2020届湖南省怀化市高三(上)期末数学试卷(文科)(解析版)

2019-2020学年湖南省怀化市高三（上）期末

数学试卷（文科）

题号一二三总分

得分

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知集合4=&|（x+1）（x-2）>0},B={x|l<x<3},（）

A.（-1,3）B.（2,3）C.（1,2）D.［2,3）

2.已知复数z满足（l-i）z=i（i为虚数单位），则z的虚部为（）

A.B.\C.D.}

3.某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为900、900、1200人，现用分层抽样的方法从该校高中

三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为（）

A.15B.20C.25D.30

4.过点（-1,3）且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为（）

A.x-2y+7=0B.2x+y-l=0C.x-2y-5=0D.2r+y-5=0

5.我国古代数学名著《孙子算经》中有鸡兔同笼问题：“今有雉兔同笼，上叵回

有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”据此绘制如图所示的程序ZEI

框图，其中鸡x只，兔y只，则输出x,y的分别是（）

A.12,23■彳

B.23,123川：♦

C.13,22.

D.22,13

/UHlx.xZ

而

6.已知/（X）=sinA,在区间［_}兀］任取一个实数xo,则使得了（冲）W的概率为（）

A.|B.JC.1D.|

7.如图是2018年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（）

MSJ2

-V*T-与去年同闲相比4t长隼

A.2018年第一季度GOP增速由高到低排位第5的是浙江省

B.与2017年同期相比，各省2018年第一季度的GOP总量实现了增长

C.2017年同期河南省的GCP总量不超过4000亿元

D.2018年第一季度GAP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个

8.已知函数，(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x+2)=/(x),且xc(-2，0)时，/(x)=k)g2(-3x+l),

则/(-2019)=()

A.4B.2C.-2D.log25

9.已知命题p：使sinx^；命题q：都有/+欠+]>(),给出下列结论：

①命题"PW是真命题；

②命题"pALq)"是假命题;

③命题"Lp)Vq”是真命题；

④命题"Lp)VLq)”是假命题.

其中正确的是()

A.②④B.②③C.③④D.①②③

10.已知等差数列｛如｝的前“项和为S”若OB=。2仍+%99”，且A、B、C三点共线(该直线不过原点O),

贝(15200=()

A.100B.101C.200D.201

11.若向量-=(sing,病，“=(cosg,cos2》，函数/。)=：]，则,(x)的图象的一条对称轴方程是()

mnmn

A.x=3B・%=不C.x=-3D.%=2

12.对于函数/(x)=ax2+hx2+cx+d(〃彳0),定义：设/(x)是/(x)的导数，/(x)是函数/(x)的导

数,若方程/'(x)有实数解X0,则称点(X0,/(的))为函数月>(X)的“拐点”.经过探究发现：

任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是对称中心.设函数g(X)=93_92+3x-3则g(/)

+g(京7+…+g(1^)的值为()

A.2017B.2018C.2019D.2020

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

/2x4-y-2>0

13.设变量x,y满足约束条件卜一2乙+/30,则目标函数后3x+2)，的最大值为____.

IX—1<U

14.函数产log.（x+3）-1（存1,Q>0）的图象恒过定点A,若点4在直线次x+〃y+l=O上，其中加>0,n

>0,则打：的最小值为.

15.《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖儒，在如图所示的鳖儒

ABC。中，4B1平面BCD,h.AB=BD=CD=\,则此鳖儒的外接球的表面积为

22

16.如图，已知双曲线？？1（。>0,6>0）上有一点A,它关于原点的对称点为8,点F为是双曲线的

ab

右焦点，且满足A/山?凡设乙4BF=a,ae后，刍，则该双曲线离心率e的取值范围为

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.已知等比数列｛小｝是递减数列，am*,a2+a3=l.

（1）求数列｛小｝的通项公式；

（2）若b”=-（n+1）log2a„,求数列｛；｝的前〃项和G.

18.已知AABC中，内角4,B,C所对边分别为a,b,c,若(2«-c)cos8-bcosC=0.

(1)求角8的大小；

(2)若b=2,a+c=2^,求AABC的面积S.

19.如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形,P4_L平面ABCD,且PA=48=2,

E为PD中点.

(1)求证:P例平面EACi

(2)求三棱锥C-ABE的体积.

20.近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地

服务民众，某共享单车公司在其官方APP中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠

活动的评价，现从评价系统中选出300条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况和优惠活动评价的

2x2列联表如下：

对优惠活动好评对优惠活动不满意合计

对车辆状况好评15050200

对车辆状况不满意6040100

合计21090300

(1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？

(2)为了回馈用户，公司通过APP向用户随机派送骑行券，用户可以将骑行券用于骑行付费，也可

以通过APP转赠给好友某用户共获得了5张骑行券，其中只有2张是一元券现该用户从这张骑行券中

随机选取2张转赠给好友，求选取的2张中至少有1张是一元券的概率.

附：下面的临界值表仅供参考：

P(A?>Ao)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

(参考公式：/一+-“其中〃="b+c+d)

21.已知椭圆。：(+，=1(£1〉/?〉0)的右焦点为F，上顶点为M,直线FM的斜率为当且原点到直线

FM的距离为

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若不经过点尸的直线/：y=kx+m(k<0,m>0)与|陶圆C交于A,B两点，且与圆/+y=］相切.试

探究的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.

22.设函数/(x)(-x+lnx)(。为常数).

(1)当〃=1时，求曲线y=^(x)在x=l处的切线方程：

(2)若函数g(x)=fCx)+：在(0,1)内存在唯一极值点mxo,求实数〃的取值范围，并判断x=xo

是/(%)在(0,1)内的极大值点还是极小值点.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：4={可烂-1或应2},B={x|l<x<3},

.-.AnB=[2,3).

故选：D.

可以求出集合A,然后进行交集的运算即可.

本题考查了描述法、列举法和区间的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于

基础题.

2.【答案】B

【解析1解：由(1-i)z=z,得l-l(a上"：一：：+I〉)=-?Z4

:,z的虚部为:

故选：B.

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化筒得答案.

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

3.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查分层抽样的应用，根据条件确定抽取比例是解决本题的关键，是基础题.

根据分层抽样的定义即可得到结论.

【解答】

解：三个年级的学生人数比例为3：3：4,

按分层抽样方法，在高三年级应该抽取人数为50X冷”=20人，

故选：B.

4.【答案】A

【解析】解：由题意可设所求的直线方程为x-2y+c=0

•••过点(-1,3)

代入可得-l-6+c=0则c=7

；.x-2y+7=0

故选：A.

由题意可先设所求的直线方程为x-2y+c=0再由直线过点(-1,3),代入可求c的值，进而可求直线的方程

本题主要考查了直线方程的求解，解决本题的关键根据直线平行的条件设出所求的直线方程x-2y+c=0.

5.【答案】B

【解析】解：模拟程序的运行过程知，

该程序运行后是解方程组但才二点二y，

解得日:名

所以鸡23只，兔12只.

故选：B.

分析程序的运行过程知该程序运行后是解方程组，求出方程组的解即可.

本题考查了利用程序框图的运行过程解方程组的问题，是基础题.

6.【答案】C

【解析】解：在区间［，，泪任取一个实数次，使得〃出)对，即sinxoN；，

解得各

SnrJr

•••在区间［兰，网任取一个实数X0,使得6%)2期率=下今

故选：C.

在区间［一提，沟任取一个实数X0,使得-出)21即siMN：解得X0范围.利用几何概率计算公式即可得

出.

本题考查了几何概率计算公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

7.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查命题真假的判断，考查折线图、条形统计图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，是

基础题.

由图可知2018年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏和河南，即可得解.

【解答】

解：由2018年第一季度五省GCP情况图，知：

在A中，2018年第一季度GQP增速由高到低排位第5的是浙江省，故A正确.

在2中，与去年同期相比，2018年第一季度五个省的GAP增长率都大于0,即总量均实现了增长，故2

正确；

在C中，去年同期河南省的GOP总量为黑篙23815.6,不超过4000亿元，故C正确；

在。中，2018年第一季度GAP总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏和河南，共2个，故。错

误；

故选。.

8.【答案】C

【解析】解：函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足/(x+2)=V(x),

(x+4)=-f(x+2)=f(x),

xG(-|,0)时，f(X)=log2(-3x+l),

(-2019)=-f(2019)=-f(-1)=-log24=-2.

故选：C.

推导出f(x+4)=-f(x+2)-f(x),利用x€(—0)时，f(x)=log2(-3x+1),f(-2019)=-f(2019)=-f

(-1),能求出结果.

本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

9.【答案】B

【解析】解：•••IsiMSl,.•.：BxeR,使Siiu=^昔误，即命题P是假命题，

判别式△=l-4=-3<0,WxeR,都有x?+x+l>0恒成立，即命题<?是真命题，

则①命题“PM”是假命题；故①错误，

②命题“p/\(2”是假命题；故②正确，

③命题"O)V,'是真命题；故③正确，

④命题“(「p)V(「q)”是真命题.故④错误，

故选：B.

先判断命题p,q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可.

本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件先判断命题p,«的真假是解决本题的关键.

10.【答案】A

【解析】解：由题意，A、B、C三点共线，故“2+099=1.

•$00=2。。(。；+%oo)=]00.(。2+。199)=100.

故选：A.

本题根据共线定理可得02+099=1.再根据等差中项的性质及等差数列的求和公式可得结果.

本题主要考查等差数列与向量的综合问题，考查了共线定理和等差中项性质的应用.本题属中档题.

11.【答案】B

【解析】解：(I)J。)W=sin|cos1+仔os21=今ior+%os%-翼sin(x+j)

令戈+亚攵兀+卜尤=E+g,keZ9

当k=0时=*43；

(x)的图象的一条对称轴方程是

故选：B.

由三角函数中的恒等变换应用可得函数解析式为f(x)=sin(x+"再代入正弦函数的对称轴方程即可

求解.

本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基础

题.

12.【答案】C

【解析】解：与题意可得，g'(x)=x2-x+3,g(x)=2x-l,

令g'(x)=2x-l=0可得，而g(1)=1,

故函数g(x)关于(|,1)对称，即g(1-x)+g(x)=2,

/1、/2、2019.-2019-zc

贝ijp(---)(----)+…+父(z---)=2x---=2019.

八Jb202062020620202

故选：C.

由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点弓，1）对称，即g（x）+g（1-x）=2,即可得到结论.

本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键，求和的过程中使用了倒

序相加法

13.【答案】8

【解析】解：由z=3x+2y得）=-1+?

/2x+y-2>0

作出变量X,y满足约束条件卜一2yg0（对应的平面区域如图（阴

影部分）：由｛%_2y+4=0解得A（L|），

平移直线产参+?由图象可知当直线尸步海过点A时，直线尸|呜

的截距最大，

此时z也最大，将A（1,6代入目标函数z=3x+2y,

得z=8.

故答案为：8.

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可.

本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问

题的基本方法.

14.【答案】8

【解析】解：・.・x=・2时,,

函数产log”(x+3)・1(a>0,t#l)的图象恒过定点(-2,-1)即A(-2,-1),

•・,点A在直线mx+〃y+l=0上，

••-2m-n+1=0,即2m+n=1,

v/w>0,〃>0,

...u=(旱)(2〃7+〃)=2+，％+2>4+2・1~.^=8,

mnmnmny/mn

当且仅当，〃=封取等号.

故答案为：8

根据对数函数的性质先求出A的坐标，代入直线方程可得〃人〃的关系，再利用1的代换结合均值不等式

求解即可.

本题考查了对数函数的性质和均值不等式等知识点，运用了整体代换思想，是高考考查的重点内容.

15.【答案】3兀

【解析】解：由题意知，BDVCD,将该三棱锥放在长方体中，由题意知长方体的长宽高

都是1,既是棱长为1的正方体，则外接球的直径等于正方体的对角线，设外接球的半

径为R,则2/?=值，

所以外接球的表面积S=4TTR2=3兀，

故答案为：3兀

三棱锥放在长方体中高级外接球的直径等于长方体的对角线求出外接球的半径，进而求

出体积.

考查三棱锥的外接球直径与棱长的关系，属于基础题.

16.【答案】[柩73+1J

【解析】解：如图所示，

设双曲线的左焦点为F',连接A尸，BF'.

则四边形AFB尸为矩形.

因此|AB=|FF\=2C.

\AF'\-\AF]=2a.

|AF|=2csina,\BF]=2ccosa.

••.2ccosa-2csina=2«.

i_i

**cosa—sina代cos(a+3‘

•；a呜，J],

7T7T5兀,

•.・a+fr3迅，

：.eE[yj2,肾1].

故答案为：[根，^+1].

如图所示，设双曲线的左焦点为P,连接AF',BF'.则四边形AFBF'为矩形.因此|AB=|FF'|=2c.而

11

\AF'\-\AF\=2a.|AF|=2csina,\BF'|=2ccosa.可得0=必《_$"1:笠"sg+7求出即可.

本题考查了双曲线的定义及其性质、两角差的正弦公式、正弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力,

属于难题.

17.【答案】解：(1)等比数列｛如｝是递减数列，设公比为外

。34,a2+a3~?可得33弓，

解得“2=；,43=，，满足。2＞。3,

qo

解得0二行;，则。尸(|)"；

(2)bn=-("+1)log2〃"=-(/?+1)•(-〃)=n(n+1),

匚i_ii

bnn(n+1)nn+1*

可得前〃项和7；尸1^4)・可什1・什普・

【解析】(1)运用等比数列的性质和通项公式，求得公比和首项，可得所求通项公式；

(2)由对数的运算性质求得为，；=岛宁彳冷，运用数列的裂项相消求和，计算可得所求和.

本题考查等比数列的性质和通项公式、数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于基础题.

18.【答案】解：(1)v(2a-c)cosB-Z?cosC=0,

••・(2sinA-sinC)cosB-sinBcosC=0,

/.2sin74cosB-sin(8+C)=0,

^A+B+C=nf

/.sin(B+C)=sin(n-A)=sin>4,

.,.2sinAcosB-sinA=0,

vsinA>0,

-,.cosB=1,

-BE（0,兀）,

••若；

⑵b=2,Q+C=2点,

Q

.•・由余弦定理按=。2+/_2。80$8,可得4=。2+。2_改=（a+c）2-3ac=n-3ac,可得acq,

・•.△ABC的面积S=iacsinB=|x声《=竽.

【解析】(1)由正弦定理把己知等式边化角，再由A+B+C=n,利用两角和的正弦函数公式得cosB=g,结

合8的范围可求8的值.

(2)由已知利用余弦定理可求好的值，进而根据三角形的面积公式即可求解.

本题考查三角形的解法，考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式以及三角形内角和定理的应用，考

查计算能力，属于基础题.

19.【答案】解：(1)求证：连结AC、8D,交于点。，连结OE,

•.•底面A8CC是正方形，二。是B。中点，

•••E为尸。中点，.・.OE||P8,

仁平面EAC,OEu平面EAC,平面EAC.

(2)解：••・四棱锥P-A2CZ)中，底面ABCD是正方形，

PA1平面A8CD,且PA=4B=2,E为PD中点、.

.if到平面ABC的距离d=|pA=l,

三棱锥C-4BE的体积为:

,,,,1112

VC-ABE=VE-ABC=^XS△abcxd=jxx2x2x1=5.

【解析】(1)连结AC、BD,交于点O,连结0E,推导出0臼尸8,由此能证明「B||平面E4C.

(2)三棱锥C-ABE的体积为MCFV&ABC,由此能求出结果.

本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础

知识，考查运算求解能力，是中档题.

20.【答案】解：⑴由列联表中数据，计算蜉=3。；：£5黑以6：镇骞M.143Vl0.828,

所以不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系；

(2)设这5张骑行券分别为a、b、c、。、E,其中。、E是一元券；

现从中随机选取2张，基本事件为：ab、ac.a。、aE、be,bD、bE、cD、cE、OE共10种不同取法，

选取的2张中至少有1张是一元券的事件为a。、aE、bD、bE、cD、cE、DE共7种，

故所求的概率为尸=高

【解析】(1)由列联表中数据计算心，对照临界值得出结论;

(2)利用列举法求出基本事件数，再计算所求的概率值.

本题考查了列联表与独立性检验的问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题.

21.【答案】解：(1)可设/(c,0),M(0,b),

可得上咯

直线FM的方程为bx+cy=bc,

即有小：声哈解得b=l,e也,a=平,

则椭圆方程为£y=i；

(2)设A(xi,yi),B(X2,”).

(xi>0,X2>0),

连接OA,OQ,在△04。中,

2

|4QF=X12+y]2_]=X]2+1g