3.3.1抛物线的标准方程（解析版）

3.3.1抛物线的标准方程同步练习基础巩固基础巩固一、单选题1．已知点在抛物线上，则抛物线的焦点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先将点代入求得抛物线方程，再将其转化为标准方程即可得解.【详解】因为点在抛物线上，所以，则，所以抛物线的标准方程是，则抛物线的焦点坐标为，故选：C.2．顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线，过点，则它的方程是（

）A．或 B．或C． D．【答案】A【分析】分焦点在轴和轴上讨论，并利用待定系数法即可得到答案.【详解】当抛物线的焦点在轴上时，设抛物线的方程为．因为抛物线过点，所以，所以．所以抛物线的方程为；当抛物线的焦点在轴上时，因为抛物线过点，设抛物线的方程为，因为抛物线过点，所以，所以，所以抛物线的方程为，即，综上抛物线的方程为或.故选：A.3．对抛物线，下列描述正确的是（

）A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为【答案】A【解析】将抛物线方程改写为标准方程形式，则可根据该方程判断开口方向，以及焦点坐标.【详解】由题知，该抛物线的标准方程为，则该抛物线开口向上，焦点坐标为.故选：A.4．抛物线经过点（1，2），则此抛物线焦点到准线的距离为（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】D【分析】先求出，再根据抛物线标准方程的特征可求解.【详解】因为抛物线经过点（1，2），所以，所以，所以抛物线的焦点到准线的距离等于.故选：D5．顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】利用待定系数法求出抛物线的标准方程.【详解】点在第二象限.当焦点在x轴上时，可设抛物线的标准方程为，把代入解得：，所以抛物线的标准方程为.当焦点在y轴上时，可设抛物线的标准方程为，把代入解得：，所以抛物线的标准方程为.故选：D6．以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】根据抛物线的概念以及几何性质即可求抛物线的标准方程.【详解】依题意设抛物线方程为．因为焦点与原点之间的距离为2，所以，所以，所以抛物线方程为或．故选：C．7．焦点在直线上的抛物线的标准方程为（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【分析】分别求得直线与x轴，y轴的交点得到抛物线的焦点即可.【详解】解：直线与x轴的交点为（4，0），与y轴的交点为（0，-3），当以（4，0）为焦点时，抛物线的标准方程为，当由（0，-3）为焦点时，抛物线的标准方程为，故选：B8．以为焦点的抛物线的标准方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题意设抛物线方程为，结合焦点坐标求得，即可得出答案.【详解】因为抛物线焦点为，所以可设抛物线方程为，且，则，所以抛物线方程为．故选：D．9．抛物线的焦点到准线的距离为（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根据抛物线中p的几何意义可求解．【详解】解：抛物线的焦点到准线的距离是，故选：D．10．焦点坐标为的抛物线的标准方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据焦点位置写出抛物线的标准方程.【详解】焦点坐标为，则抛物线开口向左，焦点在轴上，故抛物线的标准方程是.故选：D二、填空题11．抛物线的焦点坐标是.【答案】【分析】将抛物线方程化为标准形式后可得结果.【详解】由得，所以，，所以抛物线的焦点坐标是.故答案为：.12．抛物线的准线方程为.【答案】【分析】抛物线的准线方程为，由此得到题目所求准线方程.【详解】抛物线的准线方程是.故答案为：.13．抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其上有一点，其到准线的距离为6，则．【答案】【分析】由题意设抛物线的方程为，由条件得，进而可得抛物线的方程，把点坐标代入，可求得.【详解】由题意焦点在x轴正半轴上，设抛物线的方程为，∵准线方程为，点到准线的距离为6，∴，∴，∴抛物线的方程为，∵点在抛物线上，∴，∴.故答案为：.14．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点，则该抛物线的标准方程为．【答案】或【分析】先设抛物线方程，再把点代入可得抛物线方程.【详解】设抛物线方程为，或.将代入，分别得方程为或.故答案为：或.15．已知抛物线：，则抛物线的焦点坐标为．【答案】/【分析】把抛物线的方程化成标准形式，再写出焦点坐标即可.【详解】抛物线：，即，所以抛物线的焦点坐标为.故答案为：三、解答题16．分别求适合下列条件的方程：(1)长轴长为10，焦距为4的椭圆标准方程；(2)经过点的抛物线的标准方程.【答案】(1)或(2)或【分析】（1）根据长轴和焦距的定义求出a、c，进而求出b，即可求解；（2）设抛物线方程为或，将点P坐标代入，即可求解.【详解】（1）设椭圆的长轴长为，焦距为由条件可得.所以.所以，当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为；当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为.（2）当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，将点的坐标代入抛物线的标准方程得，此时，所求抛物线的标准方程为；当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，将点的坐标代入抛物线的标准方程得，解得，此时，所求抛物线的标准方程为.综上所述，所求抛物线的标准方程为或.17．求以坐标原点为顶点，以轴为对称轴，并经过点的抛物线的标准方程．【答案】【分析】由待定系数法求解即可.【详解】因为抛物线以坐标原点为顶点，以轴为对称轴，所以设其标准方程为，又因为点在所求抛物线上，所以将其坐标代入抛物线方程可得，解得，因此所求抛物线的标准方程为.18．已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点和准线方程：(1)；(2)．【答案】(1)焦点为，准线方程为；(2)焦点为，准线方程为．【分析】（1）根据抛物线标准方程即可判断焦点位置及，进而写出焦点坐标和准线方程；（2）将抛物线化成标准方程可得，即可写出焦点坐标和准线方程；【详解】（1）由抛物线方程为，可得，且焦点在轴正半轴上，所以可得其焦点为，准线方程为；（2）将化成标准方程为，可得，且焦点在轴负半轴上，所以焦点为，准线方程为.19．求抛物线上到焦点的距离等于9的点的坐标．【答案】或【分析】根据抛物线方程求出焦点，再根据抛物线的定义可得结果.【详解】由，得，，焦点，准线为，设，则，得，，所以.能力进阶能力进阶20．求抛物线的焦点坐标和准线方程．【答案】，【分析】由抛物线的焦点坐标和准线方程分别为，，结合已知条件即可求解.【详解】由抛物线的焦点坐标和准线方程分别为，，由题意抛物线标准方程为，所以，即，所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为．21．根据下列条件分别求抛物线的方程：(1)准线方程为；(2)经过点(－3，1)．【答案】(1)(2)y2＝－x或x2＝9y.【分析】（1）由抛物线的几何性质可得；（2）设抛物线方程，代入坐标可得，注意讨论开口方向.【详解】（1）由题意得焦点在y轴的负半轴上，所以设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)．