2024年中考数学压轴题型-专题06 与二次函数有关问题的压轴题之六大题型(解析版)6

专题06与二次函数有关问题的压轴题之六大题型目录TOC\o"1-3"\h\u【题型一二次函数图象和性质之选择题】 1【题型二二次函数的图象与系数的关系】 4【题型三二次函数图象和性质之解答题】 8【题型四二次函数与几何图形的综合问题】 14【题型五二次函数中的新定义型问题】 25【题型六实际问题与二次函数的综合问题】 32【典型例题】【题型一二次函数图象和性质之选择题】例题：（2023·浙江宁波·统考中考真题）已知二次函数，下列说法正确的是(

)A．点在该函数的图象上B．当且时，C．该函数的图象与x轴一定有交点D．当时，该函数图象的对称轴一定在直线的左侧【答案】C【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．【详解】解：∵，当时：，∵，∴，即：点不在该函数的图象上，故A选项错误；当时，，∴抛物线的开口向上，对称轴为，∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，∵，，∴当时，有最大值为，当时，有最小值为，∴，故B选项错误；∵，∴该函数的图象与x轴一定有交点，故选项C正确；当时，抛物线的对称轴为：，∴该函数图象的对称轴一定在直线的右侧，故选项D错误；故选C．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．1．（2023·浙江杭州·统考一模）已知二次函数，y与x的部分对应值为：x…01y…232关于此函数的图象和性质，下列说法正确的是（

）A．当时，函数图象从左到右上升 B．抛物线开口向上C．方程的一个根在与之间 D．当时，【答案】C【分析】根据表格数据知道函数图象关于对称，顶点为，所以图象的开口向下，则可以判断选项A、B、D错误；根据图象与轴的交点，即可判断C选项正确．【详解】解：和时的函数值相同，都是2，抛物线的对称轴为，抛物线的顶点为，是函数最大值，抛物线的开口向下，故B选项错误；当时，随的增大而减小，即函数图象从左到右下降，故A选项错误；时，，时，，方程的一个根在与之间，故C选项正确；函数图象关于对称，

与的值相等，时，，故D选项错误．故答案选C．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．2．（2023·浙江杭州·统考二模）已知y关于x的二次函数，下列结论中正确的序号是（

）①当时，函数图象的顶点坐标为；②当m≠0时，函数图象总过定点：③当时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于；④若函数图象上任取不同的两点、，则当时，函数在时一定能使成立．A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④【答案】A【分析】求出当时，二次函数图象的顶点坐标即可判断①；当m≠0时，二次函数，当时，y的值与m无关，求出x的值，即可得到定点，即可判断②；求出，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于；即可判断③；当时，抛物线的对称轴为，则抛物线开口向下，当时，只有当对称轴在右侧时，y才随x的增大而减小，即成立，即可判断④．【详解】解：当时，二次函数，此时函数图象的顶点坐标为，故①正确；当m≠0时，二次函数，当时，y的值与m无关，此时，，当时，，当时，，∴函数图象总过定点，：故②正确；当时，，∵，∵，∴，∴当时，∴，∴函数图象在x轴上截得的线段的长度大于；故③正确；函数图象上任取不同的两点、，则当时，抛物线的对称轴为，∴抛物线开口向下，当时，只有当对称轴在右侧时，y才随x的增大而减小，即成立，故④错误，综上可知，正确的是①②③，故选：A【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，主要考查了函数图象上的点的坐标特征，要求非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等坐标的求法及这些点代表的意义及函数特征．【题型二二次函数的图象与系数的关系】例题：（2023·浙江·一模）如图所示为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用抛物线图像与性质进行判断，根据函数图像开口方向确定，对称轴及确定，函数图像与轴交点的确定，取特殊点代入函数，根据函数图像确定关于、、代数式的正负即可．【详解】解：抛物线与轴有个交点，，，故①正确；当时，，，故②错误；抛物线开口向下，抛物线与轴交于正半轴，，抛物线的对称轴为直线，故③正确；当时，，即，，，故④正确；故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，掌握二次函数的系数、、与抛物线图像的位置关系是解题的关键，熟记一些特殊的自变量值所对应的代数式，如本题出现的时，，再结合图像确定函数的取值范围，能较快的解决问题．1．（2023·浙江·模拟预测）如图，二次函数图象的对称轴为直线，且经过点，则下列说法①；②；③若是抛物线上的两点，则；④正确的是（

）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④【答案】C【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，，再由对称轴为直线得到，即可判断①；根据当时，，即可判断②；根据抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小，即可判断③；根据二次函数的性质可知当时，函数有最大值，即可判断④．【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴，∵抛物线对称轴为直线，∴，∴，∴，故①正确；由函数图象可知，当时，，∴，故②正确；∵抛物线开口向下，∴离对称轴越远函数值越小，∵，∴，故③错误；∵抛物线开口向下，对称轴为直线，∴当时，函数有最大值，∴，∴，故④正确；故选C．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象判断式子符号等等，解题的关键是灵活应用图中信息解决问题，属于中考常考题型．2．（2023·浙江宁波·校考一模）已知二次函数的图象如图，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤（的实数）其中正确结论有（

）个A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据图象的开口方向，对称轴，与轴的交点位置判断①；根据图象判断时，函数值的符号，判断②；根据对称性，判断时，函数值的符号，判断③；结合对称轴和特殊点判断④；根据二次函数图像的顶点判断⑤，进而得出结论．【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴，∴，，，∴，∴；故①错误；由图象可知：当时，对应的函数值小于0，即：，∴；故②正确；∵抛物线的对称轴为直线，∴和的函数值相同，即：，∵，∴；故③正确；∵，，∴，∴，即：；故④错误；∵抛物线开口向下，对称轴为直线，∴当时，函数取得最大值为，∴，∴；故⑤正确；综上：正确的有个；故选B．【点睛】本题考查二次函数图象与二次函数解析式的系数之间的关系．熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．【题型三二次函数图象和性质之解答题】例题：（2023·浙江杭州·临安市锦城第四初级中学校考二模）在平面直角坐标系中，设二次函数，为常数，且．(1)当，函数图象的对称轴为直线时，求该函数的表达式；(2)求证：该函数图象与轴一定有交点；(3)点，在该二次函数图象上，求的最小值．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）①根据二次函数的对称轴公式即可求出的值，即得出该函数的表达式；（2）当时，，求得，即可得证；（3）将，代入该二次函数解析式，得出，进而根据二次函数的性质，即可求解．【详解】（1）解：①∵，∴该函数解析式为.∵该函数图象的对称轴为直线，∴，解得：．∴该函数解析式为；（2）∵该函数解析式为，当时，∵∴方程有两个相等的实数解，即该函数图象与轴一定有交点；（3）∵点，在该二次函数图象上，∴，，即，∴，∴．【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数图象与坐标轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．1．（2023·浙江杭州·校考二模）已知抛物线．(1)若点在抛物线上，求抛物线解析式．(2)若时，随着的增大而减小，求的取值范围．(3)若点，，在抛物线上且，求的取值范围．【答案】(1)或(2)(3)的取值范围是或【分析】（1）代入点即可求解；（2）根据题意得出，解不等式即可；（3）利用二次函数的性质即可得出关于的不等式（组），解不等式（组）即可．【详解】（1）解：∵点在抛物线上，∴，解得或，∴抛物线解析式为或；（2）对于二次函数，∵，∴该函数图像开口向上，∵时，随着的增大而减小，∴，解得；（3）当时，可知点，，从左至右分布，∵，∴，解得；当时，∴，解得，综上所述，的取值范围是或．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．2．（2023·浙江杭州·统考二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c是常数）．(1)当，时，求该函数图象的顶点坐标．(2)设该二次函数图象的顶点坐标是，当该函数图象经过点时，求n关于m的函数解析式．(3)已知，当时，该函数有最大值8，求c的值．【答案】(1)(2)(3)2【分析】（1）将二次函数化为顶点式求解即可；（2）根据二次函数的性质和已知条件得到，，，，进而求解即可；（3）当时，二次函数的对称轴为直线，开口向下，分、、三种情况，利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：当，时，，∴此时该函数图象的顶点坐标为；（2）解：∵该函数图象经过点，∴，则，∵该二次函数图象的顶点坐标是，∴，，∴，，∴，即；（3）解：当时，二次函数的对称轴为直线，开口向下，∵，∴当即时，该函数的最大值为，即，解得（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）；当即时，时，y随x的增大而减小，∴当时，y有最大值为，不合题意，舍去；当即时，时，y随x的增大而增大，∴当时，y有最大值为，解得，符合题意，综上，满足条件的c的值为2．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，利用分类讨论思想求解第（3）问是解答的关键．3．（2023·浙江杭州·校联考二模）已知二次函数，且与x轴交于不同点M、N．(1)若二次函数图象经过点，①求二次函数的表达式和顶点坐标；②将抛物线在之间的那部分函数图象沿直线翻折，将抛物线翻折前后的这两部分合记为图象F，若直线过点，且与图象F恰有两个交点，求n的取值范围；(2)若，当时，求实数m的取值范围．【答案】(1)①，顶点为；②或；(2)【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，根与系数的关系，数形结合是解题的关键．（1）①代入A的坐标，求得，即可求得解析式，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；②画出函数图象，代入关键点，结合图象即可求得n的取值范围；（2）利用根与系数的关系得到根与m的不等式，解不等式即可，注意利用根的判别式确定m的取值范围．【详解】（1）解：①∵二次函数图象经过点，∴，∴，∴二次函数为，∵，∴顶点为；②∵时，，时，，即函数图象经过点，∴将抛物线在之间的那部分函数图象沿直线翻折，点的对应点为，∵直线过点，∴，∴，∴，当直线过点时，直线与图象F恰有一个交点，此时，，解得，当直线过点时，直线与图象F恰有三个交点，此时，，解得，当直线过点时，直线与图象F恰有两个交点，此时，，解得，∴若直线过点，且与图象F恰有两个交点，n的取值范围是或；（2）设，令，则，二次函数，与x轴交于不同点M、N．方程有两个不相等的实数根，∴，又∵，∴，解得：∴，，∵，∴，∵，∴，∴时，不等式成立，∴实数m的取值范围是．【题型四二次函数与几何图形的综合问题】例题：（2023·浙江·一模）在平面直角坐标系中有三个点：，二次函数的图象恰好经过这三个点之中的两个点．

(1)试推断二次函数的图象经过点之中的哪两个点？请简要说明理由；(2)求常数与的值；(3)将二次函数的图象先向下平移2个单位长度，再向右平移个单位长度，如果平移后所得新二次函数的图象顶点为，且经过点，连、，请判断的形状，并证明你的判断【答案】(1)点、在抛物线上，理由见解析(2)，(3)等腰直角三角形，见解析【分析】（1）轴，故、中只有一个点在抛物线上，求得的解析式，交轴于点，抛物线与轴也交于点，故不符要求，由此解答即可；（2）把、点的坐标代入解析式，由此解答即可；（3）由平移可得新的解析式，代入得出点的坐标，再判断三角形的形状．【详解】（1）∵，∴轴，故、中只有一个点在抛物线上，∵设直线的解析式为，代入点，点，∴解得：，∴直线，交y轴于点．且抛物线与轴也交于点，故不符要求．∴点在抛物线上（2）代入、到，得，解得，，∴（3）原抛物线的解析式为∴先向下平移2个单位长度，再向右平移个单位长度后的解析式为，又平移后的顶点为D，∴代入到，得，解得（舍），，∴∴，，∴，，∴．∴是等腰直角三角形

【点睛】本题考查了与待定系数法求二次函数解析式及判断点是否在图像上，平移变换勾股定理等知识，求解析式是解题的关键．1．（2023·浙江嘉兴·统考一模）如图，已知抛物线交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，动点在x轴上，过点C作x轴的垂线交线段于点D，交该抛物线于点P，连接交于点E．(1)求点A，B的坐标．(2)当时，求线段的长．(3)当是以为腰的等腰三角形时，求m的值．（直接写出答案即可）【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）令可确定点B的坐标，令可确定点A的坐标．（2）可确定点P的坐标，求得的长度；求出的解析式，的解析式，确定E的坐标，过点E作于点M，利用平行线分线段成比例定理，确定点E为的中点，计算即可．（3）分两种情形去求解即可．【详解】（1）∵抛物线交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，∴令得，∴；令得，解得，∵点A在x轴的正半轴，可确定点A的坐标．∴．（2）∵抛物线，，∴，∴，；设直线的解析式为，的解析式为，∴，，解得，，∴直线的解析式为，的解析式为，∴，解得，∴，过点E作于点M，则，，∴，∴点E为的中点，∴．（3）当时，点E在垂直平分线上，∵，∴垂直平分线为直线；根据（2）得的解析式为，∴，解得，∴，过点E作于点N，则，，∴，∵，∴∴，整理，得，解得（舍去），故；当时，∵，，∴，∴，过点E作于点G，则，∴，∴，解得，∴，∴，∵，∴，∵，∴∴，整理，得，解得（舍去），故；综上所述，或．【点睛】本题考查了待定系数法，平行线分线段成比例定理，正切三角函数，一元二次方程的解法，等腰三角形的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理，正切三角函数，一元二次方程的解法，等腰三角形的性质是解题的关键．2．（2023·浙江宁波·校考一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，满足为直角，且使．(1)求线段OC的长；(2)求该抛物线的函数关系式；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，，，，【分析】（1）令抛物线中，可得出、的坐标．再由已知证明，得出，从而求出的长度，（2）设，则，在中，可求出的值，继而就可得出，过点作于点，然后利用解直角三角形的知识，可求出点的坐标，代入可得出二次函数解析式．（3）设出点坐标，用坐标系两点间距离公式表示出和的长，分和两种情况，分别列方程即可求出点坐标．【详解】（1）解：由得，．、两点坐标分别为：，．由知，．又，，，．．线段的长为．（2）解：由（1）知，，，设，则由得解得，（舍去），过点作于点，的坐标为将点的坐标代入抛物线的解析式得抛物线的函数关系式为：．（3）由（2）可知抛物线，抛物线的对称轴，设P点坐标为，的坐标为，的坐标．故：，，，若等腰三角形中，，即：，解得：，此时P点坐标为：，，若等腰三角形中，，即：，解得：，此时P点坐标为：，，综上所述：在抛物线的对称轴上存在一点P，使得是以BC为腰的等腰三角形，符合条件的点P的坐标为：，，，．【点睛】本题考查了二次函数的知识，其中涉及了数形结合问题，由抛物线求二次函数的解析式，用几何中相似三角形的性质求点的坐标等知识．注意这些知识的综合应用．3．（2023·浙江湖州·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴的交点坐标为，图象的顶点为M．矩形的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为．

(1)求c的值及顶点M的坐标，(2)如图2，将矩形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图象交于点P，Q，连接，过点P作于点G．①当时，求的长；②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，顶点M的坐标是(2)①1；②存在，或【分析】（1）把代入抛物线的解析式即可求出c，把抛物线转化为顶点式即可求出顶点坐标；（2）①先判断当时，，的坐标分别是，，再求出，时点Q的纵坐标与点P的纵坐标，进而求解；②先求出，易得P，Q的坐标分别是，，然后分点G在点Q的上方与点G在点Q的下方两种情况，结合函数图象求解即可．【详解】（1）∵二次函数的图象与y轴的交点坐标为，∴，

∴，∴顶点M的坐标是．（2）①∵A在x轴上，B的坐标为，∴点A的坐标是．当时，，的坐标分别是，．当时，，即点Q的纵坐标是2，当时，，即点P的纵坐标是1．∵，∴点G的纵坐标是1，

∴．

②存在．理由如下：∵的面积为1，，∴．根据题意，得P，Q的坐标分别是，．如图1，当点G在点Q的上方时，，此时（在的范围内），

如图2，当点G在点Q的下方时，，此时（在的范围内）．

∴或．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点、矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合思想是解题的关键．【题型五二次函数中的新定义型问题】例题：（2023·浙江金华·统考二模）定义：若n为常数，当一个函数图象上存在横、纵坐标和为n的点，则称该点为这个函数图象关于n的“恒值点”，例如：点（1，2）是函数图象关于3的“恒值点”．

(1)判断点，，是否为函数图象关于10的“恒值点”．(2)如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，所得的新图象如图2所示．①求翻折后A，B之间的抛物线解析式．（用含b的代数式表示，不必写出x的取值范围）②当新图象上恰好有3个关于c的“恒值点”时，请用含b的代数式表示c．【答案】(1)是函数图象关于10的“恒值点”．(2)①；②或【分析】（1）由，在函数图象上，不在函数图象上，而，，可得是函数图象关于10的“恒值点”．（2）①由抛物线，再根据关于x轴对称的特点可得答案；②新图象分两部分，如图，当新图象上恰好有3个关于c的“恒值点”时，，，整理得：或，而与坐标轴构成的三角形是等腰直角三角形，求解，当过点时，满足条件；，当与只有1个交点时，满足条件；即有两个相等的实数根，从而可得答案．【详解】（1）解：∵，在函数图象上，不在函数图象上，而，，∴是函数图象关于10的“恒值点”．（2）①∵抛物线，∴翻折后的抛物线的解析式为，∴翻折后的解析式为：，②新图象分两部分，如图，当新图象上恰好有3个关于c的“恒值点”时，

∴，，∴整理得：或，而与坐标轴构成的三角形是等腰直角三角形，令，解得：，∴，当过点时，满足条件；∴，当与只有1个交点时，满足条件；∴即有两个相等的实数根，∴，解得：；【点睛】本题考查的是轴对称的性质，二次函数的应用，利用待定系数法求解抛物线的解析式，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．1．（2023·浙江金华·统考一模）定义：在平面直角坐标系中，直线与某函数图象交点记为点P，作该函数图象中，点P及点P右侧部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象上的点P及点P右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线的“迭代函数”．例如：图1是函数的图象，则它关于直线的“迭代函数”的图象如图2所示，可以得出它的“迭代函数”的解析式为．

(1)写出函数关于直线的“迭代函数”的解析式为_________．(2)若函数关于直线的“迭代函数”图象经过，则_________．(3)以如正方形的顶点分别为：，其中．①若函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形的边有3个公共点，则______；②若，函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有4个公共点，则n的取值范围为______．【答案】(1)(2)或．(3)①或，②或或．【分析】（1）根据“迭代函数”的定义可知“迭代函数”的图象是关于的对称，故求出图象上任意两点坐标，再根据函数关于直线的“迭代函数”是关于对称，求出对称点坐标，再由待定系数法求出“迭代函数”的解析式即可；（2）先求出原抛物线当时两点坐标，根据“迭代函数”的对称性可知与其中一点对称，分两种情况求解即可；（3）①先画出函数关于直线的“迭代函数”的图象．根据三个公共点的不同情况分两种情况求解即可；②根据正方形和“迭代函数”的图象对称性可知．四个公共点的分别是第一象限两个、第三象限或第二象限两个，分别结合图象进行求解．【详解】（1）解：当时，，当时，，∴则点、关于直线的对称点为，，设直线关于直线的对称直线为，则，解得，∴直线为，∴函数关于直线的”迭代函数”的解析式为；故答案为：（2），∴的顶点坐标为当时，解得：，，即与轴交点为、若函数关于直线的“迭代函数”图象经过，当与是关于直线对称时，，当与是关于直线对称时，，综上所述：若函数关于直线的“迭代函数”图象经过，则或，故答案为：或．（3）①函数关于直线的“迭代函数”的图象如图所示：

∴函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有3个公共点，有两种情况：当第一象限有两个公共点时，第三个交点在第三象限，当图象上的点，，此时，当第三象限有两个公共点时，第三个公共点在第一象限，函数图象正好经过正方形的顶点，，，此时，综上所述：若函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形的边有3个公共点，则或．②如图：

若，函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有4个公共点，则第一象限一点一定有两个交点它们是、；根据正方形和“迭代函数”的图象对称性，I．当时，“迭代函数”的图象与正方形最多有3个公共点，II．当时，“迭代函数”的图象与正方形有4个公共点，如图所示，III．当，若第三象限由两个公共点，则第二象限无公共点，此时点关于对称点在正方形外，即：，解得：，此时点在函数关于直线的“迭代函数”的图象，即：，即：时，“迭代函数”的图象与正方形在第三象限有两个公共点，第二象限无公共点，Ⅳ．当，若第二象限有两个公共点，则第三象限无公共点，此时点关于对称点在正方形内，即：，解得：，此时点不在函数关于直线的“迭代函数”的图象，即：，∴．当，若第二象限有两个公共点，则第三象限无公共点，综上所述：若，函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有4个公共点，n的取值范围为或或．【点睛】本题考查二次函数的综合应用；理解并运用新定义”迭代函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键．【题型六实际问题与二次函数的综合问题】例题：（2023·浙江嘉兴·统考二模）某商家计划在抖音直播平台上直播销售当地特产，将其中一种特产在网上进行试销售．该商家在试销售期间调查发现，每天销售量y（万件）与销售单价x（元/件）的数据如表：x（元/件）…10121416…y（万件）…1412108…(1)根据所给数据判断函数类型，并求y关于x的函数表达式；(2)总成本P（万元）与销售量y（万件）之间存在如图所示的变化趋势，当时可看成一条线段，当时可看成抛物线①销售量不超过万件时，利润为万元，求此时的售价为多少元/件？②当售价为多少元时，利润最大，最大值是多少万元？（利润＝销售总额－总成本）【答案】(1)y关于x的函数表达式为；(2)①此时的售价为或元/件；②当售价为元时，利润最大，最大利润为万元．【分析】（1）根据表格数据，用待定系数法求函数解析式；（2）①先求出P关于x的解析式，再根据利润=销售额-总成本列出方程，解方程即可，再根据的关系式求出x的取值范围，从而得出结论；②设利润为w万元，分两种情况求出w的最大值，然后比较即可．【详解】（1）解：根据表格中数据可知，y与x是一次函数类型．设y关于x的函数表达式为,将，代入解析式得：，解得，∴y关于x的函数表达式为；（2）解：①设时，，将，代入解析式得：，解得，,，整理得：，解得，，即，，∴此时的售价为或元/件；②设利润为w万元，当时，即，则，，当时，w有最大值，最大值为；当时，把代入得，，解得，，，，当时，w有最大值，最大值为，此时，综上所述，当售价为元时，利润最大，最大利润为万元．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数在实际问题中的应用，数形结合并明确二次函数的相关性质，是解题的关键．1．（2023·浙江衢州·统考中考真题）某龙舟队进行500米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程与时间的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程与时间的函数表达式为．

(1)求出启航阶段关于的函数表达式（写出自变量的取值范围），(2)已知途中阶段龙舟速度为5m/s．①当时，求出此时龙舟划行的总路程，②在距离终点125米处设置计时点，龙舟到达时，视为达标，请说明该龙舟队能否达标；(3)冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.25m/s，之后保持匀速划行至终点.求该龙舟队完成训练所需时间（精确到0.01s）．【答案】(1)(2)①龙舟划行的总路程为；②该龙舟队能达标．(3)该龙舟队完成训练所需时间为【分析】（1）把代入得出的值，则可得出答案；（2）①设，把代入，得出，求得，当时，求出，则可得出答案；②把代入，求得，则可得出答案；（3）由（1）可知，把代入，求得．求出，则可得出答案．【详解】（1）把代入得，解得，启航阶段总路程关于时间的函数表达式为；（2）①设，把代入，得，解得，．当时，．当时，龙舟划行的总路程为．②，把代入，得．，该龙舟队能达标．（3）加速期：由（1）可知，把代入，得．函数表达式为，把代入，解得．，．答：该龙舟队完成训练所需时间为．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的应用，一次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法，根据条件准确得到表达式是解题关键．2．（2023·浙江·一模）根据我市体育中考排球垫球考试要求，女生受试者需在3米×3米的正方形区域内原地将球垫起，球在运动中的最高点离地面至少为2米．某女生在测试区域中心离地面1米的P处第一次将球垫偏，之后又先后在A，B两处将球救起，球沿抛物线运动（假设抛物线在同一平面内），最终球正好回到P处垫起．如图所示，已知点A，B均位于边界正上方，且离地面高度分别为米、米．现以图示地面所在直线为x轴且P的坐标为，建立平面直角坐标系．

(1)请直接写出A，B的坐标．(2)排球第一次被垫起后，在区域内侧离边界水平距离米处达到最高，则该女生此次垫球是否达标，请说明理由．(3)第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度恰好达标，求抛物线的解析式．【答案】(1)，(2)该女生此次垫球不达标．理由见解析(3)【分析】（1）根据受试者需在3米米的正方形区域内原地将球垫起，某女生在测试区域中心且A，B均位于边界正上方，写出坐标即可；（2）求出抛物线的解析式，求出最高点纵坐标，比较即可；（3）设出抛物线的顶点式，求出解析式即可．【详解】（1）解：根据受试者需在3米米的正方形区域内原地将球垫起，某女生在测试区域中心且A，B均位于边界正上方，则点A坐标为；点B坐标为．（2）解：该女生此次垫球不达标．排球第一次被垫起后，在区域内侧离边界水平距离米处达到最高，则抛物线的对称轴为直线，设抛物线解析式为，把，代入得，，解得，，抛物线解析式为，最高点离地面米，该女生此次垫球不达标．（3）解：第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度恰好达标，则顶点纵坐标为，设抛物线解析式为，把，代入得，，解得，，（舍去）抛物线解析式为．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题关键是根据题意求出二次函数解析式．3．（2023·浙江·一模）根据素材，解决问题．素材1：在忽略空气阻力的条件下，篮球在空中的飞行距离可分解为水平方向距离和竖直方向距离，水平方向距离适用公式：，竖直方向距离适用公式：，其中为篮球的初始速度，为飞行时间，为初始速度方向与水平面夹角．素材2：篮球运动员小明在某次投篮训练时，篮球的出手点离地面距离为，投篮的初始速度方向与水平面夹角等于．（参考数据：）

(1)若小明投篮的初始速度为，解决下列问题．①当时，则___________m，_____________，此时篮球距离地面___________．②记篮球的水平方向距离为，篮球与地面的距离为，求关于的函数表达式．(2)在又一次投篮中，当篮球在空中飞行的水平方向距离为时，篮球到地面的距离恰为，试确定这次投篮的篮球的初始速度．【答案】(1)①3，2.75，4.45；②(2)【分析】（1）①根据水平方向距离适用公式和竖直方向距离适用公式代入求解即可；②根据和求解即可；（2）将，代入求出，然后代入求解即可．【详解】（1）①∵，小明投篮的初始速度为，∴，∴∴此时篮球距离地面，故答案为：3，2.75，2.75；②∵∴∴；（2）当时，∴∴解得∴将，代入得，∴解得．【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．4．（2023·浙江衢州·三模）小王计划建造一个150平方米的矩形大概种植各类水果，整个过程中有以下几个需要解决的重要问题

(1)【种植计划】小王在调查某类水果时发现，当每平方米种植4株时，平均产量为2kg；以同样的载培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减小0.25kg．那么，每平方米计划种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量是多少？请自行设函数变量，解决问题．(2)【场地规划】小王挑选了房屋侧面的空地作为大棚场地．用来侧面加固的材料一共可以图40米，为了节约材料，小王打算让大棚其中一面靠房屋外墙，如图1所示、已知外墙长为12米，则与墙垂直一面的长度为多少？(3)【顶棚设计】在确定矩形场地规划的情况下，如图2是大腰顶部建好后的侧面图，相关数据如图，顶棚曲线满足抛物线形状，小王需要给内部两侧距离中心线2米的点A，点B处安装日燃灯，试建立合适的坐标系，计算日照灯的安装高度．【答案】(1)每平方米计划种植6株时，能获得最大产量，最大产量为kg(2)米(3)米【分析】（1）设每平方米种植增加x株，总产量为y，根据题意可以得到，将二次函数的解析式化解为顶点式即可得到答案；（2）根据矩形的面积即可求出垂直墙面一边的长度；（3）设二次函数的解析式为，先根据图2得数据求出解析式，再将代入即可求得答案．【详解】（1）解：设每平方米种植增加x株，总产量为ykg，根据题意得，∴，∴当株时，有最大值，且kg，∴每平方米计划种植6株时，能获得最大产量，最大产量为kg，（2）解：设与墙垂直一面的长度为多少m米，根据题意得平方米，解方程得米，∵∴与墙垂直一面的长度为米；（3）解：直角坐标系建立如下图所示，

设二次函数的图像解析式为：，由题意可得，抛物线过点，∵外墙长为12米，∴抛物线过点，∴，解方