高中数学：崇仁中学高一数学寒假作业十一答案

第11练函数的应用（二）

薯积累运用

【知识梳理】

1.函数零点的概念

对于函数）,=兀0,把使*x）=0的实数x叫做函数y=/（x）的零点.

函数v=/U）的零点就是方程/U）=0的实数解,也就是函数v=/U）的图象与x轴的公共点的横坐标.

注意：函数的零点不是一个点，而是/（x）=0的实数解.

2.方程的解与函数零点的关系

方程段）=0有实数解＜=＞函数v="）有零点=函数v=/U）的图象与x轴有公共点.

3.函数零点存在定理

如果函数y=Ax）在区间口，一上的图象是一条连续不断的曲线,且有/la）/（函＜0,那么，函数y=/（x）在

区间3,〃）内至少有一个零点,即存在ce（a,h）,使得Qc）=0,这个c也就是7U）=0的解.

4.二分法

对于在区间口，一上连续不断且版）•也）＜0的函数v=/U）,通过不断地把函数«r）的零点所在的区间二

分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

5.给定精确度£,用二分法求函数人x）零点近似值的步骤

第一步：确定闭区间[a,b],验证人a）：/（8）V0,给定精确度e.

第二步：求区间（a,力的中点c.

第三步：计算火C）.

（1）若y（c）=o,则c就是函数的零点；

（2）若。0）汉。＜0,

则令6=c（此时零点x（）G（a,c））；

（3）若犬c）次份＜0,

则令a=c（此时零点冽G（c,Z?））.

第四步：判断是否达到精确度心即若心一切＜e,则得到零点近似值。（或田，否则重复第二步至第四步.

以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎

么办？精确度上来判断.

6.几类已知函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型fix)=ax+b{a,b为常数,a^O)

凡，为常数且

反比例函数模型r)=1+b(R8AW0)

二次函数模型/（X）=ax2+bx+c（a,b,c为常数，〃W0）

指数型函数模型J[x}=bax-\-c{a,b,c为常数，bWO,〃>0且

对数型函数模型fl,x）=b\ogax+c（a,b,c为常数,bWO,a>0且a#l）

幕函数型模型y（x）=a^+6（a,b为常数,aWO）

【易错点拨】

1.忽视函数零点存在定理的应用条件.

2.不能把函数、方程问题相互灵活转化.

3.求参数的取值范围时忽略限制条件.

4.二分法并不适用于所有零点，只能求函数的变号零点.

5.用二分法求方程近似解时，对精确度理解不正确.

6.实际应用题易忘定义域和作答.

1.(2021.黑龙江•大兴安岭实验中学高一期中)用二分法求方程log2X+x-4=0的近似解时，可以取的初始

区间为()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(5,6)

【答案】C

【解析】

令/(x)=log2X+x-4,易知“X)在(0,+8)上单调递增.

/(l)=log2l+l-4=-3<0,/(2)=log22+2-4=-l<0,

/(3)=log23+3-4=log23-log22>0,所以方程1。8产+彳-4=0在区间(2,3)内有解，

所以可取的初始区间为(2,3).

故选：C.

2.(2021・辽宁,大连市一0三中学高一期中)函数/(x)=log3X+2x—8的零点所在的区间是()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

【答案】C

【解析】

函数f(x)=10g3X+2x-8在x>0递增,

由f(3)=1+6-8=-1<0,f(4)=log34+8-8>0,

可得f(x)在(3,4)存在零点.

故选：C.

3.(2021•黑龙江•龙江县第一中学高一阶段练习)中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著

名的香农公式:C=Wlog?11+得］它表示:在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W,

信道内信号的平均功率S,信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中名叫做信噪比.当信噪比比较大时，公

N

式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W,而将信噪比不从1000提升到8000,则C

N

大约增加了()(lg2»0.301)

A.10%B.20%C.30%D.50%

【答案】C

【解析】

由题意可知，G=Wlog,(1+8000)=Wlog,8000,

c2=Wlog,(1+1000)=IVlog,1000,

c,-c,log,8000-logJ0001,c

故提升了=~——=；~-=lg2,lg2«0.301

c2log,1000log,10

故选：c.

4.(2021.广东.金湾一中高一阶段练习)某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：

X1.02.04.08.0

y0.010.992.023

现欲从理论上对这些数据进行分析并预测，则下列模拟函数合适的是()

X2

A.y=log2xB.y=2C.y=x+2x-3D.y=2x-3

【答案】A

【解析】

解：由表中的数据看出：y随x的增大而增大，且增大的幅度越来越小,

而函数y=2',y=Y+2x-3在(0,+s)的增大幅度越来越大，函数y=2x-3呈线性增大，只有函数y=log2X

与已知数据的增大趋势接近,

故选：A.

5.(2021•江苏阜宁•高一期中)函数"X)=YX2—4X—1的零点是.

【答案】

【解析】

因为函数/(x)=Td一4、一1的零点即为Tx2-4x-l=0的根，

又因为-4X2-4X-1=0O4X2+4X+1=0=>x=p

所以函数/(x)=Td-4x-l的零点是-g,

故答案为：

6.(2021・北京育才学校高一期中)函数y=/(x)的定义域为R,在［0,+8)上大致图像如图所示，则函数

y=/(Ixl)的零点个数为.

【答案】7个

【解析】

由图知函数y=/(x)在［0,招>)上的零点个数为4,

又/(|x|)=/(|T|),故函数y=/(lx|)是定义在R上的偶函数，

又当X20时，y=/(|x|)=/(%),有4个零点，

根据对称性，当x<0时，函数y=/(|x|),有3个零点，

故函数y=/(UI)的零点个数为7.

故答案为：7.

7.(2021.上海市西南位育中学高一期末)方程V+X+J0在xe(-l,o)上的近似解为(精确到

0.01)

【答案】x«-0.75

【解析】

令〃x)=d+x+l,设〃x)=0的根为X。，

因为〃-1)=-1-1+1<0,y(0)=l>0,/(-0.5)=-0.53-0.5+1>0,

因为/(-0.5〉/(一1)<0,所以修«-1,-0.5),

/(-0.75)=-0.753-0.75+1<0,/(-0.5)=-0.53-0.5+1>0

/(-0.5)-/(-0.75)<0,所以不«-0.75,-0.5),

/(-0.625)=-0.6253-0.625+1>0,/(-0.75)=-0.753-0.75+1<0,

所以/《-0.75,-0.625),

因为方程的解精确到Q01,

所以方程的解可以是X。-0.75,此答案不唯一.

8.(2021•陕西安康•高一期中)已知是定义在R上的奇函数，当xe(7O,0]时，/(力=-/-2-

(1)求“X)的解析式；

(2)若函数y=/(x)-%有三个零点，求实数，”的取值范围.

【答案】

、f-x2-2x,x<0

⑴小》2->。；

(2)(-U).

【解析】

(1)解：令x>0,则一x<0,贝IJ/(X)=-/(-X)=-[-(-X)2-2X(-X)]=X2-2X.

2

因„此,,，f(x)、=«|-,x-2x,x<0.

''[X2-2X,X>0

(2)解：由〃x)-6=0得力=/(x),所以，直线旷=机与函数/(*)的图象有三个交点，

如下图所示:

由图可知，当-1<机<1时，直线丁=机与函数"X)的图象有三个交点.

因此，实数m的取值范围是(-1,1).

9.(2021.广西.南宁三中高一期末)已知函数.“X)是定义域为R的奇函数，当x>0时，/(X)=X2-2X.

(1)求出函数/(x)在R上的解析式；

(2)若y=/(力与卜=机有3个交点，求实数〃?的取值范围.

x2-2x,x>0

【答案】(1)/(x)=-0,x=0；(2)

-x2-2x,x<0

【解析】

(1)①由于函数是定义域为R的奇函数，则"0)=0；

②当x<0时,-x>0,因为f(x)是奇函数，所以"—x)=—/(x).

所以/(X)=-/(-X)=4(-x)2-2(-x)]=-x2-2x.

x1-2x,x>0

综上：/(x)=<0,x=0

-x2-2x,x<0

(2)图象如下图所示：.

因为方程/(x)=%有三个不同的解,

由图象可知，即

10.(2021•福建省同安第一中学高一期中)某公司计划投资4,B两种产品，根据市场调查与预测，A产品

的利润与投资量成正比例，其关系如图1,B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2(注:

利润与投资量单位均为：万元)

图1图2

(1)分别将48两产品的利润表示为投资量的函数关系式；

(2)该公司已有10万元资金，并全部投入A,8两种产品中，问：怎样分配这10万元资金，才能使公司

获得最大利润？其最大利润为多少万元？

【答案】

14I—

(1)A：/(x)=-x(x>0),B：g(x)=-y/x(x>0)；

14

(2)投入A,8两产品6万元和4万元时，公司获得最大利润二万元.

【解析】

(1)设投资量为x万元(xNO),A,8产品的利润分别为〃x),g(x)万元,

则/(x)=A，g(x)=&4,

14r-

由图表中数据可得："x)=?(x20),g(x)=^(x>0)；

(2)设投入8产品x万元(04x410),

则投入A产品为10-x万元，该公司获得利润为)，万元，

则y=[(10_x)+：G=_l(5/7-2)+葭

14

，当x=4时，>3=了.

投入A,B两产品6万元和4万元时，公司获得最大利润114万元.

能力提升练

11.(2021・湖南岳阳•高二期末)某企业参加A项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元.

根据现实的需要，从A项目中调出x人参与B项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润I。,-万

元(。>0),A项目余下的工人每人每年创造利图需要提高()2r%

(1)若要保证A项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少

人参加8项目从事售后服务工作？

(2)在(1)的条件下，当从A项目调出的人数不能超过总人数的40%时，才能使得A项目中留岗工人创

造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数。的取值范围.

【答案】(1)500；(2)(0,5.1].

【解析】

设调出x人参加8项目从事售后服务工作

(1)由题意得：10(1000-x)(l+0.2x%)210x1000,

即500x40,又x>0,所以0<xW500.即最多调整500名员工从事第三产业.

(2)由题知，0<xM400,

3Y

从事第三产业的员工创造的年总利润为10(〃-芸)x万元，

从事原来产业的员工的年总利润为10（1000-尤）（1+」工）万元,

则10(〃一士-)xV10(1000-x)(l+0.2x%),

所以cix----W1000+2x—x-----x2,

500500

2x2

所以ax4---F1000+x9

500

,2x1000—

Br1rlPa<--+---+1恒成山

500x

因为0<x44OO,

.2x10002x4001000,一

所ce以ISI——+----+1>------+----+1=5.1

500x500400

所以。45.1,

又。>0,所以0<aW5.1,

即。的取值范围为（0,5」.

12.（2021・山东济南•高一期中）1.某科研机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进

行科学试验.研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同.若使用注射方式给

药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度%（单位：毫克/升）与时间r（单位：小时）满足关

系式,=5-G（。>0,。为常数）；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度必（单位：毫克/升）

2«,0</<1,

与时间f（单位：小时）满足关系式必=现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射

5——4,l<f<4.

It

药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰.假设同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单

独使用每种方式给药的浓度之和.

（1）若a=l,求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值；

（2）若要使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4毫克/升，求正数a的取值范围.

【答案】

（1）当f=2时血液中药物的浓度最高，最大值为6

（2）0<a<-

4

【解析】

（1）当a=l时，药物在白鼠血液内的浓度卜与时间/的关系为

—t+2.y[t+5,0<?<1,

〉=%+%='

,l<r<4.

①当0<f<l时，y=T+2«+5=-(〃-l)2+6<6.

4

②当1V/44时、因为f+—24(当且仅当f=2时，等号成立),

t

所以为a*=10-4=6.

故当，=2时血液中药物的浓度最高，最大值为6.

(2)

-at+2,y/t+5,0</<1,

由题意得了=,

10-|az+-|,1<Z<4.

2]

Q)当0<，v1时，—+2yfi+524=>atK2>/F+1=>ciK—『H—,

小f

设,则a42/+2〃=(〃+1)—1,uG(1,4-co),则(〃+1)——1£(3,+oo),故a<3；

,4、44

②当时，——J24nm+—46=>。/46——,

46

由1W/W4,得。工一二+一，

tt

,-i/、2f——■

1(319

令丫=-,则aS-W+6u=-4|v——+—,ve-7J,贝lj-+—G—,故aW：.

tI4)44J(4J4|_44」4

综上，。<QK：.

4

13.(2021•广西桂林•高一期末)已知函数[(x)=32-7,g(〉=|log2X.

2—3

(1)当xw[0,l]时，求函数〃x)的值城

(2)若关于x的方程g(x)=f有两个不等根a,£(a<£),求加的值；

(3)是否存在实数〃，使得对任意〃?可0,11,关于x的方程4g2(力-4例(x)+3aT-〃〃?)=0在区间上,4

O

上学有3个不等根x，X2,X3,若存在，求出实数。与为M