西藏拉萨中学2025届高三数学第六次月考试题理含解析

PAGE19-西藏拉萨中学2025届高三数学第六次月考试题理（含解析）（满分：150分，考试时间：120分钟．请将答案填写在答题卡上）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合为整数集，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：，所以，故选D.考点：集合的交集运算.2.已知非零向量满意，且，则与的夹角为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查利用平面对量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，留意向量夹角范围为．3.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由及即可得解.【详解】由，可得.故选C.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系及二倍角公式，属于基础题.4.设复数满意，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：考点：复数的运算5.设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（xA.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】依据定义域为R的函数为偶函数等价于进行推断.【详解】时，,为偶函数；为偶函数时，对随意的恒成立，，得对随意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题较易，留意重要学问、基础学问、逻辑推理实力的考查.6.命题“，使得”的否定形式是（）A.，使得 B.，使得C.，使得 D.，使得【答案】D【解析】试题分析：的否定是，的否定是，的否定是．故选D．【考点】全称命题与特称命题的否定．【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定须要两步操作：①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定．7.在棱长为2的正方体中，点O在底面ABCD中心，在正方体内随机取一点P则点P与点O距离大于1的概率为()A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查几何概型，空间几何体的体积，空间想象实力.到点的距离不大于1的点在以点为球心，1为半径的半球内；其体积为正方体体积为则在正方体内随机取一点，则点到点的距离大于1的概率为故选B8.设为常数，动点分别与两定点，的连线的斜率之积为定值，若点的轨迹是离心率为的双曲线，则的值为（）A.2 B.-2 C.3 D.【答案】A【解析】【分析】依据题意可分别表示出动点P与两定点的连线的斜率，依据其之积为定值，求得x和y的关系式，对的范围进行分类探讨，当时，方程的轨迹为双曲线，依据圆锥曲线的标准方程可推断出离心率，从而求得λ的值．【详解】依题意可知，整理得，当时，方程的轨迹为双曲线，即，，，，.故选：A【点睛】本题主要考查双曲线的应用，考查计算实力，属于基础题.9.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由指数函数，对数函数的性质，可知，，即，选A考点：指数函数，对数函数的性质10.在“一带一路”学问测验后，甲、乙、丙三人对成果进行预料．甲：我的成果比乙高．乙：丙的成果比我和甲的都高．丙：我的成果比乙高．成果公布后，三人成果互不相同且只有一个人预料正确，那么三人按成果由高到低的次序为A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙【答案】A【解析】【分析】利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预料正确，则乙、丙预料错误，则甲比乙成果高，丙比乙成果低，故3人成果由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预料正确，则丙预料也正确，不符合题意；若丙预料正确，则甲必预料错误，丙比乙的成果高，乙比甲成果高，即丙比甲，乙成果都高，即乙预料正确，不符合题意，故选A．【点睛】本题将数学学问与时政结合，主要考查推理推断实力．题目有肯定难度，留意了基础学问、逻辑推理实力的考查．11.如图所示，点从点动身，按逆时针方向沿边长为的正三角形运动一周，为△的中心，设点走过的路程为，△的面积为（当、、三点共线时，记面积为0），则函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】当时,，为一次递增函数,去掉B；当(BC中点)时为一次递减函数，去掉C,D；所以选A.点睛：(1)运用函数性质探讨函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在运用函数性质特殊是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要留意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化探讨.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系12.函数的导函数，对随意，都有成立，若，则满意不等式的的范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令，求得，则函数为单调递增函数，把不等式，转化为，即可求解.【详解】由题意，对随意，都有成立，即，令，则，所以函数为单调递增函数，又因为不等式，即，因为，所以，所以不等式的解集为，故选C.【点睛】本题主要考查了导数点运算，以及利用导数探讨函数的单调性及其应用，其中解答中依据选项及已知条件合理构造新函数，利用导数判定函数的单调性是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算实力，属于中档试题.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.代数式的最小值为_________.【答案】【解析】试题分析：原代数式变形为：，令，因为，则原式（当且仅当“即”时取“”），所以的最小值为：.考点：1.同角三角函数的基本关系；2.换元法；3.基本不等式求最值.14.已知是等差数列，公差不为零．若，，成等比数列，且，则，．【答案】【解析】【分析】依据题意列出关于、的方程组，即可解出这两个量的值.【详解】由题可得，，故有，又因为，即，所以.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，解题的关键就是依据题意列出关于首项和公差的方程组进行求解，考查运算求解实力，属于中等题.15.已知点在函数（且）图象上，对于函数定义域中的随意，（），有如下结论：①；②；③；④．上述结论中正确结论的序号是．【答案】（1），（4）【解析】【详解】试题分析：点在函数（且）图象上，即∵对于函数定义域中的随意的有∴结论（1）正确；又，∴结论（2）错误；又是定义域上的增函数，∴对随意的不妨设，则，∴结论（3）错误，结论；又∴结论（4）正确；综上，正确的结论是（1），（4）；16.已知为定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程()有且仅有6个不同的实数根，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】依据函数的奇偶性作出函数的图象，利用换元法推断函数的根的个数，利用数形结合即可得出结论．【详解】作出函数的图象如图：则在和上递增，在和上递减，当时，函数取得极大值；当时，取得微小值，关于的方程()有且仅有6个不同的实数根，设，则当，方程有个根，当，方程有个根，当或，方程有2个根，当，方程有4个根，当，方程有0个根．则必有两个根、，则有两种状况符合题意：①，且，此时，则；②，，此时同理可得，综上可得a的范围是，故答案为：．【点睛】本题主要考查函数与方程，考查函数的表示法以及一次函数和二次函数，考查数形结合思想，考查逻辑思维实力和运算实力，属于常考题.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形即可得证；（Ⅱ）由a，bc成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用余弦定理表示出cosB，将得出的关系式代入，并利用基本不等式变形即可确定出cosB的最小值试题解析：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）；（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，∴cosB==≥=，当且仅当a=c时等号成立，∴cosB的最小值为．考点：余弦定理；正弦定理18.为了预防某种流感扩散，某校医务室实行主动的处理方式，对感染者进行短暂隔离直到康复．假设某班级已知6位同学中有1位同学被感染，须要通过化验血液来确定被感染的同学，血液化验结果呈阳性即被感染，呈阴性即未被感染．下面是两种化验方案．方法甲：逐个化验，直到能确定被感染的同学为止．方案乙：先任取3个同学，将他们的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明被感染同学为这3位中的1位，后再逐个化验，直到能确定被感染的同学为止；若结果呈阴性，则在另外3位同学中逐个检测．（1）求方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率；（2）表示方案甲所需化验次数，表示方案乙所需化验次数，假设每次化验的费用都相同，请从经济角度考虑哪种化验的方案最佳．【答案】（1）（2）方案乙最佳．【解析】【分析】（1）设表示方案甲所需化验次数为i次，表示方案乙所需化验的次数为j次，分别求得甲乙两种方案各需化验次数的概率，即可求得两种方案所需化验次数的概率；（2）由题意可知的可能取值为1，2，3，4，5．的可能取值为2，3．分别求得两种化验方案的期望，即可比较.【详解】设表示方案甲所需化验次数为次，表示方案乙所需化验的次数为j次，方案甲与方案乙相互独立．（1），，，，用事务D表示方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数，则（2）的可能取值为1，2，3，4，5．的可能取值为2，3．由（1）知，所以，，.所以．因为，所以从经济角度考虑方案乙最佳．【点睛】本题考查了独立事务概率乘法公式的应用，离散型随机变量期望的求法及应用，属于基础题.19.在如图所示的几何体中，四边形是菱形，四边形是矩形，平面平面，，，，为的中点，为线段上的一点.（1）求证：；（2）若二面角大小为，求的值.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】【分析】（1）连接DB，由已知可得△ABD为等边三角形，得到DE⊥AB，则DE⊥DC，再由ADNM为矩形，得DN⊥AD，由面面垂直的性质可得DN⊥平面ABCD，得到DN⊥DE，由线面垂直的推断可得DE⊥平面DCN，进一步得到DE⊥CN；（2）由（1）知DN⊥平面ABCD，得到DN⊥DE，DN⊥DC，又DE⊥DC，以D为坐标原点，DE、DC、DN分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设，λ∈[0，1]，分别求出平面PDE与平面DEC的一个法向量，由二面角P﹣DE﹣C的大小为列式求得λ即可．【详解】（1）连接.在菱形中，，，为等边三角形.又为的中点，.又，.四边形矩形，.又平面平面，平面平面，平面，平面.平面，.又平面平面，.（2）由（1）知平面，平面，。两两垂直.以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设，则，.设平面的法向量为，则，即，令，则.由图形知，平面的一个法向量为，则，即，即.，解得，的值为.【点睛】本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查了线面垂直、面面垂直的判定及性质的应用，考查空间想象实力与思维实力，训练了利用空间向量求解线面角，是中档题．20.已知椭圆的离心率为，点在上（1）求的方程（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）由求得,由此可得C的方程.（II）把直线方程与椭圆方程联立得,所以于是.试题解析：解：（Ⅰ）由题意有解得,所以椭圆C的方程为.（Ⅱ）设直线,,把代入得故于是直线OM的斜率即,所以直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.考点：本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆及计算实力、逻辑推理实力.21.已知函数.(1)求证：；(2)若对恒成立，求的最大值与的最小值.【答案】（1）详见解析；（2）的最大值为，的最小值为1.【解析】试题分析：（1）求，由，推断出，得出函数在上单调递减，从而；（2）由于，“”等价于“”，“”等价于“”，令，则，对分；；进行探讨，用导数法推断函数的单调性，从而确定当对恒成立时的最大值与的最小值.（1）由得，因为在区间上，所以，在区间上单调递减，从而.（2）当时，“”等价于“”，“”等价于“”，令，则，当时，对随意恒成立，当时，因为对随意，，所以在区间上单调递减，从而对随意恒成立.当时，存在唯一的使得，、在区间上的状况如下表：

因为