新教材老高考适用2024高考数学一轮总复习单元质检卷六平面向量复数北师大版

PAGEPAGE4单元质检卷六平面对量、复数(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2024北京,2)在复平面内,复数z满意(1-i)z=2,则z=()A.2+i B.2-i C.1-i D.1+i2.已知向量a=(1,2),b=(2,x),且a·b=-1,则x的值等于()A.12 B.-12 C.32 D3.已知i是虚数单位,若复数z=54+3i,则z的共轭复数z=()A.45+35i C.-45+35i D4.(2024山东临沂一模)如图,若向量OZ对应的复数为z,且|z|=5,则1z=(A.15+25i BC.15−25i D5.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E为边DC的中点,F为BE的中点,则AF·AE=(A.3 B.2C.32 D.6.(2024福建厦门模拟)向量a=(1,2),b=(x,1).若(a+b)⊥(a-b),则x=()A.-2 B.±2 C.±2 D.27.已知向量a=(1,2),|b|=2,|a-b|=13,则a与b的夹角为()A.π6 B.C.2π3 D.8.在△ABC中,AB·BC3=BC·CA2=CA·A.5∶3∶4 B.5∶4∶3C.5∶2∶3 D.5∶39.若m∈R,则复数m+i1-i在复平面内所对应的点不行能在A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限10.已知平面对量a=(2,2),b=(1,m),且|2a-b|=|a+b|,则()A.a·b=4 B.a·b=0C.m=-1 D.|b|=211.设z为复数,则下列选项错误的是()A.|z|2=zzB.z2=|z|2C.若|z|=1,则|z+i|的最大值为2D.若|z-1|=1,则0≤|z|≤212.已知P为△ABC所在平面内一点,则下列选项错误的是()A.若PA+3PB+2PC=0,则点P在△ABC的中位线上B.若PA+PB+PC=0,则PC.若AB·AC>0,则△D.若AP=13AB+23AC,则二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量a=(m,1),b=(4,m),向量a在b上的投影向量的模为5,则m=.

14.(2024山东省试验中学二模)设向量a=(1,m),b=(2,1),且b·(2a+b)=7,则m=.

15.(2024湖北七市联考)在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,设AC与BD交于点O,则AO·BO=16.(2024天津,15)在边长为1的等边三角形ABC中,D为线段BC上的动点,DE⊥AB且交AB于点E.DF∥AB且交AC于点F,则|2BE+DF|的值为,(DE+DF)·DA三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知复数z=bi(b∈R),z-2(1)求复数z;(2)若复数(m+z)2在复平面内对应的点在其次象限,求实数m的取值范围.18.(12分)(2024江苏海门第一中学高三期末)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,3),B(2,-2),C(4,1).(1)若AB=3CD,求点D的坐标;(2)设实数k满意(kAB+2OC)·OC=4,求实数k的值.19.(12分)已知a=(cosx,sinx),b=(1,0),c=(4,4).(1)若a∥(c-b),求tanx;(2)求|a+b|的最大值,并求出对应的x的值.20.(12分)如图,在长方形ABCD中,E为边DC的中点,F为边BC上一点,且CFCB=23.设AB=a,(1)试用基{a,b}表示AE,(2)若G为长方形ABCD内部一点,且AG=34a+23b,求证:E,G21.(12分)已知O为坐标原点,OA=(2cosx,3),OB=(sinx+3cosx,-1),若f(x)=OA·OB+(1)求函数f(x)图象的对称轴方程;(2)当x∈0,π2时,若函数g(x)=f(x)+m有零点,求实数m的取值范围.22.(12分)已知e1,e2是平面内的两个不共线向量,AB=2e1+e2,BE=-e1+λe2,EC=-2e1+e2,且A,E,C三点共线.(1)求实数λ的值;(2)若e1=(2,1),e2=(2,-2),求BC的坐标;(3)已知D(3,5),在(2)的条件下,若A,B,C,D四点按逆时针依次构成平行四边形,求点A的坐标.

单元质检卷六平面对量、复数1.D解析:由题意可得z=21-i=2故选D.2.D解析:因为a=(1,2),b=(2,x),所以a·b=1×2+2x=-1,解得x=-32故选D.3.A解析:复数z=54+3i则z=45+4.D解析:依据图形可设z=-1+bi,b>0,因为|z|=5,所以(-1)2+所以z=-1+2i,则z=-1-2i,所以1z=1-故选D.5.B解析:以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),E(1,1),F32,12,∴AF=32,12∴AF·AE=故选B.6.C解析:(方法1)a+b=(1+x,3),a-b=(1-x,1),因为(a+b)⊥(a-b),所以(a+b)·(a-b)=0,即(1+x)(1-x)+3=0,解得x=±2.(方法2)因为(a+b)⊥(a-b),所以(a+b)·(a-b)=0,即a2-b2=0,即|a|=|b|,所以x=±2.故选C.7.D解析:因为|a-b|=13,所以(a-b)2=13,即a2-2a·b+b2=13.设a与b的夹角为θ,则3-23×2×cosθ+4=13,解得cosθ=-32所以a与b的夹角为5π6故选D.8.D解析:由题意,在△ABC中,AB·BC3=BC·CA2=CA·AB,设△ABC中角利用向量的数量积的定义可知accos(π-B)3=即ac3即2a2+2c2-2b2=3a2+3b2-3c2=6b2+6c2-6a2,设2a2+2c2-2b2=3a2+3b2-3c2=6b2+6c2-6a2=12k,k>0,解得a2=5k,b2=3k,c2=4k,所以a=5k,b=3k,c=所以由正弦定理可得a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=5∶3∶故选D.9.D解析:m=m-当m>1时,对应的点在第一象限;第-1<m<1时,对应的点在其次象限;当m<-1时,对应的点在第三象限.故选D.10.A解析:由|2a-b|=|a+b|,得2a·b=a2,所以2(2+2m)=4+4,解得m=1,则|b|=2,a·b=4.故选A.11.B解析:设z=a+bi(a,b∈R).对于A,|z|2=a2+b2,zz=(a+bi)(a-bi)=a2+b2,故A正确;对于B,z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi,|z|2=a2+b2,故B错误;对于C,|z|=1表示z在复平面内对应的点Z在以原点为圆心的单位圆上,|z+i|表示点Z与点(0,-1)之间的距离,故|z+i|的最大值为2,故C正确;对于D,|z-1|=1表示z在复平面内对应的点Z在以(1,0)为圆心,1为半径的圆上,|z|表示点Z与原点(0,0)之间的距离,故0≤|z|≤2,故D正确.故选B.12.C解析:对于A,设AB中点为D,BC中点为E,∵PA+3PB+2PC=0,∴PA+PB=-2(∴2PD=-4PE,即PD=2EP,∴P,D,E三点共线,又DE为△ABC的中位线,∴点P在△ABC的中位线上,故A正确;对于B,设AB中点为D,由PA+PB+PC=0,得又PA+PB=2PD,∴CP=2PD,∴P在中线CD上,且CP∴P为△ABC的重心,故B正确;对于C,∵AB·AC>0,∴AB与AC夹角为锐角,即A为锐角,但此时B,C有可能是直角或钝角,故无法说明△ABC为锐角三角形,对于D,∵AP=13AB+23AC,∴∴PB+2PC=0,∴P为线段BC上靠近C的三等分点,即BP=∴S△ABC∶S△ABP=BC∶BP=3∶2,故D正确.故选C.13.2或-2解析:由题意可知,向量a在b上的投影数量为a·b|b|=|m·4+1·m|42+m214.-1解析:∵向量a=(1,m),b=(2,1),∴2a+b=(4,2m+1).∵b·(2a+b)=7,∴8+2m+1=7,解得m=-1.15.-34解析:AO·BO=1=14=14(12-22)=-316.11120解析:设BE=x,x∈0,12,∵△ABC为边长为1的等边三角形,DE⊥AB,∴∠BDE=30°,BD=2x,DE=3x,DC=1-2x.∵DF∥AB,∴△DFC为边长为1-2x的等边三角形,DE⊥DF,∴(2BE+DF)2=4BE2+4BE·DF+DF2=4x2+4x(1-2x)×cos0°+∴|2BE+DF|=∵(DE+DF)·DA=(DE+DF)·(=(3x)2+(1-2x)·(1-x)=5x2-3x+1=5x-3102+1120,∴当x=310时,(DE+DF)·DA17.解(1)∵z=bi(b∈R),∴z-2又z-21+i是纯虚数,∴∴b=2,即z=2i.(2)∵z=2i,m∈R,∴(m+z)2=(m+2i)2=m2+4mi+4i2=(m2-4)+4mi.又复数在复平面内对应的点在其次象限,∴m解得0<m<2,故实数m的取值范围为(0,2).18.解(1)因为A(1,3),B(2,-2),C(4,1),所以AB=(1,-5).设D(x,y),则CD=(x-4,y-1).因为AB=3CD,所以(1,-5)=(3x-12,3y-3),所以3x-所以点D的坐标为133,-23.(2)OC=(4,1),kAB+2OC=(k+8,-5k+2).因为(kAB+2OC)·OC=4,所以4(k+8)+(-5k+2)=4,解得k=30.19.解(1)c-b=(3,4),由a∥(c-b)得4cosx-3sinx=0,∴tanx=sinx(2)∵a+b=(cosx+1,sinx),∴(a+b)2=(cosx+1)2+sin2x=2+2cosx,|a+b|=2+2cosx当cosx=1,即x=2kπ,k∈Z时,|a+b|取得最大值为2.20.(1)解AE=AD+DE=ADEF=EC+CF=(2)证明AG=34a+23b,EG=EF=12a-23b=2EG,又EF,EG有一公共点∴E,G,F三点共线.21.解(1)∵OA=(2cosx,3),OB=(sinx+3cosx,-1),∴f(x)=OA·OB+2=2cosxsinx+23cos2x-3+2=sin2x+3cos2x+2=2sin2x+π3+令2x+π3=π2+kπ,k∈Z,得x=kπ故f(x)图象的对称轴方程为x=kπ2+π12(2)∵x∈0,π2,g(x)=f(x)+m有零点,∴-m=f(x)在0,π2上有解.∵x∈0,π2,∴2x+π3∈π3,4π3,∴-32<sin2x+π3∴f(x)∈(-3+2,4],∴实数m的取值范围为[-4,3-2).22.解(1)AE=AB+BE=(2e1+e2)+(-e1+λe2)=e1+(1