高中数学竞赛平面几何基础-相似全等和四点共圆练习题

相似全等、四点共圆练习题

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实战练习

△A8C中，点尸是三角形内一点，/尸84=//＞。4/。_184/£：_1_4。,点加是8。中点，求证:

MD=ME.

解法一：

取切的中点RPC的中点G,连接FM,GM,。尸,EG,由中位线的性质和直角三角形的性质,

DF=FP=MG,同理EG=FMADFM=NDFP+ZPFM,NMGE=NPGE+NMGP

“BA=ZPCA,:.ZDFP=NPGE.即NOEM=NMGE,：.ADFM^^MGE,:.MD=ME

解法二：

连接。E并延长，过作直线。诚垂线，交DE于G,F,H,N£CGEsAEHP,

EGCEFDBD„BDCE

■■—==——，又NPBA=ZPCA,dBAPDs△CPE,：.—=—

PHPEHPDPPDPE

EG=FD,FN=NG,DN=EN,:.△Mf应为等腰三角形，得证.

解法三：

延长84至R使。延长C4至G,使EG=EC,由已知条件可得：

NBPF=ZCPG,所以N5PG=NCPF,所以△BPG勺△EPC,所以CF=BG,得证.

2：如图，P为AABC外一点，M是△ABC中BC边的中点，。,七分别为延长线上的点,

且PELCE,PD±BD,NPBD=NPCE,求证:EM=DM.

证明：

取P3,PC的中点G,F,连接GM,GO,FM,FE,则四边形GMFP为平行四边形,

MF=GP=GD,GM=PF=EF,

NMGD=NMGP-ZDGP

NMFE=NMFP-NEFP

4DGP=NEFP=2NPBD

NMGD=NMFE,AMFE名/\DGM,EM=DM

ABCDdp,AB//CD,分别以两腰AD,BC为边作正方形ADFE,

正方形BC"G,连接FG,取FG中点M,求证:

D

证明:

延长D4,交点N,连接NG并去其中点P,Q,连接PM,PA,QM,QB

则MPNQ是平行四边形，MQ=PN=PAPM=BQ,

NMPN=2M0N,4APN=2NAFN/NQB=2NBGQ

AN:BN=AD:BD=AF:BG

：.Rt/\FAN^Rt/\GBN,:.NAPN=NNQB=2ZAFP

：.MA=MB

4ZA8C的垂心H,BC,AH的中点分别是M,N,以A”为直径作圆和MN的交点为P.求证

AP平分N84c.

连接E",CH,BH,DH、EN,DN,MD,ME,

由题意易知，E,H,C共线,共线

ZBEC=90°,M是中点，：.EM=，BC,同理，DM=-BC

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△MEN四△MQN,=>ZENP=ZDNP,nNBAP=ZCAP,得证

的内切圆与BC,CAAB相切与D,E,F,过F作BC的平行线交AO于G,交DE的延长

线于“，求证FG=G".

证明：过A作8C的平行线/,OF并延长交/于尸，延长。，交/于E'

则△"'〜△双用BD=BF,：.AF,=AF

同理，AE,=AE=AF=AF',:.FG=GH

BD

6.A48C不是心△,。是外心，”为垂心，直线。“交AC于K,交A8A于L,若“L=OK,求证

AL=AK.

连接AO,HL=OK,.-.S^ALK=S^OK

ALAH=AKAO,ALAO=AKAH

：.AO=AH,:.乙AHO=NAOH

=>△A/72△AOK,AL=AK

Q.PA,PB,分别切圆O于A,B,OE切圆。于C,交PA,PB于求证：ZCFD=ZCFE.

如图作辅助线，ZPAB=NPBA,:.RtAAMDsRtABNE,

DMADDCMFADA.F

——0——=-ADFA^AEFB,=>ZDFA=NEFB

~E7~~EB~~CEFNEBBF

AM=^MC,MD±BC于D,求证AB+BD=DC

延长。5至E,使BE=BA,由题意，ZACM=ZCAM,MA=MC,AB=BE,BM=BM,

ZABM+ZACM=180°,NEBM+ZMBC=180°,ZMBC=ZMAC=ZMCA

：./XABM=4EBM,EM=MA=MC,MD±EC,：.ED=DC,即AB+BO=DC

法一是延长OB,法二可以在£>。上取一点E,使£>E=BO,过程略AABC中，AB>AC,ZA的

外角的角平分线交AABC外接圆于O,DELA8于E,求证：

―AB-AC

AE=------------

2

如图作辅助线,ZDBA=ZDCA,DE=DE',:.RtABDE/RtACDE',

：.BE=CE，，即AB-AE=AC+AE,得证

托勒密定理：在四边形ABC。中，有他.8+3（：4）24。e），并且当且仅当四边形ABCD内

接于圆时，等式成立。

证：在四边形A8CD内取点E,使NBAE=NC4O,ZABE=ZACD

则：和AACO相似：.—=—^ABCD=ACBE

ACCD

AQAf

又；——=——fLZBAC=ZEAD.•.A48C和AAEO相似

ACAD

ADBC=AC-ED

ACAD

：.ABCD+ADBC=AC(BE+ED)

：.ABCD+ADBC>ACBD

且等号当且仅当E在BD上时成立，即当且仅当A、B、C,。四点共圆时成立;

注：托勒密定理的逆定理也成立

BC

10.4ABC的高A。的延长线交外接圆于P,作于E,延长ED交于AC延长线于巴

求证：BCEF=BFCE+BECF.

连接EC,BF,8P,即证8,F,C,E,四点共圆，

ZBEF=NBCF,NBEF=90+ZPEF,ZBCF=90+NPAF=90+NPBC

B,E,P共圆,APED=ZPBD,得证

H.QOLAB,求证：OA2=OPOQ

如图作辅助线，OQ_LA8.・.ZAOE=4C8=，ZAO8,

A,O,尸,C四点共圆，NOPB=ZCPQ=NOAC;又/BOP=ZAOQ

△AOQs△POR=>啰=吗得证

OPOA

12.fi4,P3分别切圆。与A&PCD为割线交圆于C,D,BE//PD,/为C。的中点，求证：A,F,E,

三点共线。

如图做辅助线，由题意，OA±AP,OF1DC,

nA,E0,P四点共圆,nZAEP=NAOP=NE,

DC//EB,：.A,F,E共线

13.AB为圆O直径，过OB上的定点D用COLAB交圆。于C,在圆0上任两组点

M历&=1,2,3,...),满足/。。跖=/。。乂求证n条直线MM共点。

如图，延长MD作辅助线；

由已知，可得NKDO=NA。陷,nZXKOD丝

0是R30AB与OCD的公共顶

=>N0MQ=NK=N0N\D,=O,2,陷四点共圆

PDPO=PN「PM,=PBPA,：.P是定点,即MM共点；

点，OB=OC,/OBA=NOC£>=90。，若AC_LO。,求证。B_LQA.

DD

辅助线：过8做垂直，垂足为产

在RtAOCDQC：=OEOD,在RtAOBAQB?=OFOA

OB=OC,OEOD=DFOA

：.E,F,A。四点共圆，ZDFA=ZDEA=NBFA=90,

,1.D,B,b共线即。8，。4.

15.AF平分/BAC,交BC于LE±AC,求证四边形ADFE与AABC面积相等。

@SADFE=—AD-AF-sincr+—AE-AF-sina

=^(ALcosa)AFsina+^(ALcos(2)AFsincr

=-AL-i4F(2sina•cosa)=-AL-AF-sin2a

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—AL-AFsin2a-2R=—AFAL-BC

4R4R

-AB-ACs\n2a=—AL-ABsina+—AL-AC-sina

222

=；AL•sina+ACsina)=聂AL(ABBF+AC-FC),BF=CF

B,£C,4共圆，由托勒密定理：A68C=A8-CT+ACB£得证

由①品0庄AF-ALsin2cr,SAAfiC=gABA。sinla

Afi4/7

ZBFA=NC,a=aABFA^ALCA,：.——=—

ALAC

.,.”・AL=ABAC得证

要证S/IOFE=即ZBOL+SALEC~'△"F+^^ELF

过F作A8,AC,垂线，交于N,M,即证DL.BD+LE.EC=DL.DN+LE.EM

即ilf.DLBN=LECM,A尸为角平分线,，FN=FM,LD=LE,：.△BFNWfFM

.•.BN=CM,得证

△ABC的边BC上有两点瓦R满足NBAE=NC4凡作FNLAC于-M,N,AE交三

角形外接圆于D求证：四边形AMON与AABC的面积相等.

①设NBA。=ZCAF=a,ZDAF=p

S&ABC=gAB.AE.sin(a+y9)+y/4C-/4Fsina

=1AF{AB-sin(a+/3)+ACsina)=~AF(AB-DC+AC-BD)

=S”M"+S^AND--AM-AD-sina+A/V-AD-sin(a+夕)

2

=—(y4Fcos(a+/3))-AD-sina+—(AF-cosa)■AD-sin(a+夕)

^^AFAD-sin(2a+/3)^^AFADBC

8,D,C,A四点共圆，由托勒密定理：

ADBC^ABCD+ACBD,^^

②S/M8C=—AB-AC-sin(2a+J3)

SAMDN=^AFAD-sin(2a+6)

ARAn

△ABOs△AEC,.・.一二一=>ABAC=AFAD

AFAC

过。作AB,ACW垂线，交K,L,

只益证SAFMB+S&FNC=S&MFD+S&NFD

MF-MB+FN•NC=MF-MK+FN-NL

即MFBK=FNCL,Rl/XBKD^/?tACLD

BKDKA。sinasinaFN

CLDLADsin(a+A)sin(a+£)FM

RQ,两点，AB切两圆于A,民PC切圆Oi于P,交圆Q于C,AP交BC于R,

求证：△PQR的外接圆与BP,相切。

去证/PQR=NBPR,NPQR=/BRP

①易证NBPR=/BRP

②连接BQ,因为NPQR=/PQB+NBQR,NPRB=ZC+ZRPC

所以去证N8QR=NRPC=NB4氏去证共圆

③连接AQ，去证NAQ8=NARB

18.A8CO是圆内接四边形，AC是圆的直径，BD1.AC,AC与8。的交点是E尸在D4的延长

线上，连接8F,G在8A的延长线上，使得OG//3F,4在G尸的延长线上，CH上GF.

求证：四点共圆。

连接BH,EF,去证：NFED=NFHB；同减90。，等价去证：ZBHC=ZFEA

由题意：8,H,G,C四点共圆，/BHC=NBGC,所以去证/8GC=