高中数学基础知识

第一部分集合

②/(x)在区间M上是减函数oVxxwM,当F/时有/(X)>/(/)；

1.理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因152

变量的取值？还是曲线上的点？…；⑵单调性的判定

2.数形缙令是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等①定义法：一般要将式子/(为)-/(工2)化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；

工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决：

②导数法(见导数部分)：③复合函数法；④图像法。

3.(1)含n个元素的集合的子集数为2,真子集数为2。一1；非空真子集的数为2n—2；

注：证明单调性主要用定义法和导数法。

(2)=注意：讨论的时候不要遗忘了A=。的情况。7.函数的周期性

⑴周期性的定义：对定义域内的任意/，若有/*+7)=/(幻(其中T为非零常数)，则称

4.。是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

第二部分函数与导数函数/(X)为周期函数，7为它的一个周期。

1.映射：注意①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。

所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。

(2)三角函数的周期

⑤换元法；⑥利用均值不等式，石4生心MJ心”；⑦利用数形结合或几何意义(斜率、

2V2①y=sinx:T=2"；②y=cosJV:T=2乃；③y=lanx:7="；

距离、绝对值的意义等)；⑧利用函数有界性sinx、cosx等)；⑨导数法

=Asin(<ar+^),y=Acos(otv+:T=2^L.@y=tancox:T=；

3.复合函数的相关问题|G|\co\

(1)复合函数定义域求法：

(3)与周期相关的结论

①若f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式aWg(x)Wb解出

②若f[g(x)]的定义域为[a»b],求f(x)的定义域,相当于x£[a,b]时,求g(x)的值域。/(x+a)=/(为一4)或f(x-2a)=f(x)(a>0)n/(工)的周期为2a；

(2)复合函数单调性的判定：

8.基本初等函数的图像与性质

①首先将原函数y=/[g。)]分解为基本函数：内函数〃=g(©与外函数)，=/(〃)；

⑴累函数：>=丁(awR)；⑵指数函数：)=优(4>0,。工1)；

②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；

③根据“同性则增，异性则减''来判断原函数在其定义域内的单调性。⑶对数函数：y=k)gaMa>0,awl)；⑷正弦函数：y=sinx；

4.分段函数：值域(最值)、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。

5.函数的奇偶性⑸余弦函数：y=cosx；(6)正切函数：y=tanx；⑺一元二次函数：ax2+/?x+c=0；

⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；

⑻其它常用函数：

⑵/&)是奇函数Of(—x)=—f(x)；“V)是偶函数Of(—x)=f(x)①正比例函数：)=&*女=0)；②反比例函数：y=K(ZwO)；③函数y=x+—(a>0)；

xx

⑶奇函数/(X)在原点有定义，则/(0)=0；9.二次函数：

⑴解析式：

⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；

2

⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；①一般式：f(x)=。小+bx+c；②顶点式：f(x)=a(x-h)+k,(〃,攵)为顶点；

6.函数的单调性

⑴单调性的定义：③零点式：/(l)=。(工一M)(五一工2)。

①/0)在区间M上是增函数o\/2,工2£知,当再<冗2时有/(为)</(工2)；⑵二次函数问题解决需考虑的因素：

①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。(4)零点定理：若y=f(x)在［a,b］上满足f(a)f(b)v(),则y=f(x)在(a,b)内至少有一个零点。

导数

二次函数的图象的对称轴方程是工=一2,顶点坐标是［-2,4-13.

2a12a4a⑴导数定义：f(x)在点X0处的导数记作一=/Vo)=liin-"与)；

10.函数图象：

⑵常见函数的导数公式：①C=0：②®(sinx)'=cosx；

⑴图象作法：①描点法(特别注意三角函数的五点作图)②图象变换法③导数法

⑵图象变换：

xx

®(cosx)=一sinx；⑤(cJ)=aIna；⑥(")=e；®(logrtx)=--—二⑧劭幻=—。

xlnax

①平移变换：i)y=/(x)T)，=/(Ji±a),(a>0)-----左右“一”；

uvuv

⑶导数的四则运算法则：(“±V)'="'±+(号'='-';

V

ii)y=/(x)->y=f(x)土k,(k>0)-----上下“一”；V

(4)(理科)复合函数的导数：X=乂

②对称变换：iy=/(x)<0-0)>y=-/(-x)；iiy=/(x)—y=-/(x)；

⑸导数的应用：

①利用导数求切线：注意：i)所给点是切点吗？ii)所求的是“在''还是“过”该点的切线？

wy=/U)x=0->y=/(-x)：ivy=/(x)v=v>X=/(y)：

②利用导数判断函数单调性：

③翻转变换：①f(幻〉0=f(x)是增函数；②/(x)v0n/(x)为减函数；③/'a)三0=>/(x)为常数；

i)y=/(x)^y=/(|x|)-----右不动，右向左翻(/*)在y左侧图象去掉)；③利用导数求极值：i)求导数ii)求方程/'(x)=0的根；迨)列表得极值。

④利用导数最大值与最小值：i)求的极值；ii——求区间端点值(如果有)：iii)得最值。

ii)y=/U)|------上不动，下向上翻(|/(x)|在无下面无图象)；

第三部分三角函数、三角恒等变换与解三角形

11.函数图象(曲线)对称性的证明1.⑴角度制与弧度制的互化：乃弧度=180,1°=」匚弧度，1弧度=(图)°。57018

1807T

(1)证明函数丁二/(幻图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点

⑵弧长公式：1=瞅;扇形面积公式：s=-()R2=-Rh

仍在图像上；22

(2)证明函数y=/(x)与y=g(x)图象的对称性，即证明y=/(x)图象上任意点关于对称2.三角函数定义：角a中边上任意一P点为(X,)。，设1。尸1=「则：sina=±,cosa=3,tana=2

rrx

3.三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；

中心(对称轴)的对称点在y=g(x)的图象上，反之亦然；

4.诱导公式记忆规律：“函数名不(改)变，符号看象限”；

注：①曲线Ci：f(x,y)=0关于点(0,0)的对称曲线Cz方程为:f(-x,-y)=0;5.⑴丁=Asin(0Y+0)对称轴：cox+(p=k7V-\--对称中心：产一夕,0)(kwZ);

②曲线Ci：f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C：方程为：f(—x,y)=0;2(0

曲线Ci：f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C2方程为：f(x,—y)=0;k+4

曲线G：f(x,y)=0关于直线y=x的对称曲线C?方程为：f(y,x)=0出〉=4。05(以+0)对称轴：①*+邛=卜兀：对称中心：(三F，O)(&wZ)；

③f(a+x尸f(b—x)(x£R)—y=f(x)图像关于直线x二巴产对称；

6.同角三角函数的基本关系：sin2x+cos2x=1;s"1'=tanx：

cosx

特别地：f(a+x)=f(a—x)(xGR)-y=f(x)图像关于直线x=a对称;

7.三角函数的单调区间：

12.函数零点的求法：7TIT

y=sim的递增区间是2k7r一一,2k兀+—(kwZ),递减区间是

⑴直接法(求f(x)=0的根)；⑵图象法；⑶二分法.22

⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底：②侧面积：S*m7；③体积：V=-!-Sh：

■7T3女te

的递增区间是［2k/r—乃,2上乃］（keZ）,递减区间

2k7r+—^Ikn+(Z£Z)；y=cosx3

⑶台体：①表面积：S=SM+Si-.ifiS卜法;②侧面积：S便尸江（r+厂）/;③体积：V=—（S+VSS+S）h；

3

是［2攵万,2左乃十）］（%£Z）,y=火式的递增区间是（左乃一^，+yjeZ）,y=bgx的4

⑷球体：①表面积：S=4成\②体积：V=—成'o

3

递减区间是（左乃，k兀+冗）（k£Z）e3.位置关系的证明（主要方法）：

⑴直线与直线平行：①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理。

⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行=>线面平行。

8.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①sin（a±£）=sinacos尸土cosasin£;

⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两平面平行。

⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。

②cosQ±£)=coscrcos/7+sinasin/3\®tan(6Z±/)="-tan0。⑸平面与平面垂直：①定义一两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理。

1+tanatanp

注：理科还可用向量法。

9.二倍角公式：①sin2a=2sinocosa；4.求角：（步骤一….Io找或作角：II。求角）

②cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=l-2sin2a；@tan2a=?1a0:⑴异面直线所成角的求法：

1-tan"a①平移法：平移直线，构造三角形；②用向量法：八।尸，

cos夕=|cos<a,b>|

(sina±cosa)2=l±2sincrcosa=1±sin2a

⑵直线与平面所成的角：

10.正、余弦定理：①直接法（利用线面角定义）；②用向量法：.八।,

sin0=|cos<AB,n>\

⑴正弦定理：_L=_2_=—^=2R(2R是A4BC外接圆直径)

sinAsinBsinC5.求距离：（步骤……Io找或作垂线段；II。求距离）

注：①a:b:c=sinA:sin5:sinC；②a=2RsinA〃=2RsinB,c=2RsinC；

点到平面的距离：①等体积法；②向量法："J丝’叫

sinAsinBsinCsin4+sin8+sinC6.结论：

,222⑴长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a,b,c,则对角线长为-----------全面积为

⑵余弦定理：a2=b2+c2-2/?ccosA等三个；cosA=————巴-等三个。yla2+b2+c2

2bc

2ab+2bc+2ca,体积V=abc。

llo几个公式：⑵正方体的棱长为a,则对角线长为广，全面积为6a2,体积V=a3。

y/3a

⑴三角形面积公式：S"sine；

MBC⑶长方体或正方体的外接球直径2R等于长方体或正方体的对角线长。

⑷正四面体的性质：设棱长为则正四面体的：

rc.、abc

⑵内切圆半径r=2%馨_:外接圆直径2R=-

a+b+csinAsinBsinC①高：h=—a；②对棱间距离：—a；③内切球半径：—a；④外接球半径：逅。。

第四部分立体几何32124

1.三视图与直观图：第五部分直线与圆

2.表（侧）面积与体积公式：1.直线方程

⑴柱体：①表面积：S=SM+2s底；②侧面积：Sx2用力；③体积：V=Sith

⑴点斜式：y-y=k（x-xj：⑵斜截式：y=kx+b：⑶截距式：—+—=1；

oab

⑷两点式：2——=~——；（5）一般式：Ax+By+C=0>（A>B不全为0）。1.定义：⑴椭圆:\MFt|+|MF21=2a,(2a>|FtF21)；

y2f

⑵双曲线：||MF\-\MF||=2a,（2a<iFF|）；⑶抛物线：|MF|=d

2.求解线性规划问题的步骤是：x2X2

（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。2.结论

两条直线的位置关系：

3.⑴焦半径：①椭圆：|P用=。+但）,仍用=。-%（e为离心率）；（左"+”右

直线方程平行的充要条件垂直的充要条件备注

/.:y=k.x+b.②抛物线：|尸产|=%+5

111k\=k2,b\^b2匕•葭二-14/有斜率

/2:y=k2x+b2~

⑵弦长公式：|AB|="Jl+k2-|x,-.r!|=-^(1+^2)[(^+x,)2-4x,x,J

已知h：A|X+Biy+Ci=0,12：A2x+B2y+C2=0,则hJJ2的充要条件是A'+BB：。。

4.几个公式注：⑴抛物线：|AB|=X|+X2+p；⑵通径（最短弦）：①椭圆、双曲线:空；②抛物线：2p。

⑴设A（xi,yi）、B（X2»2）、C（X3,y3），，ABC的重心G：M+%+K）；

33

⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：“a2+，?2=1（"7,〃同时大于0时表示椭圆,

⑵点P（xo.yo）到直线Ax+By+C=0的距离：、14”分。二。|；

JA2+B2

〃机<0时表示双曲线）；当点P与椭圆短轴顶点重合时/百户用最大；

⑶两条平行线Ax+By+C|=0与Ax+By+C=0的距离是〃=|GYl.

2（4）双曲线中的结论：

《A2+B2

①双曲线《_上二1（a>0,b>0）的渐近线：£1-21=0；

5.圆的方程：a2b2a2b2

②共渐进线y=士2》的双曲线标准方程为£_汇=（Z为参数，义和）；

⑴标准方程:①（九-a）?+（y-b）2=产；@x2+y2=r2。A

aa2b1

⑵一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）③双曲线为等轴双曲线oe=j2。渐近线为y=±x0渐近线互相垂直；

注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=O表示圆OA=C并且B=0且D2+E2-4AF>0：⑸焦点三角形问题求解：利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。

6.圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法。3.直线与圆锥曲线问题解法：

7.点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）⑴直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。

⑴点与圆的位置关系：（d表示点到圆心的距离）注意以下问题：

①壮二尺。点在圆上；②dvR。点在圆内；③点在圆外。①联立的关于“x”还是关于“y”的一元二次方程？

⑵直线与圆的位置关系：（d表示圆心到直线的距离）②直线斜率不存有时考虑了吗？

①"二氏。相切；②dvHo相交；③相离。③判别式验证了吗？

⑵设而不求（代点相减法）：——处理弦中点问题

⑶圆与圆的位置关系：（d表示圆心距，Rj表示两圆半径，且R>r）

步骤如下：①设点A（x“％）、B（x,y）：②作差得的8=之二之=……：③解决问题。

①4>R+〃o相离；②d=R+ru>外切；③R-rvdvR+/。相交；22

④d=R—尸o内切；⑤0vdvR-〃o内含。

4.求轨迹的常用方法：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义；（2）直接法（列等式）；（3）代

8、直线与圆相交所得弦长|AB|=2M-d2

入法（相关点法或转移法）；⑷待定系数法；（5）参数法；（6）交轨法。

第六部分圆锥曲线第七部分平面向量

（1）定义法（利用AP,GP的定义）；⑵累加法（ay型）；⑶公式法：[Si（n=l）

⑴设a=(xi,yi),b=(x2,y2)，则：①a〃b(brO)Oa=4b(2G/?)<=>xiy2_X2yi=0；

n

-[Sn-Sn.i（G2）

②a_Lb（a、b^O）<=>a*b=O<=>xiX2+yiy2=0（2）a*b=|a||b|cos<a,b>=X2+yiy2：

⑷累乘法（其包=C〃型）;（5）构造法（4川二左为+8型）；

注：①|a|cosva,b>叫做a在b方向上的投影；|b|cosva,b>叫做b在a方向上的投影;

①a-b的几何意义：a-b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos<a,b>的乘积。

ab

(3)cos<a,b>=⑺间接法（例如：an।=4。/〃।.....-=4）；⑻（理科）数学归纳法。

\a\\b\*an~\

4.前〃项和的求法：⑴分组求和法；⑵裂项法；⑶错位相减法。

⑷三点共线的充要条件：P,A,B三点共线o而二工西+），而且x+y=l；

5.等差数列前n项和最值的求法：

（理科）P,A,B,（2四点共面<=>02=X。4+.丫。8+2。。,且*+丫+2=1。⑴1％f或]；⑵利用二次函数的图象与性质。

第八部分数列

1.定义：第九部分不等式

⑴等差数列{an}=«nM-an=d（d为常数）o2an=an+}+anA（〃>2,neN*）1.均值不等式：4^b<^-<

2

2

oan=kn+〃c=An+Bn：

注意：①一正二定三相等；②变形，岫v（包心-v更生

22

fln

⑵等比数列{。/〜—■二式夕工。）〜〃」=44,n+i（2,neN）

2.绝对值不等式：\\a\-\b\\^a±h\^a\+\b\

2.等差、等比数列性质3.不等式的性质:

等差数列等比数列

⑴々>力。/?<。；(2)a>h,b>c=>a>c：(3)a>/?oa+c>/?+c；a>b,c>d

%=卬尸

通项公式an=q+(n-\)d

=a+c>b+d；⑷a>b,c>0=ac>bd；a>b,c<0=>ac<bc；a>b>0,c>d>0

1q=1时，Sn=na^

C”(q+4,),n(77-l)

前n项和=^ac>hdX5)a>b>0=>a">b">b(ncN-)；(6)a>b>0=y>飒ncN*)

S“=2=叫+2d2.q*1时，S„=

i-q

第十部分复数

1.概念：

i-q

(l)z=a+bi^R<=>b=0(a,bGR)<=>z=z<=>z2>0：(2)z=a+bi是虚数。b#)(a,b£R)；

2

性质3)an=am+(n-m)d,①a产a,”q”m；⑶z=a+bi是纯虚数U>a=0且b#0(a,b£R)U>z+2=0(z^O)<z>z<0；

②m+n=p+q时a,n+an=ap+at|②m+n=p+q时ainan=apaq⑷a+bi=c+diu>a=c且c=d(a,b,c,dWR)；

2.复数的代数形式及其运算：设zi=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,d£R),则：

③5代,s?k-S,S—S，…成AP③s&,S—S,s3k~S2k，…成GP

k3k2k2kk(1)zi±Z2=(a+b)±(c+d)i；(2)zi.Z2=(a+bi)-(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i；⑶Zi+Z2

4+m4+2”,，AP,4'=〃〃/M*+2〃ZGP,〃4

④%，，…成④^k+m，…成二_3+“，)(c—出)_ac+bdbe-ad.,z.