中考数学真题分项详解（山西专用）专题05 图形的变化（解析版）

专题05图形的变化三年中考真题三年中考真题（2020•山西）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是A． B． C． D．【解答】解：、不是轴对称图形；、不是轴对称图形；、不是轴对称图形；、是轴对称图形．故选：．（2020•山西）下列几何体都是由4个大小相同的小正方体组成的，其中主视图与左视图相同的几何体是A． B． C． D．【解答】解：．主视图的底层是两个小正方形，上层右边是一个小正方形；左视图底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形，故本选项不合题意；．主视图和左视图均为底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形，故本选项符合题意；．主视图底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形；左视图是一列两个小正方形，故本选项不合题意；．主视图底层是三个小正方形，上层右边是一个小正方形；左视图是一列两个小正方形，故本选项不合题意；故选：．（2020•山西）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的A．图形的平移 B．图形的旋转 C．图形的轴对称 D．图形的相似【解答】解：泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的图形的相似，故选：．（2019•山西）如图，在中，，，，以的中点为圆心，的长为半径作半圆交于点，则图中阴影部分的面积为A． B． C． D．【解答】解：在中，，，，，，，，，阴影部分的面积是：，故选：．（2018•山西）如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到△，此时点恰好在边上，则点与点之间的距离为A．12 B．6 C． D．【解答】解：连接，将绕点按逆时针方向旋转得到△，，，，△是等边三角形，，，将绕点按逆时针方向旋转得到△，，，，是等边三角形，，，，，，，，，，，故选：．（2016•山西）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是A． B． C． D．【解答】解：观察图形可知，该几何体的左视图是．故选：．（2016•山西）宽与长的比是（约的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形，分别取、的中点、，连接：以点为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点；作，交的延长线于点，则图中下列矩形是黄金矩形的是A．矩形 B．矩形 C．矩形 D．矩形【解答】解：设正方形的边长为2，则，在直角三角形中，矩形为黄金矩形故选：．（2020•山西）如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为．【解答】解：如图，过点作于．在中，，，，，，，，，，，，，设，，，，，，，，，，故答案为．（2019•山西）如图，在中，，，点为内一点，，，连接，将绕点按逆时针方向旋转，使与重合，点的对应点为点，连接，交于点，则的长为．【解答】解：过点作于点，由旋转知：，，，，在中，，在中，，在中，，，，故答案为：．（2017•山西）如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，将向右平移4个单位，得到△，点，，的对应点分别为、、，再将△绕点顺时针旋转，得到△，点、、的对应点分别为、、，则点的坐标为．【解答】解：如图所示：，，，将向右平移4个单位，得到△，、、的坐标分别为，，，再将△绕点顺时针旋转，得到△，则点的坐标为；故答案为：．（2017•山西）如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度，其中一名小组成员站在距离树10米的点处，测得树顶的仰角为．已知测角仪的架高米，则这棵树的高度为15.3米．（结果保留一位小数．参考数据：，，【解答】解：如图，过点作，垂足为．则四边形是矩形，，在中，，，，．．答：树的高度约为．故答案为15.3（2017•山西）一副三角板按如图方式摆放，得到和，其中，，，为的中点，过点作于点．若，则的长为．【解答】解：过点作于．，，．．，．，．，，，．又是的中点，为的中点，①．②连结，，，，，．故答案为：．（2016•山西）如图，已知点为线段的中点，且，连接，，是的平分线，与相交于点，于点，交于点，则的长为．【解答】解：，为线段的中点，，，，，，，四边形为矩形，，，又是的平分线，，，，设，则，，，，即，解得：，即，故答案为：．（2020•山西）图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面，扇形的圆心角，半径，点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为．（1）求闸机通道的宽度，即与之间的距离（参考数据：，，；（2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．【解答】解：（1）连接，并向两方延长，分别交，于，，由点，在同一条水平线上，，均垂直于地面可知，，，所以的长度就是与之间的距离，同时，由两圆弧翼成轴对称可得，，在中，，，，，，，与之间的距离为；（2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人，根据题意得，，解得：，经检验，是原方程的根，当时，，答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为60人．（2020•山西）综合与实践问题情境：如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点．延长交于点，连接．猜想证明：（1）试判断四边形的形状，并说明理由；（2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明；解决问题：（3）如图①，若，，请直接写出的长．【解答】解：（1）四边形是正方形，理由如下：将绕点按顺时针方向旋转，，，，又，四边形是矩形，又，四边形是正方形；（2）；理由如下：如图②，过点作于，，，，，四边形是正方形，，，，，又，，，，将绕点按顺时针方向旋转，，四边形是正方形，，，；（3）如图①，过点作于，四边形是正方形，，，，，，，，由（2）可知：，，，．（2020•山西）阅读与思考如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．年月日星期日没有直角尺也能作出直角今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线，现根据木板的情况，要过上的一点，作出的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在上量出，然后分别以，为圆心，以与为半径画圆弧，两弧相交于点，作直线，则必为．办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出，两点，然后把木棒斜放在木板上，使点与点重合，用铅笔在木板上将点对应的位置标记为点，保持点不动，将木棒绕点旋转，使点落在上，在木板上将点对应的位置标记为点．然后将延长，在延长线上截取线段，得到点，作直线，则．我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？任务：（1）填空：“办法一”依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理；（2）根据“办法二”的操作过程，证明；（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点作出的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）．【解答】解：（1），，，，，故“办法一”依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理；故答案为：勾股定理的逆定理；（2）由作图方法可知，，，，，，，，即；（3）①如图③所示，直线即为所求；②答案不唯一，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．（2019•山西）已知：如图，点，在线段上，，，．求证：．【解答】证明：，，，，，在和中，，，．（2019•山西）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：莱昂哈德欧拉是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面就是欧拉发现的一个定理：在中，和分别为外接圆和内切圆的半径，和分别为其中外心和内心，则．如图1，和分别是的外接圆和内切圆，与相切分于点，设的半径为，的半径为，外心（三角形三边垂直平分线的交点）与内心（三角形三条角平分线的交点）之间的距离，则有．下面是该定理的证明过程（部分）延长交于点，过点作的直径，连接，．，（同弧所对的圆周角相等）．．，，①如图2，在图1（隐去，的基础上作的直径，连接，，，．是的直径，所以．与相切于点，所以，．（同弧所对的圆周角相等），，．②任务：（1）观察发现：，（用含，的代数式表示）；（2）请判断和的数量关系，并说明理由．（3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1），（2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；（4）应用：若的外接圆的半径为，内切圆的半径为，则的外心与内心之间的距离为．【解答】解：（1）、、三点共线，故答案为：；（2）理由如下：如图3，过点作直径，连接交于，连接，，，点是的内心，，，（3）由（2）知：（4）由（3）知：；将，代入得：，故答案为：．（2019•山西）综合与实践动手操作：第一步：如图1，正方形纸片沿对角线所在的直线折叠，展开铺平．在沿过点的直线折叠，使点，点都落在对角线上．此时，点与点重合，记为点，且点，点，点三点在同一条直线上，折痕分别为，．如图2．第二步：再沿所在的直线折叠，与重合，得到图3．第三步：在图3的基础上继续折叠，使点与点重合，如图4，展开铺平，连接，，，．如图5，图中的虚线为折痕．问题解决：（1）在图5中，的度数是，的值是．（2）在图5中，请判断四边形的形状，并说明理由；（3）在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形（正方形除外），并写出这个菱形：．【解答】解：（1）由折叠的性质得：，，，，四边形是正方形，，，，，，，是等腰直角三角形，，；故答案为：，；（2）四边形是矩形；理由如下：四边形是正方形，，由折叠的性质得：，，，，，由折叠可知：、分别垂直平分、，，，，，，，，，，，四边形是矩形；（3）连接、，如图所示：由折叠可知：、分别垂直平分、，同时、也分别垂直平分、，四边形与四边形是菱形，故答案为：菱形或菱形．（2018•山西）祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设13对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量．测量结果如下表．项目内容课题测量斜拉索顶端到桥面的距离测量示意图说明：两侧最长斜拉索，相交于点，分别与桥面交于，两点，且点，，在同一竖直平面内．测量数据的度数的度数的长度234米（1）请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点到的距离（参考数据：，，，，，（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）．【解答】解：（1）过点作于点．设米，在中，，．，．在中，，．，．，．解得．答：斜拉索顶端点到的距离为72米．（2）还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等．（答案不唯一）（2018•山西）请阅读下列材料，并完成相应的任务：在数学中，利用图形在变化过程中的不变性质，常常可以找到解决问题的办法．著名美籍匈牙利数学家波利亚在他所著的《数学的发现》一书中有这样一个例子：请问如何在一个三角形的和两边上分别取一点和，使得．（如图）解决这个问题的操作步骤如下：第一步，在上作出一点，使得，连接．第二步，在上取一点，作，交于点，并在上取一点，使．第三步，过点作，交于点．第四步，过点作，交于点，再过点作，交于点．则有．下面是该结论的部分证明：证明：，，又．△．．同理可得．．，．任务：（1）请根据上面的操作步骤及部分证明过程，判断四边形的形状，并加以证明；（2）请再仔细阅读上面的操作步骤，在（1）的基础上完成的证明过程；（3）上述解决问题的过程中，通过作平行线把四边形放大得到四边形，从而确定了点，的位置，这里运用了下面一种图形的变化是（或位似）．．平移．旋转．轴对称．位似【解答】解：（1）四边形是菱形．证明：，，四边形是平行四边形．，平行四边形是菱形．（2）证明：，．，．．．四边形是菱形，．．（3）通过作平行线把四边形放大得到四边形，从而确定了点，的位置，此时四边形四边形，所以该变换形式是位似变换．故答案是：（或位似）．（2017•山西）综合与实践背景阅读早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在本题中，我们把三边的比为的三角形称为，4，型三角形，例如：三边长分别为9，12，15或，，的三角形就是，4，型三角形，用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形．实践操作如图1，在矩形纸片中，，．第一步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，再沿折叠，然后把纸片展平．第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点与点重合，折痕为，然后展平，隐去．第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿折叠，得到△，再沿折叠，折痕为，与折痕交于点，然后展平．问题解决（1）请在图2中证明四边形是正方形．（2）请在图4中判断与的数量关系，并加以证明；（3）请在图4中证明，4，型三角形；探索发现（4）在不添加字母的情况下，图4中还有哪些三角形是，4，型三角形？请找出并直接写出它们的名称．【解答】（1）证明：四边形是矩形，，由折叠的性质得，，，，四边形是矩形，，矩形是正方形；（2）解：，理由：连接，由折叠得，，，四边形是正方形，，，，在与中，，，；（3）解：四边形是正方形，，由折叠得，，设，则，在中，，，解得：，，，，是，4，型三角形；（4）解：图4中还有，△，是，4，型三角形，，，，，是，4，型三角形；同理，△，是，4，型三角形．（2017•山西）如图，内接于，且为的直径，，与交于点，与过点的的切线交于点．（1）若，，求的长．（2）试判断与的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）为的直径，，在中，由勾股定理得：，，，，又，，，即，解得：；（2），理由如下：连接，如图所示：，，是的切线，，，，，，，，．（2017•河南）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢的长度相同，均为，的倾斜角为，，支撑角钢，与底座地基台面接触点分别为、，垂直于地面，于点．两个底座地基高度相同（即点，到地面的垂直距离相同），均为，点到地面的垂直距离为，求支撑角钢和的长度各是多少（结果保留根号）．【解答】解：过作于，则，在中，，，，连接并延长与的延长线交于，则，在中，，，在中，，答：支撑角钢和的长度各是，．（2016•山西）综合与实践问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片沿对角线剪开，得到和．操作发现（1）将图1中的以为旋转中心，按逆时针方向旋转角，使，得到如图2所示的△，分别延长和交于点，则四边形的形状是菱形；（2）创新小组将图1中的以为旋转中心，按逆时针方向旋转角，使，得到如图3所示的△，连接，，得到四边形，发现它是矩形，请你证明这个结论；实践探究（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中，，然后提出一个问题：将△沿着射线方向平移，得到△，连接，，使四边形恰好为正方形，求的值，请你解答此问题；（4）请你参照以上操作，将图1中的在同一平面内进行一次平移，得到△，在图4中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．【解答】解：（1）如图2，由题意可得：，，，，故，，则四边形是平行四边形，故四边形的形状是菱形；故答案为：菱形；（2）证明：如图3，作于点，由旋转得：，则，四边形是菱形，，，，，同理可得：，，则，又，四边形是平行四边形，，四边形是矩形；（3）如图3，过点作，垂足为，，，在中，，在和中，，，，，即，解得：，，，，当四边形恰好为正方形时，分两种情况：①点在边上，，②点在的延长线上，，综上所述：的值为：或；（4）答案不唯一，例：如图4，画出正确图形，平移及构图方法：将沿着射线方向平移，平移距离为的长度，得到△，连接，，结论：，，四边形是平行四边形．（2016•山西）请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理阿基米德，公元前公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．证明：如图2，在上截取，连接，，和．是的中点，．任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图3，已知等边内接于，，为上一点，，于点，则的周长是．【解答】（1）证明：如图2，在上截取，连接，，和．是的中点，．在和中，，，又，，；（2）解：如图3，截取，连接，，，由题意可得：，，在和中，，，，，则，，，则的周长是．故答案为：．一年模拟新题一年模拟新题一．选择题（共15小题）（2020•山西一模）如图，是等边三角形，点，，分别在边，，上，且，若，则的值为A． B． C． D．【解答】解：是等边三角形，，，，，，，故选：．（2020•平遥县一模）窗棂即窗格（窗里面的横的或竖的格）是中国传统木构建筑的框架结构设计，下列表示我国古代窗棂样式结构图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是A． B． C． D．【解答】解：、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确；、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；故选：．（2020•平遥县一模）和是直立在水平地面上的两根立柱，米，某一时刻测得在阳光下的投影米，同时，测量出在阳光下的投影长为6米，则的长为A．米 B．米 C．米 D．米【解答】解：如图，在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为，，，，，，故选：．（2020•山西模拟）一个几何体由多个完全相同的小正方体组成，它的三视图如图所示，那么组成这个几何体的小正方体的个数为A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【解答】解：从主视图与左视图可以得出此图形只有一排，只能得出一共有5个小正方体，从俯视图可以验证这一点，从而确定组成这个几何体的小正方体的个数为5个．故选：．（2020•山西模拟）如图，已知点，，分别在的三边上，将沿，翻折，顶点，均落在内的点处，且与重合于线段，若，则的度数为A． B． C． D．【解答】解：连接、，如图所示：由折叠的性质得：，，，又由折叠的性质得：，，，，，，，，，，，故选：．（2020•太原模拟）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是A． B． C． D．【解答】解：、不是轴对称图形，故本选项不合题意；、不是轴对称图形，故本选项不合题意；、不是轴对称图形，故本选项不合题意；、是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：．（2020•太原模拟）由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多有A．8 B．7 C．6 D．5【解答】解：由俯视图易得最底层有4个小正方体，第二层最多有3个小正方体，那么搭成这个几何体的小正方体最多为个．故选：．（2020•太原模拟）如图，点在轴上，，，，将绕点按顺时针方向旋转得到△，则点的坐标是A． B． C． D．【解答】解：，，，，，，点坐标为，，将绕点按顺时针方向旋转得到△，，，，点和点关于轴对称，点的坐标为．故选：．（2020•山西模拟）如图，把一张长方形纸片沿折叠，使其对角顶点与重合，点落在点处，若长方形的长为6，当为等边三角形时，则线段的长为A．3 B．4 C． D．【解答】解：如图所示，过作于，由折叠可得，，，又是等边三角形，，，，由折叠可得，，，，，，，，，故选：．（2020•扶沟县一模）如图，在中，，，点从点出发以1个单位的速度向点运动，同时点从点出发以2个单位的速度向点运动．当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为A． B． C．或 D．以上均不对【解答】解：设运动时间为秒．，，，当，，即，解得；当，，即，解得，综上所述，当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为或，故选：．（2020•龙岗区校级模拟）如图的四个古汉字中，不是轴对称图形的是A． B． C． D．【解答】解：观察图形可知，选项不是轴对称图形，故选：．（2020•张家港市模拟）如图，在平行四边形中，为上一点，连接、，且、交于点，，则等于A． B． C． D．【解答】解：四边形为平行四边形，，，．故选：．（2020•温州模拟）如图，在山坡上种树，坡度，，则相邻两树的水平距离为A． B． C． D．【解答】解：在山坡上种树，坡度，设，则，，解得：，故．故选：．（2020•武汉模拟）下列图形中，是轴对称图形的是A． B． C． D．【解答】解：、不是轴对称图形，故此选项错误；、不是轴对称图形，故此选项错误；、不是轴对称图形，故此选项错误；、是轴对称图形，故此选项正确；故选：．（2020•梁溪区校级二模）下列四个立体图形中，从正面看到的图形与其他三个不同的是A． B． C． D．【解答】解：、的主视图是第一层两个小正方形，第二层右边一个小正方形，、的主视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，、的主视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，、的主视图是第一层两个小正方形，第二层左一个小正方形，故选：．二．填空题（共5小题）（2020•山西一模）如图，在矩形中，，分别是边，上的点，，，将沿所在直线折叠，点的对应点正好落在线段上，若，则折痕的长为．【解答】解：如图，连接，将沿所在直线折叠，，，，，，，，，，，，，故答案为：．（2020•山西模拟）如图，在中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，于点，，则的周长为8．【解答】解：四边形为平行四边形，，，，，，平分，，，，，，在中，由勾股定理得：，同理，即，，，，即，解得：，的周长为，故答案为：8．（2020•平遥县一模）在平面直角坐标系，点坐标，点坐标，点是线段的中点，若以原点为位似中心，把线段缩小为原来的得到线段，则点的对应点坐标是，或，．【解答】解：点坐标，点坐标，点是线段的中点，点的坐标，以原点为位似中心，把线段缩小为原来的得到线段，点的对应点坐标为，或，，即，或，，故答案为：，或，．（2020•山西模拟）如图，学校教学楼的后面有一栋宿舍楼，当光线与地面的夹角是时，教学楼在宿舍楼的墙上留下高的影子，而当光线与地而夹角是时，教学楼顶在地面上的影子与墙角有的距离，，在一条直线上），则教学楼的高度为23．（结果精确到，参考数据：．，【解答】解：作于，，，，四边形为矩形，，，在中，，，在中，，，由题意得，，解得，，，故答案为：23．（2020•山西模拟）如图，将矩形纸片沿折叠