高中数学：崇仁中学高一数学寒假作业十二答案

第12练任意角与三角函数、诱导公式

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积累运用

【知识梳理】

1.任意角

1)角的概念：

角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.

2)角的分类：

名称定义图示

一条射线绕其端点按逆时针方向旋

正角上

转形成的角

一条射线绕其端点按顺时针方向旋

负角

转形成的角

零角一条射线皿做任何旋转形成的角。＞-----A(B)

2.象限角

把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边

在第儿象限，就说这个角是第儿象限角:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.

3.终边相同的角

所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合S={£W=a+/360。，k&Z},即任一与角a终

边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和.

4.度量角的两种制度

定义用度作为单位来度量角的单位制

角度制

1度的角等于周角的志

1度的角

定义以弧度作为单位来度量角的单位制

弧度制

1弧度的角长度等于半径长的圆弧所对的圆心角

5.弧度数的计算

(1)正角：正角的弧度数是一个正数.

(2)负角：负角的弧度数是一个负数.

(3)零角：零角的弧度数是。.

(4)如果半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为I,那么，角a的弧度数的绝对值是

6.角度与弧度的互化

角度化弧度弧度化角度

360°=27trad2兀rad=360。

180。=nrad7irad=180°

711M号，心57.30。

1°—rad^0.01745rad

1QoUn

符。=度数

度数X］；0—弧度数弧度数

7.任意角的三角函数的定义

如图，设a是一个任意角，

条件aSR,它的终边OP与单位圆

交于点P(x,y)

点P的纵坐标y叫做a的正弦函数，记作sina,

正弦

即尸sina

点P的横坐标x叫做a的余弦函数，记作cosa,

余弦

即x=cos_a

点P的纵坐标与横坐标的比值*叫做a的正切，

定义正切

记作tana,即:=laaa(xWO)

正弦函数、=$布入，x^R

余弦函数)=以)$工，

三角函数x£R

TT

正切函数旷=12口心

8.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号

1.图示:

sina

2.口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.

9.同角三角函数的基本关系

关系式文字表述

一

同一个角a的正弦、余弦的壬

平方关系sin2a+cos2a=l

方和等于1

sina

—tana

cosa----同一个角a的正弦、余弦的商

商数关系

等于角a的正切

10.诱导公式

公式一(sin(a+2E)=sina,cos(a+2E)=cosa,tan(a+2k.it)=tana,其中

公式二sin(7r+a)——sina,cos(兀+a)=­cosa,tan(兀+a)=lana

公式三sin(—a)=­sina,cos(—a)=cos_a,tan(—<z)=­tana

公式四sin(7t-a)—sina,cos(兀—a)=­cosa.tan(7i-a)=­lann

公式五sin(5-a)=cosa,cos(2-a)=sica

公式六sin(^+g)=cosa,cos+a)=­sina.

①记忆方法：2M+a（kGZ）,-a,灶ag77±"a与a的三角函数值，等于a的同名函数值，前面加上一个

把a看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”.

②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名：“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看

象限”是指假设a是锐角，要看原三角函数是取正值还是负值，如sin（7t+a）,若把a看成锐角，则n+a在

第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin（7i+a）=-sina.

【易错点拨】

1.混淆概念、以偏概全、弧度与角度混用.

2.锐角与小于90°角的区别，终边相同角的表示中漏掉住Z.

3.三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点无关.

4.求值时注意a的范围，如果无法确定一定要对a所在的象限进行分类讨论.

5.函数符号的变化，角与角之间的联系与构造.

基础过关练

1.（2021•江苏省镇江中学高一期末）下列选项中与角a=1680。终边相同的角是（）

A.120°B.-240°C.-120°D.60°

【答案】C

【解析】

与a=1680。终边相同的角为£=1680。+360*,keZ,当％=—5时，/?=1680o-360ox5=-120°,C选项

符合要求，经过检验，其他选项不符合要求.

故选：c

2.（2021•江苏常州•高三期中）已知角A是AABC的内角，贝『飞出4=走”是“人=£”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件

【答案】C

【解析】

因角A是“ABC的内角，则0<A<?r,

当$汕4=吏^时，A=—^A--,即sinA=«^不一定能推出人=工，

24424

若A=f,贝ljsinA=sin工=—,

442

所以“sinA=立”是“A=£”的必要不充分条件.

24

故选：C

3.（2021•江西赣州•高三期中（理））当外（0,口，若可胃-力一;，则sin,+2）的值为（）

A.；B.无C.-立D.--

2222

【答案】B

【解析】

因为cos（K-g）=-cos（万一（•^-6））=-cos（看+6）=-；,

所以8$仁+0）=；,

故选：B

4.（2021.上海奉贤.高二期末）在平面直角坐标系xOy中，角。的顶点与坐标原点O重合，以3的正半轴为

角。的始边，终边经过点（-3,4）,贝Ucose=.

【答案】-13

【解析】

解：因为角。的顶点与坐标原点。重合，以3的正半轴为角。的始边，终边经过点(-3,4),

-33

所以‘°杵再k；

3

故答案为：—-

5.(2021•上海市延安中学高一期中)已知。=3,则a是第象限

【答案】二

【解析】

•.•1<3〈万，故a属于第二象限.

故答案为：二.

6.(2021•全国一期末)已知sin(—x)=—,且0<xvg,则sin(—Fx)—cos(——+x)=

34263

【答案】叵

2

【解析】

由sm仁7尸产8S%+X尸"而。<》<5，二<'+%<7,

原式=sin(V+x)-cos[]+^+x)=2sin(^+x)=

故答案为：叵

2

7.(2021•陕西韩城•高一期末)已知。£(0卷)，且ta/a-tana-2=0.

(I)求tan(%-a)的值；

.(202U).oc\

„sin+a-sin(20214一a)上八二

(ITTI)求I2J'的值.

cos(-a)+2sin(4+a)

【答案】(I)—2；(II)

【解析】

(I)Vccef0,yj,/.tana>0.

由tan?a-tana—2=0,解得tana=2,或tana=-l(舍去).

tan(zr—a)——tana=-2,

.(202E)./e、

sm--------+a—sm(2021万一a).

(HTT)I2)_cosa-sina

cos(-a)+2sin”r+a)cosa-2sina

1-tana_1

1-2tancr3

8.（2021・山西・万荣县第二中学高一期末）己知一―-——=-

3sina+2cosc4

（1）求tana的值;

（2）求sin（万一a）sin（4一a］的值.

2

【答案】（1）2；（2）

【解析】

4cosa-sina1

--------------------=—.,.16cosa-4sina=3sina+2cosa»14cosa=7sina

3sina+2cosa4

因此，tana=2；

./、.，3.sinacosatana22

(2)・.・sin(4一a)sin------a=-smacosa=------------------—=-------0-------=——-——

I2)sin-a+cos~atan~a+l2-+l5

2sin（a+cos（a-〃4）/

9-（2M•全国•高一课时练习）证明：/sin；j/=（f.a，-Z.

【答案】证明见解析

【解析】

证明：当〃为偶数时，令〃=2左，keZ,

_2sin(a+2A:^)cos(a-2^)_2sinacosa_2sinacosa_

Jx1力=7r7r=—=COSCt.

sin(a+2k7i)+sin(a—2kTT)sina+sina2sina

右边=（一1户cosa=cosa,；・左边二右边.

当〃为奇数时，令〃=24—1,kQZ,

2sin(a+2k兀一")cos(a-2k兀+4)

左边=

sin(a+2k/r一4)+sin(a—2k7v+4)

2sin(a—4)cos(a+万)

sin(a—+sin(a+%)

2(-sincif)(-cosa)2sinacos«

=T*2------，---------=-----------------=-cosa.

(-sina)+(-sina)-2sina

右边=(-l)"Tcosa=-cosa，，左边二右边.

2sin(a+及乃)cos(a-加)

综上所述,=(-l)ncoscrnwZ成立.

sin(a+〃4)+sin(a-n/r)

10.(2021・广东・东莞市东华高级中学高一期中)如图，在平面直角坐标系中，锐角a和钝角£的顶点与原

点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于48两点，且。4,08.

(1)求的值;

34

cos(%一尸)sin——+a

2

3

(2)若点A的横坐标为《，求2sinacos/?的值.

32

【答案】⑴-1：(2)

【解析】

(1)

<夕=一+a,/.sin/?=sin—+a=cosa,cos^=cos—+a=-sina,

sin(^+«)cos—+J3.n

\<2)_sinasinp_sinacosa_(

/a、.(3冗)cosacosZ?sinacosa

cos(^-p)sinl—+aI产

(2)

334

:点4的横坐标为《，cosa=",sina=",

a\-4

cosp=cosl—+6r1=-sma=~—,

c.Qc4/4、32

••2sincccosyff=2x—xl——l=-.

11.（2021•江苏•高一课时练习）已知〃€（0,左），且sin（半一a）+cos（弓+a）=夸

/l+sincr1+COS6Z出

(1)求cosaJ--------+sinaf-------的值;

Vl-sin«1-COS6T

/八#sin%-5cosa底

(2)求-----------「值.

4sina+2cos'a

【答案】(1)—史(2)日

54

【解析】

（1）由题意5亩（当一0）+（：05（'^+0）=—（：051一$仙0=当,

…cosa+sina=-----，

5

•'­aw弓，兀)，联立sin?a+cos2a=1,

解得sina=^，coscz=

55

则

11+sina1+COS6Z(1+sincr)2(1+cosa)2

cosa.I--------+sina--------=cosa.------------Fsma

v1-sina1-cosa1-siiral-cos2a

1+sina.1+cosa3火

=cosa-+--s-i-n-a-----------=cosa—sina=------

-cosasina5

-、i,,、心sina1sin%」，cos2a=±

(2)由(1)知tana=-----=一一

cosa255

I

—x-5

sin3a-5cosa_sin2atana-5551

4sina+2cos%4tana+2cos2a

4x+2x—

5

12.（2021•上海市延安中学高一期中）已知正弦三倍角公式：sin3%=3sinx-4sin3x①

（1）试用公式①推导余弦三倍角公式（仅用cosx表示cos3x）；

cin3a3cos3a,,..

⑵若角a满足能=5,求-----的值.

cosa

【答案】(1)cos3x=4cos3x—3cosx：(2)

【解析】

(1)Qsin3x=3sinx-4sin3x

/.cos3x=-sin[—+3xI--sin3(1+xH=-3sin[^+A-j+4sin4y+x

I2J

=4cos3x-3cos^

/八八sin3a33sina-4sin%_.3

(2)Q———=-,--------------------=3-4xsin2'a=一

sina2sina2

解得：sin2a=-,DPcos2a=\-sin2a=]--=-

cos3a4cos3a-3cosa

=4cos2a-3=4x——3=——

cosacosa82

13.(2021•上海•高一期中)已知函数/*)=-/.

(1)若/(cos2j+2msin6)+/(—26—2)>0恒成立，求用的取值范围;

g(x)1~71

(2)若g(x)=/(3sin(乃+初,是否存在实数x,使得(；+马+"GQ