应选C。

2、函数/（x）=a/+x+l有极值的充要条件为（）

A、<?>oB、C、a<0D、<?<0

分析：rO3#+l

.•.当a20时，/（力）。且广«”。；

当a<0时，令/'（x）=0得3妆2+1-0有解,

因此/（X）才有极值，故应选C。

3、设.«X),g(x)分别是定义在R上的奇导数和偶导数，当X<0时，

/V)g(x)+/(x)gV)>0,且g(-3)=o,则不等式/⑶g(x)<0的解集是()

A、(-3,0)U(3,+8)B、(-3,0)U(0,3)

C、(…，-3)U(3,+8)D、(…，-3)U(0,3)

分析：为便于描述，设Kx)=f(x)ga),则尸(X)为奇导数，当x<0时，尸口)>°,且

月(-3)=0

...依据奇函数图象的对称性知，/(不)<0的解集为(-8,-3)U(0,3),应选D。

二、填空题

1过原点作曲线y=e'的切线，则切点坐标为,切线的斜率为o

分析：设切点为,则以M为切点的切线方程为y-e"=e"(x-q)

...由曲线过原点得=e"(°-q)..-.Io=1,

•••切点为，切线斜率为e。

点评：设出目标(之一)迂回作战，则从切线过原点切入，解题思路反而简明得多。

1

2曲线在点(aafa"。处的切线与x轴，直线工=。所围成的三角形面积为《，则。

分析：

八3三

...曲线在点处的切线方程为=

即y=3aO-2/

自，。)

切线与X轴交点3,

又直线x-a与切线交点纵坐标为a，,

"bl--

...上述三角形面积23c6,

由此解得同7即a=±l

y-2--x2y-x5-2

3曲线2与4在交点处的切线夹角是(以弧度数作答)

分析：设两切线的夹角为6,将两曲线方程联立，解得交点坐标为QQ)

又,力

即两曲线在点(2R)处的切线斜率分别为-2,3

.，.4,应填4。

(三)解答题

1已知4€夫，探讨导数/(x)=/(/+(«+a+】)的极值点的个数。

解析：先将八0求导，/'(x)-0即/+(a+2)x+0+1=0。

当△》()时，/'(<)-0有两根，于是/(Q有两极值点。

当A40时，/'(力之。,/(x)为增函数，/(x)没极值点。

本题考查导数的应用以及二次方程根、“A”等学问。

解答：+ux+tf+I)+€,(2X+O)

=e"(?+(«+2)x+(2a+1)]

令/'(x)-0,得x3+(x+2)x+为+1=0

1、当A=(0+2>.4(2a+】)=a2-4tf-<r(a-4)>0

即a<0或a>4时，方程=°有两个不同的实根4、b,

不防设xi<xa,

于是r(*).(x-Xi)(x-xJ,从而有下表：

X】(Xpjfj)X2(Xj.+«)

/Xx)+0一0+

Ax)//(11)为极大值/(n)为微小值/

即此时/(X)有两个极值点；

2、当A-0即°=:或<7=4时，方程r3+(<?+2)x+(2a+1.)=0有两个相同的实根4=与，

于是/(力,故当xvr】时，；当时，八力>0,因此以。

无极值；

3、当△<()B|j0<o<4时，x2+(a+2)x+(2a+l)>0,

而rOe32+(a+2)x+(2a+l)]>0,

故KQ为增函数。此时无极值；

.•.当a>4或。<0时，/(x)有两个极值点；当0Wa§4时，/(r)无极值点。

2已知函数八"PTb的图象在点“(7J(T))处的切线方程为x+2y+5=0。

(I)求函数了=角”的解析式；

(II)求函数了=力>)的单调区间。

解析：

__1

(1)由M(-Lf(T))在切线上，求得/(T)，再由M(-L/(T))在函数图象上和‘'

得两个关于为b的方程。

(2)令/'(x)・0,求出极值点，/'。)>。求增区间，/1(x)<o求减区间。

此题考查了导数的几何意义以及利用导数求函数的单调区间。

解答

(I)由函数AD的图象在点」M(-Lf(7))处的切线方程为x+2y+5=0知：

-1+2/(-1)+5-0,即/(T)=-2,

不"二6./(_1)=,1

(x^+6/2

1+b

a(1♦5)+2(-a-6)_1

•a+b)2=-2

a=2h-4

<a(l”U6)_]

即[一(i^5-=~2

解得a・2b-3(vt+1*0,»=-1舍去)

2x-6

所以所求函数解析式"*■

33

rw--2x2♦12x+6

(II)(33)2

令-2x2+12x+6-0解得演=3-26.与-3+24

当x<3-2石或X>3+2/时，/'(x)<0

当3-26仃<3+2行时，/<(r)>0

.2x-6

所以“一/+3在（F3・2氏枇3+2百+«）内是减函数，在。・2£3+26内是增

函数。

3已知X-［是函数廊+1）/+/U+I的一个极值点，其中用,“G尺标＜0

（I）求阳与M的关系表达式；

（II）求/1（力的单调区间；

（III）当X6卜1川时，函数y=f（x）的图象上随意一点的切线斜率恒大于3m,求m的取值范

围。

解析：（1）本小题主要考查了导数的概念和计算，应用导数探讨函数单调性的基本方法以及函数

与方程的思想，第2小题要依据/W的符号，分类探讨,（X）的单调区间；第3小题是二次三项式

在一个区间上恒成立的问题，用区间端点处函数值的符号来表示二次三项式在一个区间上的符号，体现

出将一般性问题特殊化的数学思想。

解答：

(I),.'/,(x)=W-6(m+l)x+«,r-1是函数的一个极值点

../([)=务一6(用+T)+fi-0,

.・.〃=痴+6；

(II),**r(x),诵彳2-6(廊+l)x+“-Zmx2-6(m+1)彳+词+6-3(彳一])(MX-柝-2)

令/3=。，得八』2…盛

・.・-2<4与八X)的改变如下表:

(-1.2)1+3

X(1♦-.!)1a+8)

mmm

/Xx)—0+0—

M单调递减微小值单调递增极大值单调递减

(]+2)(]+2])

因此，『区的单调递减区间是'm和。皿)；“X)的单调递增区间是'm'；

(HI)由(H)/*(工)=3廊/~6(附+1)彳+辞工词/~6(照+1)彳+*+6>加.(彳£卜],1])

即用--2(廊+l)x+2>0t(^€[-lJ])

令gCO■牌/-2(唐+l)x+2.(廊<0),xw[-Ll],

vg(x)«wx2-2(w+l)x+2>0,xe[-l.l]且m<0,

)=/»+2w+4>0,4

=--<m<0

£-w-2«>03

4A

--cw<0

即m的取值范围是3o

4

4x，—7

/(x)=--.X€[0J]

已知函数2-xo

(I)求/(x)的单调区间和值域;

(II)设,函数g(x)=W-3a'x-2a.xe[0J,若对于随意方"。』，总存在

,使得g(x)=/(r“成立，求q的取值范围。

解析：本题考查导数的综合运用，考查综合运用数学学问解决问题实力，考查思维及推理实力以及

运算实力，本题入手点简洁，

(I)中对分式函数定区间内单调性与值域问题，往往以导数为工具，

(II)是三次函数问题，因而导数法也是首选，若8(“)=/"】)成立，则二次函数值域必满意

/(x)cg(x)关系，从而达到求解目的。

解:

-4x?+16x-7,17

--------a5——-0X--X-—

(I)由（2-x）得2或2

7

vX€t0-1lAX-2(舍去)

则X,八。，/(X)改变状况表为:

£5)

X01

吟2

八力一0+

7

——.-4/-3

2

因而当时/(力为减函数；当时/(力为增函数;

当xe[OJ时，/(x)的值域为[7厂3]；

（H）g'（x）=3（尹-a2）

因此