线性代数习题及复习资料复旦版

线性代数习题及答案

习题一

1.求下列各排列的逆序数.

(1)341782659；(2)987654321；

(3)n(n1)…321；(4)13…

(2〃1)(2〃)(2〃2)-2.

【解】

(1)r(341782659)=11;

(2)r(987654321)=36;

(3)T(77(721)…3,2*1)=0+1+2+•••+(〃1)=；

2

(4)T(13…(2/71)(2/2)(2/72)…2)=0+1+…

+(7?1)+(/?1)+(z?2)+…+1+0=〃(〃1).

2.略.见教材习题参考答案.

3.略.见教材习题参考答案.

5x123

4.本行列式2=：:1:的绽开式中包含V和一的项.

12x3

x122x

解：设D&=E(T产熊&M,2aM4,其中强，，3，乙分别为不同

列中对应元素的行下标，则2绽开式中含Y项有

2绽开式中含一项有

5.用定义计算下列各行列式.

02001230

()00100020

7(2)

30003045

00040001

【解】⑴氏(1)"23⑷4!=24;(2)P=12.

6.计算下列各行列式.

214-1

ab—ac-ae\

⑴3T2-1

⑵-bdcd-de

123-2

-bf-cf-ef

506-2

001234

-102341

(4)

c-13412

1d4123

506-2

【解】(1)；［=0；

123-2

506-2

1-1-1

(2)D=abcdef-11-1=-4abcdef

-1-1-1

7.证明下列各式.

a2abb~

(1)2aa+b2b=(a-b)2;

111

a2(a+1产(a+2)2(a+3)2

b23+1)23+2)2("3)2

(2)=0;

c2(c+1)2(C+2)2(C+3>

d2(J+l)2(d+2)2(d+3)2

1a2a31aa2

⑶1b2力=(ab+be+cd)1bb2

1c2c*1c2

a00b

ab0

-{ad-bey;

cd0

1+q1

（5）；"4

=普令

an

lz=iiyi=\

11

【证明】(1)

2a+l4a+46a+9a22a+126

七通/h22h+\48+46b+9h22h+]26=o=右端.

⑵左橘=,

C3fCq-3c2c2

q-q2c+l4c+46c+92c+l26

d22J+14d+46d+9d22J+126

(3)首先考虑4阶范德蒙行列式:

从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f(x)的x的系数为

但对(*)式右端行列式按第一行绽开知x的系数为两者应相等,

故

(4)对几按第一行绽开，得

据此递推下去，可得

(5)对行列式的阶数〃用数学归纳法.

当上2时，可直接验算结论成立，假定对这样的〃1阶行

列式结论成立，进而证明阶数为〃时结论也成立.

按〃，的最终一列，把〃，拆成两个n阶行列式相加：

但由归纳假设

从而有

8.计算下列〃阶行列式.

122…2

X11

222…2

1X1

⑴2=⑵2232

11V

222•••n

Xy0…00

0Xy...00

⑶D.=。，，=同其中

000…Xy

y00…0X

%="/(，，j=L2,…;

210•••00

121•••00

⑸2=012•••00

000•••21

000•••12

【解】(1)各行都加到第一行,再从第一行提出X+51),得

将第一行乘(1)后分别加到其余各行，得

12222

10000

⑵0100按第二行绽开

0020

1000•••n-2

2222

0100

-0020=-2(n-2)!.

000n-2

(3)行列式按第一列绽开后，得

(4)由题意，知

21000200­••00010­••00

1210012100121•••00

01200012•••0001200

⑸D”==+

•・.••

00021000•••21000•••21

000120001200012

即有D,.~-D"一2=•,•=D?-D、=1

由（，「%）+（%-。"-2）+…+（。2-A）=〃-1得

9.计算〃阶行列式.

【解】各列都加到第一列，再从第一列提出1+之4,得

i=l

将第一行乘（1）后加到其余各行，得

10.计算〃阶行列式（其中a#0,i=l,2,.

【解】行列式的各列提取因子4七曰,2,•••,〃），然后应用范德蒙行

列式.

11.已知4阶行列式

试求4+4及A43+A44,其中演为行列式£的第4行第J个元素

的代数余子式.

【解】

同理At3+444=T5+6=-9.

12.用克莱姆法则解方程组.

%+%2+%3=5,

⑴2x,+x2-x3+x4=l,⑵

x]+2X2-毛+x4=2,

x2+2七+3X4=3.

5X]+6X2=1,

玉+5X2+6X3=0,

{x2+5X3+6X4=0,

x3+5尤4+6X5=0,

x4+5X5=1.

【解】方程组的系数行列式为

故原方程组有惟一解，为

13.几和〃为何值时，齐次方程组

有非零解

【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式

即

故〃=0或%=1时，方程组有非零解.

14.问：齐次线性方程组

有非零解时，H,6必需满意什么条件？

【解】该齐次线性方程组有非零解，a,6需满意

即31）2=46.

15.求二次多项式/（X）=%+4/+4工2，使得

【解】依据题意，得

这是关于四个未知数.吗吗,％的一个线性方程组，由于

故得%=7,q=0,出=-5,%=2

于是所求的多项式为

16.求出访一平面上三个点（芯,乂）,（々,必），（七，为）位于同始终线上的

充分必要条件.

【解】设平面上的直线方程为

ax+by+c=G(a,8不同时为0)

按题设有

则以a,b,c为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必

要条件为

上式即为三点（公凶）,（林力）,（%丹）位于同始终线上的充分必要条

件.

习题二

1.计算下列矩阵的乘积.

1

50oir1'

⑴=；[32一10];

(2)031-2;

023_

3

1210][1031

0101012-1

002100-23

3_||_000

000-3

【解】

32-10

'5'

-3-210

⑴；(2)-3(3)(10);

64-20

-1

96-30j1

33

q/：++(a+)%%3+

a22x[+a33x^+(al2+a2l)x,x2l3(a23+a32)x2x3=£agXj

i=\j=l

-1252

aa

\\\2。12+%3

012-4

〃22+“23

⑸a2\。22(6)

00-43

.为。32“32+33

。000-9

-11r-121

2.设4=-111,B=13-1

1-11_214

求⑴AB-2A；⑵AB-BA;(3)(A+B)(A-B)=A2-B2

242440

【解】(1)AB-2A=400(2)AB-BA^5-3-1

024-31-1

(3)由于四^胡，故(2+为(4由次#E.

3.举例说明下列命题是错误的.

⑴若4?=。，则4=0;(2)右A2=A»则4=0或

A=£;

(3)^AX=AY,AwO,贝ljx=y.

【解】

'oor

(1)以三阶矩阵为例，取A=oo0,A2=0,但4W0

000

1-10

⑵令4=000则才=4但Z#0且AWE

001

1

⑶令4=0

-1

则41匕4匕但肾匕

12

4.设4=-，求才，4,.

01

■A77Yo124a13A.

【解】A2=,A3=，…，屋

0101

210

5.A=021,求心屋并证明:

002

储221A33A232

【解】A2=0A224A3=0233万

00A200A3

今归纳假设

那么

所以，对于一切自然数人都有

6.已知4P=PB,其中

求A及屋.

【解】因为|尸|=1#0,故由/产冏得

而

ahcd

b-acl-c

7.设4=求I

da-b

-d-cha

解：由已知条件，4的伴随矩阵为

又因为A*4=|A|E,所以有

-(a2+^2+c2+iZ2)A2=\A\E,且同＜0,

即\-(a2+b2+c2+d2)A2\=(a2+b2+c2+^2)4|A||A|=|A|4|E|

于是有

|A|=-yj(a2+b2+c2+J2)4=-(a2+h2+c2+d2)2.

8.已知线性变换

利用矩阵乘法求从Z],Z2,Z3到再,Z，七的线性变换.

【解】已知

从而由4*2*3到西,%2，%3的线性变换为

9.设A,B为”阶方阵，且A为对称阵，证明：3ZB也是对称

阵.

【证明】因为〃阶方阵2为对称阵，即H=4

所以(夕AB)'二夕A'B^B'AB,

故"A3也为对称阵.

10.设48为〃阶对称方阵，证明：形为对称阵的充分必要

条件是AB-BA.

【证明】已知4=49;B,若四是对称阵，即(M'=AR

贝ijAB=(AB)'二夕A'=胡，

反之，因册胡，则

(M'=B'A'=BA^AB,

所以，血为对称阵.

11.4为〃阶对称矩阵，3为〃阶反对称矩阵，证明：

(1)#是对称矩阵.

(2)AB胡是对称矩阵，四<■的是反对称矩阵.

【证明】

因H=49=人故

(石)'=B'・9=小(而二历

(ABBA)'=(M'(BA)'=B'A'A'B'

=BAA>{B)=ABBA-,

(AB+BA)'=(M'+(胡":B'A'+A1B'

=物+/・(面=(AB+BA).

所以力是对称矩阵，AB物是对称矩阵，A5俎4是反对称矩阵.

12.求及小；；可交换的全体二阶矩阵.

【解】设及/可交换的方阵为『则由

ca

得

由对应元素相等得c=0,*a,即及A可交换的方阵为一切形

如卜1的方阵，其中a,6为随意数.

0a

-100-

13.求及4=012可交换的全体三阶矩阵.

01-2_

【解】由于

'000'

4=4002,

01-3_

而且由

可得

由此又可得

所以

00

即及4可交换的一切方阵为ob22b3其中q也也为随意数.

ob3b2-3b3

14.求下列矩阵的逆矩阵.

[123

⑴12；(2)012

25„„

1000

1200

(4)

2130

1214

5200

2100

（6）a~.（《，/，…，。，尸。），

0083

0052

未写出的元素都是0（以下均同，不另注）.

1-21

5-2

⑴(2)01-2

-21

001

000

602

4-1(4)」

14-2-2

w_J_1

_824-124.

0

-20

00-3

00

15.利用逆矩阵，解线性方程组

【解】因o1,而0

故

16.证明下列命题：

(1)若4夕是同阶可逆矩阵，则(AB)*=

(2)若/可逆，则4可逆且(4)]=(J1)*.

(3)若材=£则⑺'=(/)\

【证明】(1)因对随意方阵c,均有。*用。。*=|。]£而48均可

逆且同阶，故可得

\A\•㈤•BA=\AB\E^A)

二(屈)*AB(H4)=(AB)*力(班)A

二(MlfA\B\EA^\A\•,B\{AB)*.

•・,㈤WO,㈤WO,

Z.(M*="

(2)由于AA=\A\E,故A=\A\A\从而CT)

MAl\(A])MA\'A.

于是

/(Ji)*=|441•\A\'A=E,

所以

(Ai)*=(/)\

(3)因44'=E,故力可逆且4l=A'.

由(2)(4)i)*，得

(/)[(4)*=(/)'.

17.已知线性变换

求从变量看,物工3到变量X，%，%的线性变换•

【解】已知

且4=1/0,故才可逆，因而

所以从变量3,々，马到变量凹,外,%的线性变换为

18.解下列矩阵方程.

124-6

(1)X=

1321

21-121-1

(2)x210210

1-111-11

14203

X

-12-110-1

0101000-43

⑷100x00120-1

0010101-20

124-63-2

【解】⑴令左\B=.由于A-：

1321-11

故原方程的惟一解为

同理

100■jr2-10

(2)后010;(3)不;；(4)后03-4

—1U0

001L4_10-2

19.若屋=。("为正整数)，证明：

【证明】作乘法

从而£/可逆，且

20.设方阵4满意才一4—2£=0,证明Z及4+2£都可逆，并求

A1及及+2上\

【证】因为4A2比0,

故

由此可知，力可逆，且

同样地

由此知,4+2£可逆,且

一423'

21.设4=110,AB=A+23,求5.

-123

【解】由物力+2B得C42皮后4

而

即42£可逆，故

22.设p"=/.其中尸=『14|,/°1,求⑷。.

11J102

【解】因尸7可逆，且PT=，14，故由A=P/PT

3[-1-1

得

m

23.设加次多项式/(x)=C%+%工+•••+ClmX,记

/(A)=/E+qA+…+/4",/⑷称为方阵A的加次多项式.

⑴4=竹L证明

(2)设4=尸/尸，证明5*=P屋PL/(5)="(4)尸7.

【证明】

(1)A2=R°]/=B°]即公2和公3时，结论成立.

0万」[0右一

今假设

那么

所以，对一切自然数k都有

而

(2)由⑴及走尸।郎得

FPAP\

且

力二(PAP')=PAP\

又

24.A=ab,证明矩阵满意方程/-(a+d)x+ad-/?c=O.

cd

【证明】将/代入式子x2~(a+d)x+ad-be得

故力满意方程x?-(a+d)x+ad-/?c=O.

25.设〃阶方阵A的伴随矩阵为A*,

证明：⑴若IAI=0,则IA*1=0;

(2)|A*|=A"T.

【证明】(1)若|4|=0,则必有|划=0,因若|4|70,则有

/(/)1=6由此又得

A^AE-AA\/)1=|Jl(-0,

这及I41W0是冲突的，故当|4|=0,则必有|A|=0.

(2)由4片=|4£,两边取行列式，得

n

\A\|A\=\A\t

若|川WO,则|A\=\A\n1

若川=0,由（1）知也有

I划=1就）

26.设

求⑴43；（2）64；⑶A":⑷I4I*（攵为正整数）.

【解】

-23200O-19800一

(1)AB=10900⑵BA=301300

004613003314

_00329005222_

-

'1-200

⑶/\A)=-2500(4)lAl*=(-1/■.

00-23

005-7

27.用矩阵分块的方法，证明下列矩阵可逆，并求其逆矩阵.

12000

-003-1

25000

0021

(1)00300；(2)

2100

00010

-2300

00001

20102

02013

(3)00100

00010

00001

【解】(1)对2做如下分块A=

其中

A，4的逆矩阵分别为

所以Z可逆，且

同理⑵

(3)

习题三

1.略.见教材习题参考答案.

2.略.见教材习题参考答案.

3.略.见教材习题参考答案.

4.略.见教材习题参考答案.

5.=%+%，氏=%+%，氏=。3+%，£4=«4+ai，证明向量组自应,夕3,4

线性相关.

【证明】因为

所以向量组舟,区血,从线性相关.

6.设向量组因―，线性无关，证明向量组4网…血也线

性无关，这里以=«+a[+•••+%..

【证明】设向量组以，耳，…血线性相关，则存在不全为零的数

人肉,…,k,,使得

把以=%+%+…+«・代入上式，得

又已知…,火线性无关，故

该方程组只有惟一零解匕=修=-=(=。，这及题设冲突，故向量

组儿昆，…,后线性无关.

7.略.见教材习题参考答案.

8.%=(%,如，…,％,),i=l,2,…,〃.证明：假如同HO,那么a“线

性无关.

【证明】已知|4=同。0,故〃(4)二〃,而A是由n个n维向量

，=i,2,…，〃组成的，所以.,％,…,见线性无关.

9.设是互不相同的数，T<〃证明：

«,=(1,乙,…=1,2,…，厂是线性无关的.

【证明】任取nr个数人，…上使力，…，。，*1,…，方〃互不

相同，于是〃阶范德蒙行列式

从而其〃个行向量线性无关，由此知其部分行向量四,见,…,火

也线性无关.

10.设%%，…,%的秩为r且其中每个向量都可经%,%线性

表出.证明:囚.%为的一个极大线性无关组.

【证明】若a.,a,,--,ar

⑴

线性相关，且不妨设

区,见,…,%(t<r)(2)

是(1)的一个极大无关组，则明显(2)是％.的一个极大无

关组,这及四,。2,…,a,的秩为T冲突,故多,%…,巴必线性无关且

为因,a2,…,区的一1个极大无关组.

11.求向量组/=(1,1,1,A),%=(1,1,A,1),%=(1,2,1,1)的秩

和一个极大无关组.

【解】把％按列排成矩阵4并对其施行初等变换.

当公1时，a2,%的秩为2,%%为其一极大无关组.

当时，/,4,%线性无关，秩为3,极大无关组为其本

身.

12.确定向量尸3=(2,勿，使向量组用=(1,1,0),昆=(1」，1)，片及向量组

«1=(0,1,1),

%=(1,2,1),%二(1,0,1)的秩相同，且四可由七,%线性表出・

【解】由于

而M=2,要使A。)=〃(面=2,需a2=0,即a=2,又

要使四可由四,%,%线性表出，需6a+2=0,故a=2,左0时满意题

设要求,即总=(2,2,0).

13.设a”为一组〃维向量.证明：％线性无关的充

要条件是任一〃维向量都可经它们线性表出.

【证明】充分性：设随意〃维向量都可由线性表示，则

单位向量与入…耳，当然可由它线性表示，从而这两组向量等价,

且有相同的秩，所以向量组如q,…,%的秩为〃，因此线性无关.

必要性：设与线性无关，任取一个〃维向量a,则

%,见,…,a”线性相关，所以a能由线性表示.

14.若向量组(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)可由向量组

a1,a2,入线性表出，也可由向量组B2,B3,线性表

出，则向量组明,八,外及向量组a,3,£3,£4等价.

'100'

证明：由已知条件，R110=3,且向量组(1,0,0),(1,

111

1,0),(1,1,1)可由向量组右,。2,线性表出，即两向

量组等价，且

又，向量组(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)可由向量组£

I,£2,£3,£4线性表出，即两向量组等价，且

所以向量组。2,。3及向量组B\,B2,B3,£4等价.

15.略.见教材习题参考答案.

16.设向量组apa2,•••,«,„及外旦，…血秩相同且ax,a2,--,am能经

△，旦，…，氏线性表出.证明4,…及以血，…血等价.

【解】设向量组

ava,,--,am(1)

及向量组

笈4，…,女(2)

的极大线性无关组分别为

区，里,…。，

和

B\，瓦，…,Br

由于（1）可由（2）线性表出，那么（1）也可由（4）线性表出，

从而（3）可以由（4）线性表出，即

因（4）线性无关，故（3）线性无关的充分必要条件是

可由（*）解出与（厂1,2,…,「），即（4）可由（3）线性表出，从而

它们等价，再由它们分别同（1）,（2）等价，所以（1）和（2）

等价.

17.设/为/X7?矩阵，9为sXA矩阵证明：

【证明】因43的列数相同，故4*的行向量有相同的维数，矩

阵可视为由矩阵A扩充行向量而成，故A中任一行向量均可

由［：］中的行向量线性表示，故

同理

故有

又设AG4）=r,是4的行向量组的极大线性无关组,KB）

=k,%,外,.-0*是B的行向量组的极大线性无关组.设a是中

的任一行向量，则若a属于Z的行向量组，则a可由%,如,…,a,,表

示，若a属于，的行向量组，则它可由劣I?…,4.线性表示，故

中任一行向量均可由%,七,…,名,%,%，…,外线性表示，故

所以有

18.设Z为sX〃矩阵且4的行向量组线性无关，《为rXs矩阵.

证明：8=后行无关的充分必要条件是不(用二r.

【证明】设

4-(4s,PsxsS)),

因为4为行无关的sX〃矩阵，故s阶方阵4可逆.

(n)当区后行无关时，8为矩阵.

片以⑸:R(KA)&R(K),

又｛为rXs矩阵R(K)Wr,：.R⑺=r.

(u)当广〃(用时，即力行无关，

由B=KA=K(A“Rxs◎)二(用”—

知A(而寸，即8行无关.

19.略.见教材习题参考答案.

20.求下列矩阵的行向量组的一个极大线性无关组.

-25311743'11221-

7594531320215-1

⑴；(2)

759454134203-13

25322048_1104-1

【解】(1)矩阵的行向量组的一个极大无关组为名,4,4;

⑵矩阵的行向量组的一个极大无关组为四.9.

«3

%

21.略.见教材习题参考答案.

22.集合/=｛(芭,々，…,X")I斗士,…,X“ER且巧+电+…+%=0｝是

否构成向量空间为什么

【解】由(0,0,…，0)£%知匕非空，设

a=(Xi，*2,…,X“)GK，尸=(5,%，…，贝U

因为

所以a+以匕也.，故匕是向量空间.

23.试证:由区=(1,1,0),%=(1，0])，4=(0/，1),生成的向量空间恰为

R3.

【证明】把四,%,%排成矩阵2=(四,%,。3),则

所以%,4,%线性无关，故是R的一个基，因而四,见,火生

成的向量空间恰为R3.

24.求由向量a=(1,2,1,0),%=(1,1,1,2),4=(3,4,3,4)a=(1,1,2,1)所生的

向量空间的一组基及其维数.

【解】因为矩阵

%4，%是一组基，其维数是3维的.

25.设4=(1,1,0,0),4=(1,0,1,1),笈=(2,-1,3,3),62=(0,1，T，T)，证明：

【解】因为矩阵

由此知向量组四,％及向量组笈血的秩都是2,并且向量组瓦区可

由向量组%%线性表出.由习题15知这两向量组等价，从而与%

也可由加昆线性表出.所以

26.在距中求一个向量使它在下面两个基

下有相同的坐标.

【解】设/在两组基下的坐标均为(和松刍)，即

即

求该齐次线性方程组得通解

X[=k,x2=2k,x3=-3k(4为随意实数)

故

27.验证%=(1,T,0),%=(2,1,3),=(3,1,2)为F的一个基,并把

/=(5,0,7),

四=(-9,-8,-13)用这个基线性表示.

【解】设

又设

即

记作B^AX.

则

因有A―E,故为R，的一个基，且

即

习题四

1.用消元法解下列方程组.

%+4々-2&+3%=6,

%+2X2+2X3=2,

(])2须+2X+4X=2,

24(2)

2xl+5X2+2X3=4,

3xl+2X2+2X3-3X4=1,

x1+2X2+4X3=6;

%1+2%+3/-3X4=8;

【解】⑴

得

所以

(2)

Xj+2X+=2

2①

«

2%j+5X2+2X3=4

%+2X2+4X3=6②

解②①X2得Xi2x3-0

③①得2X3=4

得同解方程组

X1+2X+2/=2

2④

x2-2X3=0

j2与=4⑤

⑥

由⑥得用=2,

由⑤得用=2场=4,

由④得为二22天2x2=10,

得(Xi,Xz,x^)-(10,4,2)r.

2.求下列齐次线性方程组的基础解系.

x}+3X2+2X3=0,

⑴

xl+5X2+=0,⑵

3xj+5X2+8X3=0;

x,-x2+5X3-x4=0,

%/-2X3+3X4=0,

-x2+呢+x4=0,

x}+3X2一居+7/=0;

Xl+%2+2七+2X4+7/=0,

⑶<2Xj+3X2+4X3+5X4=0,(4)

3Xj+5X2+6为+8%=0;

%4-2X2-2X3+2X4-x5=0,

<x}+2X2-W+3X4-2X5=0,

2x14-4X2-7%3+x44-x5=0.

【解】⑴

得同解方程组

得基础解系为

(2)系数矩阵为

***其基础解系含有4-R(A)=2个解向量.

基础解系为

得同解方程组

取卜得基础解系为

Lz」L°JLU

(2,o,i,o,o)T,(i,i,o,i,o).

(4)方程的系数矩阵为

•••基础解系所含解向量为〃M=52=3个

取x4为自由未知量

得基础解系

3.解下列非齐次线性方程组.

%+%2+2工3=L

2x-x+2X=4,

⑴}23(2)

X]-2X2=3,

4%+£+4%3=2;

2x,+x2-x3+x4=1,

4Xj+2元2-2X3+/=2,

2x}+x2-x3-x4=1;

x,一2X2+x3+x4=1,

%—2X2+X3—X4=-1,(4)

x,-2X2+x3+x4=5;

%+£+/++毛=7,

3xj+2X2+x34-x4-3X5=-2,

x24-2X3+2X4+6X5=23,

5%+4X2+3X3+3X4-毛=12.

【解】

(1)方程组的增广矩阵为

得同解方程组

(2)方程组的增广矩阵为

得同解方程组

即

令％=七=。得非齐次线性方程组的特解

/=(0,1,0,0)1

又分别取

得其导出组的基础解系为

...方程组的解为

1-211।11-211I1

-1I-100-2；-2

(3)1-2101

1-211i50000j4

/?(A)75R(A)：.方程组无解.

(4)方程组的增广矩阵为

分别令

得其导出组!*+々+%3+&+%=0的解为

-%2—2%3—2/-6%5=0

X3=，4="5=0，

得非齐次线性方程组的特解为：/=(16,23,0,0,0);

方程组的解为

其中4生&为随意常数.

4.某工厂有三个车间，各车间相互供应产品(或劳务)，今年各

车间出厂产量及对其它车间的消耗如下表所示.

X

出厂产

总产量

间、量

123(万

(万

元)

车间元)

10.10.20.4522矛|

20.20.20.30X2

30.500.1255.6矛3

表中第一列消耗系数0.1,0.2,0.5表示第一车间生产1万元

的产品需分别消耗第一，二，三车间0.1万元，0.2万元，0.5

万元的产品；第二列，第三列类同，求今年各车间的总产量.

解：依据表中数据列方程组有

0.9%—0.2々—0.45.=22,

即<0.2x,-0.8X2+0.3^3=0,

0.5X,-0.88X3=-55.6,

X1=100,

解之■马=70,

x3=120;

5.2取何值时，方程组

⑴有惟一解，(2)无解，(3)有无穷多解，并求解.

【解】方程组的系数矩阵和增广矩阵为

|川二(丸—1)2(4+2).

(1)当4W1且2#2时，14WO,E(Z)=A(8)=3.

/.方程组有惟一解

(2)当尸2时，

R(A)手RI*,：.方程组无解.

(3)当4=1时

R(A)=R(B)<3,方程组有无穷解.

得同解方程组

得通解为

6.齐次方程组

当2取何值时，才可能有非零解并求解.

【解】方程组的系数矩阵为

J|=a-4)a+i)

当|4|=0即2=4或2=1时，方程组有非零解.

⑴当a=4时，

得同解方程组

(ii)当4=1时，

得

/•(3,尤2，%),二4.(2,3,1)1.R

7.当a,6取何值时，下列线性方程组无解，有惟一解或无穷多

解？在有解时，求出其解.

%+2X2+3X3-x4=1

(])+x2+2X3+3X4=1(2)

3xj-x2-x3-2X4=a

2xl+3X2-X3+如=-6

%+/+七+Z=0

x+2X+2X=1

<234

-x2-(a-S)x3-2X4=b

3%j+2X2+F+ax4--1

【解】方程组的增广矩阵为

(1)

(i)当bW52时，方程组有惟一解

(ii)当炉52,aW1时，方程组无解.

(iii)当於52,8F1时，方程组有无穷解.

得同解方程组

玉+2尤2+3工3一%4=°

其导出组,/+乜=0的解为

—3/—27元4=。

非齐次线性方程组(*)的特解为

5

r-i3

%

35

取^1=1,"=5.

*323

-冗」

1

・••原方程组的解为

(2)

(i)当a1#0时，"(4)=不(4)=4,方程组有惟一解.

(ii)当a1=0时，3#1时，方程组>a)=2<A(彳)=3,

I.此时方程组无解.

(iii)当a=l,左1时，方程组有无穷解.

得同解方程组

取

/.得方程组的解为

一112-

8.设A=224,求一秩为2的3阶方阵人使小0.

336