北京市平谷区2021-2022学年高一年级上册数学期末试卷及答案

2022北京平谷高一（上）期末

数学

一.选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡

上.）

1.设全集。={1,2,34,5,6,7,8,9},集合4={2,4,6,8},那么Q4=（）

A.{9}B.{135,7,9}C.{1,3,5}D.{2,4,6}

2.函数/'（x）=cos（-2x-的最小正周期是（

A.27rB.-7TC.7TD.y

4

3.下列各式化简后的结果为cosx的是（）

A.sin（x+彳）B.sin（2兀+x）C.sin（%-D.sin（27r—%）

4.下列不等式成立的是（）

A.log31<log23<log25B.log31<log25<log23

C.log23<log3|<log25D.log23<log25<log3|

5.函数f（x）=lg（x+1）的图象与函数g（x）=%2-2%4-1的图象的交点个数为（）

A.OB.1C.2D.3

6.已知a,b,cWR,那么下列命题中正确是（）

A.若a>b,则ac?>be2B.若色>则a>b

cc

C.若a>b,ab<0,贝内〉：D.若02>力2,ab>0,则工<：

abab

7.已知函数/'（x）=4sin（3X+0）（4>0,3>046R）.则”/（x）是偶函数"是"=，’的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

8.某入围一个面积为32m2矩形院子，一面靠旧墙，其它三面墙要新建（其平面示意图如下），墙高3m，新墙的

造价为1000元公2,则当彳取（）时，总造价最低？（假设旧墙足够长）

/J///////////////////，

<-----------x------------->

A.9B.8C.16D.64

9.已知定义在R上的偶函数/(x)满足下列条件：①/(%)是周期为2的周期函数；②当％W(0,1)时，/(%)=2%-1.那

么f(log23)值为()

A*B.iC.-JD.2

10.某时钟的秒针端点4到中心点。的距离为5cm,秒针绕点。匀速旋转，当时间：t=0时，点4与钟面上标12的点

B重合,当te[0,60],A,B两点间的距离为d(单位：cm),贝展等于()

A.5sin；B.losingC.5si喘D.lOsi啜

二、填空题(本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上)

11.函数/(乃=；+但(％+1)定义域是.

12.已知奇函数f(x),当％>0,/(%)=%24-3%,那么/'(-2)=.

13.已知tana=3,则sinacosa=.

14.在平面直角坐标系xO)，中，设角a始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(g,|),将射线OP绕坐

标原点。按逆时针方向旋转]后与单位圆交于点(?(%2，丫2)•那么tana=,x2=.

15.从2008年京津城际铁路通车运营开始，高铁在过去几年里快速发展，并在国民经济和日常生活中扮演着日益重

要的角色.下图是2009年至2016年高铁运营总里程数的折线图图(图中的数据均是每年12月31日的统计结果).

根据上述信息下列结论中，所有正确结论的序号是一

①2015年这一年,高铁运营里程数超过0.5万公里；

②2013年到2016年高铁运营里程平均增长率大于2010到2013高铁运营里程平均增长率；

③从2010年至2016年，新增高铁运营里程数最多的一年是2014年；

④从2010年至2016年，新增高铁运营里程数逐年递增;

20092010201120122013201420152016

年份

三、解答题(本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

X

16.已知集合A={x|i<log8x<lj,B=(x\2<2<128},全集U=R.

(1)求4,B；

(2)求Cu(4CB)；

(3)如果C={X［%VQ},且Anew0,求Q的取值范围.

17.已知a是第二象限角,且tana=一/

(1)求sina,COSQ的值;

(2)求sin(a-5TT)+COS(3TT—a)的值.

18.已知二次函数f(%)=ax2—(a+l)x+1.

(1)当对称轴为％=-1时，

(i)求实数。的值；

(ii)求/(x)在区间［-2,2］上的值域.

(2)解不等式/(%)>0.

19.己知函数/(£)=sin(3X—§3>0)最小正周期是n.

(1)求3的值；

(2)求证：当x6工］时/(x)>---

2”0n.z已tn知▼函物数〃八\幻=（一|//+2x武（一。W2<xxW<2）。）.

(1)求/(一I)，的值；

(2)作出函数的简图；

(3)由简图指出函数的值域；

(4)由简图得出函数的奇偶性，并证明.

21.已知函数/(x)=sin(2x+》-^<x<y.

(1)列表，描点，画函数/。)的简图，并由图象写出函数f(x)的单调区间及最值;

（2）若/（久1）=/（%2）>01丰x2）,求+x2）值.

2022北京平谷高一(上)期末数学

参考答案

一.选择题(本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡

上.)

1.设全集也={1,2,3,456,7,8,9},集合A={2,4,6,8},那么Q4=()

A.{9}B.{1,357,9}C.{1,3,5}D.{2,4,6}

【答案】B

【详解】根据题意，全集U={1,2,3,456,7,8,9},而4={2,4,6,8},

则CM={1,357,9},

故选：B.

2.函数/(x)=cos(—2x—£)的最小正周期是()

A.27rB.-TTC,n片

【答案】C

【详解】根据三角函数的周期公式7=普得，

函数f(x)=cos(-2%-匀的最小正周期是r=含=g=兀，

故选：u

3.下列各式化简后的结果为cos%的是()

A.sin(x+/)B.sin(2/r+%)C.sin(x-D.sin(27i—%)

【答案】A

【详解】解：A.sin(x+=cosx；

B.sin(27r+%)=sinx；

C.sinfx—|j=—cosx；

D.sin(27T—%)=—sinx.

故选：A

4.下列不等式成立的是()

A.log31<log23<log25B.log33<log25<log23

C.log23<log31<log25D.log23<log25<log31

【答案】A

【详解】因为10g3;<10g31=0,

1=log22<log23<log24=2,

2=log24<log25<log28=3,所以log3?<log?3<log25,

故选：A.

5.函数f(x)=lg(x+1)的图象与函数g(x)=x2-2%+1的图象的交点个数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【详解】解：在同一个坐标系下作出两个函数的图象如图所示，

则交点个数为为2.

故选：C

6.已知a,b,ceR,那么下列命题中正确的是（）

A.若a>b,贝ijac?>be?B.若乌>色,则a>b

cc

C.若ab<0,则工〉*D.若卢〉/^,ab>0,则三V《

abab

【答案】c

【详解】A，若a>b,当c=0时，ac2=be2,所以A不成立；

B.若当c<0时，则a<b,所以B不成立；

U因为ab<0,将a>b两边同除以ab,则:>/所以c成立

D.若。2>人2且帅>0,当｛%:及时，则a<b，所以;>：，则D不成立.

故选：u

7.已知函数/(x)=4sin(3x+租)(4>0,to>0，weR).则”/(x)是偶函数"是"伊=”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】若0=],则/(x)=Asin(3x+])=Acossx,/(-x)=/lcos(-cox)=ACOSMX=/(x),所以/'(x)为偶函

数；

若/(X)=4sin(3X+9)为偶函数，则@=1兀+/,keZ,。不-•定等于*

所以“/(x)是偶函数"是“9=”的必要不充分条件.

故选：B

8.某人围一个面积为32m2的矩形院子，一面靠旧墙，其它三面墙要新建(其平面示意图如下)，墙高3m，新墙的

造价为1000元岫2,则当工取()时，总造价最低？(假设旧墙足够长)

【答案】B

【详解】由题设，总造价y=1000x3x(x+2x§)=3000。+?)26000Jxq=48000,

当且仅当x=8时等号成立，即x=8时总造价最低.

故选：B.

9.已知定义在R上偶函数/'(久)满足下列条件：①人x)是周期为2的周期函数；②当xe(0,1)时，f(x)=2,-1.那

么/。og23)值为()

A三B，C.-AD.2

【答案】B

【详解】因为f(x)是周期为2的周期函数，

所以/'Qog23)=/(log23-2)=/(log2J)=/(-log2§,

又函数/(x)定义在R上的偶函数，所以/'(Iog23)=f(-log20=f(log21)

又当xe(0,1)时，fM=2x-l,所以/(Iog23=23g3-l=g—l=[.

所以f(log23)值为点

故选：B.

10.某时钟的秒针端点4到中心点。的距离为5cm,秒针绕点。匀速旋转，当时间：t=0时，点4与钟面上标12的点

B重合，当t6[0,60],A,B两点间的距离为d(单位：cm),则d等于()

A.5sin：B.lOs吗C.5si喘D.10si啜

【答案】D

【详解】由题知，圆心角为黑，过。作AB的垂线，则4B=2x5xsin筮=10sin巴

30260

故选：D

二、填空题(本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上)

11.函数/(x)=：+lg(x+1)的定义域是.

【答案】｛尤氏＞一1且X4。｝

【详解】根据题意可得如下不等式组，

二"。解儆＞T且"。

答案：{x|久>一1且x芋0}.

12.已知奇函数/(x),当x>0,/(x)=x2+3x,那么/'(-2)=.

【答案】-10

【详解】由f(x)为奇函数，可知/(r)=—/⑺，则/(一2)=—〃2)

又当其>0,/(x)=x2+3无，则/(2)=22+3x2=10

故"―2)=_/⑵=-10

故答案为：-10

13.已知tana=3,则sinacosa=

【答案】卷

sinacosatana3

【详解】tana=3,sina*cosa=

sin2a+cos2atan2a+l10

故答案为泉

14.在平面直角坐标系xOy中，设角a的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P弓,|),将射线OP绕

坐标原点。按逆时针方向旋转券与单位圆交于点QI：%%•那么tana=,全=.

【答案】①*#0.75②.-瓢-0.6

45

【详解】由三角函数的定义及已知可得:

34

sina=cosa=-

所以tana=—=

孙s4

又%2=cos(^+a)=-sina=—|.

故答案为：—|

45

15.从2008年京津城际铁路通车运营开始，高铁在过去儿年里快速发展，并在国民经济和日常生活中扮演着日益重

要的角色.下图是2009年至2016年高铁运营总里程数的折线图图(图中的数据均是每年12月31日的统计结果).

根据上述信息下列结论中，所有正确结论的序号是一

①2015年这一年,高铁运营里程数超过0.5万公里;

②2013年到2016年高铁运营里程平均增长率大于2010到2013高铁运营里程平均增长率;

③从2010年至2016年，新增高铁运营里程数最多的一年是2014年;

④从2010年至2016年，新增高铁运营里程数逐年递增；

HH

<月4

咽

HH，

理

年份

【答案】②③

【详解】①看2014,2015年对应的纵坐标之差小于2-1.5=0.5,故①错误;

②连线观察2013年到2016年两点连线斜率更大，故②正确；

③2013年到2014年两点纵坐标之差最大，故③正确：

④看相邻纵坐标之差是否逐年增加，显然不是，有增有减，故④错误；

故答案为：②③.

三、解答题(本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

X

16.已知集合4=|x||<log8x<lj,B={x\2<2<128},全集U=R.

(1)求4B；

(2)求Q(4CB)；

(3)如果C={x|x<a},且求a的取值范围.

【答案】Q)4=[2,8],B=(1,7)

(2)QU(,AnB)=(-oo,2)U[7,+oo)

(3)(2,4-00)

【小问1详解】

根据题意，可得：Iog88：Slog8XS1=log88，函数y=loggX在区间(0，+8)上单调递增，则有：2sxs8

故有：/l={x|2<x<8}

函数y=2*在区间(-8,+8)上单调递增，则有：e={x|l<x<7}

综上，答案为：A=[2,8],B=(1,7)

【小问2详解】

由(1)可知：A=[2,8],B=(1,7)

则有：AOB={%|2<%<7}

故有:CuOlnB)=(-8,2)37,+8)

故答案为：(-00,2)U[7,+°°)

【小问3详解】

由于4={x\2<%<8},且AnC羊0,C={x\x<a]

则有：a>2,

故a的取值范围为：(2,+8)

故答案为：(2,+8)

17.已知a是第二象限角，且tana='-卷

(1)求sina,cosa的值；

(2)求sin(a—5兀)+cos(3/r—a)的值.

【答案】⑴sina=V，cosa=一苏

⑵套

【小问1详解】

解：因为tana=一三，所以包吧=一三，Asina_--cosa

12cosa12-12

又siM^+cos2a=1,a是第二象限角，

所以sina=—,cosa=——.

1313

【小问2详解】

解：sin(a-5TT)+COS(3TT—a)=sjn(a-TT)+COS(TT-a)—-sina-cosa

__5_12_7_

=13+13=13,

18.已知二次函数/<(%)=ax2—(a+l)x+1.

(1)当对称轴为％=-1时，

(i)求实数。的值；

(ii)求f(%)在区间［一2,2］上的值域.

(2)解不等式f(%)20.

【答案】(1)(i)—(ii)I-L

(2)答案见解析.

【小问1详解】

解：(i)由题得一一9+1)=(°+1)=—1,,•・a+1=-2a".a=一工；

2a2a3

(ii)/(x)=——|x4-1,对称轴为x=-l,

所以当Xe［-2,2］时，f(X)max=f(-1)=*+|+1=:

/(X)min=/(2)=W+1=T

所以f(x)在区间［—2,2］上的值域为［一I，J

【小问2详解】

解：ax2—(a+l)x4-1>0,

当a=0时，-%+1之0,，%W1；

当a>0时，(ax—1)(%—1)N0,•,・/=(>0,%2=1，

当0<a<l时，不等式解集为或xW1｝；

当a=l时，不等式的解集为R；

当a>1时，不等式的解集为｛x[x>1或生<》；

当a<。时，(ax-1)(—x+1)<0,<0,x2=1,

所以不等式的解集为｛x|：WxW1｝.

综上，当a=0时，不等式的解集为产微31｝;

当0<a<1时，不等式的解集为｛x|x>十或x<1｝；

当a=l时，不等式的解集为R；

当a>l时，不等式的解集为｛x|xN1或久工》：

当a<0时，不等式的解集为1｝.

19.已知函数f(x)=sin(3%-(3>0)最小正周期是乃.

(1)求3的值；

(2)求证：当Xe[o,时f(x)>-y.

【答案】(1)2；(2)证明见解析

(2)利用三角函数的图象和性质，结合不等式逐步求出函数的最值即得证.

【小问1详解】

解:由题得7=兀=含,•••3=±2,3>0,.,.3=2.

【小问2详解】

证明：/'(x)=sin(2x-g),

因为OSx北兀,••.0W2xS*.•・*W2x*W》-全

TT,r兀75

--3-2X~3-in，

--y<sin(2x-<1.

所以当xe[0图时f(x)N_当

即得证.

—%2+2x(0<%<2)

20.已知函数f（%）=

.x2+2x(—2<%<0).

（1）求/（_|）,的值；

（2）作出函数的简图：

（3）由简图指出函数的值域；

（4）由简图得出函数的奇偶性，并证明.

【答案】⑴/（-|）=*，/（|）=|；

（2）作图见解析；（3）[-1,1]；

（4）/（x）为奇函数，证明见解析.

【小问1详解】

由解析式知:/（-|）=（一|）2+2x（-|）=*，爬）=_（》2+2X鸿.

【小问2详解】

由解析式可得：

X-2-1012

r（x）0-1010

.寸⑴的图象如下:

【小问4详解】

由图知：/(x)为奇函数，证明如下：

当0<x<2,-2<-X<0时，/(-x)=(-X)2+2-(-x)=x2-2%=-/(x)：

当-2<x<0,0<-%<2时，/(-%)=—(―x)2+2-(-%)=—x2—2%=-/(%)；

又了。)的定义域为[-2,2],则为奇函数，得证.

21.已知函数f(x)=sin(2x+》