2022-2023学年上海市青浦某中学高一第一学期期中考试高一数学(答案)

上海市青浦高级中学2022学年第一学期期中考试

高一数学试卷

考试时间：90分钟满分：100分

一、填空题(本大题共12小题，满分36分，每小题3分。考生应在答题纸相应编号的空格

内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分。)

1.已知集合4={1,2},B={2,3},则ACB.

2.已知集合4={a2—a,0),若ad/,则实数a的值为.

3.设a,b为实数，则a2+/2a-28-2(填》，<或W").

4.关于x的方程*-8x+4=0的两根为X],“则三+三=_____.

X1X2

5.已知e"1=3,ln2=n,则e2m+3n=.

6.命题“若x>a,则双x-1)>0”是真命题，则a的取值范围是.

7.若关于*的不等式组1^-°的解集是0,则实数a的取值范是______________.

l|x-a|<2

8.集合4={x||x-a|=l},B=若4nB=4则对应的实数对(a,b)有对.

9.已知关于x的不等式k%2-2x+6k<0有解，则实数k的取值范围是.

10.己知非零实数x、y满足M+xy+y2=3,则/-xy+y2的最小值是.

11.已知非空集合"满足：对任意工€”,总有/日“且4仁"，若MU{0,1,2,3,4,5},则满足条件的M的

个数是.

12.三个同学对问题“已知eR+,且血+几=1,求工+工的最小值”提出各自的解题思路：

mn

甲：2.+」=业+竺出=2+2+巴，可用基本不等式求解；

mnmnmn

乙：£+l=Z^==可用二次函数配方法求解；

mnmmmn

丙：A+1=(1+l)(m+n)=2+-+可用基本不等式求解；参考上述解题思路，

mn/mn

2i

可求得当久=时，---1-------(0<x<10,a>0)有最小值.

X2100-X2

二、选择题(本大题共4小题，满分12分，每小题3分，每题有且只有一个正确答案。考生

应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分。)

13.如图，U表示全集，4B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是().

A.AneB.Au5C.AC\BD.4U另

14.下列不等式恒成立的是（）.

A.a+b<B.a2+b2>-labC.a+b>-2yj\ab\D.a2+b2<lab

15.“a=0”是“关于x的不等式1的解集为R”的（）.

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.非充分非必要条件

16.设S是实数集£的一个非空子集，如果对于任意的（。与b可以相等，也可以不相等），a+bwS且

a-b&S,则称S是“和谐集”.则下列命题中为假命题的是（）.

A.存在一个集合S,它既是“和谐集”，又是有限集

B.集合｛Hx=k瓜kwZ｝是“和谐集”

C.若Si.S?都是“和谐集”，则SiCSz#。

D.对任意两个不同的“和谐集"S1,S2,总有$U$2=R

三、解答题（本大题共5题，满分52分。解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内

写出必要的步骤。）

17.（本题满分10分）

1+%1+v

已知％,yWR+,且x+y>2,求证：不■与中至少有一个小于2.

18.（本题满分10分）已知关于％的绝对值不等式：|x+l|+|x-l|>^7

（1）当a=0时，求不等式的解集；

（2）若对于任意的实数%,以上不等式恒成立，求实数a的取值范围。

19.（本题满分10分）已知集合A={%|-%2+血％+n>0}=（-1,3）,集合

B={x\x2—ax—2a2<0}.

(1)求常数m,ri的值；

(2)设p:xe4q:x6B,且p是g的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

20.(本题满分10分)运货卡车以x千米/时的速度匀速行300千米，按交通法规限制

50<x<100(单位：千米/时),假设汽油价格是每升6元，汽车每小时耗油(4+言)升，司机的工资是每

小时46元.

(1)求这次行车总费用y(元)关于%(千米/时)的表达式；

(2)当％为何值时，这次行车的总费用y最低？求出最低费用的值.

21.(本题满分12分)对正整数n,记。={1,2,3，…,n},Pn=[^\mEln,k&1^.

(1)用列举法表示集合P3；

(2)求集合P7中元素的个数；

(3)若外的子集4中任意两个元素之和不是整数的平方，则称4为“稀疏集”.证明：存在n使得能分

成两个不相交的稀疏集的并集，且n的最大值为14.

上海市青浦高级中学2022学年第一学期期中考试

IWJ—数学试卷

考试时间：90分钟满分：100分

一、填空题(本大题共12小题，满分36分，每小题3分。考生应在答题纸相应编号的空格

内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分。)

1._______{2}_______.2.____2___________.

3.4.2.

5.726.a>1.

7.1・oo・-1)U[4,+oo)•8.____4

9._____k〈晅—.10.1

五

11.11.12..

二、选择题（本大题共4小题，满分12分，每小题3分，每题有且只有一个正确答案。考生

应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分。）

13.A.14.B.15.B.16.D.

三、解答题（本大题共5题，满分52分。解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内

写出必要的步骤。）

17•（本题满分10分）已知x,yeK,且x+y>2,求证：等与十中至少有一个小于2.

—>2

证明：假设詈与子都大于或等于2即y

也22

.X

因为％,yER+,故可化为两式相加，得x+yW2,

与已知x+y>2矛盾.

所以假设不成立，即原命题成立.

18.（本题满分10分）已知关于无的绝对值不等式：|x+l|+|x-l|>—a—1

（1）当a=0时，求不等式的解集；

（2）若对于任意的实数无，以上不等式恒成立，求实数a的取值范围。

解：（1）当。=0时，原不等式变为：由|%+1|+仅一1|>4

当xK—1时，—X—1—x+l>4»解得xv—2；

当一1VXV1时，x+l-x+l>4,解得，解集为：0；

当xNl时，x+1+x—1>4,解得％>2；

故所求不等式的解集为：（-OO,-2）U（2,+8）

（2）由优+1|+反-1|在数轴上表示到-1与1的距离之和（或由三角不等式），最小值为2,

则有2>^—

a-l

可化为”|>0

a-l

所以Q6（—co,—2）U（1,+oo）

19.（本题满分10分）已知集合A={%|—/+7n%+n>o}=（一1,3）,集合

B=[x\x2—ax—2a2<0}.

（1）求常数必、〃的值；

（2）设p:xe4q:x€B,且0是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

解：（1）因为/={%|--+血％+n>o}=（一1,3）,所以-1和3是方程一产+7nx+律=o

的两个根，由韦达定理得：—l+3=m,—1x3=—n,解得：m=2,n=3

（2）x2—ax—2a2<0,解得：当a>0时，集合B=（—a,2a）,当a<0时，集合B=

（2a,—a）,当a=0时，解集为。

因为p是夕的充分不必要条件，p:xeA,q:xeB

当a=0时，B=。,此时P是4的必要不充分条件，不满足题意，舍去

当a>0时，需要满足（一1,3）u（-a,2a）,此时[不解得：a>|

ICL三DN

当a<0时，需要满足（一1,3）u（2a,—a）,此时隹。1，解得：。三一3

综上：实数a的取值范围为-8,—3]U住,+8）

20.（本题满分10分）

运货卡车以％千米/时的速度匀速行300千米，按交通法规限制50<%<100（单位千米/时,

2

假设汽油价格是每升6元，汽车每小时耗油（4+篙）升，司机的工资是每小时46元.

（1）求这次行车总费用y（元）关于%（千米/时）的表达式；

（2）当％为何值时，这次行车的总费用y最低？求出最低费用的值.

解：（1）行车所用时间「=哼（口），根据汽油的价格是每升6元

2

而汽车每小时耗油（4+言）升，司机的工资是每小时46元

可得行车总费用为y=哼x6x（4+总）+管b^^+^(50<x<100)

、介

⑵丫==21000+,口30%2-2100030%600

X7

当且仅当理230X

7

即％=70时，等号成立

所以当x=70时，这次行车的总费用y最低，最低费用为600元.

21.(本题满分12分)对正整数71,记4={1,2,3,…川，Pn=^\meIn,kE/„j.

(1)用列举法表示集合P3；

(2)求集合P7中元素的个数；

(3)若K的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”.证明：存在九

使得与能分成两个不相交的稀疏集的并集，且几的最大值为14.

解：⑴依题意，石=口，2,3},则23={卷0壮目={123，今也，拶，今竽,8}

(2)显然每一个々值，加值可取1,2,3,4,5,6,7七个不同数，即可得7个关的值，

当k=IO寸，{m|me切中m=1，加=2,机=3所对应的3个元素为1,2,3,另四个元素为

4,5,6,7,

当k=4时，琮e外中加=2,〃?=4,加=6所对应的3个元素1,2,3为重复元素，另四

个元素为分数表谷彳，

当ke{2,3,5,6,7}时，费均为无理数，没有相同数，

因此，由关(meAke/7)计算可得7X7=49个数，其中计算得到的数1,2,3各重复1

次，则P7中元素的个数为49—3=46,

所以集合P7中元素的个数是46；

(3)证明：假设当n215时，方能分成两个不相交的稀疏集的并，设4