数系的扩充和复数的概念-高一数学人教A版必修第二册同步学考笔记

第七章复数

［数学文化］——了解数学文化的发展与应用

复数的发展史

1545年，意大利数学家、物理学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出

将10分成两部分，使其积为40的问题，即求方程x(10—x)=40的根，他求出的

根为5+0-15和一15,积为25—(—15)=40.

卡尔丹

但由于这只是单纯从形式上推广而来，并且人们原先就已断言负数开平方是没有

意义的.因此复数在历史上长期不被接受.

直到18世纪，达朗贝尔、欧拉和高斯等人逐步阐明了复数的几何意义及物理意

义，建立了系统的复数理论，从而使人们终于接受并理解了复数.复变函数的理

论基础是在19世纪奠定的，主要是围绕柯西、魏尔斯特拉斯和黎曼三人的工作

进行的.

到本世纪，复变函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域不断扩大而发展成

一门庞大的学科，在自然科学的其他分支(如空气动力学、流体力学、电学、热

学、理论物理等)及数学的其他分支(如微分方程、积分方程、概率论、数论等)

中，复变函数论都有着重要应用.

［读图探新］——发现现象背后的知识

问题1：1545年，数学家卡尔丹在《重要的艺术》中出了这么一个题目：把10

分为两部分，使其乘积为40.他按照自己的习惯，设其中一部分为x,列出方程

为M10—x)=40.但求出的根令他大为不解，甚至感到有些恐慌.你知道这是为什

么吗？

问题2：根据你的经验，你认为怎么办就可以解决卡尔丹的问题？在正数范围内，

方程x+2=0有解吗？我们是怎样让它有解的？类似的，在有理数范围内，

2有解吗？我们又是怎样让它有解的？

问题3：为了使负数能够开方，你觉得应该引进一个什么样的新数？这个新数应

该服从什么规则？

链接：由有理数的研究经验，我们知道“引进一种新的数，就要定义相应的运算；

定义一种运算，就要研究它满足怎样的运算律”.另外，根据数系扩充的原则，

定义关于它们的加法和乘法，要使得原来关于实数的运算律保持不变.

7.1复数的概念

7.1.1数系的扩充和复数的概念

课标要求素养要求

通过方程的解，了解引进复数的必要性，

通过理解复数的概念及复数相等的有关

认识复数，理解复数的概念及复数相等

知识，体会数学抽象及数学运算素养.

的充要条件.

课前预习知识探究

自主梳理

1.复数的有关概念

(1)定义：形如OCR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，全体复数所

构成的集合C={a+历|a,6GR}叫做复数集.

(2)复数通常用字母2表示，代数形式为z=a+历(a,h&R),其中。与人分别叫

做复数z的实部与虚部.

2.复数的分类

(1)设复数z=a+历(a,86R).

①z为实数ob=0,

②z为虚数

③z为纯虚数oa=0且「W0.

(2)集合表示：

❹点睛

两个虚数不能比较大小.

3.复数相等

设zi=a+/?i,Z2=c+di(a,b,c,t/GR).

贝Izi=Z2Oa=c且b=d.

自主检验

1.思考辨析，判断正误

(1)若a,b为实数,贝ijz=a+〃i为虚数.(X)

(2)若复数zi=3i,Z2=2i,则zi>Z2.(X)

(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复数相等.(J)

(4)实数集与复数集的交集是实数集.(J)

提示(1)当时，z=a+/为虚数.

(2)两个虚数Z1与Z2不能比较大小.

2在2+小，亍，8+5i,(1一小)i,0.68这几个数中，纯虚数的个数为()

A.OB.1

C.2D.3

答案C

解析由纯虚数的定义可知今，(l—4)i为纯虚数.

3.以3i一啦的虚部为实部，以一3+啦i的实部为虚部的复数是()

A.3-3iB.3+i

C.~yj2+yl2iD.yf2+y/2i

答案A

解析3i一姬的虚部为3,—3+啦i的实部为一3.

；•所求的复数z=3—3i.

4.若(x—2y)i=2x+l+3i,则实数x—y的值为.

答案|

[2x+l=0,

解析由复数相等，得..

[x-2y=3,

175

故

-且y---%-y=-

2甲4

课堂互动r------------------------------------题型剖析

题型一复数的概念

【例1】给出下列命题：①若(/—l)+(/+3a+2)i(aeR)是纯虚数，则实数a

=±1；②l+i2是虚数；③复数，”十〃i的实部一定是利其中真命题的个数为()

A.OB.1

C.2D.3

答案A

解析①若(7—l)+(/+3a+2)i(aeR)是纯虚数，则/—1=0且a2+3a+2:#:0,

解得。=1,所以错误；②l+i2=l—1=0是实数，所以错误；③复数中〃2,〃未

指明是实数，故错误.因此三个命题都是假命题.

思维升华1.对于复数的实部、虚部，不但要把复数化为。十方的形式，更要注

意这里a,人均为实数时，才能确定复数的实部、虚部.

2.虚数不能比较大小，但实数可以.若两个复数具有确定的大小关系(不含相等)，

则说明两个复数均为实数.

【训练1】下列命题中，正确命题的个数是()

①若x,yWC,则x+yi=l+i的充要条件是x=y=l；

②若a,且a>b,则a+i>b+i；

③若f+y2=o,则％=y=o.

A.OB.l

C.2D.3

答案A

解析①由于x,yec,所以x+yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等

的充要条件，所以①是假命题.②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题.③

当x=l,y=i时，f+y2=0成立，所以③是假命题.故选A.

题型二复数的分类

〃广m-6

【例2】实数机取什么值时，复数一十(加2—2机)i是(1)实数；(2)虚

数；(3)纯虚数？

m2—2〃2=0,

解(1)当，,、即〃2=2时，复数Z是实数.

、次中0,

m2—2mWO,

(2)当々一八即mWO且加W2时，复数z是虚数.

、团齐0,

序+—―6

(3)当<-m—="即机=—3时，复数z是纯虚数.

思维升华1.利用复数的分类求参数时，应将复数化为代数形式z=a+历(a,

0GR).特别注意z为纯虚数，则。NO,且a=0.

2.要注意确定使实部、虚部有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解.

【训练2】(1)若(/—3y)+yi(yGR)是纯虚数，则()

A.y=3B.y=3或y=0

C.yWOD.y#3

(2)已知复数2=吉+(次一l)i是实数，则实数。的值等于.

答案(1)A(2)-1

解析(1)由(V—3y)+>i(yeR)是纯虚数，

.♦.y2—3y=0且yWO,因此y=3.

(2)因为复数2=占+(/—1)1是实数，且。为实数,

a2—1=0,

则io,解彳"T

题型三两个复数相等

【例3】⑴已知/+松+2+(2。+"2>=0("2©2成立，求实数a的值;

(2)若关于x的方程3f—全一1=(10—x—2/)i有实根，求实数a的值.

解(1)因为a,机CR,

所以由a2+ma+2+(2a+m)i=0,

a2+am+2=0,

可得

2。+777.=0,

"=隹或，a=—y[2,

解得

m=-2^/2m=2y/2,

所以a=±\l2.

(2)设方程的实根为x=m,

贝!]3a2———1=（10—m—2加2）i,

,a

3m1=0,

所以2

,10—w—2m2=0,

71

解得a=ll或a=—^.

思维升华解决复数相等问题的基本步骤：

(1)等式两边整理为。十万m,z?£R)的形式；

(2)由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组；

⑶解方程组，求出相应的参数.

【训练3】求解下列各题：

⑴若(4x—2y)i=_r+l,求实数九，y的值；

rn-2

2

(2)若不等式nv—(m—2m)i<9+mi成立，求实数m的值.

解(1)由两个复数相等的充要条件，

0=x+1,%=-1,

得,一八解得

、,J=一2，

故实数x,y的值分别为一1,-2.

'"<9'，然=0或加=2,

(2)依题意〈0，得〈加=2,加工0,

m~2〜〜

------=0,1一3<m<3.

Im

因此m=2.

■课堂小结•

1.区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复

数与实数加以区另山对于纯虚数历(6W0,OdR)不要只记形式，还要注意。W0.

2.应用两复数相等的充要条件时，首先栗把等号左右两边的复数写成代数形式,

即分离实部与虚部，然后列出等式求解.

3.若两个复数全是实数，则可以比较大小.反之，若两个复数能比较大小，则它们

a>0,

必是实数，即a+Oi〉O(a,/?GR)=1

b=0.

4.复数问题实数化是求解复数的基本思想方法.

分层训练素养提升

i基础达标I

一'选择题

1.若复数z=(a2—2a)+(a2—a—2)i(aGR)是纯虚数，则()

A.a=O或a=2B.a=O

C.aW1且a#2D.a#1或a#2

答案B

cr—2a=0,

解析由题意得<解得a=0.

.a2—a—2^0,

2.设a,b《R,i是虚数单位，则“必=0”是“复数。一历为纯虚数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案B

解析若复数a一万为纯虚数，则a=0且8#0,故必=0.而由H?=0不一定能

得到复数a一万是纯虚数，故“出7=0”是“复数。一万为纯虚数”的必要不充分

条件.

3.以一币+2i的虚部为实部，以下i+2i2的实部为虚部的新复数是（）

A.2—2iB.—^5+"^5i

C.2+iD.小+小i

答案A

解析设所求新复数z=a+折（a,b£R）,由题意知：复数一小+2i的虚部为2,

复数小i+2i2=^i+2X（—1）=-2+小i的实部为一2,则所求的z=2-2i.故选

A.

4.已知2-ai=/?+3i(a,beR)(i为虚数单位)，则a+0=()

A.5B.6

C.lD.-1

答案D

解析依题意6=2且3=—a.；.a+〃=—1.

5.若复数x=m+（加2—i）i（mGR）满足％<0,则根的值为（）

A.1B.-1

C.+lD.任意实数

答案B

[m<0,

解析由复数X="z+0"2-]》<0,得42,c解得〃2=-1.

"—1=0,

二'填空题

6.若实数x,y满足x+y+（x~y）i=2,则xy的值是.

答案1

fx+y=2,

解析因为x+y+（x—y）i=2,可得彳

lx—y=0,

所以x=y=l,所以孙=1.

7.如果z=m（加+1）+（"及一l）i为纯虚数，则实数m的值为.

答案0

\m（m+1）=0,

解析由题意知彳？一,、.•."2=0.

[次一1W0,

8.若复数3+（能2—9）i20,则实数m的值为.

答案3

/加一320,['机23,

解析依题意知2c八解得—

〔〃?2—9=0,l〃2=—3或3,

即"2=3.

三'解答题

9.当实数m为何值时，复数z=（加2+加一6）i+—〃二J•是:（1）实数？（2）虚数？

(3)纯虚数?

[m2+w-6=0,

解⑴由1得"2=2.

“十3¥0,

・•・当〃2=2时，Z是实数.

⑵由彳,得1

“+370,〔mW—3.

「・当且—3时，z是虚数.

/n2+m-6^0,

m+3W0,

{加2—7m+12=0,

加工^且加士一？，

机#一3,

{加=3或加=4,

即m=3或m=4.

当m=3或m=4时，z是纯虚数.

10.已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i),尸={-1,1,4i},若MUP=P,求

实数m的值.

解"：MUP=P,：.MQP,

(〃，一2根)+(也2+加-2)i=-1或("P—2/?2)+(/712+/??-2)i=4i.

由(???—2〃?)+(机2+机-2)i=—■1得

m2-2m=-1,

由(m2—2m)+(m2+优-2)i=4i得

zn2—2/72=0,

综上可知m—l或m=2.

能力提升I

11.(多选题)下列命题，其中不正确的是()

人.若2=a+",a,"GR,则仅当0W0时z为纯虚数

B.若zf+zg=0,则zi=Z2=0

C.若“dR,则ai为纯虚数

D.复数z=a2—〃+(a+|a|)i(a,R)为实数的充要条件是aWO

答案ABC

解析A中，当”=0,且8WO,z为纯虚数,A错；

B中，当Z1=1,Z2=i时，z?+z^=O,但Z|#Z2,B错；

C中，当aWO时，ai为纯虚数，C不正确；

D中，zGR,则a+|a|=O,.'.a