高中数学公式(上海版)

集合命题不等式公式

1>Cu(Ac3)=CUA<JCUB=;Q(AuB)=CvAcC(fBo

2、AcB=Ao_AqB__;ADB=BO_A^B_;QBcC0A<=>_A^B;

ACYCLJB=0«A^B;CuAuB=U=A^Bo

3、含n个元素的集合有：_二_个子集，个真子集,个非空子集,

―2"-2一个非空真子集。

4、常见结论的否定形式

原结论反设词原结论反设词

是否至少有一个一个都没有

都是不都是至多有一个至少有两个

大于小于等于至少有n个至多n-1个

小于大于等于至多有n个至少n+1个

至少有一个X不（非p）且（非

对全部X都成立P或q

成立q）

对任何X都不成至少有一个X成（非P）或（非

P且q

立立q）

5、四种命题的相互关系：_原命题与逆否命题互为等价命题；否命题

与逆命题互为等价命题。

6、若p=q,则p是q的充分条件:q是p的必要一条件。

7、基本不等式：

（1）a,beR;a2+b2>lab等且仅当a=b时取等号。

（2）a,b&R":a+b>2x[ah等且仅当a=b时取等号。

（3）肯定值的不等式：加国。±6〈修|+|/

8、均值不等式:

2

a,beR时，_______-——-_______<

11

一+一一场一J十—7—

ab

等且仅当a=人时取等号。

/(x)vn/J7(x>g(x)«o

9分式不等式：

g(x)-g(X)HO

10、肯定值不等式："(x)|>a(a>0)。/(x)或/'(x)>a

If(x)|<a(a>0)。-a<f(x)<a

11、指、对数不等式:

afM<as(x)of(x)<g(x)

(1)a>1时:

log„以x)<log„g(x)=0<f(x)<g(x)

。—时:二―

⑵

函数公式

1、函数y=/(x)的图象与直线x=a交点的个数为1个

2、一元二次函数解析式的三种形式：

一般式：y=ax2+bx+c(a*0)_;顶点式：y=a(x+—)2~—(a^0)_;

2a4a

科卜4/-b+y]b-4«c..-b-yjb-4ac..

零点式：____y=a*-------------)(x-------------)(aw0)___________

2a2a

3、二次函数):=/(x)=ax2+bx+c(a。0),XE[m,n]的最值：

h

/(«)---->n

b+〃2a

f(m)-——>----

2a2b

1%a>0时，Znax='二</(--)m<----<n

b<m十几Xnin2a2a

/(«)-

2a~2b

/(⑼----<m

2a

-^>n

/(«)

2a”、bm+n

/(")c>c

b2a2

2。、a<0时，/(-—)m<----<nymin=<

2a2a、bm+n

bL2a2

----<m

2a

4、奇函数/(-x)=-/(x),函数图象关于原点对称;

偶函数/(-x)=/(x)=—/(|x|)一，函数图象关于y轴对称。

奇函数若在x=0有意义，则/(0)=0

5*、若y=/(x)是偶函数，则/(x+a)=J\-x-a)

若)'=/(x+。)是偶函数，则f(x+a)=/(-x+a)。

6^函数y=f(x)在单调递增(减)的定义：任取玉，々，〃],

且,<%2,若/(%)</(々)，则函数y=/(x)在xepw,"]单调递增;若/(%)>/(》2),

则函数y=/(x)在xe[m,n]单调递减________。

7、假如函数/(x)和g(x)在R上单调递减，那么f(x)+g(x)在R上单调递—减—，

/Ig(x)]在R上单调递—增—o

8、奇函数在对称的单调区间内有粗旦的单调性；偶函数在对称的单调区间内有棍层的

单调性。(填写"相同"或"相反”)

9、互为反函数的两个函数的关系：f(a)=b=___广'(b)=a。

10、了=/*)与y=广|。)互为反函数，设/(x)的定义域为D,值域为A,则有

/"-'(X)]=—x(xeA);=x(xeD)。

11、定义域上的单调函数肯定有反函数。(填写“肯定有”，"可能有”，"肯定没有”)

12、奇函数假如存在反函数，则反函数的奇偶性奇函数；

互为反函数的两个函数具有粗旦的单调性。(填写“相同”或“相反")

13、函数y=/(x)的图像向右移a个单位，上移b个单位，得函数

y=f(x-a)+b的图像；

曲线/(x,y)=O的图像向右移a个单位，上移b个单位，得曲线f(x—a,y—力=0的图

像。

1、函数图像的对称性与周期性

(1)一个函数)，=/(x)本身的对称性与周期性

解析式满意图像满意

f(a+x)=f(b-x)o关于直线犬=对称

2

关于点(空,0)对称

f(a+x)=-f(h-x)o

f(a+x)=/S+x)o以1。一切为周期

f(a+x)=-f(b+x)=>以2|。-6］为周期

图像对称性图像周期性

同时关于x==对

=>以2|a—2为周期

称

同时关于(a,0),S,0)对称=>以2|。-力|为周期

同时关于x=a,(反0)对称=>以4|。-。|为周期

(2)两个函数图像的对称性：

h—a

y=f(a+x),y=f(h-x)图像关于工=工一对称;

h—a

y=f(a+x),y=-f(b-x)图像关于(一y-,0)对称;

y=/(x)和y=f'(x)图像关于____直线y=x对称。

2、写出满意下列恒等关系的一个(组)详细的函数:

恒等关系详细函数

/(x+y)=/(x)+/(y)y=kx

f(x+y)=f(x)f(y)y=cix(a>0且。w1)

/(孙)=/(x)+f(y)y=log”x(a>0且。w1)

f(xy)=/(x)/(y)y=X*(々为有理数)

了…J(x)+/(y)y=tanx

-l-/U)/(y)

**/*)."y)=g"(x+y)+f(x-y)]

y=cosx

**f(x)+f(y)=2/(亨)/(早)y=cosx

赛指对函数公式

1、凉二—行a"=____,—_____(a>O,m,n&N*,n>1)

Nd”

=J——a——11为奇数

2、丽）"=

’一］「土a—n为偶数

3、有理指数赛的运算性质:

aras=___ar+s;(ar)5=ars;(ab)r=___arbr___.{a>0,/?>0,r.seQ)

4、指数式与对数式的互化：log„N=b^a"=N.(a>0,aw1,N>0)

10g<N

5、对数换底公式：logflN=__.(a>0,a#1,7V>0),推论：log,"6"=2-log“6

a

logcam

6、对数的四则运算：(a>0,aw1,M,N>0)

M

log”(MN)=log.M+log,N;log”—=log.M-log.N;log.Mn=n\ogM

Na

7、对数恒等式。砥'=N(a>0,awl,N>0)

8、基函数：y=F(a为常数，aw()),图像恒过点(1,1),画出赛函数在第一象

y=〉0,Qw1)y=log“x(a>0,"l)

定义域R(0,+oo)

值域(0,+8)R

奇偶性非奇非偶非奇非偶

三角比公式

1、设a终边上随意一点坐标为尸(x,y),这点到原点的距离为/,=J—+y20>o),

.yxyxrr

则sincr=—,cosa=—Jana=—,cota=—,seca=—,csca=一。

rrxyxy

2、同角三角比公式：平方关系：1=cos20+sin?a=sec2a-tan2a=esc?a-cot2a。

»t”"寸sina,,兀[)、cosa/,,

商数关系：tana=-------(aw%"十一,%£Z)cota=-------(awkji.kGZ)

cosa2sina

■IJ

倒数关系：sinacsca=l(awkn.kGZ)cosaseca=l(awk兀+一,kGZ)

2

k兀

tanacota=l(a*—,ksZ)

3、两角和与两角差公式：

♦/।小.一•c、/।小tana±tan/?

sin(a±p)=___sinacosp±cosasinp)____;tan(a±p)=---------------—

1tanatanp

cos(a±/?)=__cosacos/?7sinasin(3)____。

4、协助角公式：«sinx+/7cosx=—y/a2+/72sin(%+arctan—)__(a>0)

a

5、二倍角公式

sin2a=2sinacosa;cos2a=cos2a-sin2a=2cos2(2-1=1-2-sin2a;

-2tana/.nk兀TC,

tan2a=_-------；——(a丰k兀+—、aw——+—,攵eZ)

-1-tan-a~224

.a,1-cosaa,/l+coscr

6、半角公式：s%=±42；C0S2=±V2

a1-cosal-cosasina/,,

tan—=±J-----------=——；-------=-----------(a*kji,keZ)

2V1+cosasinal+cosa

7、万能置换公式:

八a,ac.1

2tan—l-tan2_—2tan-

22

sincr=----------,cosa=-----------,tana=---------

i1+tan2a1+tan2—1-tan2—

222

其中awbrd——,aw2k兀+兀(kGZ)

2

8、(理)三角比的积化和差与和差化积公式

sinacos,=—[sin(«+/?)+sin(a-/?)]cosasin0=—[sin(6r+/?)—sin(a-/?)]

costzcos/?=—[cos((Qf+/?)+cos@—，)]sinasin0-[COS(CJ<+/?)—cos©—/?)]

a+Ba-B..〃ga+B.a—[3

sina+sin/?=2sin-----cos....-sin(7-sinB=2cos-----sin....-

2222

a+J3a-B

COS6Z+cos/?=2cos-cos-cos6Z-cosyS=-2sin-sin-

2------2

nhc

9、正弦定理：——=一/=——=2R,其中R是三角形外接圆半径。

sinAsinBsinC

222+C

10>余弦定理：a=h+c-2bccosA;cosA=---—o

2bc

11>三角形面积公式：S=gabsh\Cp(p_a)(p_b)(p_c),其中==〃+；+c

（第三格用行列式表示，第四格用向量表示）

诱导公式

1、1”=-^―rad,\rad=°

1807t

2、扇形的弧长公式/=必；扇形的面积公式S='/R='aR2

—22

3、在直角坐标系中用"+"、”一"标出各个三角比在各个象限中的符号。

sincrcosatana

colasecacsca

4、诱导公式（&eZ）

诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限

三角函数图像与性质

名称正弦函数余弦函数正切函数余切函数

解析式y=sinxy=cosxy=tanxy=cotx

(冗jr-j

定义域xeRxeRx手k冗\一、ksZxwk7r,keZ

2

值域ye[-1,1]yG[-i.i]y&Ry^R

增区间2k7r--,2k7v+—12左4-4,2%乃]k冗，如r+一无

_22.I22）

▲,71_.37r

减区间2k7T+—2k冗+——Qk冗2kTT+7v\无（k乃,女乃十乃）

22

奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数

周期兼巴女工0周期2而次工0周期k7T,加工0周期公r,加工0

周期性

最小正周期24最小正周期2冗最小正周期汗最小正周期才

x=2^+pymax=lx=2k^yraax=l

最值无最大（小）值无最大（小）值

x=2^-y,ymin=-1x=2上万一万，丫皿:“=->

,兀.71

零点X=k7TX=攵乃+一x=k兀X=K7T-\——

22

对称轴直线X=Z"+工直线尤=Z乃无无

2

对称中

点(",0)点咛,0）

点（&匹0）点（％万+工,0）

22

心

广

图象

(1)弦曲线y=Asin(tar+°)的物理意义

(二)参数A,公0,机对y=Asin(dir+>)图象影

1、振幅A:表示离开平衡位置的最大值

响

2、周期丁=红，表示往复振动一次所需的

(O

1、位置改变

时间

y=sin(x+0)左右平移

其他3、频率f=_L=g,，表示单位时间内往复振

T17T

y=sinx+〃?上下平移

动次数

2、形态改变

4、3十0叫做相位，e叫做初相；力-2表

(0

y=Asinx上下伸缩

示相位移。

y=sintar左右伸缩

初相e表示振动起先时物体的位置。

反三角函数与三角方程

反三角函数图像与性质

名称反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数

解析式y=arcsinxy=arccosxy=arctanxy=arccotx

定义域XG[-1,1]XG[-1,1]xeRXGR

值域g.giyw[。㈤1?苫亭yc(0,万)

增区间[-U]无R无

减区间无[-U]无R

奇偶性奇函数非奇非偶函数奇函数非奇非偶函数

X=l1，Xnax=乃5X=-l，y„>ax=^

最值无最大(小)值无最大(小)值

X=Ty«nin=~~X=Lymia=。

零点x=()X=1x=0无

对称轴无无无无

对称中

(0,0)(0,j)(0,0)点（。,9

心

,Jp.

图象

X=.O5Y=.O5J—1口

2、恒等式(写明x的取值范围)：

arcsin(sinx)=X,XE;arccos(cosx)=G[0,^]；arctan(tanr)=G,—)

22----------22

sin(arcsinx)=X,XG[-1,1];cos(arccosr)=X,XG[-1,1];tan(arctanr)=x,xsR

arcsin(-x)=-arcsine,xG[---，­]arccos(-x)=7i-arccosx,xG[0,7t\

22

arctan^x)=—arctanx,%€(---,一)；arcsin.r+arccosA：=—e[—1,1]

3、最简洁的三角方程:

方程方程的解集方程方程的解集

sinx=。{x\x=Avr+(-1)"arcsina,keZ}sinx=sincr{x\x=2攵乃+a或2攵%+4一a,Z£Z

,\a\<l

cosx=acosx=cosa

{x|x=2%乃±arccos,女GZ)

[x\x=2k7r±a,kGZ]

,\a\<l

tanx=a{x|%=ATT+arctan«,ZeZ}

tanx=tana{x\x=kru+a.kZ]

数列公式

等差数列｛明｝等比数列｛a,J

=q,gw0均。0,〃eN*)

定义«„+|-a„=△,(〃€N*)

%

M—1

通项公式an=q+(n-l)d%=%q

通项公式

的推导方累加法累乘法

法

推广的通

a“=a+(〃-ni)d%=aqn'm

项公式mm

m+H=p+q

a,“+a“=4+4aa=aa

时tnnPQ

+a“)na}(4=1)««,(4=1)

"~2

求和公式S，=(#i)=^lz£2(”i)

上«(«-!),

=na,+-------aIjIIf

12

前n项和公

倒序相加法错位相减法

式推导的

方法：

,S2(S-S)=S+(S-S)

3/l2nnn3n2n(S-S)2=S-(S„-S)

间的关系2nnn32n

等差中项：，a,,2=a,-♦q,+i(充分非必要)

充要条件nN2,nwN"

〃之2,〃wN*

2S〃=A・q〃+(-A)

Sn=An+Bn

2、a与b的等差中项幺」；a与b的等比中项±4ab

S(n=1)

3、数列的通项公式与前n项和的关系：21*。

[S„-S„_,(n>2,ne7V)

4、a„=ka„_t+b(krO,kri,bwO),求通项时，将该式变形q+上_=气峭+上_)

(«>2,neA^,)o

5、已知｛%｝为等差数列，｛"｝为等比数列，则

(1)求数列｛凡+”,｝前n项和用分组求和法;(2)求数列｛凡•”,｝前n项和用错位相减

法；

(3)求数列｛」一｝前n项和用裂项相消法。

aa

„„+>

0⑷<1

6、lim—=—0—；limC=—C—；(其中C为常数)，limq"--1q=1

ns九n—>oon—>oo

不存在|«|>1或4=一1

7、无穷等比数列各项和：S=limS“=」」，其中公比q的取值范围为_匕|<1，4/0_

“T001-q

8、已知lim〃〃=A,lim2=8,则lim(a〃±hn)=A±B;lim(a〃也)=A，B;

an—>oon—xx/J—

18b,iD

矩阵行列式公式

1、通过对线性方程组增广矩阵的变换可以得到线性方程组的解，这里所用的矩阵变换

有下列三种：

(1)互换矩阵的两行;

(2)把某一行同乘(除)以一个非零的数;

(3)某一行乘以一个数力口、i]另一行。

通过上述三种矩阵变换，使线性方程组系数矩阵变成单位矩阵时，其增广矩阵的最终

一个列向量给出了方程的解。

2、已知矩阵A,.,矩阵功由，矩阵£,*,“，假如矩阵C中第i行，第j列的元素%为A

的第i个行向量与B的第j个列向量的数量积,z=1,2,n,j=1,2,n,刃卜么C=AB。

(1)只有当A的列数和B的行数相等时，矩阵之积AB才有意义;

(2)一般的，AB一*84。(填=或N)

[4],4812

例如：若A=(l23),B=5,则AB=(32),BA=51015

e、61218

Xab、

3、矩阵变换：向量的左边乘一个2阶方阵,就可以得到另一个向量

yjd7

x'bX

即,这个矩阵变换把向量(xy)变换成向量(X，y')□

d

《伉

4、

a2b2按对角线法则绽开2c』+a263cl+a3ble2-a3b2ct-a2btc3-atb3c2

4无

b2c2%b2

按第一行绽开q一瓦+G

七瓦

4、

的代数余子式是一b

田优

…小4记。=q4q瓦

5^二元一次方程＜,Dx=,Dy=

a2x+b2y=c2a2h2c2b2

D

当OwO时，方程组有唯一解，其解为，

a

y=­

D

当。=o,且丰o或。，wo时，方程组无解;

当。=2=0=0时，方程组有多数多解。

当。=0时，方程组无解或有无穷多解。

7、算法部分请看书

向量复教公式

1、向量。=(5，,),〃=(々，丁2),处]a+b=(%+%,必+%),a-b=(x,-x2,y[-y2~),

^a=(2x,,Ayf),ab=|a|闻cos。=x,-x2+^,-y2,向量夹角

a-h

cos6=Ial=+y「°

2、设a=(与,苗),/?=(9,%),则

.-A—>

a//b<^>a=Ah=xxy2-x2y(=0oa'b=±\a\\b\

a-Lb<^>〃•力=0。斗/+%必=0o\a-^-b\=\a-b\

3、向量〃与向量X夹角为锐角u＞。•方＞。且〃不平行于。

4＞向量。在向量。上的投影为|a|cos。

5、定比分点公式：片(和必),鸟(毛,%),P,P=APP2,则P坐标为(土土华，上土裂)。

14-X14-Z

6^△43。顶点4斗,),8(工2，%)，。(如为)，则A4BC1重心坐标为

,3+々+刍/+%+%、

3，3)

7、三角形四心定义：内心：三角形角平分线的交点;

外心：三角形中垂线的交点;

重心：三角形中线的交点;

垂心：三角形壹的交点；

三角形四“心”向量形式的充要条件：

设O为AABC所在平面上一点，。，"c是A,B,C对应的边。

,、.-2—2____2

(1)()为AABC的外心oOA=OB=OC

(2)O为MJ3C的^£=OA+OB+OC=0

(3)。为/\ABC的全aoOAOB=OBOC=OAOC

ABAC

(4)AP=AG~+,~)(2e/f),则P的轨迹过三角形的内心

网r陷r-

8、A、B、C三点共线oAB=/lAC(；lH0)o0A=f03+(l—f)OC(QA、OB、OC的

关系式)

9、复数z=a+bi,(a,bwR),则上匚/^+巨；z是纯虚数oa=0,8/0。

10、|z「Z2l的几何意义是：Z,,Z,两点间的距离。

11、\z2\=\z^^z2;\a\=\a\2=^a(填写=,w)

12、ZG/?＜=＞z=zo

13、负实数。的平方根是,i。

14、实数a的立方根是如，7土•二。

2

-h±>Jh2-4ac▲_

----------------------------A>0

2a

15、实系数一元二次方程ar?+/；x+c=o的解3=.--_______A=0

2a

-b±\14cle一及・i.八

-----------------------------------A<0

2a

2

16、实系数一元二次方程ax+/?x+c=O的两根为xpx2,则

2

+x2)-4XJX2A>0

[2。|A<0

直线公式

1、已知人(王，%)，B(x2,y2),则=*~—Ui

占一工2

22

IAB|=A/(x1-x2)+(y1-y2)=Jl+公I%-%I=j+2IM-hI

2、直线的方程：(应用以上直线方程时应考虑其存在的条件)

(1)点方向式：*=2■——(过POo，%),一个方向向量为(a,v),MV^O)

uV

当〃=()时，该直线方程为x=x();当丫=()时，该直线方程为y=%

(2)点法向式：«(x-xo)+/?(y-y0)=O(过P(%,%),一个法向量为(a,份)

(3)点斜式：y-j0=k(x-x0)(过尸(%,%),斜率为k)

当斜率不存在时，该直线方程为x=%

(4)一般式：Ax+By+C-O(A、B不同时为零)

(5)斜截式：y-kx+b(斜率为k,在y轴上的截距为b)

当斜率不存在时，该直线方程为x=()

x=x+

(6)(理)参数方程：<(过POo，%),一个方向向量为(〃一))

[y=%+W

/、，，fx=x.+/COS6Z,,

(7)(理)参数方程：.(过倾斜角为a)

[y=y()+/sina

3、直线斜率左和倾斜角a的关系：