湖南省怀化市2025届高三数学下学期4月第一次模拟考试试题文含解析

PAGE20-湖南省怀化市2025届高三数学下学期4月第一次模拟考试试题文（含解析）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡上．1.若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化简集合，再进行集合的并运算，即可得答案；【详解】，，故选：D.【点睛】本题考查集合的并运算，考查运算求解实力，属于基础题.2.设R，则“＞1”是“＞1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】试题分析：由可得成立，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件考点：充分条件与必要条件3.已知，，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，然后利用同角三角函数的商数关系可求出的值.【详解】，，因此，.故选：A.【点睛】本题考查利用同角三角函数基本关系求值，在计算时要结合角的取值范围推断所求三角函数值的符号，考查计算实力，属于基础题.4.如图所示，执行该程序框图，假如输入的，则输出的属于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】程序框图所表示的算法转化为计算分段函数的值域问题，即可得答案；【详解】依据题意得：当时，；当，；，故选：A.【点睛】本题考查程序框图条件结构、分段函数的值域求解，考查运算求解实力，属于基础题.5.已知数列的前项和为，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】又符合上式，故6.已知向量，，，则等于（）A. B. C.5 D.25【答案】C【解析】分析】依据两边平方，即可得答案；【详解】，，故选：C.【点睛】本题考查平面对量数量积运算、模的求解，考查运算求解实力.7.已知的内角、、所对的边分别为、、，若，，则角的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将的三条边都用表示，再利用余弦定理求的值.【详解】，，，，，故选：C.【点睛】本题考查余弦定理的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解实力.8.“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代，人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代的人们通过贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美妙祝福．某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从春联和灯笼这两类礼品中随意免费领取一件，若有3名顾客都可领取其中一件礼品，则他们有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用古典概型的概率计算，即可得答案；【详解】3名顾客都可领取其中一件礼品的全部等可能结果：，有且仅有2人领取的礼品种类相同共有：，他们有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率，故选：D.【点睛】，本题考查古典概型的概率计算，考查运算求解实力，属于基础题.9.将函数的图象向右平移个单位长度，纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A.函数的最小正周期为B.当时，函数为奇函数C.是函数的一条对称轴D.函数在区间上的最小值为【答案】C【解析】【分析】依据已知条件先用二倍角公式转化，再利用函数的图像变换规律，求得的解析式，再利用余弦函数的图像和性质，推断各个选项是否正确.【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，纵坐标不变，可得，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数，则函数的最小正周期，故选项错误；当时，函数为偶函数，故选项错误；函数的对称轴为，故选项正确；函数在区间上的最小值为，故选项错误；故选：C【点睛】本题考查了函数的图像变换规律以及三角函数的性质和图像，属于一般题.10.关于函数，下列说法正确的是（）A.在单调递增 B.有微小值为0，无极大值C.的值域为 D.的图象关于直线对称【答案】B【解析】【分析】先去肯定值得到分段函数，再利用分段函数的单调性来推断选项是否正确.【详解】，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；即函数在上单调递减，在单调递增，故选项不正确；当时，函数有微小值，无极大值，故选项正确；因为函数在上单调递减，在单调递增，则函数有最小值，即的值域为，故选项不正确；因为，所以的图象不关于直线对称，故选项不正确；故选：B【点睛】本题考查了利用导数来求函数的单调性以及极值和值域，属于一般题.11.已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由圆的方程可得到圆心坐标以及半径，设在圆上，运用向量的加减和数量积运算可得，即实数的取值就是圆上的点到原点的距离的值，即可得到答案.【详解】圆得到即圆心，半径，设在圆上，则，，即，所以实数的取值就是圆上的点到原点的距离取值，且，，则，因此实数的取值范围为故选：D.【点睛】本题考查了数量积的运算以及圆上的动点到定点的距离的最值的求法，属于一般题.12.若函数在定义域上可导，且，则关于的不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，再利用导数探讨函数的单调性，进而得到不等式的解集.【详解】令，，，，在上单调递减，且，时，，故选：B.【点睛】本题考查利用导数推断函数的单调性、解抽象不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理实力、运算求解实力，求解时留意函数的构造是解题的关键.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上的相应横线上．13.设实数，若是纯虚数（其中为虚数单位），则_____．【答案】1【解析】【分析】化简复数，再依据纯虚数的概念，即可得答案；【详解】，，，，故答案为：.【点睛】本题考查复数中纯虚数的概念，考查运算求解实力，属于基础题.14.若x，y满意约束条件，则的最小值为______．【答案】-1【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域，由图形求出最优解，再计算目标函数的最小值．【详解】画出约束条件表示的平面区域如图所示，由图形知，当目标函数过点A时取得最小值，由，解得，代入计算，所以的最小值为．故答案为．【点睛】本题考查了线性规划的应用问题，也考查了数形结合的解题方法，是基础题．15.已知、是椭圆的左，右焦点，点为上一点，为坐标原点，为正三角形，则的离心率为__________．【答案】【解析】【分析】结合等边三角形的性质和椭圆的定义列方程，化简后求得椭圆的离心率.【详解】如图,因为为正三角形，所以，所以是直角三角形.因为，，所以,.因为，所以即，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，属于基础题.16.已知正方体的棱长为1，垂直于棱的截面分别与面对角线、、、相交于点、、、，则四边形面积的最大值为________．【答案】【解析】分析】如图所示，设，依据面面平行性质定理可得，从而有为正三角形，则，从而得到，写出四边形面积表达式，再利用基本不等式，即可求得最大值.【详解】如图所示，设，截面垂直于棱，面面，依据面面平行性质定理可得，同理，，截面为矩形，为正三角形，，同理为正三角形，，，等号成立当且仅当，故答案为：.【点睛】本题考查正方体中截面面积的最值、基本不等式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象实力、运算求解实力.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必需作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：60分．17.为了解某地中小学生的近视形成缘由，教化部门托付医疗机构对该地全部中小学生的视力做了一次普查．现该地中小学生人数和普查得到的近视状况分别如图1和图2所示．（1）求该地中小学生的平均近视率（保留两位有效数字）；（2）为调查中学生用眼卫生习惯，该地用分层抽样的方法从全部初中生和中学生中确定5人进行问卷调查，再从这5人中随机选取2人接着访谈，则此2人全部来自中学年级的概率是多少？【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）依据近视率计算近视人数，再除以总人数，即可得答案；（2）依据分层抽样可得中学抽取2名，初中抽取3名，写出试验的全部等可能结果，再利用古典概型的概率公式计算.【详解】（1）近视率；（2）依据分层抽样的特点，中学取2名，初中取3名，记中学两名为，初中3名为，则全部等可能结果为共10个，记事务为“此2人全部来自中学年级”有，共1个，.【点睛】本题考查古典概型概率计算，考查数据处理实力，求解时留意列出全部等可能结果，再求概率.18.在等比数列中，，．（1）求数列前8项的和；（2）若等差数列满意，求数列的通项公式．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）依据等比中项的性质可得，再依据对数运算，即可得答案；（2）求出等差数列的公差，再代入通项公式中，即可得答案；【详解】（1），数列前8项的和为；（2），，，，，，.【点睛】本题考查对数运算法则、等差数列与等比数列基本量法运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解实力.19.已知四棱锥中，平面，底面是菱形，，点，分别为和的中点．（1）求证：直线平面；（2）求证：平面平面．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）取的中点，连，，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理，即可得答案；（2）面，再利用面面垂直的判定定理，即可得答案；【详解】（1）取的中点，连，，，分别为，的中点，，，，四边形为平行四边形，则//又面，面，面；（2）底面是菱形，，，平面，平面，，又，面，面，平面平面．【点睛】本题考查线面平行判定定理和面面垂直判定定理的运用，考查转化与化归思想，考查空间想象实力，求解时留意条件书写的完整性.20.若抛物线的焦点为，是坐标原点，为抛物线上的一点，向量与轴正方向的夹角为60°，且的面积为.（1）求抛物线的方程；（2）若抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，求当取得最大值时，直线的方程.【答案】(1)；(2)或【解析】【分析】(1)先设的坐标为，依据向量与轴正方向的夹角为60°，可得出，再利用三角形的面积公式可求得的值即可求出抛物线的方程；(2)先设的坐标为，利用两点间的距离公式分别求出，，再利用基本不等式求出取得最大值时点的坐标，即可求出直线的方程.【详解】(1))设坐标为，(如图)因为向量与轴正方向的夹角为60°,，所以，依据抛物线定义得：，即，解得：即，则，解得：即抛物线的方程为：；(2)设的坐标为，，则，因为点在抛物线：上，即有：，所以，，因此当且仅当即时等号成立，此时，，所以直线的方程为：或【点睛】本题考查了抛物线定义、两点间距离公式以及利用基本不等式求最值，考查了学生的计算实力，属于一般题.21.已知函数，其中常数．（1）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）若，且时，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用参变分别将问题转化为在恒成立，再构造函数，求出函数的最小值，即可得答案；（2）若，则在恒成立，利用隐零点法，可证得不等式成立.【详解】（1）在恒成立在恒成立，令，则，，，在单调递减，在单调递增，，.（2）若，则在恒成立，令，，在单调递减，在单调递增，又，，存在唯一的使得，在单调递减，在单调递增，，，，恒成立，故原不等式成立.【点睛】本题考查依据不等式恒成立求参数的取值范围、利用导数证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理实力、运算求解实力.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分．22.已知曲线的参数方程为：（为参数），的参数方程为：（为参数）.（1）化、的参数方程为一般方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若直线的极坐标方程为：，曲线上的点对应的参数，曲线上的点对应的参数，求的中点到直线的距离.【答案】(1)：；：；以圆心为，半径为1的圆，以坐标原点为中心，焦点在轴的椭圆；(2)【解析】【分析】(1)干脆利用参数方程组消去参数即可得到它们的一般方程；(2)依据已知条件分别求出、两点坐标以及点坐标，再利用点到直线的距离公式即可求出.【详解】(1)曲线的参数方程为：（为参数），即，且，则：；的参数方程为：（为参数），即，且，则：；以圆心为，半径为1的圆，以坐标原点为中心，焦点在轴的椭圆；(2)曲线上的点对应的参数，所以，曲线上的点对应的参数，所以，所以的中点的坐标为，因为直线的极坐标方程为：，即直线的一般方程为：，所以的中点到直线的距离【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程转化为一般方程以及点到直线的距离，考查了学生的计算实力，