2020-2021学年浙江省绍兴市高二（下）期末数学试卷（解析版）

2020.2021学年浙江省绍兴市高二（下）期末数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.）

1.已知集合加={兄-2<%<5},N={R-3WxW3},则A/nN=()

A.{x|-2W}B.{R-34W-2}C.{x\-3<x^5}D.{x|3Vx<5}

2+i

2.复数z=（其中i为虚数单位）的实部是（

i

A.-2B.-1C.1D.2

2°

3.双曲线工__y2=l的渐近线方程是（)

2丫

B-尸土冬

A.y=±-^-xC.y=±2xD.产土扬

x-y+1^0

若实数x,y满足约束条件|x+y-l《O,

4.则z=2x-y的取值范围是（)

y)0

A.[-2,0]B.[0,2]C.[-2,2]D.[2,+8)

5.已知向量£（3,-D，b=（i,o），则；在E方向上的投影是（）

A.1B.0C.1D.3

6.“a=30°”是“sina=L”的（）

2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.函数y=|x|・sinx+x・|cosx|在区间［-IT,互］上的图象可能是（）

8.已知正方体ABC。-AiBiCid,E是棱BC的中点，则在棱CG上存在点F,使得（）

A.AF//D1EB.AFl.DiE

C.AF〃平面GDiED.A凡L平面CDE

9.已知a,b&R,当xe[T,2]时恒有（|x+a|-b）（x2+x-2）20,贝!J（）

A.aWlB.心1C.bWlD.b却

10.已知递增数列｛a〃｝的前100项和为Swo,且m>0,aioo=2,若当1«产100时，勾

-3仍是数列｛斯｝中的项（其中小i,jeN*），贝ij（）

A.且Sioo=lOOB.且Sioo=lOl

5050

C.czi=-^-,且Sioo=lOOD.且Sioo=lOl

4949

二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）

11.圆（XT）2+（y-3）』2的圆心坐标是,半径长是.

12.我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，成就了我国古代数学

的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”.如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个

小正方形拼成的一个大正方形.已知大正方形的面积为20,小正方形的面积为4,则一

个直角三角形的面积是,直角三角形中最小边的边长是.

13.已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中正视图和侧视图均为等腰三角形,

则该几何体的体积是cm\侧面积是C52.

14.已知实数x,y满足x+y=l,则N+4xy的最大值是.

15.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为〃，b,c.若。=J7b=2,A=60°,则

sinB=,c=.

16.已知平面向量a，b满足la1=Ibl=apb=2,则I入a+bl+l(1--)a-bI(入ER)的

最小值是.

\-ln(x+a),

17.已知〃>-l,函数/(%)=<99.若函数y=/(x)-1有三个不同的

x-ax+a，x<1

零点，则〃的取值范围是.

三、解答题(本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

18.已知函数/(x)=sina)x+cosu)x(u)>0).

(I)当3=2时，求f(二L)的值；

0

(II)若/(X)的周期为8,求/(%)在区间［0,4］上的最大值和最小值.

19.如图，四棱锥P-ABC。中，底面ABC。是梯形，AB//CD,BC±CD,△PAB是等边

三角形，E是棱AB的中点，AB^PD=2,BC=CD=1.

(I)证明：PEL平面ABC。；

(II)求直线PA与平面PCD所成角的正弦值.

20.已知等差数列｛斯｝满足“1=1,42+。4=。3+5,71GN*.

(I)求数列｛斯｝的通项公式；

99

(II)若数列｛包｝满足加=1,bn+ian+2=bnan(neN*),求数列｛瓦｝的前〃项和.

21.如图，已知直线/与抛物线M：/=4伊和椭圆M.+x2=l(a>l)者B相切，切点分别

a

为A,B.

(I)求抛物线M的焦点坐标和准线方程；

(II)若A(4,4)，尸是椭圆N上异于8的一点，求△PAB面积的最大值.

19

22.已知awR,函数/(x)——x-ax+41n(x+l).

(I)当〃=0时，求曲线/(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(II)若/(%)在区间(0,+8)上存在两个不同的极值点，

(i)求〃的取值范围；

(ii)若当了20时恒有/(x)>/成立，求实数方的取值范围.(参考数据：/旗心0.69,

历35.10)

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.）

1.已知集合A/={x|-2＜尤＜5},N={x|-3WxW3},则A/AN=（）

A.[x\-2＜x^3}B.{x|-3WxW-2}C.{x\-3＜x^5}D.{x[3＜xW5}

解：:•集合M={x|-2＜尤＜5},N={R-3WxW3},

...MCN={x|-2cxW3}.

故选：A.

2.复数z="（其中i为虚数单位）的实部是（）

1

A.-2B.-1C.1D.2

解：因为z=2：i=（2?）.（；i）=i_2i,

iil-iJ

所以复数Z的实部为1,

故选：C.

2c

3.双曲线2__y2=l的渐近线方程是（）

2y

A.y=±《xB.vzt"2xC.y=±2x

D.尸土后

22

2-

解：双曲线孑-炉=1的。=赤，6=1,

22

由双曲线号-4=i的渐近线方程为>=土与，

a2b2a

则所求渐近线方程为y=±冬・

故选：B.

'x-y+l》0

4.若实数x,y满足约束条件<x+y-1<0）则z=2尤-y的取值范围是（）

y>0

A.[-2,0]B.[0,2]C.[-2,2]D.[2,+8）

解：由约束条件作出可行域如图,

由图可知，A（-1,0）,8（1,0）,

作出直线y=2x,由图可知，平移直线y=2x至A时，直线在y轴上的截距最大，z有最

小值为-2；

平移直线y=2x至8时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2.

...z=2x-y的取值范围是［-2,2］.

故选：C.

5.已知向量；=（3,-1），b=d,0），则之在E方向上的投影是（）

A.1B.0C.1D.3

_a*b_3_3V_10

解：a-b=3-cos<a,b>

一iZllELxiio-

...向量？在向量E方向上的投影为l』cos<Z,%>=6x*0=3.

故选：D.

6.“a=30°”是“sina=2”的（）

2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解：因为sin30°=口,而sina=工时，可得a=30°+H360°，依Z,

2

或者a=150°+6・360°，於Z,

则“a=30°”是“sina=》的充分不必要条件,

故选：A.

7.函数y=|R・sinx+%・|cos%|在区间［-mn］上的图象可能是（）

解：函数y=|x|・sinx+xrcosx|在区间[-n,n]上是奇函数，花(0,用时，函数值恒大于0,

排除选项A、B、C,

故选：D.

8.已知正方体4BC£»-4BiCbDi,E是棱BC的中点，则在棱CG上存在点E使得()

A.AF//D1EB.AF±DiE

C.AF〃平面GAED.AFJ_平面CiDiE

解：正方体4BCD-AICbDi,E是棱BC的中点，在棱CG上存在点片

设正方体ABC。-A1B1C1D1的棱长为2,

以。为原点，D4为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，

对于A,DE与平面ACG相交，AFu平面ACG,尸与ZhE不平行，故A错误；

对于B,当F为CCi中点时，A(2,0,0),Di(0,0,2),£(1,2,0),F(0,2,

1),

而=(-2,2,1),D]E=(1,2,-2),

■•印=-2+4-2=0,：.AF±DiE,故8正确;

对于C,C(0,2,0),C1(0,2,2),Di(0,0,2),£(1,2,0),

设厂(0,2,t),(0W/W2),

而=(-2,2,t),ED[=(-1,-2,2),EC[=(-1,0,2),

设平面GDiE的法向量;=(无，y,z),

npECi=-x+2z=0

则_，取Z=l,得7=(2,0,1),

,,

nED1=-x-2y+2z=0

・・,0W/W2,・.•而•［=-4+/W0,・,・A/与平面CD而不平行，故C错误；

对于。，由。得标=(-2,2,力，平面CLDLE的法向量｝=(2,0,1),

而与7不平行，.・・A/与平面归不垂直，故。错误.

故选：B.

9.已知。，bwR,当2］时恒有(|x+〃|-b)(N+x-2)20,贝lj()

A.a^lB.心1C.b^lD.心1

解：令f(x)=N+x-2,

所以x£［-l,1］时,f(x)<0,则以+〃|-6W0,即(\x+a\)max①

xE［l,2］时，f(x)>0,则|x+〃|-/?20,即(\x+a\)加加②，

若当在［-1,2］时恒有(|x+〃|-Z?)(x2+x-2)20,

则①②必须同时满足,

令h(%)=以+〃|,

当。=0时，h(x)=\x\,

h(x)在［-1,1］上，最大值为1,所以821,

h(x)在［1,2］上，最小值为1,所以

所以b=l,

当〃>0时，

h(x)在［-1,1］上，最大值为|1+。|=1+〃，所以Z?21+m

h(x)在［1,2］上，h(x)=x+a,最小值为|1+。|=1+"，所以Z?Wl+m

所以b=l+a>l,

当〃V0时，

h(x)在［T,1］上,最大值为|-1+。|=1-〃，所以心1-a>0,

h(x)在［1,2］上，h(x)最小值为0或(1)=|1+Q|或%(2)=\2+a\,

所以bWO或8W|l+a|或6W|2+〃|,

但是1-〃>0,1-1-4>|2+Q］,

所以此时①②不能同时满足，

综上所述，

故选：D.

10.已知递增数列｛斯｝的前100项和为S100,且。1>0,。100=2,若当IWiVjWlOO时，勾

-勿仍是数列｛斯｝中的项(其中几，。JeN*),贝U()

A.且Sioo=100B.且Sioo=lOl

5050

11

C.ai=---,且5ioo=lOOD.ai=——,且Sioo=lOl

4949

解：由题意可得：3V•••<4100,

<2100-〃99<〃100-<〃100-〃1，

・・•当IWiVjWlOO时，勾•仍是数列｛斯｝中的项，

...QlOO-499、4100-〃98、***>。100-都在｛“〃｝中，

二•QiooWaioo-41,.'QIOO-VQIOO,

・\〃1=4100-〃99,〃2=〃100-。98,***,。99=〃100-〃1，

S100=〃l+〃2+*,•+Q100

=2X100-(Sioo-2)

—202-Sioo,

/.Sioo=101,

又〃1+〃99=。2+。98=***=。49+。51=〃100=2,

・・2〃50==2,•・50〃i=:。50==1,••ci\~~,

50

故选：B.

二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)

11.圆(％-1)2+(y-3)2=2的圆心坐标是(1,3),半径长是一遍.

解：根据题意，圆(X-1)2+(y-3)2=2,其圆心为(1,3),

半径厂=«;

故答案为：（1,3）,

12.我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，成就了我国古代数学

的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”.如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个

小正方形拼成的一个大正方形.已知大正方形的面积为20,小正方形的面积为4,则一

个直角三角形的面积是4,直角三角形中最小边的边长是2

解：设直角三角形的直角边长度为：，"，a（m>«>0）,

m=4

m2+n2=20

由题意可得：11据此可得：4n=2

4X（Wmn）+4=201,

■^inn=4

即：一个直角三角形的面积是4,直角三角形中最小边的边长是2.

故答案为：4,2.

13.已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中正视图和侧视图均为等腰三角形,

则该几何体的体积是—等_C〃，侧面积是—代冗_c/"2.

解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面半径为1,高为2的圆锥;

如图所示：

故吟•兀.干吗上蓝；S恻十2兀•而可^=灰丹・

故答案为：/；；遥兀•

O

14.已知实数％,y满足x+y=l,则N+4孙的最大值是—暂_.

O

解：实数x,y满足x+y=l,

贝ljN+4xy=X2+4x（1-x）=4x-3x2,

由二次函数的性质可知，当工="|■时，函数取得最大值，最大值为：4X-^--3X4=4-

3393

故答案为：寺

15.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若。=有，6=2,A=60°,则

sinB=2/H,。=3.

-7~-----

解：•.•在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.

Q=ypj,b=2,A=60°,

由正弦定理得：即近.二二-，

sinAsinBsin60sinB

解得sinB=^X~2~=返1.

~7T~7

由余弦定理得：

2

cos60°=At_S_1L,

2X2c

解得c=3或c=-1（舍），

sin8=^~^,c—3.

7

故答案为：叵，3.

7

16.已知平面向量;,E满足|l|=|b|=a芯=2,则I入；+E|+1（1"）ZV|（入€R）的

最小值是4.

解：a*b=|aI•lbIcos（a>b）=2-2cos（a,b/>=2=^cos<fa»b）｝,

又覆，b）€[0,兀],所以G，b》^~.

不妨设Z=（2,0）,b=（l,近），

故入a+b=（2入+1,愿），（1-入）a-b=（l-2入，*V^），

所以Ia+b|+|(1-X)a-b|=V(2^+l)2+3W(l-2^)2+3

2(J(1卷)2+(0+^^+J(［得)2+g_2^_)2)，

设PC,0),A(卷,乎)，B(1,争，

x-ln(x+a),

17.已知〃>-1,函数/(%)=<99.若函数y=/(x)-1有三个不同的

x/-ax+a',x<1

零点，则。的取值范围是(1,2运),

一3

解：若函数y=/(x)-1有三个不同的零点，

则y=/(%)与y=1有3个交点，

当尤21时，f(x)=x-In(x+a),

f⑴=1」=也!，

x+ax+a

因为a>-1,

所以x+a>0,

令f(x)=0,得x=l-a,

①若1-aWl,即〃20时，

在(1,+8)上，f(%)>0,f(x)单调递增,

所以/(x)mm—\-In(1+(2),

因为此时〃20,贝也十〃21,

所以In（1+〃）20,

所以/（x）min=l-In（1+47）Wl,

此时在［1,+8）上，f（x）与y=l有1个交点，

②若1-a>\,即a<Q时，

在（1,1-4）上，f（X）<0,f（X）单调递减，

在（1-Q,+8）上，f（x）>0,/（X）单调递增，

所以/（x）min=f（1-。）=1-a-In（1-。+〃）=1-4,

止匕时〃V0,贝u1-a>0,

所以在［1,+8）上，f（x）与y=l没有交点，

若y=f（%）与y=1有3个交点，

则当xNl,/G）必然与y=l有一个交点，即

所以当xVl,/（x）只能与y=l有两个交点，

22

又当xVl时，f(x)=x-ax+af对称轴x=包,

2

2

q（i）>iri-a+a>i

iP222，

所以卜俵）<［|（t）-a（f）+a<l

解得多巨，

3_

所以。的取值范围为（1,2返）.

3

故答案为：（1,当巨）.

3

三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

18.已知函数/（x）=sin（i）x+cosa）x（a）>0）.

（I）当3=2时，求f（工）的值；

6

（II）若/CO的周期为8,求/（x）在区间［0,4］上的最大值和最小值.

解：（I）由题意可得，f（x）=sin2x+cos2x,

得“兀、•冗」冗上迎

待f（-rAsirry+c0sl

兀

(II)因为f(x)=sin3x+cos3xj/^sin(3%+~鼠),

所以，周期T考二=&解得3/二，

34

TTTT

所以f(x)=Fsinlq-x’-).

因为0WxW4,

所萌I以、J兀丁《/兀才乂兀守5(5丁兀•

于是，当今x+^q，即x=l时，/(X)取得最大值衣;

当一j_~，即x—4时，f(x)取得最小值-1.

所以，f(x)在区间［0,4］上的最大值是加，最小值是-1.

19.如图，四棱锥P-ABC。中，底面A3CD是梯形，AB//CD,BCLCD,△PA8是等边

三角形，E是棱的中点，AB=PD=2,BC=CD=1.

(I)证明：PE_L平面A8CQ；

(II)求直线PA与平面PCD所成角的正弦值.

【解答】(I)证明：因为BE〃C£),BE=CD=\,所以四边形BCOE是平行四边形,

所以DE=BC=\.

在等边△PA8中，E是48中点，AB=2,所以PEf/i

在△2/)£|中，PD=2,所以。£2+P£2=PZA,所以PE_LOE.

又因为PE_LA8,ABCiDE=E,所以PE_L平面ABCD

(II)解法1：在△2£>£中，作EB_LP。，垂足为足

p

H

JE

D

因为AE〃CD,所以AE〃平面PC。,

所以点A,E到平面PC。的距离相等.

因为PE_L平面ABCD,所以CDLPE,

又因为BC_LC。，BC//DE,所以CD_LOE,

所以CZ)_L平面PDE,CZ)u平面PCD,

所以平面PCD_L平面PDE,

所以£尸，平面PCD,

所以点A到平面PCD的距离即为EF率.

返

设直线PA与平面PC。所成角为4贝U.a2M，

qin=-------=-----

PA4

所以直线PA与平面PCD所成角的正弦值为返.

4

解法2：因为PE，平面ABCD,所以三棱锥P-ACD的体积为

设点A到平面PCD的距离为d,又DC±DP,所以三棱锥A-PCD的体积为

VA-PCD亭APCDd4"2"DP-DCd=3-d,

E&VP-ACD=VA-PCD,得^^=^-力所以

设直线PA与平面PC。所成的角为3贝iJsine=&N^，

PA4

所以直线PA与平面PCD所成角的正弦值为返.

4

解法3：因为平面ABC。，DELAB,所以，以片为原点，分别以射线即，EB,EP

为x,y,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E-孙z,则A(0,-1,0),

C(1,1,0),D(1,0,0),p(o,0,«),

p

AP=(O,1,Vs);DC=(O,1,0)，DP=(-1,0,如).

设平面PCQ的一个法向量为W=(x,y,z).取z=l,得W=(百，o,1).

设直线PA与平面PCD所成角为0,

贝加8=|cos(^,■卜一四礼平.

|AP||n|4

所以直线PA与平面PCD所成角的正弦值为返.

4

20.已知等差数列｛如｝满足〃1=1,〃2+。4=的+5,«GN*.

(I)求数列｛〃〃｝的通项公式；

(II)若数列｛瓦｝满足历=1,bn+i*an+2=bn*an(neN*),求数列｛瓦｝的前〃项和.

解：(I)设等差数列｛斯｝的公差为"，

则〃2=l+d,〃3=l+2d,〃4=l+3d.

因为。2+以=s+5,

所以2+4d=l+2d+5,

解得d=2.

所以数列｛斯｝的通项公式为斯=。1+(n-1)d=2n-1.

,bn11an

(II)因为bn+l-an+2=bn-〃〃，所以-----=-----.

bnan+2

,b9bqb„aia2软门-1

所以，当〃22时，b=biX---X----X…X-----=---X----X…X-----,

n1blb2brrla3a4an+l

a1°a9Q、

bn==(n>2)

即anan+1(2n-l)(2n+l)-

又bi=l适合上式，

所以与=(2叶1)(2n+l)'

因为bn=(2n-l)(2n+l)节(2n-l」2n+l)'

数列｛瓦｝的前n项和为

Sn=b户2i+W+弓-凯…+(打由］口

21.如图，已知直线/与抛物线M：N=4y和椭圆N：g+x2=l(a>l)都相切，切点分别

为A,B.

(I)求抛物线M的焦点坐标和准线方程；

(II)若A(4,4),尸是椭圆N上异于B的一点，求面积的最大值.

解：(I)抛物线N=4y的焦点坐标为(0,1),

准线方程为y=-1.

2

(II)由y号得/v

因为直线/与抛物线的切点为A(4,4),

所以直线/的斜率为2,

所以直线/的方程为y=2x-4,

联立方程组消去y整理得(4+42)尤2-16/16-〃=0,

因为直线/和椭圆相切，

所以△=162-4(4+〃2)(16-a2)=0,解得〃2=12.

于是，点B的横坐标为x==y,

B2(4+a2)2

2

所以，|AB|=V1+2|4-XB

因此，要使得△PAB面积取得最大值，只需椭