重难点03 向量的数量积与应用十二大题型-2022-2023学年高一数学下学期期末复习【重点·难点】（解析版）

重难点03向量的数量积与应用十二大题型汇总

期末题型解读

题型6向量数量积的最值取值范围问题题型12向量与三角函数结合问题

满分技巧

技巧一.求投影的两种方法：

(1)6在a方向上的投影为罔cos或助a,6的夹角)，a在6方向上的投影为|a|cos9.

(2)6在a方向上的投影为丁丁，a在6方向上的投影为市.

同罔

技巧二.求平面向量数量积的步骤

⑴求a与6的夹角区先[0,TX];

(2)分别求同和团；

⑶求数量积，即aS=同罔cos8,要特别注意书写时a与6之间用实心圆点”连接，而不能用"x"

连接，也不能省去.

技巧三.求向量的模的常见思路及方法

(1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用用=同2,勿忘记开方.

(2k7=坪=同2或词=占,此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.

(3)一些常见的等式,如(a±6)2=a^±2a-b+&,(a+b)・(a-b)=H-勿等.

技巧四.向量夹角为锐角(钝角)的充要条件

①两个向量a,6的夹角为锐角=a・6>0且a,6不共线；

②两个向量a,6的夹角为钝角oa・b<0且a,6不共线.

技巧五.平面向量最值范围问题的常用方法

1、定义法

第1步：利用向量的概念及其基本运算将所求的问题转化为相应的等式关系；

第2步：运用基本不等式求其最值问题；

第3步：得出结论.

2、坐标法

第1步：根据题意建立适当的直角坐标系，并推导关键点的坐标；

第2步：将平面向量的运算坐标化；

第3步：运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数思想等求解.

3、基底法

第1步：利用基底转化向量；

第2步：根据向量运算化简目标；

第3步：运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数等得出结论；

4、几何意义法

第1步：结合条件进行向量关系推导；

第2步：利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹；

第3步：结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围.

题型1向量的投影

【例题11(2023秋•北京•高一北京师大附中校考期末)已知平面向量方，方是非零向量，回=2,方，

(H+20),则向量方在向量切向上的投影为()

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】A

【分析】首先通过条件》，(万+2力求得方•£7=-2,然后根据数量积的运算公式求出|£?|■□□□□,

进而求解诙助向上投影.

【详解】•••平面向量与谈非零向量"方|=2,方，(O+2D),

:.□,+2EJ)—口,LJ+2ZZ7-口=|+2。.ZZ7=44-2ZZ7,口=0,则□=—2.

设方与分角为O,力.五=\h\.\b\-口口口口=一2,典\\b\-□□□□=3=一、，

in

•••方在加向上投影为一1

故选：A

【变式1-1](多选)(2023春•四川成都•高一成都实外校考期末)下列四个命题为真命题的是()

A.若向量4H满足号/方，UIID,则与/方

B.若向量方=(1,-3),方=(2,6),则女方可作为平面向量的一组基底

C.若向量方=(5,0),D=(4,3),则正在方上的投影向量为管,£)

D.若向量。、Q茜足回=2,同=3,O£7=3,则=

【答案】BC

【分析】取斤=6,可判断A选项；利用基底的概念可判断B选项；利用投影向量的概念可判断C选项；

利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.

【详解】对于A选项，若方=OHO/O,DUD,则反诉一定共线，A错；

对于B选项，若向量斤=(1,-3),方=(2,6),则1x6力2x(-3),则与声共线，

所以，n方可作为平面向量的一组基底，B对；

对于C选项，因为向量£7=(5,0),U=(4,3),

所以，方在日上的投影向量为同cos.R.意=回•器•斤=胃.斤=靠4,3)

=(需)，c对；

对于D选项，因为向量立方满足回=2,同=3,方1=3,

则目+q=](方+可=旧+旧+21•斤=、4+9+2x3=同，D错.

故选：BC.

【变式1-2】(2022春•上海浦东新•高一校考期末)已知向量方=(-2,V3)，方=(1,-V3)，则向量方在朝

向上的数量投影为.

【答案】*

【分析】利用平面向量的投影的定义求解.

【详解】解：因为向量方=(-2,V3),D=(1.-V3),

所以向量那朝向上的数量投影为瞽=—x(-8)=_।,

回2

故答案为：—|

【变式1-3](2022春•上海浦东新•高一校考期末)已知0(1,1),0(2,1),£7(-1,-2),0(3,4),万加向上的

单位向量为办，则向量oh在缶方向上的投影向量为一.

【答案】警方

【分析】根据投影向量的定义求解即可得解.

【详解】由已知得济=(1,0),力=(4,6),

故万生晶上的投影向量为笔掌方

\DU\2V1313

故答案为：粤方

【变式1-4](2022春•上海浦东新•高一上海市建平中学校考期末)已知立方的夹角为与，设方=言+信，

则市在日上的数量投影为一.

【答案】|/1.5

【分析】由看，春分别表示在与朝向上的单位向量，结合已知可得g=V5且与方的夹角为管,进而

I。臼6

可求方在直上的数量投影.

【详解】由修，昌分别表示在与朝向上的单位向量，且瓦方的夹角为g,

I。I。3

由方=佟+W知：I方I=g且与方的夹角为名,

|D||O|6

所以那底上的数量投影为值COS今=2

故答案为：I

【变式1-5］（多选）（2023秋•云南•高一云南师大附中校考期末）设方,送互相垂直的单位向量，用=

£70+20,W=^+（0-1）0,下列选项正确的是（）

A.若点C在线段AB上，则口=2

B.若□□1□口,则£7=|

C.当。=1时，与方雄线的单位向量是/万+等方

50

D.当。=—1时，入在方万上的投影向量为2万一（万

0D

【答案】ABD

【分析】对A:根据向量共线分析运算，•对B:根据向量垂直运算求解，•对C:根据单位向量分析运算；对

D:根据投影向量分析运算.

【详解】由题意可得：n2=~n=i,o-n=o,

对A:若点C在线段AB上，则|=（1,+~），则用+2方=£7p+（£7-1）q=£70+

口（口一1）0,

可得｛〃（史g=2，解得。=口=2或口=£7=—1（舍去），故A正确；

对B:由Z7£7J.口口，可得历.（Z7H+2D）•p+（£7-1）回=CD+（4-O+2）~D-斤+

一2

=3〃-2=0,

解得。=|,故B正确；

对C:当£7=1时，则|西=|百+2回=J（方+2功2=J^+4斤•斤+4^=V5,

与方正线的单位向量是±等=±（9方+等巧，故C错误;

对D:当£7=—1时，可得Q.正=」.（方—2巧=^-2一•方=1,|W|2=J（方—2功2=

后_4万万+右=V5,

则加天上的投影向量为（回cos<nw>）g=同疆易=箫用气晶=P-

W，故D正确.

□

故选：ABD.

题型2向量的数量积

【例题2］（2022春•河南濮阳・高一统考期末）已知等边三角形O0O0勺边长为1，设吊=万,DD=D,

历=方，那么斤・斤+斤・万+斤・方=（）

A.3B.-3C.ID.-I

22

【答案】D

【分析】结合等边三角形的特点和向量的夹角公式计算即可.

【详解】在等边三角形口口。中，

.―….,—-—T——T——TO

有口+□+□,□=1x1xCOS1200+1x1xcos120°+1x1xcos120°=--.

故选：D.

【变式2-l］（2022春福建福州•高一校联考期末）如图，在△口口田/口口口=♦方方=200.磔

0%一点，且满足品=口^+；方方（£7€9，若。£7=3,£70=4,则晶.配的值为（）.

c

【答案】C

【分析】由p、c、D三点共线及晶=2毛，可求m的值，再用比,乍基底表示吊，进而求才・

OZ%]可.

【详解】•.•济=历(L7eR),用=2用，

即O£7=I口血口口=IDD+g□口,

OJJ

，....・,3

：，□□=□□□轧口口(口€R),

又C、P、D共线，有0+5=1,即0=(,

松口口=三口口+;口口,而口口=□□+□□,

.•.无=|(金+运)+!晶=用+;方万=1济-历

：^D-~aD=(^UD+WD)^DD-DD)=~DD-=鲁2-：=算

、42八373343412

故选：c

【变式2-2](2021春浙江•高一期末)已知向量斤，D,满足回=1,U=(-2,1),且目-回=2,则

0.0=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】求出方的模，利用©-回=2即可求出方.方的值.

【详解】由题意，

同=1,口=(-2])，且Q-q=2,

.-.|q=J（^2）2ZI2=V5,

p-o|=+~D-2D-~D=]同2+回2_2方,方=Jl2+（V5）2-2H-n=2,

解得：万万=1,

故选：C.

【变式2-3]（2021秋•广西•高一统考期末）如图，在菱形OOO。中,历=；方万宓=2UU.

（1）若显=ann+ODD,求30+2中值；

（2）若=6,乙□□□=60°,求~OD.

【答案】⑴-1

⑵-9

【分析】（1）由题意可知晶方方-1方方，即可求解；

（2）OO=~DD^~DD,从而无•方方=（晶+~DD）.（；方万—|运）即可求解.

【详解】（1）因为在菱形口。口中,W=配用=2W.

故历=历+历=；万万-|方方，

故口=一：,口=，所以3。+2。=-1.

（2）显然济=历+历，

所以用•用=（W+W）-（5W-1W）

o.21■,21,»

=-：□□一：□□,□□……①，

326

因为菱形。。。。,且|ZZ7ZZ7|=6fz□□□=60°）

故|方。=6,（万日方可=60°.

所以方方-OO=6x6xcos60°=18.

故①式=-^X62+JX62-^X18=-9.

o2o

故口口,□口=—9.

【变式2-4］（2022春•上海浦东新•高一校考期末）如图，在△口口田,□□=3,□□=4,乙口=1匚为

边。二的中点•设向量历=D,向量方斤=万，求：

(1)|20+0|；

⑵求品•历.

【答案】⑴2闻

（2）|

2

【分析】（1）利用数量积的运算律计算出（2万+巧即可.

（2）变形牛•方方=：（方方+W）.（DD-~un）,然后利用数量级的运算率计算即可.

【详解】（1）（2斤+⑦之=4斤2.力+右=36+4x3x4xcos^+16=76,

二|2万+D\=2V19.

（2）OO-=X历+玩）-（市--~HD）=1（16-9）=^.

题型3向量的夹角与余弦值

【例题3］（2021春河南郑州•高一统考期末）已知衣，口是夹角为60°的两个单位向量，设向量万=2万+

瓦，斤=-3瓦+2瓦,则石方的夹角为（）

A二爪B二爪C.〉D.沃

3636

【答案】C

【分析】由已知求出工•友=J,根据数量积的运算求出方2,^,万・与勺值，进而根据数量积的定义,即

可得出答案.

【详解】由已知可得，万•％=|立|•|五|cos60。=1,

所以。=(2ZZZ|+CjQ=A口[+口?+4□],口2=4+1+2=7,

口=(-3a+2/^2)=9+4ZZ^—12EJy-O2=94-4—6=7r

口・□—(2ZVi+口外.(—3口、+2口9-—6口[+口、，口2+2口2=-6+5+2=-],

所以同="，同=V7,

所以,cos但可=褊=行&=一；，

所以，佗可=今

故选：C.

【变式3-1](2021春・陕西汉中•高一校考期末)已知方，斤为单位向量，且斤•斤=0若方=2D-厮,

且方与方的夹角为6,贝[|cos〃=()

A.JB.4C.(D.\

2333

【答案】C

【分析】根据数量积的运算律求方•百，再求|回,根据向量夹角公式求cosO.

【详解】因为方，方为单位向量，

所以同=回=1,

由方=2D-,可得■方•~D=~O-(20-前巧=2D-~D->/5D-~H,

又力•力=0,

2

所以斤•方=2同=2,

回=|2O-VSq=J(2O-V5O)2=方-4V的.斤+5斤.刁,

所以同=14同2+5同2=3,

所以cos。=需=?,

故选：c.

【变式3-2](2020秋・安徽黄山•高一统考期末)某河流南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到

北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为=8km/h，水流的速度的大小为匹卜4km/h，设后和

口的夹角为0(0°＜。＜180°),北岸的点B在A的正北方向，游船正好到达B处时，cosO=()

A.造B.一咚C.；D.—；

2222

【答案】D

【分析】设船的实际速度为方，则方=互+直，由题意可得方_L%,即万•瓦=0,代入计算即可求

出答案.

【详解】解：设船的实际速度为方，则方=斤+直，

北岸的点。在中正北方向，游船正好到达a处，则方，玄,

所以方.口=0,

即(4+ZZZj)•口2=|ZZZj|•|LJ21,COS/Z7+=32cos/Z7+16=0,解得cos0=—,

故选：D.

B

Av2

【变式3-3](2021春・安徽宿州•高一校考期末)已知△口。石个顶点的坐标分别为0(3,4),0(0,0),

□【□a.

(1)若方方•历=0,求c的值；

(2)若。=5,求cos〃0勺值.

【答案】⑴等

磅

【分析】(1)利用平面向量数量积公式列出方程，求出C的值；

(2)由平面向量夹角坐标公式计算出答案.

【详解】(1)(-3,-4),W=(£7-3,-4),

由方方•方方=0,可得：一3(0-3)+16=0,

所以。=会

(2)若0=5,则用=(2,-4),

.n__(-3-4)(2,-4)_-6+16_V5

■C0SL7=函.国=A/9+l6xV4+i6==T

题型4向量的模长

【例题4](2021春・吉林长春・高一长春市第二十中学校考期末)平面向量方与方的夹角为g,若方=

(2,0),同=1,则回+2司=()

A.V3B.2vse.4D.12

【答案】B

【分析】确定同=2,计算©+2回2=万2+4方万+4万2=12,得到答案.

【详解】O=(2,0),则|胃=2,p+2O|2='O+40-O+W=4+4x2x1xcosg+4=12,

故.+2回=2vs.

故选：B

【变式4-1](2020春•陕西•高一统考期末)已知向量与方的夹角为手，回=鱼，回=1，则|3方-同=

()

A.4B.5C.4V2D.5V2

【答案】B

【分析】根据平面向量的数量积公式可得方•方=-1,再根据|3方-方|=J(3斤-己)2可求得结果.

【详解】因为万方=|向回cos]=V5x1x(-')=-1,

所以|3万一~n\=J(3万-42=J毋_6万n+~n=W8+6+1=5.

古嫡：B

【变式4-2](2021春・湖南邵阳•高一统考期末强口,□$O,向量方=(£71)万=(1,0万=(2,-4),

且方1斤，动|万，则国+同=().

A.V5B.2V5C.ViOD.10

【答案】C

【分析】先利用向量垂直求出。，再利用向量平行求出〃，进而可得斤+下的坐标，则|方+同可求.

【详解】•,•O1O,0=(271),O=(2,-4)

O-n=2£7-4=0,

・•・£7=2,

v£71|ZZ7,£7=(1,£7),

：・2口=-4,

••・□=-2,

.-.0+0=(2,1)+(1,-2)=(3,-1),

•••|Z27+/j|=V9+1=ViO.

故选：C.

【变式4-3](2023秋•辽宁锦州•高一统考期末)已知向量方=(2,0),D=(1,2),且(方-3D)II(20+

困(OeR),则|2万+也为()

A.2V37B.4V37C.2质D.4质

【答案】A

【分析】首先求出方-3与2D+的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，求出参数。的值,

最后根据向量模的坐标表示计算可得.

【详解】因为方=(2,0),D=(1,2),所以方—3方=(-1,-6),

20+仍=2(2,0)+£7(1,2)=(4+0,20),

又(E-3巧〃(2万+,所以-1x277=-6x(4+。,解得£7=-6,

所以汨+£70=(-2,-12),则k方+/=V(-2)2+(-12)2=2V37.

故选：A

【变式4-4](2022春•江苏无锡•高一辅仁高中校考期末)已知三角形ABC中，点G、O分别是△□□阖

重心和外心，且方方・00=6,|OO|=2,则边勺长为.

【答案】6

22

【分析】由数整只的定义得出外心会足醺：历=,西2=Ino(uo.W=^|W|=

g亩,由中线向量性质用=|万方吊+期=家西+用,再由数量积的运算得出

W2+~DD=36,利用品="方斤+配)平方后求得历•无=0,即。口口,然后由直角

三角形性质得长.

【详解】如图，延长。口交。。于£7,连接口口，作口□，口不口，则a。分别是£7。的中点，

W-~an=|W||W|cow乙□□口==inn,

同理方斤•方斤二g|历|2二^^斤？，

万方•方斤=：(无+闻)・方斤=?(万万•方方+方方•运)+nn)=6,

336

2&

=36,

又国=3,

iI,।I.・[2.....,'，♦——'>2.....>2>，—>

即?|□□+ud\=3,|L7£7+叩=002=□□+uu+2[JU-£70=36,

所以历•市=0,即OO1口□，

所以|曰=2|W|=6,

【变式4-5](2021秋新疆乌鲁木齐•高一乌鲁木齐市第二十中学校考期末)已知画=4方|=3,(20-

34.(2万+4=61.求：

⑴国瓦勺夹角.

(2)|ZZ7+£7|.

【答案】(瑞

⑵尺

【分析】(1)把(2方-30)•(2万+力=61展开，代人已知数据，结合数量积的公式求出夹角的余弦公

式，即可得夹角；

(2)由©+可=J(方+力2,利用向量数量积计算.

【详解】(1)g=4,©=3,(2万一3D)-(2D+H)=61,

4万之_43万-3万=61,即4x42-4x4x3cos(日可-3x32=61,

•••cos(ZZZd=一；.

又；叵R的取值范围为[0,又，••・何可埒.

22

(2)7(O+力2=方2+^+2斤.^=4+3+2x4x3x(-i)=13

可得回+回=J(O+U)2=VT3.

题型5参数取值问题

【例题5](2022春•上海浦东新•高一校考期末)已知平面向量用=(-1,。，历=(2,1),若小口□口

是直角三角形，则中可能取值是()

A.2B,-2C,5D.-7

【答案】A

【分析】计算/=(3,1-D),考虑当O是直角顶点，。是直角顶点，。是直角顶点三种情况，根据向量

的数量积为0得到答案.

【详解】~nn=(-1,U),~on=(2,1),则舒=~no-~nn=(3,1-o),

当季直角顶点时：~DD-(-1,口•(2,1)=-2+0=0,£7=2;

当。是直角顶点时：~5O=(-1,口•(3,1-。=-3+£7—炉=0,无解；

当兵直角顶点时：W.(3,1-Z7)-(2,1)=6+1-£7=0,H=7;

综上所述：0=2或0=7.

故选：A

【变式5-1](2022春•江苏无锡•高一辅仁高中校考期末)已知向量方=(-4,3),点0(1,1),27(2,-1),记

D方为百斤在向量方上的投影向量，若仃仃=仃壬，则□=()

A.IB.-IC.D2

5555

【答案】B

【分析】根据投影向量的定义求解.

【详解】由已知Z7ZZ7=(1,-2),£7=-4-6=-10,|/j|=5,

无在向量方上的投影向量为dd=窖・高=q•方=一]方，

同目55

所以

□

故选：B.

【变式5-2](2022春・上海普陀•高一校考期末)已知向量与刀的夹角为同=1,回=2.

(1)求万加值；

(2)若2万-通口血+下垂直，求实数t的值

【答案】⑴-1

⑵2

【分析】(1)根据数量积的定义运算求解；

(2)根据向量垂直结合数量积的运算律运算求解.

【详解】(1)由题意可得:D-D=同.回cosy=1x2x(-l)=-1.

(2)若2方-函中+，直，则(2斤-⑦•(/+司=2£7^+(2-=0,

即2。一(2-£7)-4=0,解得口=2.

【变式5-3](2021春•河南商丘•高一校考期末)已知向量方=(-3,1),H=(1,-2),方=方+

£7^(Z7eR).

⑴若国向量2方-央直，求实数厅勺值；

(2)若向量方=(1,-1),且方与向量㈤+方平行，求实数。的值，并判断这时日与向量。方+方同向

还是反向.

【答案】⑴|

⑵。=一】反向

【分析】(1)求出方与2万-斤的坐标，然后利用向量垂直的坐标公式列方程求解即可；

(2)求出心与㈤+方的坐标，然后利用向量平行的坐标公式列方程求出实数勺值，进而可以得到心与

向量上+方的关系，从而得到其方向关系.

【详解】(1)由已知得方=斤+团=(-3,1)+£7(1,-2)=(-3+£7,1-2/7),

2O-O=2(-3,1)-(1,-2)=(-7,4),

O与向量20-/_便直

(-3+£71-2口•(-7,4)=-7(-3+£7)+4(1-2D)=0,

解得0=]

(2)VO=(1,-1),n=(1,-2),

DD+~D=£7(1,-2)+(1,-1)=(O+1,-20-1),

•••万与向量用+之平行，斤=(一3+。1—20,

(£7+1)(1-2口=(£7-3)(-2Z7-1),

•••Z7=-g，

此时斤=(dl),用+方=(|，v),

•••□―—51口□+ZZ7^,

O与向量。ZZ7+乙反向.

【变式5-4](2020秋福建三明•高一统考期末)如图，在AOBC中，点A是BC的中点，点D在线段0B

上，且OD=2DB,设用=方，~DD=D.

⑴若同=2,同=3,且方与方的夹角为/求(2万+U)-(D-D)；

⑵若向量无与无+k五磔线，求实数k的值.

【答案】⑴-1-3V3

【分析】(1)利用向量的内积公式，计算可得答案.

(2)根据题意，得到方方=2万一万，W+E2DD=(20+1)》一9方方，

根据用与无+k玩共线，且方与之不共线，列出方程，求解可得答案.

【详解】(1)因为同=2,同=3,且国方的夹角为/所以,0-0=|D|-|o|-cosf=373,

所以(2万+~U)-(D-D)=20-~D-O-=-1-3V3

(2)由题图得，~CD=2nn=2nn-~DD,用=用+定=—|晶+

2DD-~Dn^2DD-l'DD,

因为历=》，~DLJ=~D,所以方斤=2万一万，方斤=2万-|方，

所以方方+£700=O+n(2O-|U)=(2Z7+1)万一|中，

若无与百斤+k方双线，则存在实数入，使得方方=£7(W+non),

即2方-方=。[(2£7+1)万一|唱,所以(2-2Z7O-0存=(1-1DD)D,

因为。与冰共线，所以11_£〃〃=0，解得g,所以实数加值为*

【变式5-5](2022秋•辽宁・高一大连二十四中校联考期末)平面内给定三个向量方=(3,2),D=(-1,2),

D=(4.1).

(1)若(方+DO)H(方-20),求实数Z7；

⑵若之满足(万-O)//(O+O),且目-q=V5,求之的坐标.

【答案】⑴0=8

(2)0=(3,-1)HEO=(5,3)

【分析】(1)根据题意得方+OO=(3+4£7,2+/7),D-2D=(-7,-2),由平行向量的坐标表示即可

解决；

(2)设方=(。,。，得方-斤=⑷-4,0-1),方+方=(2,4),根据题意列方程组即可解决.

【详解】(1)因为方=(3,2),D=(-1,2),O=(4,1),

所以方+DO=(3+40,2+。，D-2D=(-7,-2),

因为(斤+阻〃(万一2⑦，

所以（一2）x（3+4。一（-7）x（2+。=0,

解得〃=8；

(2)设斤=(£7,£7),则方一方=(£7-4,0-1),0+0=(2,4),

因为(方—D)H(O+O),p-q=V5,

14(£7-4)-2(£7-1)=0

所以｛(£7-4)2+(£7-1)2=5'

喇胎1或｛4：；，

所以方=(3,—1)或斤=(5,3).

题型6向量数量积的最值取值范围问题

【例题6](2021春•陕西渭南•高一统考期末)在4口口田,□□=□□=2,□□=2V3,若动点O在

线段运动，则我方•品的最小值为()

A.-IB.IC.jD.

4444

【答案】A

【分析】以所在直线为a由，以a为原点，建立如图所示的直角坐标系，利用平面向量积表示出吊•

DD,结合二次函数即可求解.

【详解】以斤在直线为a由，以％原点，建立如图所示的直角坐标系，

过点Of乍。。1口□,垂足为口,

由口□=口□—2,口□—2>/3,所以£7/27-V3,□□—1,

可得0(0,0),0(273,0),0(73,1),

设直线勺方程为。=□去0),

则1=730，所以。=日，

即直线勺方程为口=鼻口,

设£7(a苧0)，且OS£74V5,

则苗=(-0,-^0),W=(2V3-n,-^n),

2

所以西・用=_□"点_口+沪-2遥口=式□一肾~1，

所以当。=苧时，DD-无取最小值-*

上口□□=90°,乙□□□=120°,□□=□□="若点孕OO边上的动点，则万方用的最小值为

【分析】建立直角坐标系，得出历=(-1,D),W=(-1,口吟,利用向量的数量积运算得出

晶=万-曰O+]OefO,V3],根据二次函数性质即可求历,瓦的最小值.

【详解】以。点为原点，口/斤在直线为a由，口斤斤在直线为9由，建立如图平面直角坐标系，

贝(]0(1,0),O(|,^),£7(0,V3),

设点陛标为0(0,0,贝！IOe[0,V3],~na=(-1,£7),~DD=,

.■.DD-~OD=(TO.(-1,O—苧)=行一苧O+|=(O—弟，

二当。4时，(用•用L=/

故答案为:日,

【变式6-2](2021春・陕西渭南•高一校考期末)已知平面向量方,D,方满足回=同=回=1,且万

0=0,贝!|(斤+可(方-2⑦的最大值为.

【答案】1+V5/V5+1

【分析】可通过坐标法表示万，万，方的坐标，将数量积转化为关于坐标参数的函数式，求最值即可.

【详解】解:,.回=同=同=1,且万斤=0,所以方1D,

，不妨设。=(1,0),口=(0,1),U=(cos£7sinZ27)

贝!|(E+~3y(万-2功=(cosO+1,sinZ7)•(cosGsin。-2)

=cos2£7+cosZ7+sin2£7-2sinZ7=1-V5sin(Z7-£7)e[1-V5,1+V5],其中tan£7=-g,

所以(方+巧.52巧的最大值为1+V5,

故答案为：1+V5

【变式6-3](2021春•陕西渭南•高一统考期末)已知口口,口均是单位圆。上的点，且用_L,则

(方方一W).(W-玩)的最大值为.

【答案】1+V2/V2+1

【分析】根据点aa中位置及向量关系，建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算结合三角函数的定

义与正弦函数的性质，列式求(方方-无力(方斤一方斤)的最大值即可.

【详解】已知a口,侬是单位圆。上的点，且用1万方，如图，以％原点，口□,口改口,m由建立

平面直角坐标系,

则。(0,1),0(1,0),设O(cosasin。，则炉+4=1

所以卜□由-ZZ7ZZ7)•(□由-所中)=(cos/Z^sin/ZZ-1)­(cos£7-1,sin。=cos2£7-cos£7+sin2£7-

sinZZZ=1-cos£7-sin£7=1一V5sin(z7+g)

又ZZ7eR,所以sine[-1J],故1-^^汽口+胃的最大值为1+V2,

即(西-W)-(OO-方日的最大值为1+V2.

故答案为：1+V2.

【变式6-4】(2021春•陕西西安•高一统考期末)骑自行车是一种既环保又健康的运动，如图是某自行车的

平面结构示意图，已知图中的圆A(前轮)，圆D(后轮)的半径均为我，△□□□,△□□□,△□□*

是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，用的最大值为

【答案】3+8V3/8V3+3

【分析】建立直角坐标系，可得。(-8,0),£7(0,0),设£7(V3cosD：V3sinL7)表示出无•无再由三

角函数的性质得解，

【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系,

则。(一8,0),n(0,0),圆D的方程为O2+万=3,则可设0(禽cosaVSsin。,(0<H<2n),

所以LJU=(-8-V3cos£7-V3sin/7),LJLJ=(-V3cos/ZZ-V3sin/Z7),

所以ZZ7/j-所力=(-8-V3cos£7)(-V3cos£7)+(-V3sinZ7)(-V3sin£Z7)=875cos£7+3,

当cos〃=1时，万方•历的最大值为3+8V3.

故答案为：3+88.

【变式6-5](2022春•陕西商洛•高一统考期末)已知向量方,D，方满足回=|回=2,回=3万JL斤，

则(斤—30)-(H-3聋)的最大值为()

A.40-6V13B.40+6尺C.36-6尺D.36+6代

【答案】D

【分析】根据题意设0(2,0),0(0,3),£7(2cosQ2sin£7)，即可根据向量运算得出0-3功•(万-3。=

36-6尺sin(O+D),再根据三角函数范围得出答案.

【详解】由题意可设0(2,0),£7(0,3),Z7(2cos£7,2sin£7),

贝(JZZ7—3□—(2—6cos—6sin£7),口—3口=(—6cos口,3—6sinZ^7),

贝!J(方-3万)•(方一30)=(2-6cosZZ7)x(-6cosZ7)+(-6sin£7)x(3-6sin£7),

=36-12cos£7-18sin£7,

=36-6Vi3sin(£7+£7),

o

其中tan。=§,

v-1<sin(匚7+ZZ7)<1,

则（万一30）■（n-30）＜36+6V13,

故选：D.

【变式6-6]（2023秋・北京・高一北京师大附中校考期末）在4口口傥,口、皿边口口、口入的点,且

满足扇一。同一以

（1）若4。。叫边长为2的等边三角形，口=T，。=1,求方DOO;

（2）若£7=：,£7=3晶=DDD+lJDn,求〃+£7;

心）若乙□=三,口口=2,口口=1,口=D,求才•配的最大值；

⑷若将“口、。为边oat的点”改为"口、睥匕。。中）内部（包含边界y,其它条件同（1）,则

DD-配是否为定值？若是，则写出该定值；若不是,则写出取值范围.（不需要说明理由）

【答案】（1）一?

（2）-5

（3）-J

（4）不是定值，理由见解析

【分析】（1）。、/秒是□□、勺中点，方立尼的夹角为60°,W=5（W+OO）,~DH=

^（-2OO+OD）,计算晶可;

（2）若O=g,。=：,则，8巨离是。近的。〃三等分点，O是距离。近的£7。三等分点，

则由用=用+用=|用+g用可得口口，从而求出O+O；

（3）禺+1=瓮=£7+1,~DD=（1-D）DD+DDD,且小[0,1],

由济•W=3（0+1）+备一7,。+1e[1,2],令£7（。=30+[1,2],由函数的单调性定

义可得0（。=30+｝在。€[1,2]上单调递增，可求出百小）最大值；

（4）以。，的中点口为原点，所在的直线为a由，口中垂直平分线为6由建立平面直角坐标系，，

设o（aa）,口口口,可得点。在以a为圆心，半径为i的三角形ooo内部的圆弧上，包括与三角

形SGJ边上的两个交点口口，点。在三角形OOO内部线段。集垂直平分线上，包括点次口05勺

中点。，取点。、点，特殊位置可得答案.

【详解】(1)若^边长为2的等边三角形，。=(。=1,

则。、4效是口口、OO的中点，仍玩的夹角为60°,

m=^(W+W),W=J(W+OO)=^(-W+W-W)=^(-2W+W),

所以历•on=X历+无)，(-2方方+方⑦

=:(-200-W-市+no)=；x(—8—2x2x；+4)=—|;

1

若n-

2)3-

则5巨离是。近的。片等分点,a是距离。近的。。三等分点,

所以O=；,O=_)口+口=:一：=一!；

00000

因为阳二口，所以阳+丁单挈=阳=。+-

|£7£7||四|四|£7£7|

/=济+/=定+晶+£7(历-^5)=(1-O晶+

............，♦......>....1-一-一->

□□=□□+口口=-口口+3口□,

£7+1

因为O=U,所以历=-W+^W,且Oe[0,1],

所以历.W=((1-£7)00+£700)-(-W+^OD)

=⑷-1)司+(导O)OO-W+^W2=30+备一4,

=3(0+1)+-7,£7+1e[1,2],

令£7(。=3ZZ7+g,口€[1,2],设1<口1<口?S2,

所以。(&)-0(4)=34+a-(34+与=⑷一,

因为14口I<口242,所以。1—口2VO,3ZZ7i□?—1>0,

所以&a)<44),=3。+讶生口e[1,2]上单调递增，

所以3(0+1)+^y-7<3x2+^-7=-^,

当0+1=