2017届高考理科数学知识点题组训练题7

题组层级快练(十四)1．y＝lneq\f(1,x)的导函数为()A．y′＝－eq\f(1,x) B．y′＝eq\f(1,x)C．y′＝lnx D．y′＝－ln(－x)答案A解析y＝lneq\f(1,x)＝－lnx，∴y′＝－eq\f(1,x).2．(2016·东北师大附中摸底)曲线y＝5x＋lnx在点(1，5)处的切线方程为()A．4x－y＋1＝0 B．4x－y－1＝0C．6x－y＋1＝0 D．6x－y－1＝0答案D解析将点(1，5)代入y＝5x＋lnx成立，即点(1，5)为切点．因为y′＝5＋eq\f(1,x)，所以y′eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(,,))eq\s\do5(x＝1)＝5＋eq\f(1,1)＝6.所以切线方程为y－5＝6(x－1)，即6x－y－1＝0.故选D.3．若曲线y＝x3在点P处的切线的斜率为3，则点P的坐标为()A．(－1，1) B．(－1，－1)C．(1，1)或(－1，－1) D．(1，－1)答案C解析y′＝3x2，∴3x2＝3.∴x＝±1.当x＝1时，y＝1，当x＝－1时，y＝－1.4．(2016·衡水调研卷)设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0的值为()A．e2 B．eC.eq\f(ln2,2) D．ln2答案B解析由f(x)＝xlnx，得f′(x)＝lnx＋1.根据题意知lnx0＋1＝2，所以lnx0＝1，因此x0＝e.5．设正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝eq\f(π,2)附近的平均变化率为k1，k2，则k1，k2的大小关系为()A．k1>k2 B．k1<k2C．k1＝k2 D．不确定答案A解析∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.k1＝cos0＝1，k2＝coseq\f(π,2)＝0，∴k1>k2.6．(2016·云南师大附中适应性考试)曲线y＝ax在x＝0处的切线方程是xln2＋y－1＝0，则a＝()A.eq\f(1,2) B．2C．ln2 D．lneq\f(1,2)答案A解析由题知，y′＝axlna，y′eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(,,))eq\s\do7(x＝0)＝lna，又切点为(0，1)，故切线方程为xlna－y＋1＝0，∴a＝eq\f(1,2)，故选A.7.(2016·浙江十二校联考)函数f(x)的导函数f′(x)的图像是如图所示的一条直线l，l与x轴的交点坐标为(1，0)，则f(0)与f(3)的大小关系为()A．f(0)<f(3) B．f(0)>f(3)C．f(0)＝f(3) D．无法确定答案B解析由题意知f(x)的图像是以x＝1为对称轴，且开口向下的抛物线，所以f(0)＝f(2)>f(3)．选B.8．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于()A．－1 B．－2C．2 D．0答案B解析f′(x)＝4ax3＋2bx，∵f′(x)为奇函数且f′(1)＝2，∴f′(－1)＝－2.9．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足()A．f(x)＝g(x) B．f(x)＝g(x)＝0C．f(x)－g(x)为常数函数 D．f(x)＋g(x)为常数函数答案C10．(2016·《高考调研》原创题)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(2016)＝()A．1 B．2C.eq\f(1,2016) D.eq\f(2017,2016)答案D解析令ex＝t，则x＝lnt，所以f(t)＝lnt＋t，故f(x)＝lnx＋x.求导得f′(x)＝eq\f(1,x)＋1，故f′(2016)＝eq\f(1,2016)＋1＝eq\f(2017,2016).故选D.11．(2015·广东文)若曲线y＝ax2－lnx在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________．答案eq\f(1,2)解析因为y′＝2ax－eq\f(1,x)，依题意得y′|x＝1＝2a－1＝0，所以a＝eq\f(1,2).12．已知y＝eq\f(1,3)x3－x－1＋1，则其导函数的值域为________．答案[2，＋∞)13．(2013·江西文)若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则α＝________．答案2解析由题意y′＝αxα－1，在点(1，2)处的切线的斜率为k＝α，又切线过坐标原点，所以α＝eq\f(2－0,1－0)＝2.14．已知函数f(x)＝f′(eq\f(π,4))cosx＋sinx，所以f(eq\f(π,4))的值为________．答案1解析因为f′(x)＝－f′(eq\f(π,4))sinx＋cosx，所以f′(eq\f(π,4))＝－f′(eq\f(π,4))sineq\f(π,4)＋coseq\f(π,4)，所以f′(eq\f(π,4))＝eq\r(2)－1.故f(eq\f(π,4))＝f′(eq\f(π,4))coseq\f(π,4)＋sineq\f(π,4)＝1.15．(2016·广东肇庆一模)曲线f(x)＝eq\f(ex,x－1)在x＝0处的切线方程为________．答案2x＋y＋1＝0解析根据题意可知切点坐标为(0，－1)，f′(x)＝eq\f(（x－1）（ex）′－ex（x－1）′,（x－1）2)＝eq\f(（x－2）ex,（x－1）2)，故切线的斜率为k＝f′(0)＝eq\f(（0－2）e0,（0－1）2)＝－2，则直线的方程为y－(－1)＝(－2)(x－0)⇒2x＋y＋1＝0，故填2x＋y＋1＝0.16．(2016·河北邯郸二模)曲线y＝log2x在点(1，0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________．答案eq\f(1,2)log2e解析∵y′＝eq\f(1,xln2)，∴k＝eq\f(1,ln2).∴切线方程为y＝eq\f(1,ln2)(x－1)．∴三角形面积为S△＝eq\f(1,2)×1×eq\f(1,ln2)＝eq\f(1,2ln2)＝eq\f(1,2)log2e.17．若抛物线y＝x2－x＋c上的一点P的横坐标是－2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则实数c的值为________．答案4解析∵y′＝2x－1，∴y′|x＝－2＝－5.又P(－2，6＋c)，∴eq\f(6＋c,－2)＝－5.∴c＝4.18．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x2.(1)求x<0时，f(x)的表达式；(2)令g(x)＝lnx，问是否存在x0，使得f(x)，g(x)在x＝x0处的切线互相平行？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．答案(1)f(x)＝－2x2(x<0)(2)存在，x0＝eq\f(1,2)解析(1)当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－2(－x)2＝－2x2.∴当x<0时，f(x)的表达式为f(x)＝－2x2.(2)若f(x)，g(x)在x0处的切线互相平行，则f′(x0)＝g′(x0)，当x>0时，f′(x0)＝4x0＝g′(x0)＝eq\f(1,x0)，解得，x0＝±eq\f(1,2).故存在x0＝eq\f(1,2)满足条件．1．(2016·济宁模拟)已知f(x)＝x(2014＋lnx)，f′(x0)＝2015，则x0＝()A．e2 B．1C．ln2 D．e答案B解析由题意可知f′(x)＝2014＋lnx＋x·eq\f(1,x)＝2015＋lnx.由f′(x0)＝2015，得lnx0＝0，解得x0＝1.2．(2014·大纲全国理)曲线y＝xex－1在点(1，1)处切线的斜率等于()A．2e B．eC．2 D．1答案C解析y′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，故曲线在点(1，1)处的切线斜率为y′eq\a\vs4\al\co1(|)x＝1＝2.3．(2016·衡水调研卷)曲线y＝eq\f(x,x－2)在点(1，－1)处的切线方程为()A．y＝x－2 B．y＝－3x＋2C．y＝2x－3 D．y＝－2x＋1答案D解析由题意得y＝1＋eq\f(2,x－2)，所以y′＝eq\f(－2,（x－2）2)，所以所求曲线在点(1，－1)处的切线的斜率为－2，故由点斜式得所求切线方程为y＝－2x＋1.4．(2016·江西九江模拟)已知直线y＝－x＋1是函数f(x)＝－eq\f(1,a)·ex图像的切线，则实数a＝________．答案e2解析设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－eq\f(1,a)·ex0＝－1，∴ex0＝a，又－eq\f(1,a)·ex0＝－x0＋1，∴x0＝2，∴a＝e2.5．(2016·安徽毛坦厂中学月考)设曲线y＝xn＋1(x∈R*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．答案－2解析由题意可得，y′|x＝1＝n＋1，则所求切线方程为y＝(n＋1)x－n，令y＝0，得xn＝eq\f(n,n＋1).由对数运算法则可知a1＋a2＋a3＋…＋a99＝lg(x1·x2·x3·…·x99)＝lgeq\f(1,100)＝－2.6．已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx，且直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标．解析∵直线过原点，则k＝eq\f(y0,x0)(x0≠0)．由点(x0，y0)在曲线C上，则y0＝x03－3x02＋2x0，∴eq\f(y0,x0)＝x02－3x0＋2.又y′＝3x2－6x＋2，∴在(x0，y0)处曲线C的切线斜率应为k＝f′(x0)＝3x02－6x0＋2.∴x02－3x0＋2＝3x02－6x0＋2.整理得2x02－3x0＝0.解得x0＝eq\f(3,2)(x0≠0)．这时，y0＝－eq\f(3,8)，k＝－eq\f(1,4).因此，直线l的方程为y＝－eq\f(1,4)x，切点坐标是(eq\f(3,2)，－eq\f