考点15 相似三角形的应用-2022年中考数学一轮复习(浙江专用)(解析版)

考点15相似三角形的应用

【命题趋势】

相似三角形的应用在中考中主要考察热点有：8字图、A字图等简单相似模型。出题

类型可以是选择填空这类小题，也可以是18~19这类解答题，难度通常不大，问题背景多以

现实中的实物如树高、楼高、物体尺寸等为背景，提炼出数学模型，进而利用(或构造)简

单相似模型求解长度等问题。

【中考考查重点】

一、相似三角形在实际生活中的应用

二、位似图形

三、相似三角形与函数综合

考向一：相似三角形在实际生活中的应用

相似三角形在实际生活中的应用:

(-)建模思想：建立相似三角形的模型

(-)常见题目类型:

1.利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形求解

2.测量底部可以到达的物体的高度

3.测量底部不可以到达的物体的高度

4.测量河的宽度

【同步练习】

1.如图，小明周末晚上陪父母在马路上散步，他由灯下A处前进4米到达B处时，测得影

子BC长为1米，已知小明身高1.6米，他若继续往前走4米到达。处，此时影子。E长

B.2米C.3米D.4米

【分析】依据即可得至l]AP=8,再依据△EOGs/XEAP,即可得至ljOE

长.

【解答】解:由尸8〃4P可得，△CBFsXCAP,

.CB-BF即」

••一，一■，-■.......,

CAAP1+4AP

解得AP=8,

由GO〃AP可得，△EDGsgAP,

•ED一GDPHED_1.6

EAPA4+4+ED8

解得ED=2,

故选：B.

2.《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法.如图所示，在井口A处

立一根垂直于井口的木杆AB,从木杆的顶端B观察井水水岸D,

视线B。与井口的直径AC交于点E,如果测得AB=l米，AC=1.6

米，AE=0.4米，那么CZ）为（）

A.2米B.3米

C.1米D.工米

23

【分析】由题意知：AABEs^CDE,得出对应边成比例即可得出CO.

【解答】解：由题意知：AB//CD,

则/BAE=/C,NB=/CDE,

：.△ABEs/sCOE,

•AB=AE

,,CDGE'

-1=0.4

"CD1.6-0.4'

:.CD=3米，

故选:B.

3.在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿A8=2,m它的影子BC=1.5〃?,

木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，它的影子QN=1.8aMN=0.8,%木竿PQ的长度

为.

P

A-Ml

11

：i：］

_________________

BCQN

【分析】根据同一时刻物高与影长成正比列式求解即可.

【解答】解：设木竿P。长为制〃，

依题意得_2_=玄区里，

1.51.8

解得x=1.6,

答：木竿长度为16”，

故答案为：1.6，”.

4.如图，有一块三角形余料，它的边BC=100，〃，高线A”=80，〃，耍把它加工成矩形零件，

使矩形的一边EF在8c上，其余两个顶点。、G分别在边A3、AC上，设矩形。EFG的

一边长DE=xm,矩形DEFG的面积为S.

(1)矩形OEFG的另一边长OG是多少？(用关于x的代数式表示)

(2)求S关于x的函数表达式和自变量x的取值范围.

(3)当x为多少时，矩形。EFG的面积S有最大值？最大值是多少？

【分析】(1)利用矩形的性质，DG〃EF,利用同位角相等，证△ADGSAABC,利用相

似三角形的性质求解即可；

(2)由⑴可知，DG=A(80-X),然后即可求出用x表示的矩形面积的关系式.

4

(3)利用配方法求出最大值即可.

【解答】解：(1)•.•四边形QEFG是矩形，

：.DG//EF,

△ADGs&BC,

.DG=AR

"BCAH'

.DG—80-x

**10080

：.DG=^-(80-x)(m)；

4

(2)矩形面积S=x•旦(80-x)=-且dlOOx(0<x<80)；

44

(3)：S=-5(%2-80x)=-立(x-40)2+2000,

44

：-9V0,

4

...*=40时，S的值最大，最大值为2000.

答：当x=40时，S的值最大,最大值为2000"工

考向二：位似图形

位似图形满足的条件：

①所有经过对应点的直线都相交于同一点(该点叫做位似中心)；

②这个交点到两个对应点的距离之比都相等(这个比值叫做位似比)

【同步练习】

1.如图，BC//ED,下列说法不正确的是()

A.AE-.AO是相似比ED

B.点4是两个三角形的位似中心A

C.8与£>、C与E是对应位似点

D.两个三角形是位似图形

【分析】根据位似变换的概念和性质判断即可.

【解答】解：4、当时，AE：AC是相似比，本选项说法不正

确，符合题意；

8、点4是两个三角形的位似中心，本选项说法正确，不符合题意；

C、8与。、C与E是对应位似点，本选项说法正确，不符合题意：

。、两个三角形是位似图形，本选项说法正确，不符合题意；

故选：A.

2.如图，已知△ABC和△?1£>£是以点A为位似中心的位似图形，且△ABC和△4£>£的周

长比为2：1,则4ABC和△AOE的位似比是（）

A.I：4B.4：1C.I：2D.2：1

【分析】利用位似的性质求解.B

【解答】解：:△ABC和△ADE是以点A为位似中心的位似图形，

...△ABCsZsAOE,位似比等于相似比,

「△ABC和△AOE的周长比为2：1,

△A8C和△AOK的相似比为2：1,

...△A8C和△AOE的位似比是2：1.

故选：D.

3.如图，在网格图中，以0为位似中心，把AABC缩小到原来的L则点A的对应点为（）

2

A.。点B.E点C.。点或G点D.。点或F点

【分析】作射线A0,根据位似变换的概念判断即可.

【解答】解：作射线AO,

由图可知，点。和点G都在射线A0上，目毁=工，或=』

0A20A2

则点A的对应点为D点或G点，

故选：C.

4.如图，在7X4方格纸中，点A,B,C都在格点上，用无刻度直尺作图.

(1)在图1中的线段AC上找一个点E,使AE=LC；

3

(2)在图2中作一个格点△CDE,使△CDE与△ABC相似.

【分析】(1)构造相似比为上的相似三角形即可解决问题；

3

(2)利用勾股定理的逆定理判断出乙4CB=90°,从而解决问题.

【解答】解：(1)如图，构造相似比为上的相似三角形，则点E即为所求;

3

(2)如图,'：BC2=5,AC2=2O,AB2=25,

：.BC2+AC1=AB2,

：.ZACB=90°,AC=2BC,

.,.△CDE即为所求.

5.如图，在平面直角坐标系中，aABC的顶点为

(1,3),C(4,1),若△4B1C1与AABC是以坐标原点。为位似中心的位似图形，点

A、B、C的对应点分别为Ai、Bi、Ci,且Ai的坐标为(4,2).

(1)请在所给平面直角坐标系第一象限内画出△A1B1C1：

(2)分别写出点81、。的坐标.

【分析】(1)(2)利用点A和点4的坐标特征确定位似比为2,然后把点B、C的横纵

坐标都乘以2得到点以、。的坐标，然后描点即可.

【解答】解：⑴如图,AAIBICI；

(2)点团的坐标为(2,6),点Ci的坐标为(8,2).

123456789

考向三：相似三角形与函数综合

【方法提炼】

相似三角形与函数的综合重点是利用相似三角形的性质，设置参数，构建对应函数模型,

再利用函数的性质求解后续问题

【同步练习】

1.（2021•无棣县二模）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边上一点，动点P,。同时

从点8出发，点P沿折线BE-EQ-CC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时

停止，它们运动的速度都是1s?/秒.设P、。同时出发「秒时，△8PQ的面积为ye”「.已

知y与f的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①">=

2

BE=5；®OZABE^③当0<W5时，y^.t;④当弋学■秒时，XABEsXQfip：

CS554

其中正确的结论是（）

D.②④

【分析】据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E

时点。到达点C,从而得到8C、8E的长度，再根据M、N是从5秒到7秒，可得EO

的长度，然后表示出AE的长度，根据勾股定理求出AB的长度，然后针对各小题分析解

答即可.

【解答】解：根据图（2）可得，当点?到达点E时，点。到达点C,

•••点P、Q的运动的速度都是1c曲秒,

：.BC=BE=5,

.,.AD=BE—5,故①小题正确；

又•从M到N的变化是2,

；.ED=2,

：.AE=AD-ED=5-2=3,

在中，^=VBE2-AE2=V52-32=4,

.,.COSZABE=M=A,故②小题错误;

BE5

过点P作P/UBC于点F,

'JAD//BC,

：.NAEB=/PBF,

：.sinZPBF=sinZAEB=^-=^-,

BE5

：.PF=PBsinZPBF=生,

5图⑴

...当0VK5时，y=lBQ-PF=lf-it=lt2,故③小题正确;

2255

当工=22秒时，点尸在co上，此时，PD=21-BE-ED=21-5-2=A,

4444

PQ=CD-PD=4-」=耳

44

••AB=4BQ=§=4

AE3PQJ5.3

4

•AB=BQ

"AE而’

又♦.•NA=/Q=90°,

：./\ABE^^QBP,故④小题正确.

综上所述，正确的有①③④.

故选：C.

2.（2020•达州）如图，在梯形A8CZ）中，AB//CD,ZB=90°,AB=6cm,CD=2cm.P

为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接以，过点P作PEL巩交射线C£）于点

E.聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究：

（1）通过推理，他发现△ABPS^PCE,请你帮他完成证明.

（2）利用几何画板，他改变BC的长度，运动点P,得到不同位置时，CE、BP的长度

的对应值：

当3c=6c机时，得表1：

BP/cm…12345…

CE/cm…0.831.331.501.330.83

当BC=San时，得表2：

BP/cm・・・1234567・・・

CE/cm…1.172.002.502.672.502.001.17•••

这说明，点P在线段BC上运动时，要保证点E总在线段CO上，8c的长度应有一定的

限制.

①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在8尸和CE的长度这两个变量中，的

长度为自变量，

的长度为因变量；

②设BC=mc/n,当点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求，”的取值范围.

【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似证明即可.

（2）①根据函数的定义判断即可.

②设BP=xcm,CE=ycm.利用相似三角形的性质构建二次函数，利用二次函数的性质

求出y的最大值即可解决问题.

【解答】（1）证明：

.,.ZB+ZC=180°,

VZB=90°,

/.ZB=ZC=90°,

'：AP±PE,

；.NAPE=90°,

ZAPB+ZEPC=90°,

；NEPC+/PEC=90°,

，ZAPB=ZPEC,

：.△ABPs/\PCE.

（2）解：①根据函数的定义，我们可以确定，在8。和CE的长度这两个变量中，BP的

长度为自变量，EC的长度为因变量，

故答案为：BP,EC.

②设BP=xcm,CE=ycm.

•/MABPs/\pcE,

•.•—A^B―-.—BP^―,

PCCE

6=x

m-xy

2

*.y=-Ld+Lnxn-A(x-Aw)2+^—,

666224

6

'.x=L"时，y有最大值处一，

224

.•点E在线段CO上，CD=2cm,

2

•.JL-W2,

24

・""W4禽，

♦.0<〃忘4心

,尽跟踪训练

1.如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5〃?

时，标准视力表中最大的“E”字高度为72.7皿*,当测试距离为3胆时，最大的“E”

字高度为（）

A.121.17/%〃?B.43.62/w??C.29.08加加D.4.36mm

【分析】直接利用平行线分线段成比例定理列比例式，代入可得结论.

【解答】解：由题意得：C8//DF,

DF_AD

BC"AB'二一

•AD=3iTifA3=5〃z,BC'=>12.7mm..

DF二3

72.7"5

・♦・0/=43.62（mm）,H---------------j-m-----------

故选：B.

2.如图，点4,B都在格点上，若8C=Z/亘，则AC的长为（）

c.2AD.35/13

【分析】根据相似三角形的判定和性质可以得到A8的长，然后由图可知AC=A8-8C,

然后代入数据计算即可.

【解答】解：作于点。，作于点E,如右图所示,

则CD//AE,

:.△BDCsXBEA,

•.--B-C-=-B-D-=-2,

BABE6

2713_

•.•---3--_2-^―,

BA6

解得84=2/正，

：.AC=BA-BC=2V13-2V13_=W13_,

33

故选：B.

3.国旗法规定：所有国旗均为相似矩形，在下列四面国旗中，其中只有一面不符合标准,

这面国旗是（）

64cm[

96cm

【分析】根据已知条件分别求出矩形的长与宽的比，即可得到结论.

【解答】解：小侬=2,

2403

"喘

96_2

———3

1443

"ri

..160=96=64=120

,24014496160

二8选项不符合标准,

故选：B.

4.如图，/XABC与△4‘B'C'位似，位似中心为点。，鼠‘°上,△ABC的面积为9,

AC3

24

【分析】根据位似图形的概念得到△ABCs^A'B'C,根据相似三角形的面积之比

等于相似比的平方解答.

【解答】解：根据题意知，△ABCs/vl'B'C,

..A'C'2

'""AC—3’

.,.△ABC的面积：B'C面积=9：4.

又；ZVIBC的面积为9,

.'.△A'B'C面积为4.

故选：C.

5.如图，△ABC和△△'B'C是以点O为位似中心的位似图形，若OA：A4'=2：5,

则△ABC与△?!'B1C'的周长比为（）

A/

A.2：3B.4：3C.2：9D.4：9

【分析】根据题意求出040A'=2：3,根据相似三角形的性质求出AC：A'C',根

据相似三角形的性质计算即可.

【解答】解：VOA：A4'=2：5,

：.OA；OA'=2：3,

「△ABC和△4'B'C'是以点。为位似中心的位似图形,

J.AC//A'C,△ABCs"B1C,

:.△AOCsRA'0C,

：.AC：A'C=04：OA'=2：3,

...△ABC与△4'B1C'的周长比为2：3,

故选：A.

6.小明的身高为1.6m,某一时刻他在阳光下的影子长为2〃?，与他邻近的一棵树的影长为

10/M,则这棵树的高为m.

【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体，影子，经过物

体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似.

【解答】解：设这棵树的高度为必，，根据相同时刻的物高与影长成比例，

则可列比例为：工出工，

210

解得：x=8.

故答案为：8.

7.据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐

释了光的直线传播原理.小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔。，物体48在幕布

上形成倒立的实像C。（点A、8的对应点分别是C、。）.若物体AB的高为6c/n,小孔

O到物体和实像的水平距离BE、CE分别为Scm.6cm,则实像CD的高度为cm.

A-

【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到答案.

【解答】解：•.•A8〃C£>,

•••CDCE,

ABBE

•••C一'D_6,

68

；.CO=4.5,

答：实像CO的高度为4.5cm

故答案为：4.5.

8.小丽想利用所学知识测量旗杆A8的高度，如图，小丽在自家窗边看见旗杆和住宅楼之

间有一棵大树OE，小丽通过调整自己的位置，发现半蹲于窗边，眼睛位于C处时，恰好

看到旗杆顶端A、大树顶端。在一条直线上，小丽用测距仪测得眼睛到大树和旗杆的水

平距离CH、CG分别为7米、28米，眼睛到地面的距离CP为3.5米，已知大树OE的

高度为7米，CG〃BF交AB于点、G,产于点B,尸于点E,交CG于点儿

CF工BF于点F.求旗杆AB的高度.

【分析】根据相似三角形的判定与性质得出比例式求解即可.

【解答】解：由题意知8G=，E=C尸=3.5米，

：.DH=DE-CF=1-3.5=3.5（米）,

'：AB±BF,DE1.BF,

J.AG//DH,

:.△CDRsXCAG,

.PH.CH=7

"AG"CG28,

3.5_7

AG28

."G=14米，

."8=AG+GB=14+3.5=17.5（米），

旗杆A8的高度为17.5米.

9.如图，/XABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mw,高4。=80如〃，要把它加工成

矩形零件PQMN,使一边在BC上，其余两个顶点分别在边48、4c上.

（1）求证：△APQS^ABC；

（2）若这个矩形的边PN：PQ=\：2,则这个矩形的长、宽各是多少？

【分析】（1）根据矩形的对边平行得到BC//PQ,利用“平行于三角形的一边的直线截

其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可.

（2）设宽为xwwn,则长为2xmm,同（1）列出比例关系求解即可.

【解答】解：（1）•••四边形尸NQM为矩形，

：.MN//PQ,

即PQ//BC,

：.△APQS"8C；

(2)设边宽为xmm,则长为Ixtnm,

•・•四边形PNM。为矩形，

J.PQ//BC,

a

：ADA.BCt

：.PQ±ADf

■:PN：PQ=\t2,

工尸。为长，PN为宽,

■:PQ//BC,

：.△APQs/MBC,

.PQ=AH

**BCAD?

由题意知P2=2JC/W/H,AD=S0mtnfBC=12Gmm,PN=xmm,

•2x=80-x

*12080

解得2x=480.

77

即长为螫如〃，宽为2处”〃?.

77

答：矩形的长侬7"〃?，宽为2处“江

77

10.(2022♦禅城区校级模拟)如图①，四边形ABCQ是矩形，AB=1,8c=2,点E是线段

BC上一动点(不与8、C两点重合)，点尸是线段54延长线的一动点，连接DE,EF,

DF,EF交A。于点G,设BE=x,AF=y,已知y与x之间的函数关系式如图②所示，

(1)图②中y与x的函数关系式为；

(2)求证：△CZJES/VLDF；

(3)当aOEG是等腰三角形时，求x的值.

【分析】(1)利用待定系数法可得y与x的函数表达式.

(2)利用两边成比例夹角相等证明△COEsAADF即可.

(3)分三种情况：①若DE=DG,则/。GE=NDEG,②若OE=EG,如图①，作E”

//CD,交于从③若DG=EG,则/GOE=/GE£>,分别列方程计算可得结论.

【解答】(1)解：设丁=依+〃，

由图象得：当x=l时，y=2,当x=0时，y=4,

代入得：(k+b=2,

Ib=4

fk=-2

lb=4'

；.)，=-2x+4(0<x<2).

故答案为：y=-2r+4(0<x<2).

(2)证明：,:BE=x,BC=2

：.CE=2-x,

•CE=2-x=1CD=1

"AF4-2x2'AD2"

•.•一CE一_'CD',

AFAD

•.•四边形A8c。是矩形，

.•./C=NDAF=90°,

：./\CDE^^ADF,

：.ZADF=ZCDE.

(3)解：假设存在x的值，使得AOEG是等腰三角形,

①若DE=DG,则NOGE=NOEG,

•••四边形A8C。是矩形，

：.AI)//BC,ZB=90°,

：.ZDGE=ZGEB,

:.NDEG=NBEG,

在△£>£；/和△8£7='中，

zZFDE=ZB

<ZDEF=ZBEF-

EF=EF

:.4DEF公ABEF(A45),

:・DE=BE=x,CE=2-x,

在RtZ\CDE中，由勾股定理得：1+(2-x)2=/,

x=5

4

②若DE=EG,如图①，作EH〃C£),交A力于H,

（图①）

,:AD〃BC,EH//CD,

・・・四边形CDHE是平行四边形，

AZC=90°,

，四边形CDHE是矩形，

：・EH=CD=1,DH=CE=2-x9EH1.DG,

：・HG=DH=2-x,

>\AG=2x-2,

,:EH〃CD,DC"AB,

：.EH//AF,

:・/\EHGS/\FAG,

・・EH=GH

**AFAG，

・・1=2-x.

4-2x2x-2

**X|~~——/J.，X2—————（舍），

22

经检验X=2近■是分式方程的解，

2

•.丫=5f而

2

③若DG=EG,则NG£）E=NGE£>,

'JAD//BC,

：.ZGDE=ZDEC,

:.NGED=NDEC,

ZC^ZEDF^90°,

/.△CDE^ADFE,

.CE=DE

"CDDF"

■:△CDEsXADF,

.DE=CD=1

"DFAD~2

•.•-CE_-1»

CD2

.•人r=3—,•

2

综上，x=S或互运或旦.

422

感真题再现

1.（2021•浙江绍兴）如图，树AB在路灯。的照射下形成投影AC,已知路灯高PO=5，w,

树影AC=3m,树48与路灯O的水平距离AP=4.5〃?，则树的高度AB长是（）

C.^-mD•%

2

【分析】利用相似三角形的性质求解即可.

【解答】解：

.,.△CABsZXCPO,

•ABAC

"po'PC"

•AB=3

•-T=3+4.5

/.AB=2(m),

故选：A.

2.（2021•浙江嘉兴）如图，在直角坐标系中，△ABC与△OQE是位似图形，则它们位似

中心的坐标是

【分析】根据图示，对应点所在的直线都经过同一点，该点就是位似中心.

【解答】解：如图,

点G（4,2）即为所求的位似中心.

故答案是：（4,2）.

3.（2021•浙江温州）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3,

点A,8的对应点分别为点A',B'.若AB=6,则A'B'的长为（）

甲乙

A.8B.9C.10D.15

【分析】根据位似图形的概念列出比例式，代入计算即可.

【解答】解：..•图形甲与图形乙是位似图形，位似比为2：3,AB=6,

・AB—2mn6—2

NB'3NB'3

解得，A'B'=9,

故选：B.

4.（2021•浙江金华）如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置.木条BC上的点

P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D,从A点发出的光束经平面镜P反射

后，在MN上形成一个光点E.已知MNLBC,AB=6.5,BP=4,PO=8.

（1）的长为.

（2）将木条3c绕点8按顺时针方向旋转一定角度得到8C'（如图2）,点尸的对应点

为P',BC'与MN的交点、为D',从A点发出的光束经平面镜P'反射后，在MN上

的光点为E'.若。。=5,则EE'的长为

图1图2

【分析】（1）由题意可得，AABPs^EDP,则鲤_=迎，进而可得出£>E的长；

DEPD

（2）过点E'作/E'FG=/E'D'F,过点E'作E'G1BC'于点G,易得AABP'

sWFP',由此可得芈_="二，在Rt/XBDD'中，由勾股定理可求出BD'的

E'FP'F

长，可求出NBD'。的正切值，设PF的长，分别表示E'F和E'D'及FG和GQ'

的长，再根据=13,可建立等式，可得结论.

【解答】解：（1）如图，由题意可得，NAPB=NEPD,NB=NEDP=90：

:.△ABPS/XEOP,

•AB=BP

"DEPD'

"：AB=6.5,BP=4,PD=8,

.6.5=4

""DF石

；.£)E=[3；

故答案为：13.

(2)如图2,过点E'作/E'FD'=NE'D'F,过点E'作E'G±

8C'于点G,

：.E'F=E'D',FG=GD',

■:AB//MN,

：.ZABD'+ZE'D'8=180°,

；.NABD'+NE'尸G=180°,图2

■:NE'FB+ZE'FG=180°,

:./ABP'=/E'FP',

又NAP'B=NE'P'F,

:.△ABP'S/\E'FP',

.AB=BP，即6.5=4

FP'F、，E'FP'F

设PF=4m,则E'F=6.5m,

：.E'D'=6.5"],

在中，NBDD'=90°,DD'=5,BD^BP+PD^U,

由勾股定理可得，BD'=13,

：.cosZBD'D=-S_,

13

在RtZXE'GD'中，cosNBD'£>=GD：=且，

E'D’13

：.GD'=2.5m,

：.FG=GD'=2.5m,

•；BP'+P1F+FG+GD'=13,

.,.4+4，〃+2.5，"+2.5"?=13,解得m=I,

：.E'D'=6.5,

：.EE'=DE+DD'-D'E'=13+5-6.5=11.5.

故答案为：11.5.

5.（2021•浙江湖州）已知在平面直角坐标系x。），中，点A是反比例函数），=工（x>0）图

X

象上的一个动点，连结AO,A。的延长线交反比例函数>=区（％>0,xVO）的图象于点

x

①若％=1,求证：四边形AEF。是平行四边形；

②连结BE,若k=4,求△BOE的面积.

(2)如图2,过点E作EP〃AB,交反比例函数y=K(k>0,x<0)的图象于点P,连

x

结OP.试探究：对于确定的实数k,动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变

化？请说明理由.

【分析】(1)①设点A的坐标为(a,—),则当点k=1时，点B的坐标为(-a,--),

aa

得出AE=OF,AE//OF,由平行四边形的判定可得出结论;

②过点8作B。，），轴于点。，如图1,证明△AEOS^B。。，由相似三角形的性质得出

也些=卢）2,则可得出答案；

S/kBDOB0

（2）过点尸作轴于点H,PE与x轴交于点G,设点A的坐标为（a,1），点P

a

的坐标为（b,K）,则4E=a,OE=_1,PH=-X,证明△4E0S/\GBP,由相似三角

bab

形的性质得出岖型，解方程得出旦=-1-正位,由三角形面积公式可得出答案.

GHPH2

【解答】（1）①证明：设点A的坐标为（a,

」，

a

：.AE=OF=a,

；AE_Ly轴，

：.AE//OF,

...四边形是平行四边形：

②解：过点B作BDLy轴于点D,如图1,

轴，

.,.AE//BD,

：.△AEOS^BDO,图1

S

.AAEOZA0.2J

^ABDOBO

2

.,.当％=4时，2_=（空1）2,

即也。，

BO2

SABOE=2SAAOE=1；

（2）不改变.

理由如下：

过点P作PHJ_x轴于点"，PE与x轴交于点G,

设点A的坐标为（小工），点P的坐标为（b,

a

则AE=a,OE=A,PH=-K,

ab

；四边形AEGO是平行四边形，

图2

：.ZEAO=ZEGOfAE=OG,

■:/EGO=/PGH,

：.ZEAO=ZPGH,

又•：/PHG=/AEO,

，AAEOs4GHP,

•・•一A一E—二一EO"-»

GHPH

VGH=OH-0G=-b-a,

・aa

••—）

-b-a上

（_L）2上_仁0,

aa

解得且=-l±s+4k,

a2

•:a,b异号,k>Of

-b-l-Vl+4k

•---=-----------,

a2

S^POE=—XOEX（-/?）=—x—x（-匕）=-5义_L=,1YkL组,

22a2a4

・・・对于确定的实数上动点A在运动过程中，^POE的面积不会发生变化.

模拟检测,

1.（2021•温州模拟）如图，在正六边形桌面中心正上方有一盏吊灯，在灯光下，桌面在水

平地面的投影是一个面积为空运，“2的正六边形，己知桌子的高度为0.75⑶桌面边长

8

为1m,则吊灯距地面的高度为（）

A.2.25根B.2.3mC.2.35mD.2.4机

【分析】首先根据正六边形的面积可得正六边形的边长，进而可通过构造相似三角形,

由相似三角形性质求出.

【解答】解：设正六边形的边长是X，”，

则工•6=.27V^.,

228

解得x=1.5,

如图，

依题意知DF=FE=0.5米，FG=0.75米，CG=0.75米,

'：DE//BC,

：.^FAE^/\GAC,

•AFEF

"AG"GC'

即AF=05.

AF+0.750.75

解得：A尸=1.5,

；.AG=1.5+0.75=2.25(m),

答：吊灯距地面的高度为2.25〃?.

故选：A.

2.（2021•临海市一模）如图，为测量楼高AB,在适当位置竖立一根高2机的标杆MN,并

在同一时刻分别测得其落在地面上的影长AC=20mMP=2.5m,则楼高AB为（）

PMCA

A.15mB.16mC.18〃zD.20m

【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶

部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似.根据相似三角形的对应边的比相等，即

可求解.

•.标杆的高_楼高

【解答】解:

.标杆的影长韦影长

喉辱

楼高=16米.

故选:8.

3.（2022•温州模拟）如图，在4X7的方格中，点A,B,C,。在格点上，线段C。是由线

段AB位似放大得到，则它们的位似中心是（)

c

A.点PiB.点P2C.点、P3D.

【分析】延长。、DB交于点Pi,根据位似中心的概念得到答案.

【解答】解：延长C4、DB交于点Pi,

则点P\为位似中心，

故选：A.

4.（2021•嘉兴二模）如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点B的坐标为（-1,1）,现以

坐标原点O为位似中心，作与AABC的位似比为2的位似图形△AB'C,则的

3

坐标为（）

A.（上，2）B.（2,上）

、33'飞3J

C苜,9）或6,4）D.（看等）或营,£）

【分析】根据以原点为位似中心的对应点的坐标关系，把B点的横纵坐标都乘以2或-1

33

得到⑶的坐标.

【解答】解：•••位似中心为坐标原点，作与△ABC的位似比为2的位似图形△48C,

3

而B的坐标为（-1,1）,

.♦•5的坐标为（-2,2）或（2,-2）.

3333

故选：C.

5.（2021•嘉善县一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1,0）,点。的坐标

为（3,0）,若△4BC与△OEF是位似图形，则空■的值是（）

DF

2334

【分析】根据位似图形的概念得到AC〃。凡

【解答】解：..♦点A的坐标为（1,0）,点。的坐标为（3,0）,

，OA=1,OD=3,即怨=•1,

OD3

V/\ABC与△OEF是位似图形，

：.AC//DF,

：./\OACS/\ODF,

•••A..C.-O—A-