高中数学基本公式手册

高中数学基本公式手册

第一章：集合与函数

1.德摩根公式Cu(AC\B)=CuAUCuB^Cu(A\jB)=CuAnCuB.

2.AnB=Au>AU5=3u>=qC/4==①0。储配=R

3.card(AU5)=cardA+cardB-card(AAB)

card(AU8UC)=cardA+cardB+cardC-card(Ar\B)

-card(AC\B)-card(BAC)-c〃「d(CClA)+card(ACl3DC).

4.二次函数的解析式的三种形式/(x)=4ZX2+&x+c(a0);(g)顶点式

f(x)=a(x-h)2+k(aW0);③零点式/a)=a(x—玉)(x-％2)(。。°)*

5.设Xj-x2GWX2/口么

U,-x2)[/(xl)-/(x2)]>0«f<¥1，&)>0o〃x)在[。例上是增函数;

(X—々)[/(…)—/(%)]<00四匕9<0=〃x)在[凡句上是减函数.

设函数y=/(x)在某个区间内可导，如果[(x)>0,则/(x)为增函数；如果/'(x)<0,则

/(x)为减函数.

6.函数y=/(x)的图象的对称性：①函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称

af(a+x)=f(a-x)=f(2a-x)=/(x).②函数y=/(x)的图象关于直线x=巴?

对称<=>/(Q+mx)=f(h-mx)<=>f(a+h-mx)=/(mx).

7.两个函数图象的对称性:①函数y=/(x)与函数y=f(-x)的图象关于直线x=0(即y轴)

对称.②函数y=f(mx-a)与函数y=f(b-mx)的图象关于直线x=巴心对称.③函数

2m

y=/(x)和)，=/-'(x)的图象关于直线y=x对称.

巴1

8.分数指数塞an-,——■Ca>O.m.ne,J3.«>1).

yjam

-生1

an=—(a>G,m,neN",n>1).

an

9.log.N=N(〃>0,QWl,N>0)

10.对数的换底公式log“N=g殳且.推论logb"=-log„b.

log,"a"m

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第二章：不等式

）.常用不等式：

1）a,beRa2+b2>2ab（当且仅当a=b时取"="号）.

2）a,beR+=>>4ab（当且仅当a=b时取"=”号）.

3）a3+b3+c3>3abc（a>Q,b>0,c>0）.

4）柯西不等式（02+/）（02+"2）?（"+，）2,。,仇£?,46凡

5）\a\~\b\<\a+b\<k|+

・极值定理已知x,y都是正数，则有

1）如果积xy是定值p,那么当x=y时和x+y有最小值2访；

2）如果和x+y是定值s,那么当x=y时积盯有最大值,52.

4

1.一元二次不等式ax2+bx+c>0（或<0）（a0,A=h2—4ac>0）,如果。与

a/+以+c同号，则其解集在两根之外；如果&与a/+/?x+c异号，则其解集在两根之

间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.

I<X<x2<=>（X-X1）（X-X2）<O（X1<x2）;

<X],或X>x2（x—x,）（x—x2）>O（X]<x2）.

；.含有绝对值的不等式当a>0时、有

\<a<=>x2<a'-a<x<a.

•|〉4。》2〉。2=>%>。或》<-a.

l.无理不等式(1)J/(X)>Jg(x)="g(x)20

_f(x)>g(x)

fM>0

”(x)20

2)J7B>g(x)=■g(x)>0或喘)<。

,fM>[g(x)]2

〃x)20

3)J/(x)<g(x)o,g(x)>0.

J(x)<[g(x)『

i.指数不等式与对数不等式(1)当a>1时，

7«>o

/MgM

>a=/(x)>g(x);loga/(x)>logng(x)<=>-g(x)>0

f(x)>g(x)

，)当°<a<l时，

7W>o

/“)>a«MQy(x)<g(x)；log,,f(x)>log,,g(x)=<g(x)>0

f(x)<g(x)

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第三章：数列

S,,rt=1

11.an=<(数列｛a“｝的前n项的和为s“=%+a,+…+a“).

12.等差数列的通项公式a“=q+(〃-=+N*)；

fm八一几(兄+。“)n(n-l),d2/1,、

其刖n项和公式sn=1——-nax+——---d=万〃~+(%一]d)〃.

13.等比数列的通项公式%=%/一=%..q"（〃eN*）；

q

…组匕必应。1[幺*，叱1

其刖n项的和公式s“=<1-q或s“=，l-q.

14.等比差数列{4}:a.+]=qa“+d,%=b（q¥0）的通项公式为

b+(n-\~)d,q-1

bqn+(d-b)qn-'-d

,q，i

nb+n(n-1)d,q-1

其前n项和公式为外〃d、l-q"d,

(^—―)―T+；—n,qH1

l-qq-l\-q

15.分期付款（按揭贷款）每次还款x=元（贷款a元,〃次还清，每期利率为b）.

（1+&）"-1

第四章：三角

16.同角三角函数的基本关系式sin2^+cos2^=l,tan0=^2

tanO-cotO=1.

COS。

17.正弦、余弦的诱导公式

n

.产兀、(-l)2sina,a为偶数

sin(—4-a)=<〃_]

~、(—l)2cosa,a为奇和

(-1户cosa,a为偶数

/〃兀、

cos(—+a)=<〃+i

(-1)2sina,a为奇数

18.和角与差角公式

sin(a±yff)=sinacosft±cosasinp；

cos(a±/?)=cosacos+sinasinft；

/,c、tan(2±tanB

tan(a±4)=-.

1+tantztan(3

sin(a+^)sin(a-)5)=sin2a-sin20(平方正弦公式);

cos(a+4)cos(a-4)=cos2a-sin20.

asina+hcosa=Js?+〃sin(a+0)(辅助角°所在象限由点(a,b)的象限决

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定，tan9=—).

a

积化和差公式

csin(a+£)+sin(a-£)

sin<2cos(5匕;——J

C=sin(a+”in(f)

ccos(cr+/?)+cos(a-3)

cosacosp=—

2

sinasin/?=c°s(a-"c°s(a+0(特别注意这里的大小关系)

19.二倍角公式sin2a=sinacosa.

_2.?21i,2—2tanoc

cos2a=cos*"a-sin-6Z=2cosa-l=l-2snra.tan2a=

1-tana

女育八—•21-cos2a1+cosla

降累公式sin-a-,cos-2a-

22

20.三角函数的周期公式函数y=sin(ox+3),x£R及函数y=cos(0x+9),x£R(A,3,(p

为常数，且AWO,3>0)的周期T=22；函数y=tan(Gx+°),x^k7T+—.keZ(A,

co"2

jr

s,9为常数，且AWO,3>0)的周期T=—.

CO

27r

通用周期公式：函数y=sin"xcoswx的周期T=—

m+n

21.正弦定理——=，一=——=27?.

sinAsinBsinC

22.余弦定理a2=/?2+c2-2hccosA,h2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2ahcosC.

扇+〃_2

余弦定理另一表达形式：cosA=-(通常用来求角)

2bc

23.面积定理(1)S=—ah=—bhh=—ch(6、hh>'分别表示a、b、c边上的高).

(2)S=-ahsinC=—hcsinA=Lasin8.

222

⑶S"=^(\OA\\OB\)2-(OAOB)2.

24.三角形内角和定理在△ABC中，有

A+8+C=;r=C=万一(A+8)=g=g—o2C=2%一2(A+8).

第五章：向量

25.平面两点间的距离公式

北,8=IAB|=4ABAB=7（》2—X]）2+（当一%）2（A（花,必），B（%,为））•

26.向量的平行与垂直设a=（X],yJ,b=（X2，y2），且bHO,则

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ab=b=、a<^>xty2-x2y}=0<=>—=—.

M/

a_Lb(aW0)Qa«b=0u>x।々+%%=0="•上■=T(联想记忆直线平行与垂直的性质)•

27.线段的定比分公式设片a，y),P2(x2,y2),P(x,y)是线段的分点，4是实数，且

P^P=^PP2,则

玉+AX2

"%Q而=°6+初8Q而.西+(1T)西("-L).

X+沏21+/1I''21+2

y=

1+%

特例：中点坐标公式x=土±三,>=江匚旦

22

28.三角形的重心坐标公式AABC三个顶点的坐标分别为AG”%)、B(x2)y2)>C(x3,y3),

则AABC的重心的坐标是G(X|+；+、3,/+：+%)

rI"f

x=x+/zx=x-h,一•,’-

29.点的平移公式，，,o0P'=0P+PP'(图形F上的任意一点

y=y+k[y=y-k

P(x,y)在平移后图形声上的对应点为P'(x',y'),且港的坐标为(儿口).

第六章：不等式

30.常用不等式：

(1)a,beR=>a2+b2>lab(当且仅当a=b时取"="号).

(2)a,beR+n>4ab(当且仅当a=b时取"=”号).

2

(3)a3+b3+c3>3abe(a>0,b>0,c>0).

(4)柯西不等式(a2+b2)(c2+d2”(ac+bd)2,a,/7,c,d€R.

(5)|a|-|Z?|<|a+Z?|<|a|+|b|

31.极值定理已知x,y都是正数，则有

(1)如果积xy是定值p,那么当x=y时和x+y有最小值21；

(2)如果和x+y是定值s,那么当x=y时积盯有最大值一52.

4

32.■—元二次不等式ax2+hx+c>0(或<0)(aH0,△=/—4ac>0),如果a与

aY+bx+c同号，则其解集在两根之外；如果a与ai+bx+c异号，则其解集在两根之

间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.

玉<X<X2Q(X_X])(尤一%)V0(尤1〈工2)；

1<不，或不>尤2=(工一七)。・％)>°(玉〈12)・

33.含有绝对值的不等式当a>0时，有

\x\<aX2<a"<^>-a<x<a.

Page5of5

[x|>a<=>F〉/=%>a或％<_a.

[/U)>0

34.无理不等式(1)西a*g(x)20

f(x)>g(x)

7«>o

)(x)20

(2)df(X)>g(x)O.g(x)NO或，

g(x)<0

J(x)>[g(x)?

7(x)>0

⑶V7w<^)«-g(x)>0

,/«<[g(x)]2

35.指数不等式与对数不等式(1)当。>1时，

7«>o

〃(x)>asW=f(x)>g(x);log"〃x)>log“g(x)Q-g(x)>0

J(x)>g(x)

(2)当Ova<1时，

7U)>0

>qg(x)Q〃x)<g(x)；logj(x)>log〃g(x)=,g(x)>。

f(x)<g(x)

第七章：解析几何

36.斜率公式女=止匕（片（石,弘）、£区,为））.

x2-X）

37.直线的四种方程

（1）点斜式=k（x-x1）（直线/过点片（西,口），且斜率为左）.

（2）斜截式y=+b（b为直线/在y轴上的截距）.

（3）两点式―—―=—~》（>尸>2）（4（和弘）、8（々,〉2）（玉。》2））.

必一%X2-玉

（4）一般式Ax+By+C=O（其中A、B不同时为0）.

38.两条直线的平行和垂直（1）若4:y=A]X+优，l2:y=k2x+b2

①/14Q占=%2，”1H02；②4，=—L

⑵若:A1X+8j+G=0,2：ax+^y+C2=0,且Al、M、B|、B2都不为零，

ARC

①44=」=」■/*•；②4_1/2=4&+8f2=0；

4B?G

k-k

21

39.夹角公式tana=||.（/1:y=k}x+h],l2:y=k2x+b2,k,k.^-1）

1+女2女1

tana=4^―^-（/）:Ax+gy+G=0,Z2：Ax+B2>+C2=0,AA2+B,52WO）・

44+片层

7T

直线时，直线。与，2的夹角是

2

Page6of6

40.点到直线的距离4=3±匙^（点尸。0，%），直线/：Ax+By+C=0）.

VA2+52

直线补充：过2条直线h,12的直线系方程：l=l,+k-l2

41.圆的四种方程

（1）圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2.

（2）圆的•般方程x2+y2+Dx+Ey+F^0（D2+£2-4F>0）.

,x=a+rcos0

（3）圆的参数方程

y=b+rsinO

（4）圆的直径式方程*一玉）（X—%）+（）-/）（,一九）=0（圆的直径的端点是A（X，M）、

B（x2,y2））.

圆的补充知识：

1、相交弦方程：/=1一2

2、圆的切线方程：见本页49项

22

42.椭圆斗+与=1（。>b>0）的参数方程是<x-acos3

ab~y=bsin0

-~“2

43.椭圆0+£=1（〃>b>0）焦半径公式|尸用=e（x+幺）=a+ex,

2

\PF2\=e（x）=a-ex.

22

44.双曲线二—4=1（。>0/>0）的焦半径公式

矿b

22

|「耳|=|e（x+一）|=ex+a,\PF2\=|e（———x）|=ex-a.

2

45.抛物线y2=2px上的动点可设为P（匕,匕）或P（2p/,2pf）或P（x0,y。），其中

2P

y：=2px。.

46.二次函数），=以2+云+C="（X+_L）2+±£立伍。0）的图象是抛物线：（1）顶点坐标

2a4a

h4ac—h~h4cic—+1

为（一二；-）；（2）焦点的坐标为（―2,“"『十」）；（3）准线方程是

2a4a2a4a

4ac-b2-1

v=.

47.直线与圆锥曲线相交的弦长公式用/二）区一%）2+（必一》2）2或

2222

\AB\=yl（\+k）（x2-xj=|Xj-x21V1+tana=|y}-y2\Vl+c<?ta（弦端点

y=kx+bi

A（X1,y）,B（X2，y2），由方程《消去y得到a/+bx+c=0,A>。，1为直线

F（x,y）=0

AB的倾斜角，攵为直线的斜率）.

48.圆锥曲线的两类对称问题：

（1）曲线F（x,y）=0关于点P（x0,y0）成中心对称的曲线是F（2x0-x,2yn-y）=0.

Page7of7

（2）曲线F（x,y）=0关于直线Ax+8），+C=0成轴对称的曲线是

__2A（Ax4-By4-C）26（Ar+6y+C）、八

F（xz-z,y已9）=0•

A2+B2A2+B2

49.切线方程快速解法：对于一般的二次曲线Ax2+B盯+。2+。、+&+尸=0,用x°x

代炉,用代V，用.代孙,用当产代》,用号2代y即得方程

XyXy

Axox+B-°^°+Cyoy+D-^^+E-^^+F^O,这就是曲线的切线方程

50.共线向量定理对空间任意两个向量a、b（bWO）,a〃bo存在实数入使a=入b.

51.对空间任一点0和不共线的三点A、B、C,满足而=xE+y9+z反，

则四点P、A、B、C是共面ox+y+z=l.

52.空间两个向量的夹角公式cos（a,b）=广，。14士^2｝妆3,（a=（a1,a2,a3）,

Ja：+a；+a；业2+此+b；

b=（4也也））.

AR'm—,

53.直线AB与平面所成角/?=awsin（m为平面a的法向量）.

\AB\\m\

YYI•YIm,n->-

54.二面角a-/一£的平面角。="。（：05二—二「或万一"ccos"——（tn,n为平面a,

\m\\n\\m\\n\

夕的法向量）.

55.设AC是a内的任一条直线，且BCLAC,垂足为C,又设A0与AB所成的角为4，AB与AC

所成的角为冬，A0与AC所成的角为6.则cos。=cos4cos名.

56.若夹在平面角为°的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是用，口，与二面角

的棱所成的角是。，则有sin?9sin?。=sir?4+sin?%-2sinasin。2cos8;

\ex-e21<^><180°-（<9,+02）（当且仅当e=90°时等号成立）.

57.空间两点间的距离公式若A（X|，x，zJ，B（x2,y2,z2），贝U

“B=1瓯=J而.而=J（》2一%>+（乃一%）2+仁2—&）2.

58.点。到直线/距离〃=」-J（|a||bN-（a万）2（点P在直线/上，直线/的方向向量

1«1

a=PA,向量b=PQ）.

59.异面直线间的距离d=」^（/”/2是两异面直线，其公垂向量为“，C、。分别是儿'

1«1

上任一点，d为44间的距离）•

60.点B到平面a的距离6=1”相（3为平面a的法向量，A8是经过面a的一条斜线，

1«1

Awa）.

61.异面直线上两点距离公式d=J户+疗+-2mncos6

（两条异面直线a、b所成的角为0,其公垂线段AA'的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、

F,AE=m,AF=n,EF=d）.

Page8of8

2222

62.I=/；+/；+/；0COS4+COS02+COS。3=1

（长度为/的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为4、4、4，夹角分别为

4、3、4）（立几中长方体对角线长的公式是其特例）.

S，

63.面积射影（二面角）定理S=——（大型考试如高考时最好先加以证明）

cos6

64.常见几何体的体积公式：

棱柱：u=M（s:底面积，h：高）圆柱：v=7vr2h

棱锥:v=!s/z,圆锥：v=1;rr2h

33

第八章：排列组合与二项式定理：

66.分类计数原理（加法原理）'二班+啊+…+加〃.

67,分步计数原理（乘法原理）N=m1xm2xxm,J.

fi!

68.排列数公式A："二〃（九一1）・・・（〃一机+1）=♦（〃，mGN*,且加工〃）.

（n-m）l

yi

69.排列恒等式⑴A：=（"_〃?+l）A；i;（2）A；=」一A：'；⑶（4）

n-m

啊=媚一一；⑹A%=A：+mA：T.

70.组合数公式c："=岔=心_D…（〃一刀+1）=—————（〃，meN",且〃2<〃）.

A：：1x2x•・・x加！•（〃一〃?）！

71.组合数的两个性质⑴C；：=C：f;（2）C；+C™-'=C；；）

72.组合恒等式（1）。：=巴""禺"晨2）。，=」一。二1乂3）0巴禺1；⑷

mn—mm

£C,；=2";（5）C；+C[+C；+2+…+C；=C；；

r=0

73.排列数与组合数的关系是：A,：=〃?!•£：.

74.二项式定理（a+b）"=C：a"+C^-'b+C^a'-2b2+…+。3一夕+…+C»";

nrr

二项展开式的通项公式：Tr+l=C；,a-h（r=0A,2,〃）.

l，qnp<l

式子（以+力+cz）"中的系数：C；C；,_l,abc--

式子（ax"+苗）"中常数项的系数：用比例法

第九章：概率

IT1

75.等可能性事件的概率P（A）=-.

n

76.互斥事件A,B分别发生的概率的和P（A+B）=P（A）+P（B）.

77.n个互斥事件分别发生的概率的和

P（A1+A2+-+An）=P（A1）+P（A2）+-+P（An）.

Page9of9

78.独立事件A,B同时发生的概率P(A•B)=P(A)•P(B).

79.n个独立事件同时发生的概率P(A]•A2A/=P(Ai)♦P(A2)P(An).

80.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率己(A)=C；尸(1-尸)"*

81.离散型随机变量的分布列的两个性质：(1)《20。=1,2,…)；(2)Pl+P2+--=1.

82.数学期望石4=/6+々£+…+七£+…

83.数学期望的性质：⑴E(a^+b)=aE^)+b；⑵若，〜B(〃,p),则Ej=叩.

22

84.方差D&=(再一E&Y-Pi+(x2-E^)-P2+--+(xn-E^)-pn+…

85.标准差喏孑.

86.方差的性质⑴。©=转2_(用)2；⑵。(喈+/4=/"；(3)若J〜6(〃,p),则

"=np(\-p).

87.正态分布密度函数/(x)=7=~e2，，xw(—叫+8)式中的实数口，(T(0〉0)是参

兀6

数，分别表示个体的平均数与标准差.

1上

88.标准正态分布密度函数f[x]--j=^e2,xe.

J246

89.对于N(4，〃)，取值小于x的概率/(力=中(子口.

P[xx<xQ<x2)=P(x<x2)-P(x<xt)=F(x2)—F(xJ

（-亍）（力-刃

£x,^^y.-nxy

其中）2（尤,-对

f=l

回归直线方程y=a+bx,

90.登;一欣2.

f=l

a=y-bx

ZU-可(y,—歹)2(占一可(左-歹)

91.相关系数r=“汩“=IJT“

22

JZu-%)t(y.-y)xj-加)这y：_n-2)

Vi=li=lV1=11=1

|r|Wl,且|r|越接近于1,相关程度越大；r|越接近于0,相关程度越小.

第十章：极限

0团<1

92.特殊数列的极限(1)q=i

M—><»

不存在|q|<1或q=-1

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0(k<t)

、一a】〃"+见/"।+…+恁a,八、

(z2)hm-^=\—(k=t).

“f8bM+b.MHkb。bk

不存在(k>t)

q(S无穷等比数列{a@i}(|q|<l)的和).

i-q

93.limf(x)-aQlimf(x)-limf(x)-a.这是函数极限存在的一个充要条件.

x~X—XTX0-

94涵数的夹逼性定理如果函数f(x),g(x),h(x)在点Xo的附近满足：

(1)g(x)<f(x)<h(x);(2)limg(x)-a,limh(x)-a(常数)，则limf(x)=a.

XTX。XT*。

本定理对于单侧极限和X-»8的情况仍然成立.

95.两个重要的极限(1)lim理二=1；(2)limf1+-|=e(e=2.718281845…).

Dxxj

96./(x)在/处的导数(或变化率或微商)

广(%)=y[r=lim"=lim/(/玲)二/(一.

°IFATTOAXA—。AX

八，/、..Ns$(，+△，)一“，)

97.瞬时速度v=s(t)=lim一=lim-.

Af->02A/->02

98.瞬时加速度a=v,(r)=lim—=lim+加)-幽

第十一章：导数

99./(x)在