教资-初中及高中数学模拟卷及解析

教资-数学学科知识与能力模拟卷（初中）

注意事项：

1.考试时间为120分钟,满分为150分。

2.请按规定在答题卡上填涂、作答，在试卷上作答无效，不予评分。

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的

四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答

案字母按要求涂黑。错选、多选或未选均无分）

1.下列函数中，与函数产唬定义域相同的函数为（）。

cInx

A.y=—!—B.y=___

sinxx

、sinx

C.y=xexD.y=____

x

2.设函数/（x）在x=0处连续，且lim=1，则（）°

h2

A./（o）=OK/-（0）=0^S

B.40）=1且几（0）=0存在

C."0）=0且八（0）=。存在

D./（0）=l且，+（0）=0存在

3.曲线x=f，y=",Z=/在点（1,I,1）处的法平面方程是（）。

Y—1V—1Z—1

A.---=---=---B.x+2y+3z-6=0

113

cx-\y-1z-1--

C.---—]-——j―D.x+y+z-3=0

4.关于二次曲面f+/=z2＞下列说法正确的是（）。

A.它是一个锥面B.它是一个球面

C.它是一个鞍面D.它是一个柱面

C，C，C为任意常数,

234

2020下半年教师资格考试数学学科知识与教学潴力馍拟卷,indb220204）8-2210:21:1

则下列向量组线性相关的是（）。

6.设X〜B（”,p），若D（X）=4,E（X）=12，则"的值为（）。

A.3B.18

C.12D.15

7.下列说法中不正确的是（）。

A.高中数学课程分为必修课程'选择性必修课程和选修课程

B.高中数学课程内容突出函数、几何与代数'概率与统计、数学建模活动与数学探

究活动四条主线

C.高中数学课程内容不包括数学文化

D.高中数学课程是义务教育阶段后普通高级中学的主要课程，具有基础性、选择性、

发展性

8.（）是中国古典数学最重要的著作，分为方田、粟米、衰分、少广、商功、均

输、盈不足'方程及勾股九章。

A.《九章算术》B.《孙子算经》

C.《数书九章》D.《代数学》

二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）

9.已知矩阵A=11-1，，求矩阵A的特征值和特征向量。

?1J

[x+y+b=0,在平面〃上，而平面”与曲面f+y2=z相切于

10.设直线L：

\x+ay-z=3

点（1,-2,5），则求a，b的值。

2

11.甲、乙、丙三车间加工同一产品，加工量分别占总量的25%、35%、40%＞次品

率分别为0.03、0.02、0.01。现从所有产品中取一件，试求：

(1)该产品是次品的概率；

(2)若检查结果显示该产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率是多少？

12.数感是指在数与数量、数量关系和运算结果估计方面的感悟，简单阐述如何培养

数感。

13.举例说明数形结合思想、化归思想在中学数学中的重要作用。

3

三、解答题（本大题共1小题，10分）

14.设由抛物线>=才和直线X=。，x=2及y=0所围成的平面图形为。，由抛物线

y=才和x=。及y=0所围成的平面图形为4'其中,0<a<2>如图所示。

(1)试求功绕X轴旋转而成的旋转体体积匕，。2绕y轴旋转而成的旋转体体积匕；

（6分）

（2）问当a为何值时，V.+彩取得最大值？试求此最大值。（4分）

四、论述题（本大题共1小题，15分）

15.高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程的本质。

如何理解数学形式化？如何适度形式化？并举例说明几种不同的形式化数学内容的教学

方式。

4

五、案例分析题（本大题共1小题，20分）

阅读案例，并回答问题。

16.案例：

面对课堂上出现的各种各样的意外生成，教师如何正确应对，如何让这些生成为我

们高效的课堂教学服务，如何把自己课前的预设和课堂上的生成有效融合，从而实现教

学效果的最大化，这是教师时刻面临的问题。

在一次听课中有下面的一个教学片段：教师在介绍完中位线的概念后，布置了一个

操作探究活动。

师：大家把手中的三角形纸片沿其一条中位线剪开，并用剪得的纸片拼出一个四边

形，由这个活动你可以得到哪些和中位线有关的结论？学生正准备动手操作，一名学生

举起了手。

生：我不剪纸片也知道结论。

师：你知道什么结论？

生：三角形的中位线平行于第三边并等于第三边的一半。

教师没有想到会出现这么个“程咬金”，脸冷了下来：“你怎么知道的？”

生：我昨天预习了，书上这么说的。

师：就你聪明，坐下！

后面的教学是在沉闷的气氛中进行的，学生操作完成后再也不敢举手发言了。

问题：

（1）结合上面这位教师的教学过程，简要做出评析；（10分）

（2）结合你的教学经历，说明如何处理好课堂上的意外生成。（10分）

5

六、教学设计题（本大题共1小题，30分）

17.《义务教育数学课程标准（2011年版）》在课程内容中要求：创新意识的培养是

现代数学教育的根本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自己发现问题和提出问

题是创新的基础，独立思考、学会思考是创新的核心，归纳概括得到猜想和规律并加以

验证是创新的重要方法。

素材：如图所示，将正方形纸ABCD折叠，使点B落在CD边上的一点E（不与点

C、。重合），之后得到折痕MN。

A

B

（1）根据点E在CQ上的位置变化，设置适当条件编制一道数学题目（不要求解答）；

（10分）

（2）依据上述材料和要求，试以提出问题为主线进行“探究式”解题教学，撰写一

份培养学生观察与发现、归纳与推理能力的教学过程设计（只要求写出教学过程，突出

探究的方法和问题即可）。（20分）

6

教资-数学学科知识与能力模拟卷(高中)

注意事项：

1.考试时间为120分钟，满分为150分。

2.请按规定在答题卡上填涂、作答，在试卷上作答无效，不予评分。

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的

四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答

案字母按要求涂黑。错选、多选或未选均无分)

1.设/(x)连续，F(x)=J。'f/山，则F'(x)等于()。

A./(x4))B.?/(x4)

C.2V(f)D.2#(?)

2.设囚，a2,的是三维向量-则对任意常数A'I>向量组%+kava,+侦线性无关

是向量组四,电，内线性无关的()。

A.必要非充分条件B.充分非必要条件

C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件

3.设直线/：厂+3了+22+1=0，平面〃为4x_2y+z_2=0，则(

2x-y-10z+3=0,

A./平行于〃B」在〃上

C./垂直于Z7D」与〃斜交

4.设级数方(-1)"〃2"收敛，则级数£>()。

nn

n=l〃=l

A.绝对收敛B.条件收敛

C.发散D.敛散性不确定

5.设4阶行列式氏4，且。的每列元素之和均为2>则Azi+42+A23+A24=()。

A.1B.2

C.3D.4

6.设随机变量X〜N(0，1)，X的分布函数为9(X)，则尸(|X|>2)的值为()。

A.2[\-(p(2)]B.2(p(2)-1

C.2-9(2)D.1-2夕(2)

7.以“万物皆数”为信条的古希腊数学学派是()。

A.爱奥尼亚学派B.伊利亚学派

1

C.诡辩学派D.毕达哥拉斯学派

8-数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、（）"直观想象、数学运算和

数据分析。

A.数学分析B.数学建模

C.空间想象D.数形结合

二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）

9.应用拉格朗日中值定理证明下列不等式："二入In'L<，其中0<“。

nmm

10.设曲线何（X）=V在点（1，1）处的切线交X轴于点（x，0），求lim/（x.）。

11.某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，

B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员水

平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队。

（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；

（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少

于2人的概率。

12.如何理解数列在中学数学中的作用？

13.简述谈话法的含义，并举例说明。

三、解答题（本大题共1小题，10分）

14.已知矩阵A1］。

（1）求矩阵A的全部特征值和特征向量；（6分）

（2）A是否相似于对角阵？若是，写出与其相似的对角阵，并求一可逆矩阵T＞使

KAT为5［挽阵。（4分）

3

四、论述题（本大题共1小题，15分）

•5.试论述如何在教材编写过程中做到素材的选取应体现数学的本质、联系实际、适

应学生的特点。

五、案例分析题（本大题共1小题，20分）

阅读案例，并回答问题。

16.某教师的例题解题课如下：

环节一:教师给出例题，已知椭圆C的左焦点F（-l,0）,且点P‘l,''在椭圆C上,

IJ

求椭圆C的标准方程，接着教师请学生做大约30秒，教师站在讲台上观察。

环节二：教师请学生甲站起来说解题过程，同时板书学生甲的过程，并及时矫正如

图一。

环节三：教师请学生乙站起来说解题过程，同时板书学生乙的过程，并及时矫正如

图二。

x2y2Io

解：设椭圆方程为-r+}=l,则3+三=1,

a-h-a-4b

又；c=1-a2-h2=1-解得a=2，/=3

椭圆标准方程为匚+$=1

43

图一

4

环节四：教师结合板书总结出关于求椭圆方程的两种方法：待定系数法、定义法，

并板书在黑板上。

环节五：学生做课堂练习，求与椭圆方程4$+9)2=36有相同焦点，且过(-3,2)的

椭圆标准方程。

随堂观察学生的课堂练习情况，发现一种现象：学生求解例题用哪种方法，课堂练

习依然使用同种方法，说明案例中教学并没有促进学生对解题方法进行优化。

问题：

(1)说明案例中这位教师在教学过程中哪些做法符合教学规律(7分)

(2)你认为这位教师还可以有哪些改进？(7分)

(3)本节内容蕴含了哪些数学思想方法？(6分)

5

六、教学设计题(本大题共1小题，30分)

17.下面是某教师执教《不等式的运用》的教学过程。

教学的具体环节如下：

(1)揭示知识联系

学生画均值不等式概念图，并展示，交流讨论，丰富概念图。

(设计意图：引导学生总结梳理与均值不等式相关的知识结构，通过交流讨论，帮助

学生完善知识结构。)

(2)通过正例同化

例1：如果a,bGR+Ua5efe,a3+b3>crb+ab2.

例2：己知a,b,c都是小于1的正数，求证：(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a中至少

有一个不大于1。

4

(设计意图：利用上述两例，结合一题多解方式，促进学生加深领会基础知识、基本

技能、基本方法，并引导他们把专题知识结构同化到原有的认知结构中去。)

(3)通过反例同化

7Q

例3：求产的最小值。

sin2xcos2x

(设计意图：__________________________________________________________________

__________________________________________________________________)

(4)运用练习强化

练习题共三组，每组四道。第一组作为当堂练习，即时讲评；第二组为课堂作业，

教师部分口头提示；第三组为自习作业，学生简答思路。

(设计意图：安排难易适当、有梯度的题组，利用变式教学引导学生在完善知识结构

的同时回味、消化、强彳匕所学知识。)

6

请完成下列任务：

(1)请完成概念图中问号处的不等式；(6分)

(2)请补充完例3通过反例同化的设计意图；(6分)

(3)关于《不等式的运用》的教学过程，给出你的教学目标设计；(8分)

(4)请对上述这位教师执教《不等式的运用》的教学过程作出评价。(10分)

7

教资-数学学科知识与能力模拟卷(初中)解

析

一、单项选择题

1.【答案】D

【解析】本题主要考查函数概念的相关知识。函数y言的定义域为(-8'0)

sinx

(0，+oo)»而选项中只有y=^一-的定义域是(-ooj0)(0»+oo)°

x

故正确答案为D。

2.【答案】C

【解析】本题主要考查导数概念的相关知识。由lim也1=1，

知limf例X0。

/»->0序

由于/(工)在X=0处连续，所以/(o)=lim/(x)=lim/(a2)=o。于是51=lim___________

ft->04-0D川

叱幽=f(O).

故正确答案为C。

3.【答案】B

【解析】本题主要考查法平面方程的相关知识。曲线x=3y=产，z=，在点

(I,1，1)处的切向量为(1，2，3)，所以曲线在点(1，1，1)处的法平面方程为

Ix(x-l)+2x(y-l)+3x(z-1)=0，整理得x+2y+3z-6=0°

故正确答案为B。

4.【答案】A

【解析】本题主要考查曲面方程的相关知识。将曲面方程幺+尸=z2变形，得

Z=±+y2,是锥面。

故正确答案为A。

5.【答案】C

【解析】本题主要考查向量组线性相关的判定的相关知识。由于

1

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01-1_]_]

1=c

|a,a,>a]=0-11'_]।=0>可知％,a},电线性相关。

C\C3C4

故正确答案为c。

6.【答案】B

【解析】本题主要考查二项分布的相关知识。因为X〜8（”，p）,即X服从二项分布,

12

所以£）（X）=〃pq=4,E（X）=np=12'得q=_'进而得〃=_,n=18。

33

故正确答案为B。

7.【答案】C

【解析】本题主要考查课标的相关知识。高中数学课程内容包括数学文化。数学文化

是指数学的思想、精神、语言和方法、观点，以及它们的形成和发展；还包括数学在人

类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义）以及与数学相关的人文活动。

本题为选非题'故正确答案为C。

8.【答案】A

【解析】本题主要考查数学史的相关知识。仇章算术》是中国古典数学最重要的著

作，分成九章，依次是方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股。

故正确答案为A。

二、简答题

2-1-1

9.【参考答案】矩阵A的特征多项式为RE-A|=-12-11=/1（2-1）2,所以，

0-12-1

由4（/1一I）?=。知,A的特征木艮为2=0,2=A=1°

I23

（0-1-冗1、

当4=0时，由-1-11X=0，得x=2x,X=r，因此，属于特征值0

Io-1J^\1323

IA3；

的一个特征向量为a=-1。

I

，X=0，因此，属于特征值1的

2

2

T

=00

一个特征向量为«2[

X/

10.[参考答案】设函数尸（X,y,z）=f+y2_z<Fx=2x'Fy=2y-E=-l>

所以f+y2=z在点（1,-2,5）处的切平面〃的法向量为m=（2,-4,-1）。过直线Z,的

平面方程为（x+y+b）+«（x+qy-3-z）=0，整理得（k+l）x+（成+1）y-Zz-3k+Z?=0，

其法向量为〃=（&+1，必+1，-k）。根据题意有，"n，即I=ak+}=二，得"=1，

~2~-4口

°=_5。将点（1,-2,5）代入平面方程（k+\）x+（ak+l）y-kz-3k+b=0，得b=-2。

即Q=-5，b=-2°

11.【参考答案】（1）设4,①，人表示甲、乙、丙三车间加工的产品'B表示此产

品是次品。所求事件的概率为尸（B）=P（4）P（B|4）+户（％）户（B|4）+尸（A3）P（8|%）=

0.25x0.03+0.35x0.02+0.4x0.01=0.0185。

（2）PQ四一（&）P（B|4）0.35x0.02.038。

（）P（B）0.0185~

12.【参考答案】（1）应结合每一学段的具体教学内容，逐步提升和发展学生的数感。

随着对数的认识领域的扩大以及对数的认识经验的积累，可以引导学生在较复杂的

数量关系和运算问题中提升数感，发展更为良好的数感品质。

（2）紧密结合现实生活情境和实例，培养学生的数感。

现实生活情境和实例，与学生的实际生活经验密切相连，不仅能够为学生提供真实

自然的数的感悟环境，也能让学生在数的认知上经历由具体到抽象的过程，逐步发展学

生关于数的思维。反之，学生数感的提升也使得他们能用数字的眼光看周围世界，正如

《数学课程标准》中所说：建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述

具体情境中的数量关系。”

（3）让学生多经历有关数的活动过程，逐步积累数感经验。

在具体的数学活动中，学生能动脑、动手、动口，多种感官协调活动，加之能相互

交流，这对强化感知和思维，积累数感经验非常有益。比如有关数学的社会调查活动及

一些综合实践活动。

比如，交通流量的调查统计。又比如，组织学生针对一周出版的某种报纸讨论中间

出现了哪些与数'数量'运算有关的数学问题，分别表述这些问题中关于数的意义和作

用，如何用数来解决这些具体问题等等。这样的数学活动有利于学生在相互交流中从多

角度去感悟数，丰富自己的数感经验。

3

13.【参考答案】中学几何数学是一门比较抽象的学科，包括空间和数量的关系，数

形结合能够帮助学生将两者相互转化，使抽象的知识更便于理解学习。

在中学几何学习中，数形结合的思想具有重要的作用，教师在教学中运用数形结合

思想，能够将几何图形用代数的形式表示，并利用代数方式解决几何问题。数形结合将

几何图形与代数公式密切地联系在一起'利用代数语言将几何问题简化，使学生更容易

解决问题，是几何教学中的核心思想方法。例如，研究直线与圆的位置关系，可以根据

直线方程和圆的方程，找到圆的圆心坐标，通过求解圆心到直线的距离d＞并判断d与

圆的半径，之间的大小关系，来确定直线与圆的位置关系。

化归思想是数学中普遍运用的一种思想。在中学几何教学中，教师常运用这一思想，

基本的运用方法就是将几何问题转化为代数问题，利用代数知识将问题解决后，再返回

到几何中。或是在对空间曲面进行研究时，将复杂的空间几何图形转化为学生熟悉的平

面曲线，便于学生理解和解决。例如，研究直线与圆的位置关系'可以将直线方程和圆

的方程联立，转化成一元二次方程，通过判断一元二次方程根的个数，来确定直线与圆

的位置关系。

（2）由（1）得丫=匕+匕=募（32-/）+/。

由9=4兀03（1“）=0，得区间（0,2）内唯一驻点a=l。

当0＜。＜1时，^，＞0；当。＞1时，H＜0，因此。=1是极大值点也是最大值点，

此时V+V取得最大值,最大值为1巴29兀。

125

四、论述题

14.【参考答案】所谓“数学形式化”，就是用特定的数学语言，包括数学的符号语

言'图象语言和文字语言，表达自然现象和社会现象的空间结构和数量关系，即具有相

对固定的数学概念、法则、结论。

对概念、定理、法则和解题技法等若都能达到本质的理解固然很好，但毕竟有些内容

要求学生在形式化的基础上形成机械性记忆，并能投入操作应用即可。问题的关键是，哪

4

些内容应保留形式，哪些内容需要否定形式」哪些内容需要形式和本质的和谐共处，这些

必须在新课程标准和新教材的基础上科学合理地来确定。所以，数学教学之初，应该充分

展示教学知识发生的过程，引导学生弄清本质，在熟练的基础上适度形式化，形成自己的

技能，这样的知识学的牢固一些，对于大面积提高数学成绩也有帮助。某些解题方法，必

须引领学生在接替实践的过程中总结有典型意义的重要形式，且注意思维的参与，使这些

行为模式的参与更有效。数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学

生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴含在其中的思想方

法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。

例如，有些概念(如函数)的教学是从已有知识和实例出发，再抽象为严格化的定

义；有些内容(如统计)的教学是通过案例来学习它的思想和方法，理解其意义和作用；

又如，对导数概念的理解是通过实例，让学生经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过

程，进而了解导数概念的实际背景以及瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。

五、案例分析题

15.【参考答案】(1)在课堂上，教师面对的是一群有着不同生活经历、有自己的想法，

在很多方面存在差异的生命体，也正是因为有这种差异，课堂才是充满变化、丰富多彩

的，教师如果不能适应这种变化，不能及时正确处理课堂的生成，那么其课堂效果将很

难保证是有效的。在上面的教学片段中，教师对学生直接说出中位线的性质很是不满，

因为这样一来教师后面设计好的精彩探索活动就没有必要进行了，碰上这样的意外，教师

采取了生硬的处理方式，让其他学生继续探索，但此时教师的不满情绪和处理这件事情

的方式使得全班同学失去了探索的兴趣和发言的勇气。教师如果换一种方式)先表扬发

言学生“你真是个爱学习的学生，我相信你还是个爱思考的学生！”然后让他和大家一

道动手操作、探索'验证中位线为什么会具有这样的性质，课堂效果应该更好。

(2)生成从性质角度来说，有积极的一面，也有消极的一面。从效果角度来说，有

有效的一面'也有无效的一面。教师在课堂上要充分发挥好自己组织者的角色，不断地

捕捉、判断'重组课堂中从学生那里涌现出来的各种各类信息，并能快速断定哪些生成

对教学是有效的'哪些生成是偏离了教学目标>一名优秀的数学教师应该能够正确应对

课堂上出现的各种各样生成，使之能为我们的数学教学服务，提高课堂教学的效果。

六、教学设计题

CFIAM

17.【参考答案】(1)例：如题图，当三时，的值。

CD2BN

5

（2）教学过程：

-、创设情境，引出问题

教师活动：教师展示图片'提出问题。折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼

在一起，就得到一个著名的几何定理，你知道是什么定理吗？

学生活动：三角形内角和等于180°。

设计意图：激发学生的学习兴趣，让他们感受到生活中折叠蕴含着的数学知识。初

步回忆起，折叠为我们解题提供了轴对称条件。

二、例题讲解，问题探究

教师活动：多媒体展示例题。如图1，将边长为2的正方形纸ABCD折叠，使点B

落在CD边上的一点E（不与C、D重合），压平后得到折痕MN。若_CF=L1，则_AM=

CD2BN

；当££=1时，竺=；当竺=1时，竺=。组织学生小组讨

~CD3BNCD4BN一

论。教师引导，进行点拨，提出问题；在折叠过程中可以得到哪几对相等的边和相等的

角？你能根据已知条件求出NE与MF的长度吗？四边形ABNM与四边形FENM是否全

等？……以此引发学生利用学过的对称、勾股定理等知识建立解决问题的有关模型，解

决问题。

A

B

学生活动：学生用正方形纸片先折叠，分享解题方法。

教师活动：针对学生回答结果进行评价总结。

三'例题引申，探究创新

I.例题引申

教师活动：教师再次提出问题：结合例1，类比归纳'C乙FI_（〃为整数）时，则

CDn

券=______（用含有n的式子表示）。

BN

设计意图：通过例题引申，猜想发现'渗透对称变换、方程思想，以及由特殊到一

般的归纳思想。

6>

学生活动：学生自主探究后，抢答，学生互评。

2.探究创新

教师活动：将矩形纸片按如下操作进行折叠，其具体操作过程是：第一步：对折矩

形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图2）；第二步：再一

次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN

（如图3）。

（1）若折痕EF与折痕MB相交于点P，试问△MAP是什么三角形？并证明你的

结论。

（2）△MB4与^NBG有什么关系？并加以证明。

设计意图：在对正方形纸片及矩形纸片折叠问题的探索中渗透数形结合的思想，并

且使学生的认识经历一个由特殊到一般，由简单到复杂的发展过程。通过这些问题，培

养学生的探究能力以及寻找解题策略的能力。在练习过程中，使学生获得通过动手操作

解决实际问题的成功体验，提升动手操作、自主探索的学习意识。

四'课堂小结

教师活动：本节课我们学习了什么数学问题？解决这类问题的关键是什么？步骤是

什么？

学生活动：学生畅谈本节课的体会。

五、布置作业

用PPT展示题目并进行解答。

教资-数学学科知识与能力模拟卷（高中）解

析

一、单项选择题

1.【答案】C

【解析】本题主要考查积分上限函数及其导数的相关知识。

叩）=（』）”（『）=2招（『）。

故正确答案为C。

2.【答案】A

【解析】本题主要考查向量组的相关知识。设向量组a,'a2'a3线性无关,且

存在实数，"'n＞使得对任意常数“'I,有w®+匕）+，?Q+外）=0，即

ma\+naz+（＞nk+M/）aj=0。因为四、g、《3线性无关，所以‘"=〃=，成+”/=01使得

«i+ka,'a2+/a3线性无关。如果对任意常数k'I'a,+ka3'a,+/a3线性无关,当a?=

0时题设仍然成立，而此时，向量组四、的'内线性相关。即对任意常数A'/'

向量组处+履3，々2+/。3线性无关不能推出向量组/、的'4线性无关。

故正确答案为A。

3.【答案】C

fx+3y+2z+l=0,

【解析】本题主要考查空间直线与平面位置关系的相关知识。I八

l2x-y-10z+3=0

iyk

的方向向量为a=132=（-28,14,-7），平面〃的法向量为*=（4,-2,I）-

2-1-10

«分，所以直线/与平面〃垂直。

故正确答案为C。

4.【答案】A

【解析】本题主要考查级数的相关知识。由级数2"收敛，得lima2"=0，

8

所以存在N>o，使得对任意的〃〉N，有W2"|<1,即卜」<5。而级数其5）收

8<30

敛，所以级数ZLI收敛，即“绝对收敛。

7F=In=l

故正确答案为A。

5.【答案】B

【解析】本题主要考查行列式的定义和性质的相关知识。根据行列式的定义及性质，

D=6f-）|AJJ+Q”A”+4”A>3+A>4=（〃]]++〃41）A”+（4）+4"++01P）A,-）+

（a+a+14+〃24+〃34+〃44）A24=2（421+A22+A23+A24）=4

1323ci33+ci43）A23+（〃，所以

A）1+A”+A”+A）4=2O

故正确答案为B。

6.【答案】A

【解析】本题主要考查分布函数的相关知识。P（X|>|2）=P（X>2）+P（X<-2）=

[-P（XW2）+P（X<-2）=l-9⑵+夕（-2）=1-夕（2）+1-9（2）=2口一夕（2）]。

故正确答案为A。

7.【答案】D

【解析】本题主要考查数学史的相关知识。毕达哥拉斯学派认为数是万物的本源，事

物的性质是由某种数学关系决定的，万物按照一定的数量比例而构成和谐的秩序。

故正确答案为D。

8.【答案】B

【解析】本题主要考查课程标准的相关知识。数学学科核心素养包括：数学抽象'逻

辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。

故正确答案为B。

二、简答题

9.【参考答案】设函数/（x）=Inx_>则/（x）=I。因为函数f（无）在刖，网上满足拉

X

n

格朗日中值定理'则在（机'n）上存在一点6'使得]Mm=In-。由0〈但“得

Jn-mn-tn

Inn

1<L<L即，晨L变形可得n~m<ini<，结论得证。

n&tnnn-mninmm

q

10.【参考答案】设曲线在点(1，1)处的切线斜率为&，由:(x)=nx"T，得左=〃，

于是得到切线方程：y-l=〃(x-l)。令y=0,得/=纥1-limf上［

H.【参考答案】(I)由题意，参加集训的男生、女生各有6名，参赛学生全从B中

学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为邸3-L，因此，A中学至少

100

有1名学生入选代表队的概率为1-2_=21

100100

(2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A参赛女生有2人”为事件3,

“参赛女生有3人”为事件C，则P(B)=C?3=m>P(C)==-。

C：5飞T5

314

由互斥事件的概率加法公式'得P(A)=P(B)+P(Q=1+_=_'故所求事件的概率

555

品4

为一。

5

12.【参考答案】(1)数列是特殊的函数。它的定义域一般是指非负的正整数，有时也

可以是自然数，或自然数的无限子集。自然数是离散的，数列通常称为离散函数，离散

函数是相对定义域为连续实数或者连续实数构成的区间的函数而言的。数列作为离散函

数，在数学中有着重要的地位。

(2)数列的生成体现着递归思想。递归思想是研究数列的基本思想方法，也是数学

中的重要思想，在现代数学中起着巨大的作用。例如，研究差分数列就依赖于递归思想。

同时数列中蕴含着丰富的恒等关系。例如，等差、等比数列的性质，熟悉等差、等比数

列的常用公式，了解这些性质之间的关系，可以将其作为提高恒等变换能力的载体。

(