初中数学锐角函数的增减项强化练习

初中数学锐角函数的增减项强化练习1

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一、单选题

1.如果锐角4的度数是25。，那么下列结论中正确的是（）

A.0<sinA<《B.0<cosA<—

22

c.B<tanA<1D.l<cotA<>/3

3

2.如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂4="cosa,阻力臂4=/.cos£,如果

动力尸的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化

情况是（）

A.越来越小B.不变C.越来越大D.无法确定

3.已知NA为锐角，且sinAV；,那么乙4的取值范围是（）

A.00<ZA<30°

B.30°<ZA<60°

C.60°<ZA<90°

D.30°<ZA<90°

4.如图，在RtZkABC中,ZACB=90°,DE是AABC的中位线，连结CD.下列各组

线£段的比值一定与cosA相等的是()

C

DEDECCECE

A.----B.----

ADAEBDBC

5.若NA为锐角，且cosA=g，则(

)

A.0°<ZA<30°B.30°<ZA<45°

C.45°<ZA<60°D.60°<ZA<90°

6.若0。</4<45。，那么sinA-cosA的值()

A.大于0B.小于0C.等于0D.不能确定

7.己知cosa=13,则锐角。的取值范-围是()

4

A.0°<«<30°B.30°<a<45°C.45°<a<60°D.60°<a<90°

8.己知△回(?是锐角三角形，若AB>AC,则()

A.sinA<sinBB.sinB<sinCC.sinA<sinCD.sinC<sinA

二、填空题

9.比较大小：sin54°cos35°(填

10.已知sina<cosa,则锐角a的取值范围是.

11.比较大小：sin80°―sin50°(填“>''或"V").

12.在直角三角形A8C中，角。为直角，锐角A的余弦函数定义为,写出

sin70。、cos40°>cos50°的大小关系.

13.用不等号连接下面的式子.

(1)cos50°cos20°(2)tan18°tan21°

14.函数y=(cos6)f—4(sin6)x+6对任意实数x都有y>0,且。是三角形的内角,

则。的取值范围是

15.比较大小：sin40°cos50°(填“>"、"<”或"=")

16.已知/B是4ABC中最小的内角，贝ItanB的取值范围是.

三、解答题

17.已知：如图，C41AO,E、尸是AC上的两点，ZAOF>ZAOE.

(1)求证：tanZAOr>tanZAOE；

(2)锐角的正切函数值随角度的增大而.

18.如图，在平面直角坐标系中，已知AABC的三个顶点坐标分别是41,1),

B(4,l),C(3,3).

(1)将AABC向下平移4个单位后得到AA/B,G,请画出&4/B/G；

(2)将AABC绕原点。逆时针旋转90。后得到△&鸟G，请画出△&&G，并直接写

出sinN&B2G的值；

19.如图所示，在R/AACB中，ZC=90°,AC=3,BC=2,AD为中线.

(1)比较/BAD和NDAC的大小.

(2)求sinZBAD

20.已知：如图，ZAOB=90°,AO=OB,C、D是弧AB上的两点，ZAOD>

ZAOC,

(DO<sinZAOC<sinZAOD<l；

(2)1>cosZAOC>cosZAOD>0；

(3)锐角的正弦函数值随角度的增大而；

(4)锐角的余弦函数值随角度的增大而.

0

21.如图，已知/ABC和射线BD上一点P（点P与点B不重合），且点P到BA、

BC的距离为PE、PF.

（1）若NEBP=40,2FBP=2（r,PB=m,试比较PE、PF的大小；

（2）若NEBP=a,NFBP=p,a,B都是锐角，且a>|3.试判断PE、PF的大小,

并给出证明.

22.我们知道，锐角的三角函数值都是随着锐角的确定而确定、变化而变化的，如图

所示.

（1）试探索随着锐角度数的增大，它的三角函数值的变化规律；

（2）根据你探索到的规律，试分别比较18°,34°,62°,73°角的正弦，余弦，正切值

的大小.

参考答案:

I.A

【解析】

【分析】

根据“正弦值随着角度的增大而增大”解答即可.

【详解】

解：V0°<25°<30°

，0<sin25<-

2

0<sinA<—.

2

故选A.

【点睛】

本题主要考查了锐角三角形的增减性，当角度在0°~90。间变化时，①正弦值随着角度的增

大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；

③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.

2.A

【解析】

【分析】

根据杠杆原理及cosa的值随着a的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案.

【详解】

解：•.•动力x动力臂=阻力x阻力臂，

...当阻力及阻力臂不变时，动力x动力臂为定值，且定值>0,

.•.动力随着动力臂的增大而减小，

•.,杠杆向下运动时a的度数越来越小，此时cosa的值越来越大，

又,动力臂乙=L,cosa,

,此时动力臂也越来越大，

...此时的动力越来越小，

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了杠杆原理以及锐角三角函数和反比例函数的增减性，熟练掌握相关知识是

答案第1页，共13页

解决本题的关键.

3.A

【解析】

【分析】

根据特殊角的三角函数值求出sin3(T=g,根据当NA是锐角时，其正弦随角度的增大而增

大，

【详解】

为锐角，且41130。=3，

又•.•当NA是锐角时，其正弦随角度的增大而增大，

.,.00<A<30°,

故选A.

【点睛】

考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性的应用，注意：当角是锐角时，其正

弦和正切随角度的增大而增大，余弦和余切随角度的增大而减小.

4.C

【解析】

【分析】

根据特殊角锐角三角函数的定义以及直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.

【详解】

ED是的中位线

.,.点。、E分别是48、AC的中点

ZACB=90°

，CD=BD=AD

：.ZA=ZDCE

..CECE

..cosA=cosZ-DCE=----=-----

CDBD

故选：C

【点睛】

本题考查三角形综合问题，涉及直角三角形斜边上的中线性质，中位线的性质以及特殊角

锐角三角函数的定义，本题属于中等题型.

答案第2页，共13页

5.D

【解析】

【分析】

首先根据锐角余弦函数值，随角度的增大而减小，然后根据特殊角的三角函数值，确定;

在哪两个特殊值之间即可.

【详解】

解：Vcos60°=-,cos90°=0,

2

32

cos90°<cosA<cos60°,

A60o<A<90°.

故选D.

【点睛】

本题考查了余弦函数的增减性，熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是

解题的关键.

6.B

【解析】

【分析】

cosA=sin(90。-4),再根据锐角的正弦随角度增大而增大进行分析即可.

【详解】

V0o<ZA<45o,.,.45°<90o-ZA<90°,AZA<900~ZA.

VcosA=sin(90°-A),锐角的正弦随角度增大而增大，.*.sinA<sin(90°-A),.*.sinA<

cosA,即sin4-cosA<0.

故选B.

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的增减性，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键.

7.B

【解析】

【分析】

根据锐角余弦函数值在0°到90。中，随角度的增大而减小进行对比即可；

答案第3页，共13页

【详解】

锐角余弦函数值随角度的增大而减小，

cos30°=—,cos45°=—,

22

,若锐角a的余弦值为且立<3（且

4242

则30°<a<45°；

故选B.

【点睛】

本题主要考查了锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的增减性是解题的关键.

8.B

【解析】

【分析】

大边对大角，可得NC>NB,当角度在0。〜90。间变化时，正弦值随着角度的增大（或减

小）而增大（或减小）；依此即可求解.

【详解】

解：△ABC是锐角三角形，若AB>AC,

则/C>/B,

则sinB<sinC.

故选：B.

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的增减性，当角度在0°〜90。间变化时，①正弦值随着角度的增大

（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③

正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.

9.<

【解析】

【分析】

把余弦化成正弦,再通过角度大小比较正弦值的大小即可.

【详解】

cos35°=sin（90°—35°）=sin55°.

在锐角范围内，sina随a的增大而增大，

答案第4页，共13页

:.sin540<sin55°,

sin540<cos35°.

故答案为：<.

【点睛】

本题考查三角函数值的大小比较，利用正弦余弦的关系进行大小比较即可.

10.0°<a<45°.

【解析】

【分析】

根据锐角三角函数的增减性即可求解.

【详解】

解：由sina<cosa,得

00<a<45°,

故答案为：0°<a<45°.

【点睛】

同角三角函数的关系、锐角三角函数的增减性是解题的关键.

11.>

【解析】

【分析】

根据锐角三角函数的性质可知，锐角的角度越大，它的正弦值越大即可判断.

【详解】

解：V00<500<800<90°,

sin80°>sin50°

故答案为：>.

【点睛】

本题主要考查锐角三角函数的性质：锐角的角度越大，它的正弦和正切值越大，余弦值越

小.熟记相关性质是解题关键.

AC

12.cosA=---------sin70°>cos40°>cos50°

AB

【解析】

答案第5页，共13页

【分析】

根据余弦的定义即可确定答案；根据sin7(r=cos20。且正弦随角度的增大而增大，余弦随角

度的增大而减小即可确定大小关系.

【详解】

解：：直角三角形ABC中，角C为直角

为斜边，AC为直角边且为NA的一边

工余弦的定义为COS4=

AB

•.•sin70o=cos20。且正弦在锐角范围内随角度的增大而增大，余弦在锐角范围内随角度的增

大而减小

sin70°==cos20°>cos40°,cos40°>cos50°

/.sin70°>cos40°>cos50°.

AC

故答案为8s4=——,Sin70°>cos40°>cos50°.

AB

【点睛】

本题考查了余弦函数的定义和正弦、余弦函数的增减性，掌握正弦在锐角范围内为增函数

、余弦在锐角范围内为减函数是解答本题的关键.

13.<<

【解析】

【分析】

根据余弦函数在0到90。之间是递减的，正切函数在0到90。之间是递增的解答即可.

【详解】

当a为锐角时，其余弦值随角度的增大而减小，cos50°<cos20°；

当a为锐角时，其正切值随角度的增大而增大，,tanl8°<tan21°.

故答案为<;<.

【点睛】

本题考查了三角函数的大小比较，熟知三角函数值的变化规律是解决问题的关键.

14.0<0<60

【解析】

【分析】

因为cos0>0,所以只要△<(),函数值恒为正.由△<(),得到三角函数不等式，再把正弦

答案第6页，共13页

转化为余弦，解不等式，最后利用三角函数的增减性求出。的取值范围.

【详解】

解：由题意得：

jcos0>O

[△=16sin20-24cos8vo

Jcos0>O

即：[2(1-CW26»)-3C<?56»<0'

(2cos0-l)(cosG+2)>0,

解得cosO>g,

又因为o°ve<i8o。，

所以。的取值范围为0°<0<60°.

故答案是：0°<0<60°.

【点睛】

考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a#),a,b,c为常数)根的判别式.当△>0,方程有

两个不相等的实数根；当仆=0,方程有两个相等的实数根：当4<0,方程没有实数根.同

时考查了锐角三角函数的性质，锐角的余弦随着角度的增大而减小；同角的正余弦的平方

和为1.记住特殊角的三角函数值.

15.=

【解析】

【分析】

直接利用锐角三角函数关系得出答案.

【详解】

解：Vcos50°-sin(90°-50°)=sin40。，

sin400=cos500.

故答案为：=.

【点睛】

本题考查了锐角三角函数关系，正确转换正余弦关系是解题的关键.

16.0<tanB<V3

【解析】

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【分析】

在三角形中，最小的内角应不大于60度，找到相应的正切值即可，再根据tan6(r=Q和一

个锐角的正弦值随着角的增大而增大，进行分析.

【详解】

解：根据三角形的内角和定理，易知三角形的最小内角不大于60。.

根据题意,知：

00<ZB<60°.

又tan60°=G,

.*.0<tanB<75.

故答案为：0<tanBW石

【点睛】

此题主要考查了三角形的内角和定理、特殊角的锐角三角函数值和锐角三角函数值的变化

规律，得出0°<NBW60。是解题关键.

17.(1)证明见解析；(2)增大.

【解析】

【分析】

(1)根据锐角三角函数的定义进行比较即可；

(2)由(1)可总结出规律.

【详解】

解：(1)CAVAO,

二和均为直角三角形，

ApPA

：.tanZAOF=—,tanZAOE=——,

OAOA

tanZAOF>tanZAOE；

(2)由(1)可知锐角的正切函数值随角度的增大而增大.

【点睛】

本题考查锐角三角函数的增减性.

18.(1)见解析；(2)图见解析，半

【解析】

答案第8页，共13页

【分析】

(1)将A,B,C的向下平移4个单位后得到AyB,,G坐标，依次连接即可；

(2)将A,B,C三点绕绕原点。逆时针旋转90。后得到A2,B2,C2,依次连接即可得到

△4鸟G，作C?D，B2c2,求出层C?=遥，即可求出sinN&B2c2的值.

【详解】

解：(1)将A,B,C的向下平移4个单位后得到AyB|tG坐标，依次连接即可得到

M4G如图所示；

(2)将A,B,C三点绕绕原点。逆时针旋转90。后得到A?,B2,C2,依次连接即可得到

△4与a如图所示，

作C?D，B2c2,

在RtADB2a中，

BG=42+2,=B

【点睛】

本题是对图形平移旋转的考查，熟练掌握图形平移，旋转的作法及三角函数知识是解决本

题的关键.

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19.(1)ZBAD<ZDAC<9Q°;(2)sinABAD=2^22

130

【解析】

【详解】

试题分析：（1）、过点D做AB的垂线，垂足记为E,分别求出sinNBAD和sin/DAC的

值，然后根据三角函数进行比较大小得出答案；（2）、根据勾股定理求出AB和AD的长

度,然后根据△BAD的面积法得出DE的长度，最后求出sin/BAD的大小.

试题解析：（1）过点D做AB的垂线，垂足记为E,贝Ijsin/BAD=^

AD

DC

sin/DAC=—,・・•ED<BD=DC,sin—BAD<sin/DAC,/BAD<NDAC<90°.

AD

（2）由勾股定理求出AB=JT5,AD=Jid,而崛2='册D?

即：^xM3=ixV13?,DE=-^=,:.sin/BAD=动型

20.（1）见解析（2）见详解；（3）增大；（4）减小.

【解析】

【分析】

第（1）（2）问作辅助线,分别在RtAOEC和RSDFO中利用三角函数定义表示出所求三

角函数，再利用不等式的性质：不等号两边同时除以同一个不为零的正数时不等号仍成立即

可解题；第（3）（4）两问根据特殊三角函数值,总结规律即可解题.

【详解】

解：（1）如图所示，作CELOA与E,作DFLOA与E

CEDF

VsinZAOC=—,sinZAOD=—,0<CE<DF<OC=OD,

OCOD

.,.0<sinZAOC<sinZAOD<1；（不等式性质）

OEOF

（2）VcosZAOC=,cosZAOD=,0<OF<OE<OC=OD,

OCOD

：.\>cosZAOC>cosZAOD>0；（不等式性质）

（3）由特殊的直角三角函数值，总结规律，即可发现对于锐角而言，锐角的正弦函数值随角

答案第10页，共13页

度的增大而增大；

（4）由特殊的直角三角函数值，总结规律，即可发现对于锐角而言，锐角的余弦函数值随角

度的增大而减小.

【点睛】

本题考查了三角函数的大小比较,不等式的性质，中等难度，熟悉三角函数定义，表示出三角函

数是解题关键.

21.（1）PE>PF；（2）PE>PF.

【解析】

【分析】

（1）利用三角函数的定义，根据两个角的正弦的大小进行比较即可得到结果；

（2）运用两个角的正弦函数，根据正弦值的变化规律进行比较.

【详解】

PF

解：（1）在心△5PE中，sinZEBP=—=sin40^

在Rt^BPF中，sinZFBP==sin20,

又sin40>sin20

:.PE>PF\

（2）根据⑴得

PEPF

sin/EBP=---=sina,sinZFBP=---=sin/?

BPBP

又,：a>B

...sin。>sin/7

:.PE>PF.

【点睛】

考查了锐角的正弦值的变化规律：在锐角的范围内，正弦值随着角的增大而增大.

22.（1）锐角的正弦值随着