教师资格《初中数学学科知识与能力》第一章数学学科知识（上）

教师资格《初中数学学科知识与能力》第一章数学学科知识(上)

第一节函数及其应用

1［单选题］设f(x)可导，且0<a<x<b时恒确Hx)yT(x),则()

A.bf(a)>af(b)

B.abf(x)>x2f(b)

C.xf(a)<af(x)

D.abf(x)<x2f(a)

正确答案：C,

参考解析：令"幻="，则'"⑺二必^产,又八'M。用上连

续，则F(x)在［a,b］上单调上升，则驾吟1华雪好罩，故只有C

项正确。

2［单选题］已知f(x)=ax?+bx是定义在［a-3,2a］上的偶函数,则a+b

的值是()

A.0

B.1

C.2

D.3

正确答案：B

参考解析：偶函数的定义域关于原点对称，则a-3=2a,a=l。又对定

义域内任意x,f(x)=f(-x),可得b=0。故a+6=l。

3［单选题］设仅动业"+C则,14)也=()

A.-2(7)，+。

B.2(l-x2)2+C

D.1/2(1-X2)2+C

正确答案：C

参考解析：阿纲C,故选c。

4［单选题］以下对内容标准中“指数函数”内容要求描述不准确的是()

A.掌握指数函数模型的实际背景

B.通过具体实例了解实数指数幕的意义，掌握累的运算

C.在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型

D.能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象

正确答案：A

参考解析：数学课程标准要求对“指数函数模型的实际背景”只需了

解。

5［单选题］若f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)可导且f(a)=f(b),则()

A.至少存在一点7e(a,b)，使得/")=0

B.不一定存在一点3(0，使得/'(〈)=0

C恰存在一点△白&，使得/")=0

D.对任意的3(%6)，不一定能使广⑷=0

正确答案：A

参考解析：令g(x)=e~x*f(x),则g(x)在［a,b］上连续且在(a,b)上可

导

因为g(a)=g(b)=0,所以根据罗尔定理，至少存在一点&£(a,b),使得

g'(€)=0

e飞*f(&)+e飞*f'(g)=0

f(€)+f(€)=0

6［单选题］由曲线y=x2,y=x?围成的封闭图形的面积为()

A.1/12

B.1/4

C.1/3

D.7/72

正确答案：A,

S=［(x2-x1)dx=F=4；o

参考解析：)。［3"o12

7［单选题］曲线*2"号的斜渐近线方程为()

A.y=2x

B.y=-2x

C.y=3x

D.y=-3x

正确答案：A

参考解析：该曲线只有间断点“犯厩尸巴俨噂)=8'=°为该曲线的垂

直渐近线。又因为•史字则2喏)=2,场(,—场工

二°o曲线有斜渐近

线y=2xo故选Ao

8［单选题］直线2厂历+6=0与X轴交于点P,已知点P在圆2+(y+2)2=25

内，过点P的一条直径被点P分为两段，则较短的一段与较长的一段的

比值为()

A.1/9

B.1/10

C.1/4

D.4/5

正确答案：A

参考解析：已知直线方程为2厂厅x+6=o,则点-坐标为(25,0)。圆心坐标为

(0,-2),半径为5。点P到圆心的距离为d=J(2⑸'+2?=4,则点P与所

在直径一端距离为r-d=l,与另一端距离为r+d=9,故两段的比值为1/9。

9［单选题］设f(x),g(x)在x=x。处均不连续，则在x=x。处()

A.f(x)+g(x)f(x)・g(X)均不连续

B.f(x)+g(x)不连续,f(x)•g(x)的连续性不确定

C.f(x)+g(x)的连续性不确定,f(x)•g(x)不连续

D.f(x)+g(x)f(x)•g(x)的连续性均不确定

正确答案：D

_/1/云0,J0,XN0,

参考解析：如小)30，，＜。，以、)=也，＜0在乂=0均不连续，但

f(x)+g(x)=l,f(x)«g(x)=0

p,»0,_j2,x＞0,

在X=0均连续，又如""lo,x＜o,g(to,4＜。

『40%).")=尸皿

在X=0均不连续，而f(x)+g(x)=1o.x＜ojk)u＜。

在x=0均不连续，故选D。

10［单选题］LK的值为()

A.Ji/2

B.JI/4

C.7n/12

D.0

正确答案：C

\=arctanx巴=arctan^-arctan(-1)7-(-7)=^

参考解析:J-i1+x1

_l+e'

11［单选题］设曲线尸百’则该曲线()

A.没有渐近线

B.仅有水平渐近线

C.仅有铅直渐近线

D.既有水平又有铅直渐近线

正确答案：D

参考解析:㈣二一=51为水平渐近线;㈣二8为铅直渐近线，

故选Do

12［单选题］设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f'(0)存在，则关于函

数g⑶个,下列正确的是()。

A.在x=0处左极限不存在

B.有跳跃间断点x=0

C.在x=0处右极限不存在

D.有可去间断点x=0

正确答案：D

参考解析：由f(x)为奇函数可知f(0)=0；又由双")'｝在x=0处无定

义，则x=0为g(x)的间断点，又!'⑴=啊"=呵'2/°)存在,故x=0

为g(x)的可去间断点。

13［单选题］函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是()。

A.(-2,-1)

B.(-1,0)

C.(0,1)

D.(1,2)

正确答案：B

参考解析：•.•函数f(x)=2*+3x是R上的连续函数，且单调递增，f

_5

(-1)=2'+3X(-1)=2<o,f(0)=2°+0=1>0,

.\f(-1)f(0)<0.

Af(x)=2,+3x的零点所在的一个区间为(-1,0),

故答案为(-1,0).

14［单选题］已知他(言)=匕则a=()

A.0

B.In2

C.In3

D.In4

正确答案：B

参考解析:

15［单选题］设f(x)在x=a处连续，6(x)在x=a处间断，又f(x)#O,

则()

A.f［6(X)］在x=a处间断

B.f［6(X)］在X=a处间断

C.［C(x)了在x=a处间断

D.D*)在x=a处间断

正确答案：D

参考解析：连续与不连续的复合可能连续，也可能不连续，故选项A,

B不对。不连续函数的乘积可能连续，故选项C不对。故选D。

16［单选题］定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3WX〈-1时

f(x)=-(x+2)2,当-1WX<3时，f(Z)=X,则f(l)f(2)f(3)+..+f(2012)=0

A.335

B.338

C.1678

D.2012

正确答案：B

参考解析：f(-3)=-l,f(-2)=0,f(-1)=-1,f(0)=0,f(l)=l,f(2)=2,

而函数的周期为6,f(l)+f(2)+…

+f(2012)=335(-l+O-l+o+X+2)+f(1)+f(2)=335+3=338,故选B。

17［单选题］她“而前=()

A.23

B.1

C.5/2

D.8

正确答案：A

参考解析：因为

lim—=O,sin—------—^―(x—»x)，故有limxsin、:-lim3x

x•2~

•2*2-l2X2-1-2x-1•-2X-1

..3/3

lim-;—=.

…2xJ-l2

a

..f(x］rfi)-I

18［单选题］已知吧(…)2一’则在点x=a处()

A.f(x)导数存在且A(a)WO

B.f(x)取极大值

C.f(x)取极小值

D.f(x)导数不存在

正确答案：B

参考解析：由四(x-a)J,根据极限定理知存在一个a的6邻域,

使得

a-")?,故f(x)〈f(a),故f(a)为函数f(x)的最大值，因此选B。

19［单选题］函数Un(*-2),Q3在x=3处的极限是()

A.不存在

B.等于6

C.等于3

D.等于0

正确答案：A

参考解析:分段函数在x=3处不是无限靠近同一个值,故不存在极限。

20[单选题]若x£[0,+8),则下列不等式恒成立的是()

A.

-"-<1-

B.G24

「cosxNl-k,

C.2

0ln(l+4)Nx-b°

正确答案：c

参考解析：设〃幻=00sx/贝Ijg(戈)=*(x)=-sinx+x,

所以g'(x)=-cosx+l工0,所以当x£[o,+8)时,g(x)为增函数，所

以g(x)=f'(x)2g(0)=0。同理，f(x)(0)=0,所以

co!W-(1-；注0,即cost云1-；X3，故选C

21［单选题］如下所示4个命题中假命题的个数为()

0)3x6R,®sin2y+008：y=y;

®3xeR,yeR,{£sin(x-y)=sinx-siny;

@VxeR,=sinx；

④若sinx=cosy,则x+y=-yo

A.0

B.1

C.2

D.3

正确答案：D

参考解析：①命力足尸I,所以①为假命题；②当x=y=0时，

sin(x-y)=0,sinx-siny=0,

.2I-COs2x

此时sin(x-y)=sinx-siny,故②为真命题；③由倍角公式知=万

但当*W(F+2M,2F+2AIO(AeZ')时,sinx<0,此时"nx=

故③错.诃11*==co*y,故学-x=y+2Air(AeZ),RlJx+y+2iir=y(AeZ),

故④错:因此，假命题有3个。

22［单选题］若lim/(x)=8,则卜,列表达式正确的是()„

A.VM>0,3fi>0,VxG(x(r^M遍).有|/(x)>.W

B.3Af>0,V5>0.Vxe(xo-6,xo+fi)^'\f(x)\>M

C.VM>0,35>O,VTw(衍女知动)，且x0x0.^'\f(x)\>M

D,三刖>0,四>0.匕£(—,如比),且力户孙有

正确答案：C

参考解析：由函数极限的定义,若函数fQ)在右的某一去心邻域内有定义,如果对任意给定的正数

不论它学大).总存在正数6.只要x适合不等式(klzfld.对应的函数值/Q)息满足不等式外”>盟,则有

lim/(x)=»即1加/(%)=8。丫忸>076>0,匕£(Xo-5,卬冏，且Jr/、有4x)l>机.

23［单选题］函数尸毋与函数尸相()•

A.定义域相同,值域相同

B.定义域不同,值域不同

C.定义域相同,值域不同

D.定义域不同,值域相同

正确答案：B

，、上,力函数产一4^=的定义域为-la<l,且，不能等于0；函数尸的定义域为-low

参考解析：vT^FVi+x

1,且当x=l时，y=0o所以两函数的定义域和值域都不同。

极限四斗吟+4白+...+.%?=()0

24［单选题］

1

A.宜

2

B.f

3

C.宣

4

D.B

正确答案：B

sin"+sin2P+…+sin("T)"二lim—tins-lim£互sin包-

参考解析:nnnJnnIT^7nn

JFIl\。inxdx=V2。

［上吟口>0,

设/(工)=VT其中g(M)是有界函数，则/(X)在工=0点()0

25［单选题］i*a),xwo.

A.极限不存在

B.极限存在但不连续

C.连续，但不可导

D.可导

正确答案：D

参考解析：由等价无穷小替换，

丈

芍竺勺蚂.-^=0,lim/(x)«lim口(*)=0,其中8Q)用到为有界函数的条件。所以

四〃m)存在且为伍而/(。)=0/(*)在*=«上连续.

J-“

lim〃红学理1=1油7m=1加-?一r=0.

AxAr-^J*At«Q*x.

(3

Ar-<yAxiur^0

故/>)在工=0点可等.且/'(0)=0.D选项正确

26［单选题］当x-0时，下列哪一个无穷小是x的三阶无穷小？()

A.{/xr-y/x-

B.V逆->/£(a>0是常数)

C.r5+O.OOOIr2

D.Vtanx

正确答案：B

参考解析.而数a(G只要满足吧竽=00.即满足题£姓计算，只有B选项中，吧、业;

.其余选项求得相应的极限均为无穷大。

3(x/o+J-V^a)

27［单选题］曲线x=t,y=t；z=t3在点(1,1,1)处的法平面方程是()。

x-1_y-l_z-l

A.

B.x+2y+3z-6=0

D.x+y+z-3=0

正确答案：B

参考解析：曲线在点(1Jl)处的切向*为(1,2.3),所以曲城在点(1JI)处的法平面

方程为1•(x-1)+2・(y-l)+3•(z-l)=O,化简得x+2y+3z-6=0。

28［单选题］已知x的多项式

则该多项式的常数项为()。

A.-4

B.0

C.1

D.4

正确答案：A

参考解析：根据行列式展开定理.

o

o

所以该多项式的常数项为

29［单选题］设/(x)=s詈■,则是函数/(彳)的()0

A.连续点

B,跳跃间断点

C.第二类间断点

D.可去间断点

正确答案：D

参考解析：啊詈叫存在极限值，且在图点无定义,所以为可去间断点。

3。产选题］数列极限四扁r+出…去)=()。

A.r

ir

B.T

n

rC.，

7T

D.6

正确答案：B

篇鬻二十'kFTk*…因―

任1。,1］上的一个枳分和,〃H/

N

L仇工)也―)+・•••*/1­)1=Z/(£)L•

nrnnnJ,.।n

其中枳分区间［0//等分m等分后每个小区间是［?-.*g,2,…，ri)《是区间的右端点。因此,原式

!现二产［=arctanx。咛,故选B.

爪I^ELrl“0

设/(x)=|x'，则r=0是函数/(*)的()u

31［单选题］0,x=0

A.可去间断点

B.无穷间断点

C.连续点

D.跳跃间断点

正确答案：A

参考解析：因为四次二1=*"0),所以x=O是函数/⑸的可去间断点.

32［单选题］I为函数/(#)=»欣・丽^-的()

A.可去间断点,

B.跳跃间断点

C.无穷间断点

D.振荡间断点

正确答案：A

参考解析：有界函数与无穷小二的乘积仍为无穷小ft,即啊situ-sin；=0.但是在工=0处函数没有

意义,函数值不存在，因此工=0为函数/(x)=sinx・sin」的可去间断点.

T

33［单选题］设/⑺为不恒等于零的奇函数，且/（0）存在，则函数40=^（）。

A.在x=0处左极限不存在

B.有跳跃间断点x=0

C.在x=0处右极限不存在

D.有可去间断点x=0

正确答案：D

参考解析：由/（X）为奇函数知/（0）=0;又由qL知g（x）在*=0处没定义，显然x=o为g（x）的

间断点,为了讨论函数式x）的连蝮性,求函数爪x）在…的极景。

啊虱彳）=啊写=1㈣个印义式（0）存在.故x=0为可去间断点“

34［单选题］

设生（工.,工）是直线2r-y=4-（nWND与圆?+/=2在第一象限的交点，则极限

n+l

lim—=（）«

x.-l

A.-1

B.-T

C.1

D.2

正确答案：A

参考解析.表达式占卜表示的是过点匕（x.,y、）和点（I.I）的直线的斜率.，因为怕“%7.所以点

列P*x“yJ当n—8时的极限点为点（1,1）。因此所求极限!蛆受［-为凰/加2在点（1.1）处切线的斜率,为-1。

35［单选题］下列函数在x=0处可导的是（）。

A.A=|x|

L

B.尸J

1。,力=0

2•1in

「xsin—,x#0

L/・T

D.y=|sinx|

正确答案：C

参考解析,由导数定义,雨数"X）在处可等,则眄位喈必"二眄侬誓处一。选项A不

十1

正确,因为lim华」“Km-"L-l。选项B不正确，因为lim与一Jim绛'都不存在。选项C正确,因为

A-Ax3fAraxa*-eAx

J-］•AI।.<i

lim—1ylim—式4-=0。选项D不正确，因为lim四典】=】，11m国普1-1。

AT-HFAx“♦Ax\^<rAKJU-MFAr

c«w«J

您"。'在X=0处连续,则常数Q的值为（）。

设函数/（x）=

36［单选题］1,x^0

A.1

B.2

C.3

D.4

正确答案：B

参考解析.由函数/(z)在*=0处连续，可知呵=1,当，-0时,有osiruT),则㈣：；；口

噌二=1,即淌足*=1,所以0=2。

2x2

37［单选题］设/产［『sirudx(&=123).则有()。

A./.</,</,

B../,</,</,

C.34

D./.</</,

正确答案：D,

参考解析："i.e’lnxdx(*E23)着作以“为自变量的函数,则可知/；=Jsin*XU10.F),即可

知/户［J*irud»(4=l,2.3)关于*在(O,ir)上为单调增函数，又由于(1.2.3)6(0.11),则人</2</,.故选D,

设常数人>0,且收敛，则£(-1)“曹L()

38［单选题］•s»Vn>A

A.发散

B.条件收敛

C.绝对收敛

D.收敛性与A有关

正确答案：C

£

为

因)收纥所以£关T收

敛，故E(・1)♦-绝对收敛：

3vn+A

39［单选题］询i哽X)=8,则下歹U表述正确的是()

A.VW>0,36>0,使将对V*w(,v„-5,.Xo+6),有l/(x)I>If

B.3M>0,Va>0,ft.flF*1-V.r€(x„-5,x..+8),有l/(x)l>M

C.VM>0,">0,使用才5“(％-6汽+0,且“内浦风力1>M

D.3M>0,V5>0,使得对Vxe(.r0-8,x0+8),且x*%,有l/(x)I>M

正确答案：c

参考解析：由函数极限的定义，若函数"X)在xO的某一去心邻域内

有定义，如果对任意给定的正数

W(不论它多大).总存在正数6,只要x适合不等

式0<|x-*I<6.对应的函数值/(z)总满足不等

式叭*)I>.%则有1询“*)=8。BPIim/(x)»8

*-*o

»VW>0,36>0,使得对Vxe(%-5.%+6),

且有>M

40［单选题］设/(X)=［sin)dr,g(x)=x'+/.当x-»0时,(

A./(x)与g(x)是等价无穷小

B.f(x)是比g(x)高阶的无穷小

C/(x)是比g(x)低阶的无穷小

D.1(x)与g(x)是同阶，但非等价无穷小

正确答案：D

mjU1./(X)I**"洛必达法划

参考解析：因为呵inr呵赤丁^------

则盘~白脸片4•因此选瓦

41［单选题］下列说法正确的是()

A.单调数列必收敛

B.收敛数列必单调

C.有界数列必收敛

D.收敛数列必有界

正确答案：D

参考解析：A项错误，例如数列｛n+1｝单调，但不收

敛:B项错误,例如数列｛(-打｝收敛,但不单

调;C项错误.例如数列；(-1)，有界，但不收敛;

D项是收敛数列的有界性.正确。

Miudiu

42［单选题］极限㈣兀二()

A.0

B.1/2

C.1

D.3/2

正确答案：C

参考解析：当zT)时*72网唠

lim5———r-^11=lime-=J

•-4>Inr-Rtnx。-s

43［单选题］设在(-8,+8)内/”(x)>°H0)w°,则函短:)

A.在(-8,0)内单调递减，在(0,+8)内单调递增

B.在(-8,o)U(0,+8)内单调递减

C.在(-8,0)内单调递增，在(0,+8)内单调递减

D.在(-8,0)U(0,+8)内单调递增

正确答案：D

参考解析：［号］'=仁阳・令山)=

<(«)-/(*),所以广(X)=r(«)+#"(x)-n«)

=/(工).因为在(-8.+R)内f(X)>0.所以当

x>OBj.P'(*)>0.当x<0时，尸'(X)<0X

F(O)=0•/'(())-40)A0.故可知在(-«,0)»

(0.*8)内均有FQ)>0.故［"•］'>0,选D.

44［单选题］x=0为函数/(x)=sinx一皿｝的()

A.可去间断点

B.跳跃间断点

C.无穷间断点

D.振荡间断点

正确答案：A

参考解析：有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小

B•则1•占卜。.而函数在*=°处没有意

义.函数值不存在,因此*=0为函数/(x)=sit«.

sm上的可去间断点-

T

45［单选题］“算枳分I；)

11T勺

A.5+了-改1a"2

1力.9

B----ar^2

cy--+aretan2

17T

D-♦了+antan01

正确答案：A

参考解析：L品？厂以:一+?他・

(--arrunx)>++学-arcM.

In/1+—j

46［单选题］极限㈣.二的值为()

A.1

B.-1

C.0

D.8

正确答案：A

参考解析：题干中极限形式为洋中,可用洛必达法

M1+—)—I

则求解.lim---------=lim:-=I

•―**arccotr，—・■0

47［单选题］设级数£(-1)&2"收敛.则级数±4()

A.绝对收敛

B.条件收敛

C.发散

D.收敛性不确定

正确答案：A

S

参考解析.级数工(-lra.2’收敛.则由级数收敛

的必要条件知.lim(-l)"a,2'=0,故存在N>

0,使得对任意的有1(-I.即

a.I<(y)\又级数£收敛.故级数

Xa.I收敛.即£a.绝对收敛

,“1

48［单选题］设“X)在(-8,+8)上有定义，则下列函数中为奇函数的

是()

A.y=/(x)+/(-x)

B.y=x［/(x)-f(-x)］

C.y=x3/(x")

D.y=f(-x)•/(x)

正确答案：C

参考解析：y=*，『)的定义域为(-8,+h).关

于原点对称令F(*)=y=//(/).则F(-x)=

(-x)，/)=7//)=-F(x),故>=//(/)

为奇函数同样可以判断出其余•:项都为偶雨

败.故选Cc

49［单选题］M(V)=()

A.e2

B.e2

C.2e

D.-2e

正确答案：A।

参考解析：由!呷(「看)=!^(*-7)=

.工.1_

=，',知选A

50［单选题］

设/(“)为不恒等于零的奇函数.且/'(0)存在.则美于函数.(K)=".下列IE确的是()

A.在x=0处左极限不存在,

B.有跳跃间断点x=0

C.在x=0处右极限不存在

D.有可去间断点x=0

正确答案：D

参考解析：由“X)为奇函数可知，/(0)=0；因为

"(*)<^在*=0处无定义.则*=0为仪*)的

间断点.Zlimg(*)=linA^=呵。^W［=

/'(0)存在.故x=0为g(*)的可去间断点。

51［单选题］设随机变量X〜N(0,1),X的分布函数为6(X),则P(|X|>2)

的值为()

A.2E1-4)⑵］

B.24)(2)-1

C.2-e(2)

D.1-20(2)

正确答案：A

参考解析:P(IXI>2)=P(X>3)+P(X-2)=l-p(X^2)+P(X<-2)=1-4)(2)+

@(-2)=1-6(2)+1-

6(2)=2[1-4)(2)]o

52［单选题］平面x+2>_4；+i=o和平面；=o的位置关系是4)

A.平行

B.相交

C.垂直

D.重合

正确答案：A

因为-J-=-y-=二。*'彳，所以平面x

参考解析：TT

♦2》一♦I=0和平面：♦---1-3=0平行.

42

53［单选题］已知多项式f(x)=x,!—2X2-X+2,g(x)=x、'+4x2+5x+2,则

(f(x),g(x))=()。

A.(x+1)2

B.(x-1)

C.(x+2)

D.(x+1)

正确答案：D

参考解析：因为f(X)=X3-2X-X+2=(X+1)(X-1)(X-2),

g(x)=x3+4x2+5x+2=(x+1)2(x+2),所以(f(x),g(x))=(x+l)。故本题选D。

54［单选题］若直线L满足：①经过原点；②垂直于直线

〃工+1_y_］_z

：-i-=^-=T；③平行于平面n：2x+3y+4z+5=0,则直线L的方程

是()。

xy'=■z■

A.1-21

x-=—y—=,z'

B.12-1

1x=y1=z

C.-I21

x-1y+1z

D.1-2-T

正确答案：A

参考解析：由题意可知，向量m=(l,2,3)是直线L'的一个方向向量；

向量n=(2,3,4)是平面五的一个法向量。因为直线L与直线L'垂直，

与平面ji平行，所以直线L的方向向量与向量m,n都垂直，于是向

*>3I3i!i?\

,'.,=（-1.2.-I）就是直线/的一个方向向我,再结合直线/经过原点可

d34I42|23/

得.直线/的方程为』7=v=,也即彳=4：=Vo故本题选A。

-Iz-I1-2

55[单选题]

.4arcsinx八

(x+I)---------,x>0,

设/(X)=&'c且〃/0,则当a=()时那吸幻存在

0,x=0,*^o

t4/f\

,ae-11%<0,

A.1

B.2

C.3

D.-1

正确答案：B

参考解析：

计算函数/(*)在I=0处的左、右极限,lim/lx)=lim(x+I)'1T1nx=lim(x+

■1o'.TO。X»-4)>

I)—=I.Iim/(x)=limaJ-1=«-1若li叫"(x)存在，则lim/(x)=lim/(x)tBPI=o-l,所以。=2

xiV.-*<>.<-<0*

故本题选B

■001][30O'

设矩阵A=010,5=030，则A与B

56［单选题］Ll0

ojLo0

A.合同且相似

B.合同但不相似

C.不合同但相似

D.既不合同也不相似

正确答案：B

参考解析:分别计算矩阵A和矩阵B的特征值可得,A的特征值为1（-

重），T;B的特征值为3（二重），-1。由于A与日的特征值不同，所以

A与日不相似，但（同阶矩阵）A与B的秩和正、负惯性指数相等，所以A

与B合同。故本题选B。

57[单选题]设函数f(x)满足f(l)=0,f,(1)=1,求极限

../[In(l+x2)+1]

Inn—；---------=

(J\+/-1)arctanx

A.-2

B.-1

C.1

D.2

正确答案：D

参考解析：

由国意,/(工)在工=I处可导.且=0./>(1)=1.所以当*T。时,结合等价无穷

小ln(l+*1)~/可得.力ln(1+J)+1]=41)+/*(1)|n(1+x:)+o(ln(1+x2))=x2+”(/).于是

..川n(l+/)+1..x:+o(a:)x2+o(*2)

hm-----------------------=lim-...............=lim--------；------=2,故本疑选Dc

(/TT7-l)arctan.t一1………'山x

58［单选题］下列函数在［-1,1］上满足罗尔定理条件的是()。

A.y=e”

B.y=ln|x|

C.y=l-x2

D.1-r2

正确答案：C

参考解析：罗尔定理的条件是：函数f(x)在区间［a,b］内连续，在区

间(a,b)内可导,且f(a)=f(b)。A项不满足f(l)=f(T)；B,D两项不

满足在区间［T,1］内连续；c项满足条件。故本题选C。

x2,x3)="i+2々+3名+6a2%是正定二次型,

59［单选题］若f(xl,

则入的取值范围是

厂

丁-

A.3

而

而

一

-_3

B.

3,且

而

--

3,3

C.

D.*T*T

正确答案：B

参考解析：因为f(xl,x2,x3)+2X2+3君+6血%是正定二次型,

所以该二次型对应的矩阵

"100"100

A=023A的各阶顺序主子式的行列式值都大于零.即有|1|>0.=2>0.023A

.03A3.03A3

6-9A:>0.解得-g<人<亭°故本题选B,

60［单选题］若三阶方阵A的特征多项式为f(入)=入3—7入+6,则

|A|=()o

A.-6

B.-4

C.4

D.6

正确答案：A

参考解析：因为考入)=入3—7X+6=(X-1)(X-2)(X+3),所以矩阵

A的特征值为1,2,-3,于是|A|=1X2X(-3)=-6。故本题选A。

61［单选题］设有非零向量a,b,c,若a・b=0,aXc=0,则b・c=()。

A.0

B.-1

C.1

D.3

正确答案：A

参考解析：已知a•b=0,aXc=0,所以b与a垂直，c与a共线，又

由于a是非零向量，所以b与c垂直，于是b・c=0。故本题选A。

62［单选题］若f(x)的一个原函数为xlnx,则f'(x)=()0

1

A.一

B.Inx

C.e

1

D.x

正确答案：D

参考解析：已知f(x)的一个原函数为xlnx,则f(x)=(xlnx),=lnx+L

1

从而f'(x)=(lnx+l)=x。故本题选D。

如果级数£（%+，）收敛,则级数与事4

63［单选题］a■Ia«la■I

A.都收敛

B.都发散

C.敛散性不同

D.同时收敛或同时发散

正确答案：D

参考解析：

«■ttttH

由于==【（%+乩）-2,且=（仇+6）收敛,所以当收敛时•二%

■M

收敛；当发散时发散故本踮选D

64［单选题］

设I'是数域。上的三维线性空间，./是I上的线性变换若./在基下的矩阵

'1-12'

为-101，则."在基基,茗2,白下的矩阵为

.112.

•।2r

_L1_L

*，

A.LI2-I.

「t)n

B.LIII.

L—、

C.2-21J

「，,>t1

D-2-IIJ

正确答案：C

参考解析:

■0or

因为(却.为心)=(晶岛岛)02o，所以基河.七.《到基京，42,却的过渡

00.

从而./在基△.者.部下的矩阵为PAP

故本独选C

65［单选题］设函数f(x)=asinx+xsin2x,在Xo=n处取得极值，则()。

A.a=弘，f(冗)是极小值

B.a=Ji,f(n)是极大值

C.a=2TI,f(“)是极小值

D.a=2五，f(五)是极大值

正确答案：C

参考解析：计算f(x)的一阶导数和二阶导数，f'

(x)=acosx+sin2x+2xcos2x,f''(x)=-asinx+4cos2x-4xsin2x。因为f(x)

在x0=Ji处取得极值，所以f'(五)=-a+2n=0,于是a=2Ji，从而f"(无)=-2

nsina+4cos2n-4nsin2n=4>0。因此，f(x)在x0=方处取得极小值。

故本题选C。

66［单选题］向量a1=(1,-1,2,4)T,a2=(0,3,1,2)T,a3=(2,

1,5,10)T,a4=(1,-1,2,0)T的极大线性无关组为()0

A.a1,a2,a4

B.a1,a2,a3

C.a2,a3,a4

D.a1,a2,a3,a4

正确答案：A

参考解析：对以a1,a2,a3,a4为列向量组的矩阵A作初等行变

换化成阶梯形矩阵：

10

0-4

0」。由此可知，a1,a2,a4是al,

a2,a3,a4的一个极大线性无关组。故本题选A。

67［单选题］KF7^X的收敛域为

A.［-2,2)

B.［-2,2］

C.(-2,2］

D.(-2,2)

正确答案：A

参考解析：.

令%=J-.由于lim/TET==".所以级数f一~r"的收敛半径为2、当*=

2N

K\丁।2、2(...

2时,y―1—x"=y工(调和级数),此时级数发散；当x=-2时,y-•/=y--\此时由莱布尼

^r|2•nirinCl2”71n

茨交错级数判别法知.级数收敛因此.V-A-r的收敛域为［-2.2)故本题选AD

rrl2•n

68［单选题］设随机变量X~B(n,P),且E(X)=1.6,D(X)=1.28,则

Oo

A.n=5.p=0.32

B.n=4.p=0.4

C.n=8.p=0.2

D.n=7.p=0.45

正确答案：C

参考解析：已知X〜B(n,p),所以E(X)=np=l.6,D(X)=np(l-p)=l.28,

两式联立解得，n=8,p=0.2o故本题选C。

69［单选题］若」=(2,1,t)T可由a1=(1,3,1)T,a2=(-1,2,4)T,

a3=(-2,1,5)T线性表出，则t=()。

A.-2

B.-3

C.1

D.2

正确答案：B

参考解析：若B可以由向量组线性表出，则线性方程组xla1+x2a

2+x3a3=0有解。对线性方程

■|-|-22-

纲+七4+=Q的增广矩阵A作初等行变换化成阶梯形矩阵:A=3211一

.145t.

I-22'

057-5-»057-5，要使方程组杓解,需令，+3=0,即/=-3。故本题选B

.057-2JLO00/+3.

1

70［单选题］函数f(x)=x2-嚏的间断点及其类型是()。

A.x=0,可去间断点

B.x=0,跳跃间断点

C.x=0,第二类间断点

D.x=l,跳跃间断点

正确答案：C

参考解析：

因为函数/(K)=/-J"是初等函数，且仅在X=0处无意义，所以/(*)仅有一个间断

点X=。.乂=-X.Iim/(x)=♦8,所以x=0是第二类间断点.故本题选C

.f.1-4)*

■11r

设4=201淖是3阶非零矩阵，且48=0,则。=

71［单选题］-】〃0

A.-1

B.0

C.2

D.1

正确答案：D

参考解析：(方法一)因为AB=0,所以B的列向量都是齐次线性方程组

Ax=0的解，又B是非零矩阵，所以齐次线性方程组Ax=0一定有非零解，

于是

11I

\A\=201=a-1=0.解得a=I

-I«oo故本题选Do

(方法二)因为48=〃,所以有r(A)+r(«)W3,乂8六。.所以r(8)2I,于是r(A)<3,从而行列式

I11

\A|=201=”-1=0.解得“=1故本题选D

0

72［单选题］

二次犁/(.：1，2，小)=*+*；+*；+以氏+4X1*3+4”3的规范形是

A.-Z：-3+£

D.-I42勺

C.£+5+《

D.Z；-2：+2；

正确答案：A

参考解析：

-122-

二次型/(孙,孙,勺)对应的矩阵为矩阵A=2I2。因为矩阵A的特征多项式为

.22I.

A-1-2-2

|A£-4|=-2A-I-2=(八+l>(A-5),所以矩阵4的特征值为-1(二iR),5.于是矩阵

-2-2A-I

4的正惯性指数为1.负惯性指数为2.从而二次型的规范形是+*故本题选.1

^arrtaiu

73［单选题］设'⑺=/7/⑴山，加)连续，则"幻=

.;----/(arctanx)-a'f\a')

A.1+/

--arctaiu)-u'lna/"(a')

D.I+r*

--~~f(arclanx)+a'1naf(a')

C.1+r*

口［：/(arctanx)-a"nV(a*)

正确答案：B

参考解析：根据变上限积分求导公式，F'(x)=f(arctanx)(arctanx)'

-f(ax)(ax)，=木"-故本题选B。

74［单选题］极限上吗"行的值为

A.0

B.+8

C.5

D.In5

正确答案：C

参考解析:

limJi+5,结合函数图像可知.当

•一♦*

5

x-+X时5的增长速度远远快fX5的增长速度,所以lim—=0.进而可知.lim%’+5,=5故本题

■一♦・511•0

itC

75［单选题］

直线，叱；2：-z=7直线“詈6厂3z»的关系是

,-2x+y+z=712x-y-z=0

A.L±U

B.L与L2相交但不垂直

C.Lt//L2

D.L与iLz是异面直线

正确答案：C

参考解析：

*j*

直线。的一个方向向量孙=I2-1=(3.1.5),直线％的一个方向向量町=

-211

iJ*

36-3=(-9.-3.-15).易知力〃町，且。上的点(-14.0,-21)不在右上，所以。〃4，故本翘

2-1-I

冼C.

76［单选题］

■210'

设矩阵A=120，矩阵A满足A&T=25A.+E,其中A•为4的伴随矩阵,E是单

Loo1.

位矩阵,则旧1=

1

A.10

1

B.9

1

C.8

1

D.7

正确答案：B

参考解析：由题意可知，|A|=3,则A*A=AA*=3E。在等式ABA*=2BA*+E

两边同时右乘

A.化简得3(4-2E)B=4,所以|川=J故本题选B：

3IA-2E"

77［单选题］设二次型f(xi,x2,X3)=2~+3马+3%+2数正定，则

实数a的取值应满足()。

A.a>9

B.-3<a<3

C.3WaW9

D.aW~3

正确答案：B

参考解析：因为二次型f(X1,X2,X3)=+3埼+3考+2公2%=xTAx=区,

X2,

•20O"

20

x,)0