第二章二次函数

第二章二次函数

§2.1二次函数所描述的关系

学习目标：

1.探索并归纳二次函数的定义.

2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.

学习重点：

1.经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.

2.能够表示简单变量之间的二次函数.

学习难点：

经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.

学习方法：

讨论探索法.

学习过程：

20

[例1]函数y=(m+2)xn，+2x—1是二次函数，则m二.

【例2】下列函数中是二次函数的有()

11

①^^+一；②y=3(x—1)2+2；@y=(x+3)2_2x2；®y=~+x.

XX

A.1个B.2个C.3个D.4个

【例3】正方形的边长是5,若边长增加x,面积增加y,求y与x之间的函数表达式.

1、已知正方形的周长为20,若其边长增加x,面积增加y,求y与x之间的表达式.

2、已知正方形的周长是x,面积为y,求y与x之间的函数表达式.

3、已知正方形的边长为x,若边长增加5,求面积y与x的函数表达式.

【例4】如果人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后，银行将本金和利息自动按一

年定期储蓄转存，到期支取时，银行将扣除利息的20%作为利息税.请你写出两年后支付

时的本息和y（元）与年利率x的函数表达式.

【例51某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套.据市场调

查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为X,请你得出每

天销售利润y与售价的函数表达式.

【例6】如图211,正方形ABCD的边长为4,P是BC边上一点，QP_LAP交DC于Q,如

果BP=x,AADQ的面积为y,用含x的代数式表示y.

【例71某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产

品，并投入资金1500万元，进行批量生产.已知生产每件产品的成本为40元.在销售过

程中发现，当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销

售量将减少1万件.设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利（年获利=年销

售额一生产成本一投资）为z（万元）.

（1）试写出y与x之间的函数表达式（不必写出x的取值范围）；（2）试写出z与x之间的

函数表达式（不必写出x的取值范围）；（3）计算销售单价为160元时的年获利，销售单价

还可以定为多少元？相应的年销售量分别为多少万件？（4）公司计划：在第一年按年获利

最大确定的销售单价，进行销售：第二年年获利不低于1130万元.请你借助函数的大致图

象说明，第二年的销售单价x（元）应确定在什么范围内？

【例6】如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有

关问题：

(1)在第n个图中，第一横行共有块瓷砖，每一竖列共有块瓷砖(均

用含n的代数式表示)；

(2)设铺设地面所用瓷砖的总块数为y,请写出y与(1)中的n的函数表达式(不要

求写出自变量n的取值范围)；

(3)按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；

(4)若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题(3)中，共需花多少元购买瓷砖？

(5)是否存在黑瓷砖与白瓷砖相等的情形？请通过计算说明为什么？

课后练习：

1.已知函数y=ax?+bx+c(其中a,b,c是常数)，当a时，是二次函数；当a_,

b时，是一次函数；当a,b,c时，是正比例函数.

2

2.当m时，y=(m-2)x'"”是二次函数.

3.已知菱形的一条对角线长为a,另一条对角线为它的百倍，用表达式表示出菱形的

面积S与对角线a的关系.

4.已知：一等腰直角三角形的面积为S,请写出S与其斜边长a的关系表达式，并分

别求出a=l,a=&,a=2时三角形的面积.

5.在物理学内容中，如果某一物体质量为m,它运动时的能量E与它的运动速度v之

1

间的关系是E=5mv2（m为定值）.

（1）若物体质量为1.填表表示物体在v取下列值时，E的取值:

V12345678

E

（2）若物体的运动速度变为原来的2倍，则它运动时的能量E扩大为原来的多少倍？

6.下列不是二次函数的是（）

1____

A.y=3x?+4B.y=一C.y=JyD.y=（x+1）（x—2）

7.函数y=（m—n）x2+mx+n是二次函数的条件是（）

A.m、n为常数，且m#0B.m、n为常数，且mWn

C.m、n为常数，且nWOD.m、n可以为任何常数

8.半径为3的圆，如果半径增加2x,则面积S与x之间的函数表达式为（）

222

A.S=2n（x+3）B.S=9n+xC.S=4itx+12x+9D.S=4nx+12x+9n

9.下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax?+bx+c（aWO）模型的是（）

A.在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系

B.我国人口年自然增长率为1%,这样我国人口总数随年份的变化关系

C.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空

气阻力）

D.圆的周长与圆的半径之间的关系.

10.下列函数中，二次函数是（）

66

A.y=6x2+1B.y=6x+1C.y=-+1D.y=F+1

XJC

11.如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135。的两面墙，另

外两边是总长为30米的铁栅栏.（1）求梯形的面积y与高x的表达式；（2）求x的取值范

围.

AD

135°

C

12.在生活中，我们知道，当导线有电流通过时.，就会发热，它们满足这样一个表达

式：若导线电阻为R，通过的电流强度为I,则导线在单位时间所产生的热量Q=RF.若某

段导线电阻为0.5欧姆，通过的电流为5安培，则我们可以算出这段导线单位时间产生的

热量Q=.

13.某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件.现在

他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，己知这种商品每提高1元，其销售量就

要减少10件.若他将售出价定为x元，每天所赚利润为y元，请你写出y与x之间的函数

表达式？

14.某工厂计划为一批正方体形状的产品涂上油漆，若正方体的棱长为a(m),则正

方体需要涂漆的表面积S(m2)如何表示？

15.⑴已知：如图菱形ABCD中，ZA=60°,边长为a,求其面积S与边长a的函数

表达式.

⑵菱形ABCD,若两对角线长a：b=l：百，请你用含a的代数式表示其面积S.

⑶菱形ABCD,ZA=60°,对角线BD=a,求其面积S与a的函数表达式.

16.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm.点P从点A开o____c

始沿AB方向向点B以lcm/s的速度移动，同时，点Q从点B开始沿BCIL

边向C以2cm/s的速度移动.如果P、Q两点分别到达B、C两点停止移/

动，设运动开始后第t秒钟时，五边形APQCD的面积为Scm2,写出SI_Z_J

APB

与t的函数表达式，并指出自变量t的取值范围.

17.己知：如图，在Rt/XABC中，ZC=90°,BC=4,AC=8.点D在

斜边AB上,分别作DE1AC,DF1BC,垂足分别为E、F,得四边形DECF.设A

DE=x,DF=y.J1g

(1)AE用含y的代数式表示为：AE=；/

(2)求y与x之间的函数表达式，并求出x的取值范围；Bpc

(3)设四边形DECF的面积为S,求S与x之间的函数表达式.

§2.2结识抛物线

学习目标：

经历探索二次函数y=x?的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究二次函数性质

的经验.掌握利用描点法作出y=x?的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x?的性质.能

够作为二次函数y=-x2的图象，并比较它与y=x?图象的异同，初步建立二次函数表达式与

图象之间的联系.

学习重点：

利用描点法作出y=x"的图象过程中，理解掌握二次函数y=x?的性质，这是掌握二次函

数丫=2Y+6*+。（aWO）的基础，是二次函数图象、表达式及性质认识应用的开始，只有很

好的掌握，才会把二次函数学好.只要注意图象的特点，掌握本质，就可以学好本节.

学习难点：

函数图象的画法，及由图象概括出二次函数y=Y性质，它难在由图象概括性质，结合

图象记忆性质.

学习方法：

探索一一总结一一运用法.

学习过程：

一、作二次函数y=x2的图象。

二、议一议：

1.你能描述图象的形状吗？与同伴交流。

2.图象与x轴有交点吗？如果有，交点的坐标是什么？

3.当x〈O时，y随着x的增大，y的值如何变化？当x>0时呢？

4.当x取什么值时，y的值最小？

5.图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴交流。

三、y=x2的图象的性质:

三、例题:

【例1】求出函数y=x+2与函数y=x2的图象的交点坐标.

【例2】已知a<—1,点(a—1,yi)、(a,y2)、(a+1,yj)都在函数y=x?的图象上,

A.yi<y2<y3B.yi<y3<y2C.yj<y2<yiD.y2<yi<y3

四、练习

1.函数y=x2的顶点坐标为.若点(a,4)在其图象上，则a的值是.

2.若点A(3,m)是抛物线y=—x2上一点，则m=.

3.函数y=x2与y=-X?的图象关于对称，也可以认为y=-x?,是函数y=x?的

图象绕旋转得到.

五、课后练习

1.若二次函数y=ax2(aWO),图象过点P(2,-8),则函数表达式为.

2.函数y=x2的图象的对称轴为,与对称轴的交点为,是函数的顶点.

3.点A(不，b)是抛物线y=x2上的一点，则b=:点A关于y轴的对称点B

是，它在函数_______上;点A关于原点的对称点C是,它在函数_____上.

4.求直线y=x与抛物线y=x2的交点坐标.

5.若a>1,点(一a—1,y。、(a,y2)、(a+1,ys)都在函数y=x?的图象上，判断

yi、y2、y3的大小关系?

6.如图，A、B分别为y=x2上两点，且线段ABLy轴，若AB=6,则直线AB的表达

式为()

A.y=3B.y=6C.y=9D.y=36

IB

§2.3刹车距离与二次函数

学习目标：

1.经历探索二次函数丫=2*2和丫=2*2+<：的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表

格、表达式、图象三者联系起来的经验.

2.会作出丫=批2和丫=2*2+<:的图象,并能比较它们与y=x2的异同，理解a与c对二次

函数图象的影响.

3.能说出y=ax2+c与y=ax?图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.

4.体会二次函数是某些实际问题的数学模型.

学习重点：

二次函数y=ax'y=ax'+c的图象和性质，因为它们的图象和性质是研究二次函数y=ax?

+bx+c的图象和性质的基础.我们在学习时结合图象分别从开口方向、对称轴、顶点坐标、

最大(小值)、函数的增减性几个方面记忆分析.

学习难点：

由函数图象概括出y=ax\y=a/+c的性质.函数图象都由(1)列表，(2)描点、连线

三步完成.我们可根据函数图象来联想函数性质，由性质来分析函数图象的形状和位置.

学习方法：

类比学习法。

学习过程：

一、复习：

二次函数y=x2与y=x2的性质:

_22

抛物线y二X乙y二x乙

对称轴

顶点坐标

开口方向

位置

增减性

最值

二、问题引入：

你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗？

刹车距离与什么因素有关？

有研究表明:汽车在某段公路上行驶时，速度为v(km/h)汽车的刹车距离s(m)可以由公式:

晴天时：$=」一/；雨天时：S=」-d,请分别画出这两个函数的图像：

10050

三、动手操作、探究：

1.在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+l的图象。

2.在同一平面内画出函数y=3x2与y=3x2l的图象。

比较它们的性质，你可以得到什么结论？

四、例题：

2

【例1】已知抛物线y=（m+1）x"'开口向下，求m的值.

【例2】k为何值时，y=（k+2）x「-2b6是关于*的二次函数？

11

【例3】在同一坐标系中，作出函数①y=-3x—②y=3x\③yu'x?,④y=-的图象,

1

并根据图象回答问题：（1）当x=2时，y=]x2比y=3x2大（或小）多少？（2）当x=-2时,

1

y=一彳x?比y=—3x2大（或小）多少？

【例4】已知直线y=-2x+3与抛物线丫=2*2相交于A、B两点，且A点坐标为（一3,m）.

（I）求a、m的值；

（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；

（3）x取何值时，二次函数丫=2*2中的y随X的增大而减小；

（4）求A、B两点及二次函数丫=2*2的顶点构成的三角形的面积.

【例5】有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m,拱顶距离水面4m.（1）

在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；（2）在正常水位的基础上，当水位

上升h（m）时，桥下水面的宽度为d（m）,求出将d表示为k的函数表达式；（3）设正常

水位时桥下的水深为2m,为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m,求水深

超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行.产

五、课后练习

1.抛物线y=-4x?—4的开口向,当x=时，y有最____值，y=.

2

2.当0!=时，y=（m-1）x"'3m是关于x的二次函数.

3.抛物线y=-3x2上两点A（X,-27）,B（2,y）,则x=,y=.

2

4.当m=时，抛物线尸（m+1）x"'""+9开口向下，对称轴是.在对

称轴左侧，y随x的增大而；在对称轴右侧，y随x的增大而.

5.抛物线y=3x2与直线y=kx+3的交点为（2,b）,贝ijk=,b=.

6.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点（-1,-2）,则抛物线的表

达式为.

7.在同一坐标系中，图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是（）

11

A.y=yx2B.y=—x2C.y=_2x2D.y=­x2

8.抛物线，y=4x2,y=-2x2的图象，开口最大的是（）

A.y=^xC.y=—2x2D.无法确定

9.对于抛物线y=§x2和y=--x2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（）

两条抛物线关于x轴对称两条抛物线关于原点对称

两条抛物线关于y轴对称两条抛物线的交点为原点

10.二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的图象大致为（）

11.已知函数y=ax2的图象与直线y=-x+4在第一象限内的交点和它与直线y=x在第

一象限内的交点相同，则a的值为()

II

A.4B.2C.2D.1

12.求符合下列条件的抛物线y=ax2的表达式：

(1)y=ax?经过(1,2)；

1

(2)y=ax2与y=]x2的开口大小相等，开口方向相反；

1

(3)y=ax2与直线y=]x+3交于点(2,m).

13.如图，直线i经过A(3,0),B(0,3)两点，且与二次

函数y=x?+l的图象，在第一象限内相交于点C.求：

(1)△AOC的面积；

(2)二次函数图象顶点与点A、B组成的三角形的面积.

14.自由落体运动是由于地球引力的作用造成的，在地球上，物体自由下落的时间t(s)

和下落的距离h(m)的关系是h=4.9t2.求：

(1)一高空下落的物体下落时间3s时下落的距离；

(2)计算物体下落10m,所需的时间.(精确到0.1s)

15.有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20m.水位上升3m,就达到警

戒线CD,这时，水面宽度为10m.

(1)在如图239所示的坐标系中求抛物线的表达式；

(2)若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小

时才能到拱桥顶？

2

§2.4二次函数y=ax+Ox+c的图象(第一课时)

学习目标：

1.会用描点法画出二次函数y+尢与＞的图象；

2.能结合图象确定抛物线与y=a(x-A)2的对称轴与顶点坐标；

3.通过比较抛物线丁二。一+*与y=同y=a?的相互关系，培养观察、

分析、总结的能力；

学习重点：

画出形如y=L+t与形如＞的二次函数的图象，能指出上述函数图象的

开口方向，对称轴，顶点坐标.

学习难点：

2

理解函数/=。/+左、y=o(x-h)与y=及其图象间的相互关系

学习方法：

探索研究法。

学习过程：

一、复习引入

提问：1.什么是二次函数？

2.我们已研究过了什么样的二次函数？

3.形如尸的二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？

二、新课

复习提问：用描点法画出函数y的图象，并根据图象指出：抛物线的开

口方向，对称轴与顶点坐标.

例1在同一平面直角坐标系画出函数丁-1、尸■/♦1、y--I的图象.

由图象思考下列问题：

(1)抛物线＞--；小的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？

(2)抛物线尸・/-1的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？

(3)抛物线尸+l,J-X3-1与丁■一的开口方向，对称轴，顶点坐标有何

异同？

(4)抛物线+上与-用会同有什么关系？

继续回答：

①抛物线的形状相同具体是指什么？

②根据你所学过的知识能否回答：为何这三条抛物线的开口方向和开口大小都相同？

③这三条抛物线的位置有何不同？它们之间可有什么关系？

④抛物线y・7+1是由抛物线尸-X3沿y轴怎样移动了几个单位得到的？抛物线

X3-1呢？

⑤你认为是什么决定了会这样平移？

例2在同一平面直角坐标系内画出与的图象.

三、本节小结

本节课学习了二次函数♦上与y-a(x-a)’的图象的画法，主要内容如下。

填写下表：

表一：

抛物线开口方向对称轴顶点坐标

y-ax2{a>0)

j♦k[a>0)

y-ax'(a<0)

1y-ax'♦k(a<0)

表二:

抛物线开口方向对称轴顶点坐标

y■ax3(a>0)

y-ax1(a<0)

y-a(x-A)3(a<0)

y-a(x-A)3(a>0)

§2.4二次函数＞+公+（、的图象（第二课时）

学习目标：

i.会用描点法画出二次函数尸・。（丁-力尸•石的图像；

2.知道抛物线y-。（才TP"的对称轴与顶点坐标；

学习重点：

会画形如y-a（x-以尸♦上的二次函数的图像，并能指出图像的开口方向、对称轴及

顶点坐标。

学习难点：

确定形如尸=&（x-%）2+上的二次函数的顶点坐标和对称轴。

学习方法：

探索研究法。

学习过程：

1、请你在同一直角坐标系内，画出函数7.y--；（x+】＞的图像,

并指出它们的开口方向，对称轴及顶点坐标.

2、你能否在这个直角坐标系中，再画出函数y=-ga+1产-1的图像？

3、你能否指出抛物线y4*1）3的开口方向，对称轴，顶点坐标？将在上面练习

中三条抛物线的性质填入所列的有中，如下表：

抛物线开口方向对称轴顶点坐标

12

y,一-彳

12

y---x3-1

2

/-axa♦k(a<0)

4、我们已知抛物线的开口方向是由二次函数尸・a(x-方尸+片中的a的值决定的，你能通

过上表中的特征，试着总结出抛物线的对称轴和顶点坐标是由什么决定的吗？

5、抛物线ip.［有什么关系?

4444

6、它们的位置有什么关系？

①抛物线-J/T是由抛物线怎样移动得到的？

②抛物线了・-是由抛物线怎样移动得到的？

-!(十+炉一|是由抛物线y--1—i怎样移动得到的？

③抛物线

46

-l(x+i)a-i是由抛物线y=-；(x+i)2怎样移动得到的？

④抛物线y，r

+是由抛物线y=-；x2怎样移动得到的？

⑤抛物线V"

总结、扩展

一般的二次函数，都可以变形成y-a(x-/)2♦左的形式，其中:

1.a能决定什么？怎样决定的？

2.它的对称轴是什么？顶点坐标是什么？

§2.4二次函数y-ax2+bx+c的图象习题课（两课时）

一、例题:

【例1】二次函数丫=2/+6/+。的图象如图所示，则a—0,b—0,c—0（填

或"V"=.)

【例2】二次函数y=ax'+bx+c与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图

b

)

【例4】如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中建立的直角坐标系,

左面的一条抛物线可以用y=0.0225X2+0.9x+10表示，而且左右两条抛物线关于y轴对

称，你能写出右面钢缆的表达式吗？

nlA^n

【例5】图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数丫=@*'+（a+c）x+c与一次函数y=ax

+c的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（）

【例6］抛物线y=ax2+bx+c如图所示，则它关于y轴对称的抛物线

的表达式是.

［例7］已知二次函数y=（m-2）x2+（m+3）x+m+2的图象过点

（0,5）.

（1）求m的值，并写出二次函数的表达式；

（2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴.

【例8】启明公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件.为

了获得更好的利益，公司准备拿出一定的资金做广告.根据经验，每年投入的广告费是x

_x277

（万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且丫=一记+m*+历，如果把利润

看作是销售总额减去成本费和广告费.

（1）试写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数表达式，并计算广告费是多

少万元时，公司获得的年利润最大？最大年利润是多少万元？

（2）把（1）中的最大利润留出3万元作广告，其余的资金投资新项目，现有6个项

目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表：

项目ABCDEF

每股（万元）526468

收益（万元）0.550.40.60.50.91

如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收益总额不得低于1.6万元，问有几种

符合要求的投资方式？写出每种投资方式所选的项目.

【例9］己知抛物线y=a（x—t-1）'+t2（a,t是常数，a#0,

线y=x?-2x+l的顶点是B（如图）.

（1）判断点A是否在抛物线y=—-2x+l上，为什么？

（2）如果抛物线y=a（x-t-l）,+/经过点B.①求a的值；②

这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否成直角三角形？

若能，求出t的值；若不能，请说明理由.

【例10］如图，E、F分别是边长为4的正方形ABCD的边BC、CD上的点，CE=1,CF=§,

直线FE交AB的延长线于G,过线段FG上的一个动点H,作HM1AG于M.设HM=x,矩形AMHN

的面积为y.(1)求y与x之间的函数表达式，(2)当x为何值时，矩形AMHN的面积最大，

最大面积是多少？

DFC

【例11】已知点A(-1,-1)在抛物线丫=(k2-l)X2-2(k-2)x+1±.

(1)求抛物线的对称轴；(2)若点B与A点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物

线只交于一点B的直线？如果存在，求符合条件的直线；如果不存在，说明理由.

【例12］如图，A、B是直线i上的两点，AB=4cm,过i外一点C作CD#i,射线BC与i

所成的锐角Nl=60°,线段BC=2cm,动点P、Q分别从B、C同时出发，P以每秒1cm的速

度，沿由B向C的方向运动；Q以每秒2cm的速度，沿由C向D的方向运动.设P、Q运动

的时间为t秒，当t>2时，PA交CD于E.(1)用含t的代数式分别表示CE和QE的长；(2)

求△APQ的面积S与t的函数表达式；(3)当QE恰好平分4APQ的面积时，QE的长是多少

厘米？

【例13］如图所示，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR,PQ=PR=5cm,PR=8cm,

点B、C、Q,R在同一直线i上.当CQ两点重合时，等腰4PQ!?以1cm/秒的速度沿直线i

按箭头所示方向开始匀速运动,t秒后,正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm?.解

答下列问题：

(1)当t=3秒时，求S的值；

(2)当t=5秒时,求S的值;

【例14】如图2416所示，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱

子0A,0恰在圆形水面中心，OA=1.25米.由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个

方向沿形状相同的抛物线的路线落下.为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在与高0A

距离为1米处达到距水面最大高度2.25米.

(1)如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不致落到池

外？

(2)若水池喷出的抛物线形状如(1)相同，水池的半径为3.5米，要使水流不致落

到池外，此时水流最大高度应达多少米？(精确到0.1米，提示：可建立如下坐标系：以

0A所在的直线为y轴，过点0垂直于0A的直线为x轴，点。为原点)

【例15】某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日生产的产品全部

售出.已知生产x只玩具熊猫的成本为R(元)，每只售价为P(元)，且R,P与x的表达

式分别为R=500+30x,P=170-2x.

(1)当日产量为多少时，每日获利为1750元？

(2)当II产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？

【例16】阅读材料，解答问题.

当抛物线的表达式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点

坐标出将发生变化.例如y=x“一2mx+m2+2m—1①，有y=（x—m）」+2m—1②，.•.抛物线的

x=m,③

顶点坐标为（m,2m—1）,即'）,=2团_]④

当m的值变化时，x、y的值也随之变化，因而y值也随x值的变化而变化.

把③代入④，得y=2x-l.⑤

可见，不论m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足表达式y=2x—l.

解答问题：

（1）在上述过程中，由①到②所学的数学方法是,其中运用了公式,

由③、④到⑤所用到的数学方法是.

（2）根据阅读材料提供的方法，确定抛物线y=——2mx+2m2—3m+l顶点的纵坐标y

与横坐标x之间的表达式.

二、课后练习:

1.抛物线y=-2x2+6x—l的顶点坐标为,对称轴为

2.如图,若a<0,b>0,c<0,

y随x的增大而减小.

4.抛物线y=2x?向左平移1个单位，再向下平移3个单位，

得到的抛物线表达式为.

5.二次函数y=ax'+bx+c的图象如图所示，则ac0.（填“>”、

或=）。

11

2

6.已知点（一1,八）、（-35,y2）>（5,ys）在函数y=3x+

6x+12的图象上，则外、yz、丫3的大小关系是（）

A.yi>y2>ysB.y2>yi>ysC.y2>y3>yiD.y3>yi>y2

7.二次函数y二一x?+bx+c的图象的最高点是(-1,-3),贝ijb、c的值是()

A.b=2,c=4B.b=2,c=—4C.b=—2,c=4D.b=-2,c=-4

8.如图，坐标系中抛物线是函数y=ax2+bx+c的图象，则下

列式子能成立的是()

A.abc>0B.a+b+cVOC.b<a+cD.2c<3b

9.函数yuax'+bx+c和y=ax+b在同一坐标系中，如图所示，"V

则正确的是()

10.已知抛物线y=ax?+bx+c经过点A(4,2)和B(5,7).(1)求抛物线的表达式;

(2)用描点法画出这条抛物线.

11.如图，已知二次函数y=2x?+bx+c,图象过A(—3,6),并与x轴交于B(―1,

0)和点C,顶点为P.

(1)求这个二次函数表达式；

(2)设D为线段0C上的一点，且满足/DPC=/BAC,求D点坐标.

12.已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12,从它的一个点作一条射线将矩形分成一

1

个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于5.设梯形的面积为s,

梯形中较短的底的长为X,试写出梯形面积关于X的函数表达式，并指出自变量X的取值范

围.

13.心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之

间满足函数关系y=-0.lx?+2.6x+43（0WxW30）.y值越大，表示接受能力越强.

（1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力

逐渐降低？

（2）第10分时，学生的接受能力是多少？

（3）第几分时，学生的接受能力最强？

14.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品.据市场分析，若按每千克50

元销售，一个月能售出500千克；销售单位每涨1元，月销售量就减少10千克.针对这种

水产品的销售情况，请解答以下问题：

（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；

（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数表达式（不必写

出x的取值范围）；

（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，

销售单价应定为多少？

15.欣欣日用品零售商店，从某公司批发部每月按销售合同以批发单价每把8元购进

雨伞（数量至少为100把）.欣欣商店根据销售记录，这种雨伞以零售单价每把为14元出

售时，月售销量为100把，如果零售单价每降低0.1元，月销售量就要增加5把.现在该

公司的批发部为了扩大这种雨伞的销售量，给零售商制定如下优惠措施：如果零售商每月

从批发部购进雨伞的数量超过100把，其超过100把的部分每把按原批发单价九五折（即

95%）付费，但零售单价每把不能低于10元.欣欣日用品零售商店应将这种雨伞的零售单

价定为每把多少元出售时，才能使这种雨伞的月销售利润最大？最大月销售利润是多少

元？（销售利润=销售款额一进货款额）

16.如图2424,在RtZXABC中，ZACB=90°,AB=10,BC=8,点D在BC上运动(不运

动至B、C),DE〃CA,交AB于E.设BD=x,4ADE的面积为y.

(1)求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；

(2)Z\ADE的面积何时最大，最大面积是多少？

(3)求当tanNECA=4时，Z\ADE的面积.

17.已知：如图2425,在Rtz2sABC中，ZC=90°,BC=4cm,AC=3cm.箱B'

C'与AABC完全重合，令aABC固定不动，将AA'B'C'沿CB所在的直线向左以lcm/s

的速度移动.设移动xs后，XA'B'C'与aABC的重叠部分的面积为yen?.求：

(1)y与x之间的函数关系；

3

(2)几秒钟后两个三角形重叠部分的面积等于$cm??

O

&BC

§2.5用三种方式表示二次函数

学习目标：

经历三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系和各自不同

点；掌握变量之间的二次函数关系，解决二次函数所表示的问题；掌握根据二次函数不同的

表达方式，从不同的侧面对函数性质进行研究.

学习重点：

能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数进行研究.函数的综合题目，

往往是三种方式的综合应用，由三种不同方式，都能把握函数性质，才会正确解题.

学习难点：

用三种方式表示二次函数的实际问题时，忽略自变量的取值范围是常见的错误.

学习方法：

讨论式学习法。

学习过程：

一、做一做：

已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为

ycm2,y随x的而变化的规律是什么？你能分别用函数表达

xy

式，表格和图象表示出来吗？比较三种表示方式，你能得出

什么结论?与同伴交流.-------------------

二、试一试：

两个数相差2,设其中较大的一个数为X,那么它们的积y是如何随x的变化而变化

的？？用你能分别用函数表达式，表格和图象表示这种变化吗？

三、积累:

表示方法优点缺点

解析法

表格法

图像法

三者关系

【例1】已知函数y=x°+bx+l的图象经过点(3,2).

(1)求这个函数的表达式；

(2)画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；

(3)当x>0时，求使y22的x的取值范围.

【例2】一次函数y=2x+3,与二次函数y=ax'+bx+c的图象交于A(m,5)和B(3,

n)两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9.

(1)求二次函数的表达式：

(2)在同一坐标系中画出两个函数的图象；

(3)从图象上观察，x为何值时，一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大.

(4)当x为何值时，一次函数值大于二次函数值？

【例3】行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑动一段距离才停

止，这段距离称为“刹车距离”.为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不超过130km/h),

对这种汽车进行测试，测得数据如下表：

刹车时车速(km/h)010203040506070

刹车距离(m)01.12.43.95.67.59.611.9

(1)以车速为x轴，刹车距离为y轴，在下面的方格图中建立坐标系，描出这些数据

所表示的点，并用平滑曲线连接这些点，得到函数的大致图象；

(2)观察图象，估计该函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数表达式；

(3)该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现测得刹车距离为26.4m,问在事故

发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶，请说明理由.

【例4】某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，

西红柿市场售价与上市时间的关系用图①中的一条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间

关系用图②中的抛物线表示.(1)写出图①中表示的市场售价与时间的函数表达式P=f(t),

写出图②中表示的种植成本与时间函数表达式Q=g(t)；

(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(注：

市场售价和种植成本的单位：元/10'kg,时间单位：天)

【例5】美好而难忘的初中生活即将结束了，在一次难忘同窗情的班会上，有人出了

这样一道题，如果在散会后全班每两个同学之间都握一次手，那么全班同学之间共握了多少

次？

为解决该问题，我们可把该班人数n与握手次数s间的关系用下面的模型来表示.

(1)若把n作为点的横坐标，s作为点的纵坐标，根据上述模型的数据，在给出的平

面直角坐标系中，找出相应5个点，并用平滑的曲线连接起来.

(2)根据图象中各点的排列规律，猜一猜上述各点会不会在某一函数的图象上，如果

在,

(3)根据(2)中的表达式，求该班56名同学间共握了多少次手？

五、随堂练习：

1.已知函数y=ax2+bx+c(aWO)的图象，如图①所示，则下列关系式中成立的是

()

2.抛物线y=ax°+bx+c(cWO)如图②所示，回答:

(1)这个二次函数的表达式是；

(2)当x