8.6.2直线与平面垂直（分层练习8大题型）

直线与平面垂直分层练习题型一线面垂直的判定与性质定理1．下列关于直线与平面垂直的判断中，正确的是（

）.A．若直线与平面内的一条直线垂直，则直线与平面垂直B．若直线与平面内的两条平行直线垂直，则直线与平面垂直C．若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直D．若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面垂直【答案】C【解析】直线与平面内的两条相交直线垂直才可得直线与平面垂直，A、B不符，D中的无数条直线可能为无数条平行直线，不符，故A、B、D错误，C正确.故选：C.2．已知，是两条直线，是一个平面，下列关于直线与平面位置关系描述正确的是（

）A．，，则 B．，，则C．，，则 D．，，则【答案】C【解析】如图所示正方体中，对于A项，假设分别对应，底面对应，符合A条件但两直线不平行，故A错误；对于B项，假设分别对应，底面对应，符合B条件，但两直线不垂直，故B错误；对于D项，假设分别对应，底面对应，符合D条件，但两直线不平行，故D错误；对于C项，如图所示，设垂足为G，在平面内过G存在，则，所以.故选：C3．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下面命题中正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，，则【答案】D【解析】对于A选项，若，，则、或与相交（不一定垂直），A错；对于B选项，若，，则与平行或异面，B错；对于C选项，若，，则、或与相交（不一定垂直），C错；对于D选项，因为，，则，又因为，则，D对.故选：D.4．（多选）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法不正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】ABD【解析】对于A，如图，当时，，所以A错误，对于B，如图，当时，∥，所以B错误，对于C，因为，所以，所以C正确，对于D，如图，当时，，所以D错误，故选：ABD题型二线面垂直的证明1．如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点.证明：平面.【答案】证明见解析【解析】因为四边形是菱形，所以.因为，，平面，且，所以平面.因为平面，所以.因为，所以，即.因为，平面，且，所以平面.2．如图，为⊙O的直径，垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，⊥，N为垂足.求证：⊥平面；【答案】证明见解析【解析】∵为⊙O的直径，∴⊥.又⊥平面，平面，∴⊥.又∵，平面，∴⊥平面.又平面，∴⊥.又⊥，且，平面，∴⊥平面.3．正四棱柱的底面边长为1，高为2，点是棱上一个动点（点与均不重合）.当点是棱的中点时，求证：直线平面；【答案】证明见解析【解析】因为是棱的中点，连接，所以，，，由勾股定理，得，同理可得，，又，、平面，所以直线平面.4．棱台中，平面，，且，，为的中点，是上一点，且（）.求证：平面；【答案】证明见解析【解析】∵，且是的中点，则.∵平面，平面，∴.又平面，∴平面，因为平面，∴.①∵，∴，则.∵，∴，∴在平面中.②∵平面，∴由①②知平面.题型三由线面垂直证明线线平行1．如图，平面，平面，分别为上的点，且.求证：【答案】证明见解析【解析】平面，平面，；平面，平面，，；，平面，平面，又，，平面，平面，，.2．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.【答案】证明见解析【解析】因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD.因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.3．在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD．求证：l∥AE．【答案】证明见解析【解析】证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD．又四边形ABCD是矩形，所以CD⊥AD．=因为PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD．又AE⊂平面PAD，所以AE⊥DC．因为AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD．因为l⊥平面PCD，所以l∥AE．4．圆柱如图所示，为下底面圆的直径，为上底面圆的直径，底面，证明：面【答案】证明见解析【解析】证明：连接，，，可得平面，∵平面，∴，∵，∴四边形为平行四边形，∴，∴且，∴四边形为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面题型四由线面垂直证明线线垂直1．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，点为棱上的点，且．证明：．【答案】证明见解析【解析】由为矩形可知：，又∵，，，平面，∴平面，又，∴面，又面，故．2．如图；在直三棱柱中，，，．求证；【答案】证明见解析【解析】在中，因为，可得，所以为直角三角形，可得，由在直三棱柱中，可得平面，且平面，所以，又因为，且平面，所以平面，因为平面，所以．3．如图，在三棱柱中，，．证明：【答案】证明见解析【解析】取的中点，连接，，，，，，又，平面，平面，又因为平面，.4．如图，在正方体中，为底面的中心.求证：（1）平面；（2）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）证明：连接交于点，再连接，因为为底面的中心，可得为的中点，在正方体中，，，所以四边形为平行四边形，所以,因为分别为的中点，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）证明：由四边形为正方形，可得，因为平面，且平面，所以,又因为，且平面，所以平面，因为平面，所以.题型五求直线与平面所成角1．在正方体中，直线与平面所成角为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，连接交于，连接，因为平面，在平面内，所以，又，平面，所以平面，所以为直线和平面所成的角，设正方体的棱长为1，则，又平面，故，所以，因为，所以，所以直线和平面所成的角为，故选：A2．已知在三棱锥中，，则直线与平面所成的角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设是正四面体的4个顶点，则点在平面的射影是正三角形的中心D,再设，则，可得，则高，则直线与平面所成的角的正弦值．故选：D.3．如图，在正三棱柱中，，则与平面所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】取中点，连接，如图，在正三棱柱中，是正三角形，，底面底面，，又平面，平面，为与平面所成角，平面平面，，由题意，，在中，.故选：A.4．如图是四棱锥的平面展开图，四边形是矩形，，，，，，则在四棱锥中，与平面所成角的正切值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，四棱锥中，由题意得，，又，平面，所以平面，又平面，所以，又四边形是矩形，所以⊥，因为，平面，所以⊥平面，故即为与平面所成角，其中，，，所以，又，，由勾股定理得，所以.故选：D题型六利用线面角求其他问题1．如图，在正方体中，直线与平面所成的角为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】连接，则，因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，所以即为直线与平面所成角的平面角，在等腰直角三角形中，，所以直线与平面所成的角为.故选：B.2．已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，若侧棱与底面ABCD所成的角为，则该正四棱台的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，分别为上底面和下底面的中心，连接，则⊥底面，过点作⊥于点，则⊥底面，因为上、下底面边长分别为2和4，所以，故，，，由于，故，故该正四棱台的体积为.故选：B3．如图①所示，圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，在中国主要分布于西北、华东、华南、西南等地区，抗虫害能力强，其花序硕大，类似于圆锥形，因此得名．现将某圆锥绣球近似看作如图②所示的圆锥模型，已知，直线与圆锥底面所成角的余弦值为，则该圆锥的侧面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意直线与圆锥底面所成角为，则，得()，所以该圆锥的侧面积为()．故选：C．4．如图，正方体的棱长为1，点P为正方形内的动点，满足直线BP与下底面ABCD所成角为的点P的轨迹长度为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】直线BP与下底面ABCD所成角等于直线BP与上底面所成角，连接，因为⊥平面，平面，所以⊥，故为直线BP与上底面所成角，则，因为，所以，故点P的轨迹为以为圆心，为半径，位于平面内的圆的，故轨迹长度为.故选：B题型七求点面距、线面距、面面距1．在正三棱柱中，若，，则点A到平面的距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在正三棱柱中，若，，所以，由勾股定理可得，在等腰三角形中，底边上的高长为，所以等腰三角形的面积为，设点A到平面的距离为，，故选：B2．在三棱锥中，两两垂直，，则点到平面的距离等于（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】设点到平面的距离为，∵两两垂直，且，∴，，∴，又，，，平面，所以平面，∵，即∴，∴，即点到平面的距离为，故选：D3．正方体的棱长为a，则棱到面的距离为（

）A． B．a C． D．【答案】C【解析】如图，连接，它们交于点，正方形中，又平面，平面，所以，平面，所以平面，所以的长即为棱到面的距离，而，所以所求距离为．故选：C．4．在长方体中，有一过且与平面平行的平面，棱，，则平面与平面的距离是．【答案】【解析】因为平面平面，平面，所以到平面的距离即为平面与平面间的距离，易知平面，从而点A到平面的距离即为所求的距离．如图，过点A作于点．因为平面，平面所以平面平面，又平面平面=所以平面，则即为所求．在中，，，则，因为，所以．故平面与平面的距离为．题型八动点探究问题1．在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，在上是否存在一点，使得平面，若存在求出的长；若不存在说明理由．【答案】存在，【解析】取的中点，取的中点M，连接GM，则GMAC，连接AC交EF于点H，连接BD，因为、分别为、的中点，所以，因为AC⊥BD，所以EF⊥AC，因为平面ABCD，平面ABCD，所以EF，因为，平面，所以EF⊥平面，因为平面，所以⊥，因为，，，，故，，故，又，所以∽，故，故，所以，因为，平面，所以⊥平面.故存在点，使得平面，此时.2．在如图所示的四棱锥中，四边形是等腰梯形，，，平面，，在上是否存在一点，使得面，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．【答案】不存在点，使得面．证明见解析．【解析】不存在点，使得面．假设存在，使得面，则由于平面，因此，又平面，平面，所以，，平面，所以平面，又平面，所以，这与是等腰梯形且矛盾，假设不成立．所以不存在点，使得面．3．已知正方体的棱长为，分别是的中点．（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由；【答案】（1）证明见解析；（2）存在，【解析】（1）连接，，，四边形为平行四边形，；分别为中点，，，平面，平面，平面.（2）取中点为，，，，，又，，，又，，，，平面，平面，此时，则线段上存在点，为中点，使得平面，此时.4．如图，长方体中，，P为棱中点，E棱中点．线段上是否存在点，使得到平面的距离为？若存在，求出值；若不存在，请说明理由．【答案】存在，．【解析】假设线段上存在点，使得它到平面的距离为，设，则，设是的中点，连接，由于是的中点，所以，所以平面，由于平面，所以，在直角三角形POE中，，在直角三角形DOE中，，所以，由，即，解得，所以存在点满足题意，此时．1．在四棱锥中，平面，，，则点到直线的距离为（

）A． B． C．2 D．1【答案】B【解析】因为平面，平面，所以，又因为，且，平面，所以平面，因为平面，所以，取的中点，因为，所以，又因为，且平面，所以平面，因为平面，所以，所以即为点到直线的距离，在等腰直角中，由，可得，在直角中，由，可得，所以点到直线的距离为.故选：B.2．如图，在直三棱柱中，，P为线段的中点，Q为线段（包括端点）上一点，则的面积的最大值为（

）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】取AB的中点E，连接CE，过Q作，垂足为M，过M作，垂足为N，连接QN，PE，则，且，点E到BC的距离为.由直三棱柱的性质知平面ABC，所以平面ABC，MN，平面ABC，则，，且，QM，平面QMN，所以平面QMN，且平面QMN，则，可知，当且仅当点Q与点P重合时，等号成立，所以面积的最大值为.故选：A.3．（多选）已知正方体，则（）

A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为C．直线与平面